《特殊三角形》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·舟山期末）如下图，点在等边的边上，，射线垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．17 B．16 C．13 D．12
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴
作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时MP+NP最小，如图，
∴
∵△BGN中，∠G=30°，∠BNG=90°，
∴
∴MG=BG-BM=8，
∵点C与点G关于CD对称，
∴
∴AC=BC=BG-CG=13.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时MP+NP最小，然后根据含30°角直角三角形的性质得到BG=2NB=18，据此求出MG的长度，进而即可求解.
2．（2024八上·仙居期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）．
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长BE、CF交点M，
∵∠D=60°，DE=DF，
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，
∵CF∥AB，
∴∠MFE=∠FED=60°，
同理，∠MEF=∠EFD=60°
∴△MEF是等边三角形
∴ME=MF=EF
∴ME=DE=MF=DF
同理可得△MBC是等边三角形
∴AB=AC=MB=ME+BE=DE+BE，
∴“V”形图的周长=4AB
故答案为：C.
【分析】本题根据两直线平行，同位角相等或内错角相等进行推角，利用等边三角形的判定定理判定△DEF，△ABC等为等边三角形，进行线段转化即可。
3．（2024八上·海曙期末）如图，将一张直角梯形纸板（，）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形．若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图：
∵ 直角梯形纸板中，，，
∴∠D=∠A=90°.
延长EF，BC相交于点G，
可得△GCF≌△DEF，△EAB≌△EGB，
∴GF=DF，EA=EG.
∴1号部分的周长为DE+DF+EF=DE+GF+EF=DE+EG=DE+EA=DA.
故答案为：B.
【分析】观察发现直角梯形中，分割出直角三角形ABE后，剩余部分不是三角形，故三角形DEF的位置挪动到△GCF的位置，如此才能构成新的直角三角形.故延长EF，BC相交于点G后，△GCF≌△DEF，所以FD=FG.再根据拼接成等腰三角形，所以AE和EG重合，1号部分的周长为AD.
4．（2024八上·海曙期末）如图，将一张直角梯形纸板（，）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形，若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：延长EF，BC交于点A ，如图
由剪拼前后的图形可知：△ABE≌△A BE，△A CF≌△DEF，
∴A E=AE，A C=DE，A F=DF，
∴1的周长=DE+DF+EF=DE+A F+EF=DE+A E=DE+AE=AD，
∴只需测量AD的长即可.
故答案为：B.
【分析】延长EF，BC交于点A ，由剪拼前后的图形可知：△ABE≌△A BE，△A CF≌△DEF，由全等三角形的性质可得相等的线段，然后根据1的周长=AD可求解.
5．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点D，E，F，G，H恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C．56 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
过点C作CR⊥AB交ML于点U.延长AB交KL于点Q，延长BA交MN于点P，过点I作IS⊥UR交MN于点T.
∵中，，，，
∴AB=5.
∴，
， .
易得△ARC≌△CSI≌△ITD≌△DPA，△CRB≌△BQG≌△GLH≌△HUC，
.
∴，
，
，
∴，
，
，
∴
=.
故答案为：A.
【分析】将图中阴影进行分割，过点C作CR垂直AB交ML于点U.可将分割的各部分边长与已知三角形和正方形联系起来，从而求得阴影部分面积.
6．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示：
∵，
∴F 是中点，
∵，∴，△BEC是直角三角形，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可.
7．（2024八上·金华期末）如图，等边中，D、E分别为AC、BC边上的点，，连接AE、BD交于点的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点，连接FG.下列说法：
①；②；③；④AB=AH+FG；
其中正确的说法是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴
在和中
∴则①正确，
∴
∵
∴
∵
∴
∵的平分线交于AC边上的点G，
∴
∵
∴则②正确，
∵FG平分∠DFE，BG平分∠FBE，
同理得：
∵
∵
∴则③正确，
过点G作GT⊥BD，GJ⊥AE，GK⊥BC，如图，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴则④正确，
综上所述，正确的说法有①②③④，共4个，
故答案为：A.
