【精品解析】一线三等角相似模型（K型）—浙教版数学九（上）知识点训练

一线三等角相似模型（K型）—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．如图 W6-3， 点 是 的中点， ． 若 ， 则 的长是（　　）
A．7 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ACE+∠AEC=180°，
∠AEC+∠CED+∠BED=180°， ，
∴∠ACE=∠BED.
又，
∴△ACE∽△BED，
∴AC：BE=AE：BD，
∵点 是 的中点，
∴AE=BE.
∵，
∴5：AE=AE：2，解得AE=（负值舍去），
∴AB=2AE=.
故答案为：C.
【分析】先利用AA证明△ACE∽△BED，再列出比例式，求出AE，再求出AB.
2．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第28课时图形的对称、平移与旋转）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：第一步： 将矩形纸片的一端， 利用图 28-12①的方法折出一个正方形 ， 然后把纸片展平；第二步： 将图①中的矩形纸片折叠， 使点 恰好落在点 处， 得到折痕 ， 如图②．根据以上的操作， 若 ， 则线段 的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过M作AD的垂线，垂足为G，
设DN=x，则FN=8-x，
由折叠可知AF=AB=8，
∴DF=AD-AF=12-8=4.
∵DF2+DN2=FN2，
∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，
∴FN=8-3=5.
∵∠GFM+∠MFN+∠NFD=180°，∠MFN=90°，
∴∠GFM+∠NFD=90°，
∵∠NFD+∠FND=90°，
∴∠FND=∠GFM.
又∠D=∠MGF=90°，
∴△DFN∽△MGF，
∴GM：FD=MF：FN，
∴8：4=MF：5，解得MF=10，
∴BM=BC-MC=BC-MF=12-10=2.
故答案为：C.
【分析】过M作AD的垂线，垂足为G，设DN=x，可用x表示出FN，再利用勾股定理求得x，就可求得FN，再证明△DFN∽△MGF，列出关于MF的比例式求解，再利用BM=BC-MC=BC-MF求出BM.
3．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
4．如图， 面积为 36 的正方形 中， 有一个小正方形 ， 其中 分别在 上， 若 ， 则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∴∠EFB+∠BEF=90°，
∵BF=2，
∴CF=4，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积得BC=CD=6，根据正方形的性质得∠B=∠C=∠EFG=90°，接下来利用”一线三等角“模型证出∠BEF=∠DFC，从而得，根据相似三角形的性质得，从而求出BE的值，最后利用勾股定理求出EF的值即可.
5． 如图， 正方形 的边长为 是 上一点， 过点 作 ， 交 于点 ， 连结 ， 则 的最小值是（　　）
A．5 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠BAE，
∴，
∴，
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
∴，
∴，
∴当x=2时，CF最大值为1，
∴DF的最小值为4-1=3，
∴AF的最小值为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质、垂直的定义得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=∠AEF=90°，然后利用”一线三等角“证出∠CEF=∠BAE，得，从而有，设BE=x，则CE=4-x，然后求出CF的值，利用二次函数的最值知识求出CF的最大值，从而得DF的最小值，最后用勾股定理求出AF的最小值.
阅卷人 二、填空题
得分
6．如图 ， 已知矩形 的顶点 分别落在 轴、 辅上， ， 则点 的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵∠OAD+∠DAB+∠BAE=180°，
∴∠OAD+90°+∠BAE=180°，
∴∠OAD+∠BAE=90°，
∵∠ODA+∠OAD=90°，
∴∠ODA=∠BAE.
又∠AOD=∠AEB=90°，
∴△OAD∽△EBA，
∴AD：AB=OA：BE=OD：AE，
∵，
∴3：1=3：BE=6：AE，AD=.
解得BE=1，AE=2，
∴AB=.
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，CD=AD=.
∵∠FDC+∠CDA+∠ADO=180°，
∴∠FDC+90°+∠ADO=180°，
∴∠FDC+∠ADO=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠FDC=∠OAD.
又∠DFC=∠DOA=90°，
∴△DFC∽△AOD，
∴CF：OD=FD：OA=CD：AD，
∴CF：6=FD：3=：，解得CF=2，DF=1，
∴C点的坐标为（2，7）.
故答案为：.
