《一次函数》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2020八上·金寨期末）14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八下·台州期末）已知一次函数的图象与的图象交于点．则对于不等式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
3．（2024八上·嘉兴期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则p的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·开化期末）如图1，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
5．（2024·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 6 4 2 0 2 4 6 …
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移2个单位得到；
函数的图象是由向上平移3个单位得到.
（1）函数的最小值为 ；
（2）函数在中有最小值4，则的值是 .
6．（2018九上·大洼月考）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点An的坐标为
7．（2024八上·东阳月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点P，使得，请写出所有满足条件的点P的坐标 ．
8．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为 .
三、解答题
9．（2024八上·拱墅期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离（km）与小王的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）求的函数表达式；
（2）求CD的函数表达式；
（3）求点的坐标；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当时，求的取值范围．
10．（2024八上·东阳月考）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点E．且．
（1）求B点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接．
①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点M的坐标和面积．
11．（2023八上·宁波期末）如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
12．（2024八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点．
（1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 ；
（2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的二个和谐点，请直接写出m的取值范围．
13．（2024八上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
14．（2024八上·开化期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结．当与中的一条边平行时，直接写出的长．
15．（2024八上·金华期末）已知，如图1，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
（1）求点的坐标和的值；
（2）如图2，点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，当点对应点刚好落在轴上时，求ME所在直线解析式；
（3）在直线AB上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.
16．（2022八上·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC.
（1）当时，求点C的坐标；
（2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当S△AOB=2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标.
17．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的图象；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意，得：y1=0.5x+60（0≤x≤30），y2=6x（0≤x≤30），
∴得出y1是一次函数，y1随x的增大而增大，与y轴的交点是（0，60），
y2是正比例函数，y2随x的增大而增大，
故答案为：C．
【分析】根据时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，就可以分别表示出y1和y2的解析式，根据解析式就可以求的y1和y2大致图像而得出结论。
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点（m，-4）在直线y=-2x上，
∴-2m=-4，
解之：m=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-4），
∵y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，
∴直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），
将点（-2，4）代入直线y=kx-b得
-2k-b=4，
解之：b=-2k-4，
∴y=kx+2k+4=（k+2）x+4，
当2k+4＞0且k＜0时，
解之：-2＜k＜0，
如图，图象在直线x=-2的左侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
∴此时x的取值范围为x＜-2；
当2k+4＜0且k＜0时，
解之：k＜-2，
如图
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
当x＞-2时kx-b＜-2x；
当k＞0时，
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
此时x的取值范围为x＜-2，
∴x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2
故A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】将点（m，-4）代入直线y=-2x，可求出m的值，两端的两函数图象的交点坐标为（2，-4），再根据y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，可得到直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），将点（-2，4）代入y=kx-b，可得到b=-2k-4，据此可得到y=kx+2k+4，分情况讨论：当2k+4＞0且k＜0时，观察图象可知此时x的取值范围为x＜-2；当2k+4＜0且k＜0时，观察图象可知当x＞-2时kx-b＜-2x；当k＞0时，利用函数图象可知此时x的取值范围为x＜-2，综上所述可得到x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=kx+6过定点（0，6），且与x轴的交点坐标（x0，0）满足1∴k<0.
把（1，0）代入y=kx+6得，0=k+6，k=－6；
把（3，0）代入y=kx+6得，0=3k+6，k=－2；
∵1∴－6∴－60<10k≤-20，
∴－59<10k+1≤-19，
故答案为：C.
【分析】根据图象过定点（0，6）以及与x轴的交点坐标（x0，0）确定k<0；分别把（1，0）和（3，0）代入y=kx+6得到k的两个极限值，于是得到k的取值范围；进一步根据不等式的性质得到p的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥BC于点P，
∴当AP⊥BC时，AP最小，
即当点P运动到图（2）所示的点D的位置时，对应图（1）AP⊥BC，
∵S△ABC=，
∴AP=.
即点D的纵坐标为：
故答案为：C.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，根据垂线段最短可知：即当点P运动到图（2）所示的点D的位置时，对应图（1）AP⊥BC，然后根据面积法得，于是可求出AP的值，则点D的纵坐标可求解.
5．【答案】（1）3
（2）或者
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴函数的最小值为3，
故答案为：3.
（2）函数的对称轴为：
①当时，y随x增大而减小，
∵函数在中有最小值4，即x=1时，y=4，
∴
∴
②当时，y随x增大而增大，
∵函数在中有最小值4，即x=-2时，y=4，
∴
∴
综上所述，m的值为或者，
故答案为：或者.