【分析】利用"SAS"证明即可判断①；证明即可判断②；证明，即可判断③；过点G作GT⊥BD，GJ⊥AE，GK⊥BC，证明即可判断④.
8．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图，连接AP，AD，AQ，过点A作AE⊥BC于点E
∵点分别是点关于的对称点
∴AB垂直平分PD，AC垂直平分QD
∴AP=AD=AQ
∴∠PAB=∠DAB，∠QAC=∠DAC
∵∠BAC=45°即∠DAB+∠DAC=45°
∴∠PAB+∠DAB+∠QA+∠DAC=45°×2=90°
∴∠PAQ=90°
∴
∴当AD最小时 ，PQ最小
AD最小为AE
∵∠B=60°，∠AEB=90°
∴∠BAE=30°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据对称的性质得到垂直平分线，从而得到△PAQ是等腰三角形，通过三线合一进一步得到△PAQ是直角三角形，然后根据垂线段最短得到答案
9．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接CD， 在中，，点D为中点 ，
∴AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵ ，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠CDE=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，
同理可证△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE+BF=AE+CE=AC=AB，△DEF为等腰直角三角形，
，
故①③④正确；
在Rt△CEF中，CE2+CF2=BF2+AE2=EF2，故②正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，同理证△ADE≌△CDF，得AE=CF，进而根据线段的和差结合图形面积的计算方法割补法及勾股定理分别判断即可.
二、填空题
10．（2024八上·奉化期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，如图，
∵ AP平分∠BAC，∠BAC=70°，
∴ ∠BAP=∠CAP=35°，
∵ AB=AC，AP=AP，
∴ △ABP≌△ACP（SAS），
∴ ∠ACP=∠ABP=25°，
∵ AB=AC，∠BAC=70°，
∴ ∠ACB=∠ABC=55°，
∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵ ∠OCB=5°，
∴ ∠OCP=25°，
∵ ∠POC=∠OBC+∠OCB，
∴ ∠POC=35°，
∴ ∠POC=∠PAC，
∵ PC=PC，
∴ △POC≌△PAC（AAS），
∴ PO=PA，
∵ ∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=120°，
∴ ∠OAP=30°，
∴ ∠OAC=∠OAP+∠CAP=30°+35°=65°.
故答案为：65°.
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，根据角平分线的定义可得 ∠BAP=∠CAP=35°，根据SAS判定△ABP≌△ACP得∠ACP=∠ABP=25°，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=55°，根据外角可得∠POC=35°，根据AAS判定△POC≌△PAC推出 PO=PA，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠OAP，即可求得.
11．（2024八上·浙江期末）已知，在中，，点D在斜边上，将沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线上的处，连结．
（1）当D是的中点时， ．
（2）当△是直角三角形时，的长是 ．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵D是的中点时，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∴
故答案为：.
（2）设DE=x，
①当∠AB'D=90°，
此时
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵即
∴
∴
②当∠B'AD=90°，
此时
∴
∴
∴
∵即
∴
∴
综上所述，AD的长为：或，
故答案为：或.
【分析】（1）根据题意得到DE为的中位线，即可得到进而根据三角形面积计算公式计算即可；
（2）设DE=x，由题意知需分两种情况讨论，①当∠AB'D=90°，②当∠B'AD=90°，分别利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解.
12．（2024八上·海曙期末）如图，，已知中，，，的顶点A、B分别OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC=BC=25，
∴AH=BH=AB=7，
在Rt△BCH中，OH=AB=7
由勾股定理得：CH===24，
∵OC≥CH OH，
∴当O，C，H共线时，OC最小，
∴OC的最小值为24 7=17.
故答案为：17.
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH，从而得到OC的最小值．
13．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，D是AB上一点，且，E是BC上一点，把沿DE翻折得，线段与BC交于点F，当所在的直线与的一边垂直时，DF的长是 ．
【答案】2或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵把沿DE翻折得，
∴BD=DB'=，∠B=∠B'=30°，∠BDE=∠B'DE.
①当直线DB'⊥BC时，如图
.
②当直线DB'⊥AB时，如图：
则，
∴
③当直线DB'⊥AC时，如图：
延长B'D，CA交于点G，过点D作DP⊥BC于点P.