【分析】先利用相似三角形的判定-AA，证明△OAD∽△EBA，列出比例式求出AE，BE，再利用勾股定理求出AB，AD，再证明△DFC∽△AOD，列出比例式求出CF与DF，最后写出C点的坐标.
7．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 是梯形， ， 点 为 轴上的一个动点，点 不与点 重合． 连结 ， 过点 作 交 于点 ．
（1） 直接写出点 的坐标：
（2） 当点 在线段 上运动时， 使得 ， 且 ： ， 则点 的坐标为
【答案】（1）
（2） 或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，
则∠CEO=90°，∠BFA=90°，
又BC//OA，
∴∠CBF=∠AFB=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF，BC=EF，
又OC=BA，
∴△OCE≌△ABF（HL），
∴OE=AF，
又OA=7，BC=1，OA=OE+AF+EF，
∴2OE+1=7，解得OE=3，
∴CE=.
又BC=1，OE=3，
∴OF=4，
∴点B的坐标为（4，4）.
故答案为：（4，4）；
（2）∵△OCE≌△ABF，
∴∠OAB=∠AOC，
∵，
∴∠CPD=∠AOC，
∵∠OPC+∠CPD+∠APD=180°，
∠OPC+∠AOC+∠OCP=180°，
∴∠APD=∠OCP，
又∠OAB=∠AOC，
∴△OCP∽△APD，
∴OP：AD=OC：PA，
又BD：AD=3：2，BD+AD=AB=5，
解得AD=2，BD=3，
∴OP：2=5：PA，
又OP+PA=OA=7，
解得OP=2，或5，
∴ 点 的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，先利用HL定理证明△OCE≌△ABF，再求得OE，然后利用勾股定理求得CE，再求得OF，最后写出点B的坐标；
(2)先证明△OCP∽△APD，列出比例式求出OP，再写出点P的坐标.
8．如图， 已知 ABCD 中， AB=3，BC=4，∠B=60° ， 点 E 是 AB 边上一点， 过点 E 作EF⊥DE ， 交 BC 边于点 F， 且 ∠EFD=60°， 则 AE=　 　
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AE=x，过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G，H，
则∠H=∠EGF=90°，
∴∠HED+∠EDH=90°，
∵过点 作 ，
∴∠DEF=90°，
∵∠DEF+∠HED+∠GEF=180°，
∴∠HED+∠GEF=90°，
∴∠EDH=∠GEF，
∴△HDE∽△GEF，
∴DH：EG=DE：EF=HE：GF，
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=4，∠B=60°，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∴∠DAH=∠B=60°，
∴AH=AB=2，HD=AH=2.
∴HE=AH+AE=2+x，
∴DE=，
∵，
∴EF=，.
∴2：EG=：1=（2+x)：GF，
解得EG=2，GF=，
∴GB=.
∵GB+GE+EH=5，
∴，解得x=.
故答案为：.
【分析】设AE=x，过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G，H，先利用相似三角形的判定—AA，证明△HDE∽△GEF，列出比例式DH：EG=DE：EF=HE：GF，根据含有30度角的直角三角形的性质，可用x表示出GF，EH，进而用x表示出GB，再根据GB+GE+EH=BH，求出x即可.
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知 ， 将 沿直线 翻折后得到 ． 若反比例函数 的图象经过点 ， 则 　 　
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作CD垂直于x轴于点D，连结OC，
由翻折可知：OC被AB垂直平分，
∵，
∴OA=1，OB=2，
∴AB=.
∵S△AOB=，
∴，解得.
∴OC=.
∵AB⊥OE，
∴∠AOE+∠EAO=90°，
又∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAO，
又∠CDO=∠AOB=90°，
∴△CDO∽△AOB，
∴CD：AO=CO：AB=DO：BO，
∴CD：1=：=DO：2，解得CD=，DO=.
∴点C的坐标为（-，），
又反比例函数 的图象经过点 ，
∴k=-×=.
故答案为：.
【分析】先利用△AOB的面积的不同算法，得到关于OE的方程求解，求出OE，再利用相似三角形的判定—AA，证明△CDO∽△AOB，列出关于CD，DO的比例式求解，求出CD，DO，可得C点的坐标，求出k.