【分析】（1）根据得到：进而即可得到函数的最小值；
（2）函数的对称轴为：由题意知需分两种情况讨论，①当时，y随x增大而减小，②当时，y随x增大而增大，分别根据函数的增减性和最值列出关于m的方程即可求解.
6．【答案】（2n﹣1，0）
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（1，），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==2，点A2的坐标为（2，0），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），
此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0）．
故答案为：（2n﹣1，0）．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，在根据B1点的坐标求出A2点的坐标，以此类推总结规律便可求出点An的坐标．
7．【答案】（-5，-8）或（1，-2）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（0，-3），C（-1，-4）代入
得，
解得
∴直线BC为y=x-3，
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AD=BD，
设OD=a，则BD=AD=3-a，
在Rt△AOD中，AO2+OD2=AD2，
即12+a2=(3-a)2，
解得a=，
∴D（0，-），
设直线AD解析式为：y=mx+n，
把A（1，0），D（0，-）代入，
得，
解得
∴∴直线AD为：y=x-，
联立得，
解得，
∴P（-5，-8）
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AP∥y轴，
∵A（1，0），
∴点P的横坐标为1，
把x=1代入y=x-3中，得y=-2，
∴P（1，-2），
综上可知：P（-5，-8）或（1，-2）.
故答案为：（-5，-8）或（1，-2）.
【分析】分两种情况：当点P在AB的左侧时或当点P在AB的左侧时，利用待定系数法求出BC解析式，再结合∠BAP=∠ABO分别求解即可.
8．【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
9．【答案】（1）解：设OA的函数表达式为
∴
∴OA的函数表达式为.
（2）解：设CD的函数表达式为：
∴CD的函数表达式为：.
（3）解：
∴
∴点K的坐标为：.
（4）解：①当时，由图象知：不合题意，
②当时，
当时，
即
③当时，
当时，
即
④当时，则不合题意，
综上所述，t的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设OA的函数表达式为把点A的坐标代入求出a的值即可求解；
（2）设CD的函数表达式为：把点C和点D的坐标代入求出k和b值，即可求解；
（3）联立两个直线的表达式得到，解此方程组即可求解；
（4）由题意知需分四种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，分别进行讨论即可.
10．【答案】（1）（0，4）；3
（2）解：∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA，
∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OE＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CE的解析式为，
即直线CD的解析式为，
解，
得，
即点D的坐标为；
（3）解：①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，
，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，
∴CE＝5，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
，
，
解得，，
∴△OMN面积取得最小值是：，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为，
，
解得，，
，
∴点M的坐标为，
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是和△OMN面积是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1） ，当x=0时y=4，当y=0时x=3，
∴B（0，4） ，A（3，0），
∴OA=3.
故答案为：（0，4），3；
【分析】（1）由求出x=0时y值，求出y=0时x值，即得A、B的坐标，继而得解；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式即得CD解析式，再联立直线AB解析式为方程组并解之即可；
（3）①由ASA证明△MOE≌△NOA，利用全等三角形的性质即得OM与ON的数量关系；
②由△OMN面积是，可知当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，然后根据勾股定理和等积法求出OM的长，即得点M的坐标.
11．【答案】（1）解：解：①设直线的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴直线的解析式为；
②联立，
解得
∴E（6，2），
∴△OBE的面积=×9×2=9；
③，
（2）解：连接OC，如图2，
∵C（3，4），AC⊥y轴，
∴A（0，4）
∵，
∴D（0，3），
∴直线CD解析式为y=x+3，
∵直线OE为y=x，
∴CD∥OE，
∴△CFD的面积=△COD的面积，
∵△COD的面积=OD·CA=×3×3=，
∴△CFD的面积=.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：③取OE的中点M，则M（3，1），作OE的垂直平分线MN，如图1，
∴直线MN的解析式为y=-3x+10，
当x=0时y=10，当y=0时x=，
∴点P的坐标为（0，10）（，0）；
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线解析式即可；
②联立直线OE和直线BC解析式为方程组并解之，即得点E坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
③作OE的垂直平分线MN，再求出直线MN的解析式，然后求出直线MN与坐标轴的交点坐标即得点P坐标；
（2）先求出A、D的坐标，可求出直线CD解析式，从而得出CD∥OE，继而得出△CFD的面积=△COD的面积，利用三角形的面积公式求解即可.