∴∠G=∠DPB=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°=∠BDF.
∴∠FDP=∠BDP－∠BDF=30°.
∵DP⊥BC，
∴
∴DF=2.
故答案为：2或.
【分析】根据所在的直线与的一边垂直分3种情况讨论，利用含30°角所对的直角边等于斜边长的一半，即可计算DF的长.
14．（2024八上·拱墅期末）如图，已知在Rt△ABC中，，，，点D，E分别在边上，连接，，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一条直线上，连接，当△ADC’是以为腰的等腰三角形时，则BD= ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①当设则
∵
∴
∵
∴
∴
②
∵
∴B'为DC'中点，
∵
∴
设则
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，当时，△ADC′是以为腰的等腰三角形，
故答案为：.
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当设则然后根据勾股定理列方程求解，②设则得到：根据""，据此列方程求解.
15．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；
（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝ ．
【答案】（1）16
（2）2：1
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF.
∵BE⊥AC，点D为AB的中点，
∴Rt△BCE中，BC= 2EF，Rt△ABE中，AB=2DE.
∵AF⊥BC，点D是AB的中点.
∴Rt△ABF中，AB=2DF，
∵AB=AC，
∴2EF+2DE+2DF=BC+AB+AB=BC+AB+AC.
即△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16.
故答案为：16；
( 2) ∵AE：EC=3：2，设AE=3x，EC=2x，
∴AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
∴在Rt△BCE中，
∵CE =2x，BE=4x，
∴.
∴.
∴在Rt△ABF中，
∴
故答案为：2：1.
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半，得AB=2DF=2DE，BC=2EF，于是可根据△DEF的周长得△ABC的周长；
（2）根据AE： EC=3： 2可设AE=3x，EC=2x，从而可利用勾股定理分别表示出AF和EF的长，问题可解决.
16．（2020八上·伊通期末）如图，在等边 中， ，点O在线段 上，且 ，点 是线段 上一点，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交线段 于一个点 ，连接 ，如果 ，那么 的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵ ，
∴△ADP是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OPD=∠B=∠A=60°，AB=AC=10，
∵∠APD=∠APO+∠OPD=∠BDP+∠B，
∴∠APO=∠BDP，
∴△APO≌△BDP，
∴BP=AO=3，
∴AP=AB BP=10 =7；
故答案为：7.
【分析】连接OD，则由 得到△ADP是等边三角形，则∠OPD=∠B=∠A=60°，由三角形外角性质，得到∠APD=∠BDP，则△APO≌△BDP，即可得到BP=AO=3，然后求出AP的长度.
17．（2024八上·上城期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：为等腰Rt△，且∠AEF=90°，
AE=EF， ∠AEB+∠FEC=90°，
又四边形ABCD为矩形，
∠B=∠C=90°，AD=BC，∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CEF.
AB=EC，BE=FC.
3(AB+BE)=2(AD+DF)，
3(EC+BE)=2AD+2DF，
3AD=2AD+2DF，即AD=2DF，
设DF=a，BA=b，则AD=2a，BE=BC-AB=2a-b，CF=b-a，
2a-b=b-a，即
，
则
故答案为： .
【分析】根据矩形性质得∠B=∠C=90°，AD=BC，由同角的余角相等得∠BAE=∠CEF，由和全等三角形的性质AAS判断出△BAE≌△CEF，则AB=EC，BE=FC，代入运算得到AD=2DF，设DF=a，则AD=2a，BA=b，则BE=BC-AB=2a-b， CF=b-a，利用BE=FC求得AB，最后利用三角形和矩形的面积公式列式计算即可.
18．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
19．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图连接FD，FE，FA
∵ ， 点G是的中点
∴
∵点G是的中点
∴
∵点F是的中点，，
∴AF⊥BC，AF=BF=CF，
∵即
∴
又 ∵，AF=BF
∴
∴BE=AD=2
∴AE=AB-BE=3
在中，根据勾股定理
故答案为：
【分析】本题是斜边中线，全等综合考查，根据斜边中线特点连接DF，DE，得到直角三角形，得到对角互补模型，再证明全等得到AE长度，进而得到答案
20．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
21．（2024八上·余姚期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先过点M作于点N，设与交于点K，根据正方形的性质证出，进而求出，再根据等腰三角形和平行线的性质得到，最后根据勾股定理求得CM即可.