10．（2024·宁波模拟）图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG=α，则∠AHF=　 　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　 　．
【答案】90°﹣α；3
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是矩形，
∴∠B=∠C=∠AFH=∠FGD=90°，
∵∠BHG+∠HGB=90°，∠HGB+∠DGC=90°，
∴∠BHG=∠DGC，
∵∠CDG=α，
∴∠BHG=∠DGC=90°-α，
又∵∠AHF=∠BHG，
∴∠AHF=90°-α，
设AB=x，则HB=x-3，BG=x-2，
∵∠BHG=∠DGC，∠B=∠C，
∴△BHG∽△CGD，
∴，
即，
解得：x=4或x=1（舍去），
即正方形的边长为4，
∴HB=1，BG=2，
∴，
∴
∴；
连接EH，如图：
∵∠B=∠AFH，∠AHF=∠BHG，
∴△AFH∽△GHB，
∴，
即，
解得：，
∴.
故答案为：90°-α；3.
【分析】根据正方形的矩形的四个角都是直角可得∠B=∠C=∠AFH=∠FGD=90°，根据等角的余角相等可得∠BHG=∠DGC，结合对顶角相等即可得出∠AHF=90°-α；设AB=x，则HB=x-3，BG=x-2，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得x=4，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出HC，DG，EF的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得FH的值，根据三角形的面积公式即可求解.
阅卷人 三、解答题
得分
11．如图， 为 上一点， ， ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
【答案】（1）证明：
（2）AC=CD；
证明：由（1）得，
又∵AC=CD，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据垂直可以得到然后根据同角的余角相等得到即可得到三角形相似；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可 ．
12．如图， 在等边 中， 点 ， 分别在 边上， 连接 ， 且 ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
【答案】（1）证明：为等边三角形，
（2）DE=EF；
证明：由（1）得，，
又∵，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和和平角的定义得到，即可得到结论；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可．
13．已知点 在 延长线上， 且 ．
（1） 如图 1，若 ， 求证： ．
（2） 如图 2， 若 ∥， 若 ， 则 的值为　 　
（3） 如图 3， 连结 AE， 若 ， 求证 ： ．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠DBE，∠A=∠C，
∴∠A=∠DBE=∠C，
∵∠ADB+∠DBA+∠A=180°，∠DBA+∠DBE+∠EBC=180°，
∴∠ADB=∠EBC，
∴；
（2）
（3）证明：如图，延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠DBE=∠F，
由（1）同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
设 ， 则 ，
∴EF=2m，
∴，
∴，
∵∠F=∠DAB，
∴，
∴，
∴AE=2BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EF⊥EC交AC于点F，
∴∠FEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠BFE=∠C+∠FEC=45°+90°=135°，∠CFE=45°，
∴∠CFE=∠C，
∴EF=EC，
∵CE∥AD，
∴∠DAB+∠C=180°，
∴∠DAB=180°-45°=135°，
∴∠DAB=∠BFE，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠BFE=∠DBE，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
设EF=EC=x，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）易证∠A=∠DBE=∠C，然后利用”一线三等角“证出∠ADB=∠EBC，即可证得；
（2）过点E作EF⊥EC交AC于点F，得∠FEC=90°，从而求出∠BFE=135°，∠CFE=45°=∠C，进而得EF=EC，然后根据平行线的性质得∠DAB=135°=∠BFE=∠DBE，由（1）同理证出，根据相似三角形的性质得，设EF=EC=x，然后求CF、BF的值，从而得BC的值，最后进行化简即可；
（3）延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，得∠DAB=∠DBE=∠F，由（1）同理证出，接下来根据相似三角形的性质得，，从而有，设AD=m，接下来求出AB、BF的值，得EF、AF的值，然后求出，进而判定，得，即可得证AE=2BD.
阅卷人 四、实践探究题
得分
14．如图，在矩形ABCD中，，点是AD变上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形矩形ABCD，EG交直线CD于点.
（1）【尝试初探】
在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】
若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段CD中点时，求的值.
【答案】（1）解：四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系
（2）解：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，
四边形ABCD是矩形，
，，
是线段CD中点，
，
，
，
，解得，
.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质证得，，再通过余角的性质得到，进而判定.
(2)：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，利用相似三角形的性质求得x的值，进而计算出的值.