12．【答案】（1）P2，P3
（2）解：①由A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）可知，当P在△ABC内部时，BP≠AC，
②当AP＝BP，∠ABP＝45°时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AG⊥PH于G，如图：
∵AP＝BP，∠ABP＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPH＝90°﹣∠APG＝∠PAG，
∵∠BHP＝90°＝∠G，
∴△BPH≌△PAG（AAS），
∴PH＝AG，BH＝PG，
设P（p，q），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴，
解得；
∴P（2，2）；
③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，过A作AQ⊥BP交BP延长线于Q，如图：
∵B（﹣4，0），C（4，0），
∴B，C关于y轴对称，
∵BP＝CP，
∴P在y轴上，
同②可得Q（2，2），
由B（﹣4，0），Q（2，2）得直线BQ解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴P（0，）；
综上所述，P的坐标为（2，2）或（0，）；
（3）＜m＜4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），P1（﹣1，1），
∴，，
，，
∴，
∴P1（﹣1，1）不是△ABC的和谐点；
∵，
∴，，
∴，
∵在内，
∴是的和谐点；
∵，
∴，，
∴
∵在内，
∴是的和谐点；
故答案为：，.
（3）解：由题意知，△ABC的和谐点P，满足AP＝BP或BP＝CP，
若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，
若BP＝CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，即y轴上；
设AB的中点为K，线段AB的垂直平分线交AC于T，如图，
设直线的解析式为：，
∵ A（0，8），C（4，0）
则，
解得：，
∴ 直线AC解析式为y＝﹣2x+8，
设T（t，﹣2t+8），
∵AT＝BT，
∴t2+（﹣2t+8﹣8）2＝（t+4）2+（﹣2t+8）2，
解得t＝，
∴T（，），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点K（﹣2，4）；
∵直线l上存在△ABC的两个和谐点，
∴直线l与y轴，线段KT都相交，
∴＜m＜4．
【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，进行逐一判断即可.
（2）分①BP=AC；②AP＝BP，∠ABP＝45°时；③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，三种情况分析即可.
（3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上，先利用待定系数法求得AC的解析式，再求得点T的坐标，进而分析即可.
13．【答案】（1）解：由题意得：
解得．
∴．
把代入得．
∴．
∴
（2）解：存在．
如图1：设，则．
∴．
∵轴交y轴于点H，
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：或
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图2：
∵，当．
．
∴．
过点B作与AM的延长线交于点N．
∴是等腰直角三角形．
∴．
过点N作NF⊥x轴于点F．过点A作AG⊥x轴于点G．
易证．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设NA的直线解析式为，
把，的坐标分别代入
得，
解得：
∴
令，得．
∴．
如图3：点E坐标为（0，3）由对称性可知．
综上所述：或．
【分析】（1）联立函数表达式得到关于x和y的二元一次方程组，求解即得A点坐标；把y=0代入y=2x-3，即得点B坐标，即可求△AOB面积；
（2）设出P点坐标，根据题意可得点D和点H的坐标，于是可得PH和PD，根据 是以P为直角顶点的等腰直角三角形 ，令PH=PD，即可求出点H坐标；
（3）根据 和∠EAO=45°，得到∠MAB=45°，于是以B为直角顶点，以AB为腰构造等腰直角三角形ABN，再作NF⊥x轴，AG⊥x轴，构造一线三直角模型，根据A，B两点的坐标即可得到G，F，N点坐标。再求直线AN的函数表达式，令x=0，即可得M点坐标，根据对称性，可得到另一个坐标.
14．【答案】（1）解：设，把代入，解得
（2）解：作
（对称轴垂直平分对称点的连线）
，即
当时，
（3）解：∵A（5，0），B（0，8），点E是AB的中点，
∴E（，4），OA=5，OB=8.
分三种情况：
①当CE∥OA时，延长EC交y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵∠AOB=90°，ME∥OA，CN⊥x轴，
∴∠MON=∠CMO=∠CNO=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∵ME∥OA，CN⊥x轴，E（，4），
∴CN=OM=4，
设OP=x，则MP=OM-OP=4-x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CA=OA=5，OP=CP=x，
∴NA=，
∴MC=ON=OA-NA=5-3=2，
在直角三角形CMP中，MC2+MP2=CP2，
22+（4-x）2=x2，
解得：x==OP.
②当CE∥OP时，延长CE交x轴于点H，过点P作PG⊥CH于点G，
同理可得四边形OPGH是矩形，
∵E（，4），CE∥OP，
∴OH=PG=，
∴AH=OA-OH=5-=，
设OP=GH=x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CA=OA=5，OP=CP=x，
在直角三角形CHA中，CH=，
∴CG=CH-GH=-x，
在直角三角形CGP中，CG2+PG2=CP2，
（-x）2+（）2=x2，
解得：x==OP.