三、解答题
22．（2024八上·海曙期末）已知和都是等腰直角三角形，且.
（1）如图1，点D在内，求证：；
（2）如图2，A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值.
【答案】（1）证明：如图1，延长交于H，
∵和都是等腰直角三角形，且.
，，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点C作于N，
是等腰直角三角形，，
，.
∵，
∴，，
，
，
，
，
或（舍去），
，
的面积.
（3）解：
由（1）可知：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴.
∴的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为.
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）延长交于H，先证得，再利用SAS证得，于是可得，最后可通过证明∠HAB+∠BAD=90°，得到AD⊥BE.
（2）当 A、D、E三点共线时，∠ADC+∠CDE=180°，结合等腰直角三角形DEC可得∠ADC=135°，CN=5.由可得，，于是有∠AEB=90°，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出BE的长，即可求得△ACD的面积.
（3）由可得，由等腰直角三角形DEC可得，于是可表示△DEB的周长为，可得周长最小时，CD最小，此时CD⊥AB.即可求出周长最小值.
23．（2024八上·滨江期末）在四边形中，，，，为中点，连接，交于点．
（1）当时， ， ；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则 ．
【答案】（1）40°；20°
（2）解：结论：不变，
证明：如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
又为中点，
，
，
．
（3）解：如图，在CF上截取FG=BF，连接BG．
，BF=FG，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，，
．
（4）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】(1)连接BD，
∵∠ABC=100°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=80°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=40°，
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴是等边三角形，
∴BD=BC，∠DBC=60°
∴AB=BD，∠ABD=100°-60°=40°，
又 E是AD中点，
∴∠ABF=∠DBE==20°；
故答案为：40°；20°.
(4)∵三角形ABF与三角形BFC等高不同底，
∴，
设AF=3x，则CF=8x，
由（3）可知CF=AF+BF，
∴BF=CF-AF=5x，
由（2）得在三角形AEF中，∠AEB=90°，∠AFE=∠BFC=60°，
∴∠FAE=30°，
∴EF=AF=，
∴；
故答案为：.
【分析】(1)根据等腰三角形底角相等和三角形内角和180°可求出∠BAC=40°；连接BD，根据有一个60°角的等腰三角形是等边三角形得到等边三角形BCD，由性质可得BD=BC及∠DBC=60°，进一步得到∠ABD=40°以及AB=BD，根据等腰三角形三线合一得到BE平分∠ABD，即可求出∠ABF的度数；
（2）根据有一个60°角的等腰三角形是等边三角形得到等边三角形BCD，由性质可得BD=BC及∠DBC=60°，进一步得到∠ABD=，以及AB=BD，根据等腰三角形三线合一得到BE平分∠ABD，可求出∠ABF=∠EBD=；根据等腰三角形底角相等和三角形内角和180°可求出∠BAC=，三角形外角∠BFC=∠ABF+∠BAF==60°，不论怎么变话，∠BFC都是60°；
（3）求线段之间的数量关系，一般可考虑截长补短法，这里采用截长，即在CF上截取FG=BF，根据（2）中证明∠BFC=60°，由此得到等边三角形BFG，进而得到∠BGF=60°，BF=BG，再根据等角的邻补角相等得到∠BFA=∠BGC，由（2）可得AB=BC，∠BAF=∠BCG，根据AAS可证得，得到AF=CG，即可得到CF=CG+GF=AF+BF；
（4）由三角形面积公式可知同高三角形面积比即为底的比，可以得到AF：CF=3：8，由此可以设AF=3x，CF=8x，再根据（3）结论可得BF=5x；再看EF，由（2）中可得∠AEB=90°，∠AFE=∠BFC=60°，由此得到∠FAE=30°，根据直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到EF=，即可得出EF与BF的比值.