15．在 中， ， ， 直线 经过点 ， 过点 分别作 的垂线， 垂足分别为点 ．
（1） 特例体验： 如图 W6-10①， 若直线 ， 分别求出线段 和 的长．
（2） 规律探究：
（Ⅰ） 如图②， 若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ， 请探究线段 和 的数量关系并说明理由；
（Ⅱ） 如图③， 若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ， 与线段 相交于点 ， 请再探究线段 和 的数量关系并说明理由．
（3） 尝试应用： 在图③中， 延长线段 交线段 于点 ． 若 ， 求 ．
【答案】（1）解：在 中， ，
（2）解：（Ⅰ） ． 理由如下：
在 Rt 中， ．
，
．
．
在 和 中，
．
．
．
（ Ⅱ ） ． 理由如下：
同 （Ⅰ） 可证 ．
（3）解：
．
．
，
．
．
．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质说明AD=BD，AE=CE，再利用等腰直角三角形的秘技求得DE；
（2）（Ⅰ）先写出三线段的数量关系，再证明：通过证明 和 的两角及一角的对边分别相等来证明全等，再证明成立；
（ Ⅱ ）先写出三线段的数量关系，再证明：先证明，再根据全等三角形的性质证明结果成立；
（3）先利用相似三角形的判定——AA来证明，再列出比例式求出BF，再利用三角形的面积求解.
1 / 1一线三等角相似模型（K型）—浙教版数学九（上）知识点训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．如图 W6-3， 点 是 的中点， ． 若 ， 则 的长是（　　）
A．7 B． C． D．10
2．（【全品】2024浙江专版全品中考复习方案备考手册第28课时图形的对称、平移与旋转）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：第一步： 将矩形纸片的一端， 利用图 28-12①的方法折出一个正方形 ， 然后把纸片展平；第二步： 将图①中的矩形纸片折叠， 使点 恰好落在点 处， 得到折痕 ， 如图②．根据以上的操作， 若 ， 则线段 的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
3．如图， 在边长为 4 的等边三角形 中， 是 边上的一个动点， 沿过点 的直线折叠 ， 使点 落在 边上的点 外， 折痕交 于点 ， 当 时， 则 的长是（　　）
A． B． C．2 D．
4．如图， 面积为 36 的正方形 中， 有一个小正方形 ， 其中 分别在 上， 若 ， 则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
5． 如图， 正方形 的边长为 是 上一点， 过点 作 ， 交 于点 ， 连结 ， 则 的最小值是（　　）
A．5 B． C． D．3
阅卷人 二、填空题
得分
6．如图 ， 已知矩形 的顶点 分别落在 轴、 辅上， ， 则点 的坐标是　 　.
7．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 是梯形， ， 点 为 轴上的一个动点，点 不与点 重合． 连结 ， 过点 作 交 于点 ．
（1） 直接写出点 的坐标：
（2） 当点 在线段 上运动时， 使得 ， 且 ： ， 则点 的坐标为
8．如图， 已知 ABCD 中， AB=3，BC=4，∠B=60° ， 点 E 是 AB 边上一点， 过点 E 作EF⊥DE ， 交 BC 边于点 F， 且 ∠EFD=60°， 则 AE=　 　
9．如图， 在平面直角坐标系中， 已知 ， 将 沿直线 翻折后得到 ． 若反比例函数 的图象经过点 ， 则 　 　
10．（2024·宁波模拟）图，在正方形ABCD中，G为BC上一点，矩形DEFG的边EF经过点A．若∠CDG=α，则∠AHF=　 　；若AH＝3，GC＝2，则△EFH的面积为 　 　．
阅卷人 三、解答题
得分
11．如图， 为 上一点， ， ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
12．如图， 在等边 中， 点 ， 分别在 边上， 连接 ， 且 ．
（1） 求证： ；
（2） 添加一个条件 ， 求证： ．
13．已知点 在 延长线上， 且 ．
（1） 如图 1，若 ， 求证： ．
（2） 如图 2， 若 ∥， 若 ， 则 的值为　 　
（3） 如图 3， 连结 AE， 若 ， 求证 ： ．
阅卷人 四、实践探究题
得分
14．如图，在矩形ABCD中，，点是AD变上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形矩形ABCD，EG交直线CD于点.
（1）【尝试初探】
在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】
若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段CD中点时，求的值.