③当CE∥AP时，延长EC交x轴于点K，
设OP=x，则BP=OB-OP=8-x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CP=OP=x，∠OPA=∠CPA，
∵CE∥AP，
∴∠OPA=∠PKC，∠CPA=∠KCP，
∴∠PKC=∠KCP，
∴KP=CP=x，
在三角形APB中，点E是AB的中点，EK∥AP，
，
∴KP=BK=BP=（8-x），
∴x=(8-x)，解得：x==OP.
综上可得：OP的长为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意把A、B两点的坐标代入解析式可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）过点D作DM⊥OB于M，由题意用角角边可证△ODM≌△APO，由全等三角形的性质可得OM=OA，则点D的坐标可求解；
（3）根据点E是AB的中点可求得点E的坐标，由题意可分三种情况：
①当CE∥OA时，延长EC交y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OMCN是矩形，设OP=x，在直角三角形CMP中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解；
②当CE∥OP时，延长CE交x轴于点H，过点P作PG⊥CH于点G，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OPGH是矩形，设OP=GH=x，在直角三角形CHA中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解；
③当CE∥AP时，延长EC交x轴于点K，设OP=x，在三角形APB中，易得EK∥AP，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，于是可得BK=KP=BP，于是可得关于x的方程，解方程可求解；综合上述三种情况可求解.
15．【答案】（1）解：把E(a，-a)代入得：，解得，
把代入得：，解得，
点的坐标为的值是2；
（2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
由(1)知直线AB解析式为，
在中，令得，
设，则，
在Rt中，，
解得，
设直线EM解析式为，把代入得：，解得，
直线EM解析式为；
②当的对应点在轴正半轴时，如图：
与重合，即，此时ME的解析式为
综上所述，ME所在直线解析式为或；
（3）解：在直线AB上存在点，使得，理由如下：
当在CE右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
是等腰直角三角形，，
，
，
设
，
，解得，
由可得直线CH解析式为，
解得
当在CE左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，由可得CR解析式为，解得；
综上所述，的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把E(a，-a)代入求出a的值，进而得到点E的坐标，然后把点E的坐标代入，即可求出k的值，进而即可求解；
（2）由题意知需分两种情况讨论，①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，根据勾股定理求出AE、A'F的长度，进而得到A'O的长度，设，则，最后根据勾股定理得到方程得到m的值，即可得到点M的坐标，②当的对应点在轴正半轴时，由点E的坐标可知M和O重合，即可得到ME的解析式；
（3）当在CE右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，利用"AAS"证明得到设即可得到，得到点H的坐标，从而求出CH的解析式为联立即可求出点P的坐标；当在CE左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可求出点P的坐标.
16．【答案】（1）解：如上图：作CH⊥y轴于点H，
当 时， ，
∵x=0时，y=4；y=0时，x=5；
∴A(5，0)，B（0，4），
∵CH⊥y轴于点H，
∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
又∵AB=BC
∴△AOB≌△BHC，
∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1，
∴C(-4，-1)；
（2）解：当m值变化时，△BOC的面积不变，
因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4
；
（3）解：设A（4m，0），
∵ ，A(4m，0)，B（0，4），
又∵S△AOB=2S△BOC时， ，
∴m=2，OA=8， ，
由上图可知：
当 时，
在A的右侧， = +8， 在A的左侧， = ，
∴ ，0）， ，0）；
当 时， ，0）；
当 时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0）
由距离公式：
16w=48
w=3
∴ （3，0）.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 作CH⊥y轴于点H， 利用同角的余角相等得∠1=∠3，从而用AAS证明△AOB≌△BDC，根据全等三角形的对应边相等得 BH=OA=5，CH=BO=4 ，从而可求出点C坐标；
（2）由（1）得，CD＝OB＝4，可求得三角形BCO的面积不变；
（3）由条件求得OA，AB的长，△PAB是等腰三角形，分为三种情形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB，当PA＝PB时，设点P坐标，根据PA2＝PB2列出方程求得，当PA＝AB时，可根据长度直接求得，当PB＝AB时，根据等腰三角形“三线合一”求得结果.