24．（2024八上·仙居期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
【答案】（1）证明：由对称得．
．
是边上的中线，
．
．
，
∴△BEC是直角三角形；
（2）解：，
．
．
是等边三角形．
．
．
由对称得，．
．
；
（3）解：①当∠BAC=90°时，
∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD=BC；
②如图1，当∠ABC=90°时，
（图1）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
．
．
；
③如图2，当∠ACB=90°时，
（图2）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
，
综上AD=CD或AD=2CD.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）根据翻折得到CD=ED，结合中线AD得到BD=ED=DC，利用等边对等角得∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，结合三角形内角和180°即可求解；
（2）根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到AB=BD=CD=BC，进而根据三边相等的三角形是直角三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°、邻补角、翻折性质及周角定义可得∠EDC=120°，最后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠BCE的度数；
（3）分别讨论：①当∠BAC=90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD=CD；②如图1，当∠ABC=90°时，由等边三角形性质、邻补角可求出∠EDC=120°，由翻折性质及周角定理得∠ADC=∠ADE=120°，进而可得∠ADB=60°，由三角形内角和定理得∠BAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD；③如图2，当∠ACB=90°时，由等边三角形性质及翻折性质可推出∠ADC=∠ADE=60°，由三角形内角和定理得∠CAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD，综上即可得出结论.
四、实践探究题
25．（2024八上·海曙期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1．在和中，，，，，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连接AD，求证：平分．
【答案】（1）证明：∵在中，，，，∴
∵，
∴
∴是直角三角形，
和是共边直角三角形；
（2）证明：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点，
∴AE，DE分别是和斜边上的中线，
∴，∴
∴是等腰三角形，
∵F点是AD中点，∴
（3）解：取BC中点Q，连结AQ，DQ
∵
∴
设
则
∵， ，Q为BC中点，∴
∴
∴
∴
∴∴∴AD平分
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=5，然后根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可得到答案；
（2）连接AE，DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）取BC中点Q，连结AQ，DQ，由题意得，设，则，， ，推出，由可推出，即可得到答案.
26．（2024八上·舟山期末）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值；
③若，求的值．
【答案】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
．
②连接，如图2：
由（1）可知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如图3，过点B作的垂线，垂足为点F，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，，
在中，，
∴．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，利用"SAS"证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可求出∠BCD的度数，进而即可求出∠BCE的度数；
②连接，由全等三角形的性质得到：，，进而根据垂直的定义和角的等量代换即可得到：，进而可利用"SAS"证明，得到：，即可证明为等边三角形，进而即可求解；
③过点B作的垂线，垂足为点F，根据题意可证明为等腰直角三角形，进而得到，，然后利用勾股定理即可求出DF的长度，进而即可求解.
27．（2024八上·海曙期末） 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在和中，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连结，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连结，求证：平分．
【答案】（1）解：∵在中，
∴BC=
∵
∴BD2+CD2=25=BC2
∴△BCD是直角三角形
∴和是共边直角三角形．
（2）解：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点
∴AE，DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线
∴AE=BC，DE=BC，
∴AE=DE
∴△ADE是等腰三角形
∵F点是AD中点
∴EF⊥AD；
（3）解：作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点，
∵∠BAC=90°
∴四边形ANDM是矩形
∴∠NDM=90°
∴∠NDC+∠CDM=90°
又∠BDC=90°
∴∠NDC+∠BDN=90°
∴∠BDN= CDM
∵∠BND=∠CMD=90°，BD=CD
∴△BDN≌△CDM
∴DN=DM，
∴平分．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证明BD2+CD2=BC2，可证得△BCD是直角三角形，据此可证得结论.
（2）连接AE，DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AE=DE，再利用等腰三角形的性质可证得结论.
（3）作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点。易证四边形ANDM是矩形，利用矩形的性质可得到∠NDM=90°，利用余角的性质可证得∠BDN= CDM；再利用AAS可证得△BDN≌△CDM，利用全等三角形的性质可证得DN=DM，然后利用角平分线的判定定理可证得结论.
28．（2024八上·宁波期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案为B
【分析】（1）倍长中线全等依据是SAS；
（2）倍长中线得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代换得到答案；
（3）在（2）的基础上，作等腰三角形的三线合一辅助线，再通过设元表示线段长度，利用方程思想解决问题.