15．在 中， ， ， 直线 经过点 ， 过点 分别作 的垂线， 垂足分别为点 ．
（1） 特例体验： 如图 W6-10①， 若直线 ， 分别求出线段 和 的长．
（2） 规律探究：
（Ⅰ） 如图②， 若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ， 请探究线段 和 的数量关系并说明理由；
（Ⅱ） 如图③， 若直线 从图①状态开始绕点 顺时针旋转 ， 与线段 相交于点 ， 请再探究线段 和 的数量关系并说明理由．
（3） 尝试应用： 在图③中， 延长线段 交线段 于点 ． 若 ， 求 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠A+∠ACE+∠AEC=180°，
∠AEC+∠CED+∠BED=180°， ，
∴∠ACE=∠BED.
又，
∴△ACE∽△BED，
∴AC：BE=AE：BD，
∵点 是 的中点，
∴AE=BE.
∵，
∴5：AE=AE：2，解得AE=（负值舍去），
∴AB=2AE=.
故答案为：C.
【分析】先利用AA证明△ACE∽△BED，再列出比例式，求出AE，再求出AB.
2．【答案】C
【知识点】一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：过M作AD的垂线，垂足为G，
设DN=x，则FN=8-x，
由折叠可知AF=AB=8，
∴DF=AD-AF=12-8=4.
∵DF2+DN2=FN2，
∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，
∴FN=8-3=5.
∵∠GFM+∠MFN+∠NFD=180°，∠MFN=90°，
∴∠GFM+∠NFD=90°，
∵∠NFD+∠FND=90°，
∴∠FND=∠GFM.
又∠D=∠MGF=90°，
∴△DFN∽△MGF，
∴GM：FD=MF：FN，
∴8：4=MF：5，解得MF=10，
∴BM=BC-MC=BC-MF=12-10=2.
故答案为：C.
【分析】过M作AD的垂线，垂足为G，设DN=x，可用x表示出FN，再利用勾股定理求得x，就可求得FN，再证明△DFN∽△MGF，列出关于MF的比例式求解，再利用BM=BC-MC=BC-MF求出BM.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵等边的边长为4，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4，
根据折叠的性质，得∠DFE=∠A=60°，
∴∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DFB+∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠EFC=∠BDF，
∴，
∴，
又∵AC=BC=4，，BF=1，
∴，CF=BC-BF=4-1=3，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质、折叠的性质，得∠A=∠B=∠C=∠DFE=60°，AB=AC=BC=4，然后利用”一线三等角“模型证出∠EFC=∠BDF，从而有，根据相似三角形的性质得，然后求出CF、CE的值，代入求出BD的值，最后求AD=AB-BD的值即可.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为36，
∴BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∴∠EFB+∠BEF=90°，
∵BF=2，
∴CF=4，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的边长为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积得BC=CD=6，根据正方形的性质得∠B=∠C=∠EFG=90°，接下来利用”一线三等角“模型证出∠BEF=∠DFC，从而得，根据相似三角形的性质得，从而求出BE的值，最后利用勾股定理求出EF的值即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠BAE，
∴，
∴，
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
∴，
∴，
∴当x=2时，CF最大值为1，
∴DF的最小值为4-1=3，
∴AF的最小值为，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质、垂直的定义得AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠C=∠D=∠AEF=90°，然后利用”一线三等角“证出∠CEF=∠BAE，得，从而有，设BE=x，则CE=4-x，然后求出CF的值，利用二次函数的最值知识求出CF的最大值，从而得DF的最小值，最后用勾股定理求出AF的最小值.
6．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵∠OAD+∠DAB+∠BAE=180°，
∴∠OAD+90°+∠BAE=180°，
∴∠OAD+∠BAE=90°，
∵∠ODA+∠OAD=90°，
∴∠ODA=∠BAE.
又∠AOD=∠AEB=90°，
∴△OAD∽△EBA，
∴AD：AB=OA：BE=OD：AE，
∵，
∴3：1=3：BE=6：AE，AD=.
解得BE=1，AE=2，
∴AB=.
过点C作CF⊥y轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，CD=AD=.
∵∠FDC+∠CDA+∠ADO=180°，
∴∠FDC+90°+∠ADO=180°，
∴∠FDC+∠ADO=90°，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠FDC=∠OAD.
又∠DFC=∠DOA=90°，
∴△DFC∽△AOD，
∴CF：OD=FD：OA=CD：AD，
∴CF：6=FD：3=：，解得CF=2，DF=1，
∴C点的坐标为（2，7）.