17．【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
1 / 1《一次函数》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2020八上·金寨期末）14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意，得：y1=0.5x+60（0≤x≤30），y2=6x（0≤x≤30），
∴得出y1是一次函数，y1随x的增大而增大，与y轴的交点是（0，60），
y2是正比例函数，y2随x的增大而增大，
故答案为：C．
【分析】根据时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，就可以分别表示出y1和y2的解析式，根据解析式就可以求的y1和y2大致图像而得出结论。
2．（2023八下·台州期末）已知一次函数的图象与的图象交于点．则对于不等式，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点（m，-4）在直线y=-2x上，
∴-2m=-4，
解之：m=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-4），
∵y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，
∴直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），
将点（-2，4）代入直线y=kx-b得
-2k-b=4，
解之：b=-2k-4，
∴y=kx+2k+4=（k+2）x+4，
当2k+4＞0且k＜0时，
解之：-2＜k＜0，
如图，图象在直线x=-2的左侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
∴此时x的取值范围为x＜-2；
当2k+4＜0且k＜0时，
解之：k＜-2，
如图
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
当x＞-2时kx-b＜-2x；
当k＞0时，
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
此时x的取值范围为x＜-2，
∴x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2
故A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】将点（m，-4）代入直线y=-2x，可求出m的值，两端的两函数图象的交点坐标为（2，-4），再根据y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，可得到直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），将点（-2，4）代入y=kx-b，可得到b=-2k-4，据此可得到y=kx+2k+4，分情况讨论：当2k+4＞0且k＜0时，观察图象可知此时x的取值范围为x＜-2；当2k+4＜0且k＜0时，观察图象可知当x＞-2时kx-b＜-2x；当k＞0时，利用函数图象可知此时x的取值范围为x＜-2，综上所述可得到x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2，即可求解.
3．（2024八上·嘉兴期末）一次函数的图象与x轴的交点坐标为，且，则p的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y=kx+6过定点（0，6），且与x轴的交点坐标（x0，0）满足1∴k<0.
把（1，0）代入y=kx+6得，0=k+6，k=－6；
把（3，0）代入y=kx+6得，0=3k+6，k=－2；
∵1∴－6∴－60<10k≤-20，
∴－59<10k+1≤-19，
故答案为：C.
【分析】根据图象过定点（0，6）以及与x轴的交点坐标（x0，0）确定k<0；分别把（1，0）和（3，0）代入y=kx+6得到k的两个极限值，于是得到k的取值范围；进一步根据不等式的性质得到p的取值范围.
4．（2024八上·开化期末）如图1，在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度运动，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的图象．若点是曲线的最低点，则点的纵坐标为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥BC于点P，
∴当AP⊥BC时，AP最小，
即当点P运动到图（2）所示的点D的位置时，对应图（1）AP⊥BC，
∵S△ABC=，
∴AP=.
即点D的纵坐标为：
故答案为：C.
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，根据垂线段最短可知：即当点P运动到图（2）所示的点D的位置时，对应图（1）AP⊥BC，然后根据面积法得，于是可求出AP的值，则点D的纵坐标可求解.
二、填空题
5．（2024·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 6 4 2 0 2 4 6 …
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移2个单位得到；
函数的图象是由向上平移3个单位得到.
（1）函数的最小值为 ；
（2）函数在中有最小值4，则的值是 .
【答案】（1）3
（2）或者
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴函数的最小值为3，
故答案为：3.
（2）函数的对称轴为：
①当时，y随x增大而减小，
∵函数在中有最小值4，即x=1时，y=4，
∴
∴
②当时，y随x增大而增大，
∵函数在中有最小值4，即x=-2时，y=4，
∴
∴
综上所述，m的值为或者，
故答案为：或者.
【分析】（1）根据得到：进而即可得到函数的最小值；
（2）函数的对称轴为：由题意知需分两种情况讨论，①当时，y随x增大而减小，②当时，y随x增大而增大，分别根据函数的增减性和最值列出关于m的方程即可求解.
6．（2018九上·大洼月考）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点An的坐标为
【答案】（2n﹣1，0）
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（1，），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==2，点A2的坐标为（2，0），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），
此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0）．
故答案为：（2n﹣1，0）．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，在根据B1点的坐标求出A2点的坐标，以此类推总结规律便可求出点An的坐标．
7．（2024八上·东阳月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点P，使得，请写出所有满足条件的点P的坐标 ．
【答案】（-5，-8）或（1，-2）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（0，-3），C（-1，-4）代入
得，
解得
∴直线BC为y=x-3，
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AD=BD，
设OD=a，则BD=AD=3-a，
在Rt△AOD中，AO2+OD2=AD2，
即12+a2=(3-a)2，
解得a=，
∴D（0，-），
设直线AD解析式为：y=mx+n，
把A（1，0），D（0，-）代入，
得，
解得
∴∴直线AD为：y=x-，
联立得，
解得，
∴P（-5，-8）
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AP∥y轴，
∵A（1，0），
∴点P的横坐标为1，
把x=1代入y=x-3中，得y=-2，
∴P（1，-2），
综上可知：P（-5，-8）或（1，-2）.