1 / 1《特殊三角形》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·舟山期末）如下图，点在等边的边上，，射线垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．17 B．16 C．13 D．12
2．（2024八上·仙居期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）．
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
3．（2024八上·海曙期末）如图，将一张直角梯形纸板（，）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形．若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·海曙期末）如图，将一张直角梯形纸板（，）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形，若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点D，E，F，G，H恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C．56 D．
6．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
7．（2024八上·金华期末）如图，等边中，D、E分别为AC、BC边上的点，，连接AE、BD交于点的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点，连接FG.下列说法：
①；②；③；④AB=AH+FG；
其中正确的说法是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
9．（2023八上·宁波期末）如图，在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
二、填空题
10．（2024八上·奉化期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .
11．（2024八上·浙江期末）已知，在中，，点D在斜边上，将沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线上的处，连结．
（1）当D是的中点时， ．
（2）当△是直角三角形时，的长是 ．
12．（2024八上·海曙期末）如图，，已知中，，，的顶点A、B分别OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
13．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，D是AB上一点，且，E是BC上一点，把沿DE翻折得，线段与BC交于点F，当所在的直线与的一边垂直时，DF的长是 ．
14．（2024八上·拱墅期末）如图，已知在Rt△ABC中，，，，点D，E分别在边上，连接，，将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点，处，且边与在同一条直线上，连接，当△ADC’是以为腰的等腰三角形时，则BD= ．
15．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．
（1）若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是 ；
（2）若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝ ．
16．（2020八上·伊通期末）如图，在等边 中， ，点O在线段 上，且 ，点 是线段 上一点，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交线段 于一个点 ，连接 ，如果 ，那么 的长是 ．
17．（2024八上·上城期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ．
18．（2024八上·滨江期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
19．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ．
20．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
21．（2024八上·余姚期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M．若AH＝HE，则CM的长为 ．
三、解答题
22．（2024八上·海曙期末）已知和都是等腰直角三角形，且.
（1）如图1，点D在内，求证：；
（2）如图2，A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值.
23．（2024八上·滨江期末）在四边形中，，，，为中点，连接，交于点．
（1）当时， ， ；
（2）当的大小改变时，的度数是否发生改变？若变化，求的变化范围，若不变，求的度数；
（3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（4）若，则 ．
24．（2024八上·仙居期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）如图（2），若，，求的大小．
（3）若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系．
四、实践探究题
25．（2024八上·海曙期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1．在和中，，，，，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连接AD，求证：平分．
26．（2024八上·舟山期末）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值；
③若，求的值．
27．（2024八上·海曙期末） 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1，在和中，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连结，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连结，求证：平分．
28．（2024八上·宁波期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴
作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时MP+NP最小，如图，
∴
∵△BGN中，∠G=30°，∠BNG=90°，
∴
∴MG=BG-BM=8，
∵点C与点G关于CD对称，
∴
∴AC=BC=BG-CG=13.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时MP+NP最小，然后根据含30°角直角三角形的性质得到BG=2NB=18，据此求出MG的长度，进而即可求解.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长BE、CF交点M，
∵∠D=60°，DE=DF，
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，
∵CF∥AB，
∴∠MFE=∠FED=60°，
同理，∠MEF=∠EFD=60°
∴△MEF是等边三角形
∴ME=MF=EF
∴ME=DE=MF=DF
同理可得△MBC是等边三角形
∴AB=AC=MB=ME+BE=DE+BE，
∴“V”形图的周长=4AB
故答案为：C.
【分析】本题根据两直线平行，同位角相等或内错角相等进行推角，利用等边三角形的判定定理判定△DEF，△ABC等为等边三角形，进行线段转化即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图：
∵ 直角梯形纸板中，，，
∴∠D=∠A=90°.
延长EF，BC相交于点G，
可得△GCF≌△DEF，△EAB≌△EGB，
∴GF=DF，EA=EG.
∴1号部分的周长为DE+DF+EF=DE+GF+EF=DE+EG=DE+EA=DA.
故答案为：B.