故答案为：.
【分析】先利用相似三角形的判定-AA，证明△OAD∽△EBA，列出比例式求出AE，BE，再利用勾股定理求出AB，AD，再证明△DFC∽△AOD，列出比例式求出CF与DF，最后写出C点的坐标.
7．【答案】（1）
（2） 或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，
则∠CEO=90°，∠BFA=90°，
又BC//OA，
∴∠CBF=∠AFB=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF，BC=EF，
又OC=BA，
∴△OCE≌△ABF（HL），
∴OE=AF，
又OA=7，BC=1，OA=OE+AF+EF，
∴2OE+1=7，解得OE=3，
∴CE=.
又BC=1，OE=3，
∴OF=4，
∴点B的坐标为（4，4）.
故答案为：（4，4）；
（2）∵△OCE≌△ABF，
∴∠OAB=∠AOC，
∵，
∴∠CPD=∠AOC，
∵∠OPC+∠CPD+∠APD=180°，
∠OPC+∠AOC+∠OCP=180°，
∴∠APD=∠OCP，
又∠OAB=∠AOC，
∴△OCP∽△APD，
∴OP：AD=OC：PA，
又BD：AD=3：2，BD+AD=AB=5，
解得AD=2，BD=3，
∴OP：2=5：PA，
又OP+PA=OA=7，
解得OP=2，或5，
∴ 点 的坐标为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）过点C，B分别作x轴的垂线，垂足分别是E，F，先利用HL定理证明△OCE≌△ABF，再求得OE，然后利用勾股定理求得CE，再求得OF，最后写出点B的坐标；
(2)先证明△OCP∽△APD，列出比例式求出OP，再写出点P的坐标.
8．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AE=x，过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G，H，
则∠H=∠EGF=90°，
∴∠HED+∠EDH=90°，
∵过点 作 ，
∴∠DEF=90°，
∵∠DEF+∠HED+∠GEF=180°，
∴∠HED+∠GEF=90°，
∴∠EDH=∠GEF，
∴△HDE∽△GEF，
∴DH：EG=DE：EF=HE：GF，
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=4，∠B=60°，
∴AD//BC，AD=BC=4，
∴∠DAH=∠B=60°，
∴AH=AB=2，HD=AH=2.
∴HE=AH+AE=2+x，
∴DE=，
∵，
∴EF=，.
∴2：EG=：1=（2+x)：GF，
解得EG=2，GF=，
∴GB=.
∵GB+GE+EH=5，
∴，解得x=.
故答案为：.
【分析】设AE=x，过点F、D分别作AB的垂线，垂足分别为G，H，先利用相似三角形的判定—AA，证明△HDE∽△GEF，列出比例式DH：EG=DE：EF=HE：GF，根据含有30度角的直角三角形的性质，可用x表示出GF，EH，进而用x表示出GB，再根据GB+GE+EH=BH，求出x即可.
9．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作CD垂直于x轴于点D，连结OC，
由翻折可知：OC被AB垂直平分，
∵，
∴OA=1，OB=2，
∴AB=.
∵S△AOB=，
∴，解得.
∴OC=.
∵AB⊥OE，
∴∠AOE+∠EAO=90°，
又∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAO，
又∠CDO=∠AOB=90°，
∴△CDO∽△AOB，
∴CD：AO=CO：AB=DO：BO，
∴CD：1=：=DO：2，解得CD=，DO=.
∴点C的坐标为（-，），
又反比例函数 的图象经过点 ，
∴k=-×=.
故答案为：.
【分析】先利用△AOB的面积的不同算法，得到关于OE的方程求解，求出OE，再利用相似三角形的判定—AA，证明△CDO∽△AOB，列出关于CD，DO的比例式求解，求出CD，DO，可得C点的坐标，求出k.