故答案为：（-5，-8）或（1，-2）.
【分析】分两种情况：当点P在AB的左侧时或当点P在AB的左侧时，利用待定系数法求出BC解析式，再结合∠BAP=∠ABO分别求解即可.
8．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为 .
【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
三、解答题
9．（2024八上·拱墅期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离（km）与小王的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）求的函数表达式；
（2）求CD的函数表达式；
（3）求点的坐标；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：设OA的函数表达式为
∴
∴OA的函数表达式为.
（2）解：设CD的函数表达式为：
∴CD的函数表达式为：.
（3）解：
∴
∴点K的坐标为：.
（4）解：①当时，由图象知：不合题意，
②当时，
当时，
即
③当时，
当时，
即
④当时，则不合题意，
综上所述，t的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设OA的函数表达式为把点A的坐标代入求出a的值即可求解；
（2）设CD的函数表达式为：把点C和点D的坐标代入求出k和b值，即可求解；
（3）联立两个直线的表达式得到，解此方程组即可求解；
（4）由题意知需分四种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，分别进行讨论即可.
10．（2024八上·东阳月考）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点E．且．
（1）求B点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接．
①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点M的坐标和面积．
【答案】（1）（0，4）；3
（2）解：∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA，
∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OE＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CE的解析式为，
即直线CD的解析式为，
解，
得，
即点D的坐标为；
（3）解：①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，
，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，
∴CE＝5，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
，
，
解得，，
∴△OMN面积取得最小值是：，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为，
，
解得，，
，
∴点M的坐标为，
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是和△OMN面积是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1） ，当x=0时y=4，当y=0时x=3，
∴B（0，4） ，A（3，0），
∴OA=3.
故答案为：（0，4），3；
【分析】（1）由求出x=0时y值，求出y=0时x值，即得A、B的坐标，继而得解；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式即得CD解析式，再联立直线AB解析式为方程组并解之即可；
（3）①由ASA证明△MOE≌△NOA，利用全等三角形的性质即得OM与ON的数量关系；
②由△OMN面积是，可知当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，然后根据勾股定理和等积法求出OM的长，即得点M的坐标.
11．（2023八上·宁波期末）如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
【答案】（1）解：解：①设直线的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴直线的解析式为；
②联立，
解得
∴E（6，2），
∴△OBE的面积=×9×2=9；
③，
（2）解：连接OC，如图2，
∵C（3，4），AC⊥y轴，
∴A（0，4）
∵，
∴D（0，3），
∴直线CD解析式为y=x+3，
∵直线OE为y=x，
∴CD∥OE，
∴△CFD的面积=△COD的面积，
∵△COD的面积=OD·CA=×3×3=，
∴△CFD的面积=.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：③取OE的中点M，则M（3，1），作OE的垂直平分线MN，如图1，
∴直线MN的解析式为y=-3x+10，
当x=0时y=10，当y=0时x=，
∴点P的坐标为（0，10）（，0）；
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线解析式即可；
②联立直线OE和直线BC解析式为方程组并解之，即得点E坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
③作OE的垂直平分线MN，再求出直线MN的解析式，然后求出直线MN与坐标轴的交点坐标即得点P坐标；
（2）先求出A、D的坐标，可求出直线CD解析式，从而得出CD∥OE，继而得出△CFD的面积=△COD的面积，利用三角形的面积公式求解即可.
12．（2024八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点．
（1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 ；
（2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的二个和谐点，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）P2，P3
（2）解：①由A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）可知，当P在△ABC内部时，BP≠AC，
②当AP＝BP，∠ABP＝45°时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AG⊥PH于G，如图：
∵AP＝BP，∠ABP＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPH＝90°﹣∠APG＝∠PAG，
∵∠BHP＝90°＝∠G，
∴△BPH≌△PAG（AAS），
∴PH＝AG，BH＝PG，
设P（p，q），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴，
解得；
∴P（2，2）；
③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，过A作AQ⊥BP交BP延长线于Q，如图：
∵B（﹣4，0），C（4，0），
∴B，C关于y轴对称，
∵BP＝CP，
∴P在y轴上，
同②可得Q（2，2），
由B（﹣4，0），Q（2，2）得直线BQ解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴P（0，）；
综上所述，P的坐标为（2，2）或（0，）；
（3）＜m＜4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），P1（﹣1，1），
∴，，
，，
∴，
∴P1（﹣1，1）不是△ABC的和谐点；
∵，
∴，，
∴，
∵在内，
∴是的和谐点；
∵，
∴，，
∴
∵在内，
∴是的和谐点；
故答案为：，.