10．【答案】90°﹣α；3
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是矩形，
∴∠B=∠C=∠AFH=∠FGD=90°，
∵∠BHG+∠HGB=90°，∠HGB+∠DGC=90°，
∴∠BHG=∠DGC，
∵∠CDG=α，
∴∠BHG=∠DGC=90°-α，
又∵∠AHF=∠BHG，
∴∠AHF=90°-α，
设AB=x，则HB=x-3，BG=x-2，
∵∠BHG=∠DGC，∠B=∠C，
∴△BHG∽△CGD，
∴，
即，
解得：x=4或x=1（舍去），
即正方形的边长为4，
∴HB=1，BG=2，
∴，
∴
∴；
连接EH，如图：
∵∠B=∠AFH，∠AHF=∠BHG，
∴△AFH∽△GHB，
∴，
即，
解得：，
∴.
故答案为：90°-α；3.
【分析】根据正方形的矩形的四个角都是直角可得∠B=∠C=∠AFH=∠FGD=90°，根据等角的余角相等可得∠BHG=∠DGC，结合对顶角相等即可得出∠AHF=90°-α；设AB=x，则HB=x-3，BG=x-2，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得x=4，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出HC，DG，EF的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得FH的值，根据三角形的面积公式即可求解.
11．【答案】（1）证明：
（2）AC=CD；
证明：由（1）得，
又∵AC=CD，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据垂直可以得到然后根据同角的余角相等得到即可得到三角形相似；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可 ．
12．【答案】（1）证明：为等边三角形，
（2）DE=EF；
证明：由（1）得，，
又∵，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和和平角的定义得到，即可得到结论；
（2）利用AAS证明两三角形全等即可．
13．【答案】（1）证明：∵∠A=∠DBE，∠A=∠C，
∴∠A=∠DBE=∠C，
∵∠ADB+∠DBA+∠A=180°，∠DBA+∠DBE+∠EBC=180°，
∴∠ADB=∠EBC，
∴；
（2）
（3）证明：如图，延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠DBE=∠F，
由（1）同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
设 ， 则 ，
∴EF=2m，
∴，
∴，
∵∠F=∠DAB，
∴，
∴，
∴AE=2BD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点E作EF⊥EC交AC于点F，
∴∠FEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠BFE=∠C+∠FEC=45°+90°=135°，∠CFE=45°，
∴∠CFE=∠C，
∴EF=EC，
∵CE∥AD，
∴∠DAB+∠C=180°，
∴∠DAB=180°-45°=135°，
∴∠DAB=∠BFE，
∵∠DAB=∠DBE，
∴∠DAB=∠BFE=∠DBE，
由（1）同理可证，
∴，
又∵，
∴，
设EF=EC=x，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）易证∠A=∠DBE=∠C，然后利用”一线三等角“证出∠ADB=∠EBC，即可证得；
（2）过点E作EF⊥EC交AC于点F，得∠FEC=90°，从而求出∠BFE=135°，∠CFE=45°=∠C，进而得EF=EC，然后根据平行线的性质得∠DAB=135°=∠BFE=∠DBE，由（1）同理证出，根据相似三角形的性质得，设EF=EC=x，然后求CF、BF的值，从而得BC的值，最后进行化简即可；
（3）延长AB到点F，连接EF，使得∠F=∠DAB，得∠DAB=∠DBE=∠F，由（1）同理证出，接下来根据相似三角形的性质得，，从而有，设AD=m，接下来求出AB、BF的值，得EF、AF的值，然后求出，进而判定，得，即可得证AE=2BD.
14．【答案】（1）解：四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系
（2）解：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，
四边形ABCD是矩形，
，，
是线段CD中点，
，
，
，
，解得，
.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质证得，，再通过余角的性质得到，进而判定.
(2)：设AB=1，AE=x，则AD=2AB=2，DE=2-x，利用相似三角形的性质求得x的值，进而计算出的值.
15．【答案】（1）解：在 中， ，
（2）解：（Ⅰ） ． 理由如下：
在 Rt 中， ．
，
．
．
在 和 中，
．
．
．
（ Ⅱ ） ． 理由如下：
同 （Ⅰ） 可证 ．
（3）解：
．
．
，
．
．
．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质说明AD=BD，AE=CE，再利用等腰直角三角形的秘技求得DE；
（2）（Ⅰ）先写出三线段的数量关系，再证明：通过证明 和 的两角及一角的对边分别相等来证明全等，再证明成立；
（ Ⅱ ）先写出三线段的数量关系，再证明：先证明，再根据全等三角形的性质证明结果成立；
（3）先利用相似三角形的判定——AA来证明，再列出比例式求出BF，再利用三角形的面积求解.
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