（3）解：由题意知，△ABC的和谐点P，满足AP＝BP或BP＝CP，
若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，
若BP＝CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，即y轴上；
设AB的中点为K，线段AB的垂直平分线交AC于T，如图，
设直线的解析式为：，
∵ A（0，8），C（4，0）
则，
解得：，
∴ 直线AC解析式为y＝﹣2x+8，
设T（t，﹣2t+8），
∵AT＝BT，
∴t2+（﹣2t+8﹣8）2＝（t+4）2+（﹣2t+8）2，
解得t＝，
∴T（，），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点K（﹣2，4）；
∵直线l上存在△ABC的两个和谐点，
∴直线l与y轴，线段KT都相交，
∴＜m＜4．
【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，进行逐一判断即可.
（2）分①BP=AC；②AP＝BP，∠ABP＝45°时；③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，三种情况分析即可.
（3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上，先利用待定系数法求得AC的解析式，再求得点T的坐标，进而分析即可.
13．（2024八上·新昌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：
解得．
∴．
把代入得．
∴．
∴
（2）解：存在．
如图1：设，则．
∴．
∵轴交y轴于点H，
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：或
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图2：
∵，当．
．
∴．
过点B作与AM的延长线交于点N．
∴是等腰直角三角形．
∴．
过点N作NF⊥x轴于点F．过点A作AG⊥x轴于点G．
易证．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设NA的直线解析式为，
把，的坐标分别代入
得，
解得：
∴
令，得．
∴．
如图3：点E坐标为（0，3）由对称性可知．
综上所述：或．
【分析】（1）联立函数表达式得到关于x和y的二元一次方程组，求解即得A点坐标；把y=0代入y=2x-3，即得点B坐标，即可求△AOB面积；
（2）设出P点坐标，根据题意可得点D和点H的坐标，于是可得PH和PD，根据 是以P为直角顶点的等腰直角三角形 ，令PH=PD，即可求出点H坐标；
（3）根据 和∠EAO=45°，得到∠MAB=45°，于是以B为直角顶点，以AB为腰构造等腰直角三角形ABN，再作NF⊥x轴，AG⊥x轴，构造一线三直角模型，根据A，B两点的坐标即可得到G，F，N点坐标。再求直线AN的函数表达式，令x=0，即可得M点坐标，根据对称性，可得到另一个坐标.
14．（2024八上·开化期末）如图1，直线分别与轴，轴交于点两点，为线段上的动点，点关于直线成轴对称，连结．
（1）求直线的解析式．
（2）如图2，连结并延长交于点，若，求点的坐标．
（3）如图3，点是的中点，连结．当与中的一条边平行时，直接写出的长．
【答案】（1）解：设，把代入，解得
（2）解：作
（对称轴垂直平分对称点的连线）
，即
当时，
（3）解：∵A（5，0），B（0，8），点E是AB的中点，
∴E（，4），OA=5，OB=8.
分三种情况：
①当CE∥OA时，延长EC交y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
∵∠AOB=90°，ME∥OA，CN⊥x轴，
∴∠MON=∠CMO=∠CNO=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∵ME∥OA，CN⊥x轴，E（，4），
∴CN=OM=4，
设OP=x，则MP=OM-OP=4-x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CA=OA=5，OP=CP=x，
∴NA=，
∴MC=ON=OA-NA=5-3=2，
在直角三角形CMP中，MC2+MP2=CP2，
22+（4-x）2=x2，
解得：x==OP.
②当CE∥OP时，延长CE交x轴于点H，过点P作PG⊥CH于点G，
同理可得四边形OPGH是矩形，
∵E（，4），CE∥OP，
∴OH=PG=，
∴AH=OA-OH=5-=，
设OP=GH=x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CA=OA=5，OP=CP=x，
在直角三角形CHA中，CH=，
∴CG=CH-GH=-x，
在直角三角形CGP中，CG2+PG2=CP2，
（-x）2+（）2=x2，
解得：x==OP.
③当CE∥AP时，延长EC交x轴于点K，
设OP=x，则BP=OB-OP=8-x，
∵点C、O关于直线AP成轴对称，
∴CP=OP=x，∠OPA=∠CPA，
∵CE∥AP，
∴∠OPA=∠PKC，∠CPA=∠KCP，
∴∠PKC=∠KCP，
∴KP=CP=x，
在三角形APB中，点E是AB的中点，EK∥AP，
，
∴KP=BK=BP=（8-x），
∴x=(8-x)，解得：x==OP.
综上可得：OP的长为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意把A、B两点的坐标代入解析式可得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）过点D作DM⊥OB于M，由题意用角角边可证△ODM≌△APO，由全等三角形的性质可得OM=OA，则点D的坐标可求解；
（3）根据点E是AB的中点可求得点E的坐标，由题意可分三种情况：
①当CE∥OA时，延长EC交y轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OMCN是矩形，设OP=x，在直角三角形CMP中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解；
②当CE∥OP时，延长CE交x轴于点H，过点P作PG⊥CH于点G，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OPGH是矩形，设OP=GH=x，在直角三角形CHA中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解；
③当CE∥AP时，延长EC交x轴于点K，设OP=x，在三角形APB中，易得EK∥AP，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，于是可得BK=KP=BP，于是可得关于x的方程，解方程可求解；综合上述三种情况可求解.
15．（2024八上·金华期末）已知，如图1，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
（1）求点的坐标和的值；
（2）如图2，点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，当点对应点刚好落在轴上时，求ME所在直线解析式；
（3）在直线AB上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：把E(a，-a)代入得：，解得，
把代入得：，解得，
点的坐标为的值是2；
（2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
由(1)知直线AB解析式为，
在中，令得，
设，则，
在Rt中，，
解得，
设直线EM解析式为，把代入得：，解得，
直线EM解析式为；
②当的对应点在轴正半轴时，如图：
与重合，即，此时ME的解析式为
综上所述，ME所在直线解析式为或；
（3）解：在直线AB上存在点，使得，理由如下：
当在CE右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
是等腰直角三角形，，
，
，
设
，
，解得，
由可得直线CH解析式为，
解得
当在CE左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，由可得CR解析式为，解得；
综上所述，的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把E(a，-a)代入求出a的值，进而得到点E的坐标，然后把点E的坐标代入，即可求出k的值，进而即可求解；
（2）由题意知需分两种情况讨论，①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，根据勾股定理求出AE、A'F的长度，进而得到A'O的长度，设，则，最后根据勾股定理得到方程得到m的值，即可得到点M的坐标，②当的对应点在轴正半轴时，由点E的坐标可知M和O重合，即可得到ME的解析式；
（3）当在CE右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，利用"AAS"证明得到设即可得到，得到点H的坐标，从而求出CH的解析式为联立即可求出点P的坐标；当在CE左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可求出点P的坐标.
16．（2022八上·宁波期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC.
（1）当时，求点C的坐标；
（2）当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
（3）当S△AOB=2S△BOC时，在x轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标.
【答案】（1）解：如上图：作CH⊥y轴于点H，
当 时， ，
∵x=0时，y=4；y=0时，x=5；
∴A(5，0)，B（0，4），
∵CH⊥y轴于点H，
∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
又∵AB=BC
∴△AOB≌△BHC，
∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1，
∴C(-4，-1)；
（2）解：当m值变化时，△BOC的面积不变，
因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4
；
（3）解：设A（4m，0），
∵ ，A(4m，0)，B（0，4），
又∵S△AOB=2S△BOC时， ，
∴m=2，OA=8， ，
由上图可知：
当 时，
在A的右侧， = +8， 在A的左侧， = ，
∴ ，0）， ，0）；
当 时， ，0）；
当 时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0）
由距离公式：
16w=48
w=3
∴ （3，0）.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1） 作CH⊥y轴于点H， 利用同角的余角相等得∠1=∠3，从而用AAS证明△AOB≌△BDC，根据全等三角形的对应边相等得 BH=OA=5，CH=BO=4 ，从而可求出点C坐标；
（2）由（1）得，CD＝OB＝4，可求得三角形BCO的面积不变；
（3）由条件求得OA，AB的长，△PAB是等腰三角形，分为三种情形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB，当PA＝PB时，设点P坐标，根据PA2＝PB2列出方程求得，当PA＝AB时，可根据长度直接求得，当PB＝AB时，根据等腰三角形“三线合一”求得结果.
17．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
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