【分析】观察发现直角梯形中，分割出直角三角形ABE后，剩余部分不是三角形，故三角形DEF的位置挪动到△GCF的位置，如此才能构成新的直角三角形.故延长EF，BC相交于点G后，△GCF≌△DEF，所以FD=FG.再根据拼接成等腰三角形，所以AE和EG重合，1号部分的周长为AD.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：延长EF，BC交于点A ，如图
由剪拼前后的图形可知：△ABE≌△A BE，△A CF≌△DEF，
∴A E=AE，A C=DE，A F=DF，
∴1的周长=DE+DF+EF=DE+A F+EF=DE+A E=DE+AE=AD，
∴只需测量AD的长即可.
故答案为：B.
【分析】延长EF，BC交于点A ，由剪拼前后的图形可知：△ABE≌△A BE，△A CF≌△DEF，由全等三角形的性质可得相等的线段，然后根据1的周长=AD可求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
过点C作CR⊥AB交ML于点U.延长AB交KL于点Q，延长BA交MN于点P，过点I作IS⊥UR交MN于点T.
∵中，，，，
∴AB=5.
∴，
， .
易得△ARC≌△CSI≌△ITD≌△DPA，△CRB≌△BQG≌△GLH≌△HUC，
.
∴，
，
，
∴，
，
，
∴
=.
故答案为：A.
【分析】将图中阴影进行分割，过点C作CR垂直AB交ML于点U.可将分割的各部分边长与已知三角形和正方形联系起来，从而求得阴影部分面积.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示：
∵，
∴F 是中点，
∵，∴，△BEC是直角三角形，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，
∴
在和中
∴则①正确，
∴
∵
∴
∵
∴
∵的平分线交于AC边上的点G，
∴
∵
∴则②正确，
∵FG平分∠DFE，BG平分∠FBE，
同理得：
∵
∵
∴则③正确，
过点G作GT⊥BD，GJ⊥AE，GK⊥BC，如图，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴则④正确，
综上所述，正确的说法有①②③④，共4个，
故答案为：A.
【分析】利用"SAS"证明即可判断①；证明即可判断②；证明，即可判断③；过点G作GT⊥BD，GJ⊥AE，GK⊥BC，证明即可判断④.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】如图，连接AP，AD，AQ，过点A作AE⊥BC于点E
∵点分别是点关于的对称点
∴AB垂直平分PD，AC垂直平分QD
∴AP=AD=AQ
∴∠PAB=∠DAB，∠QAC=∠DAC
∵∠BAC=45°即∠DAB+∠DAC=45°
∴∠PAB+∠DAB+∠QA+∠DAC=45°×2=90°
∴∠PAQ=90°
∴
∴当AD最小时 ，PQ最小
AD最小为AE
∵∠B=60°，∠AEB=90°
∴∠BAE=30°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据对称的性质得到垂直平分线，从而得到△PAQ是等腰三角形，通过三线合一进一步得到△PAQ是直角三角形，然后根据垂线段最短得到答案
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接CD， 在中，，点D为中点 ，
∴AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，
∵ ，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠CDE=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，
同理可证△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE+BF=AE+CE=AC=AB，△DEF为等腰直角三角形，
，
故①③④正确；
在Rt△CEF中，CE2+CF2=BF2+AE2=EF2，故②正确，
综上，正确的有①②③④.
故答案为：D.
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=AB，CD=BD，∠ACD=∠B=45°，∠CDB=90°，用ASA证明△CDE≌△BDF，得CE=BF，DE=DF，S△CDE≌S△BDF，同理证△ADE≌△CDF，得AE=CF，进而根据线段的和差结合图形面积的计算方法割补法及勾股定理分别判断即可.
10．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，如图，
∵ AP平分∠BAC，∠BAC=70°，
∴ ∠BAP=∠CAP=35°，
∵ AB=AC，AP=AP，
∴ △ABP≌△ACP（SAS），
∴ ∠ACP=∠ABP=25°，
∵ AB=AC，∠BAC=70°，
∴ ∠ACB=∠ABC=55°，
∴ ∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵ ∠OCB=5°，
∴ ∠OCP=25°，
∵ ∠POC=∠OBC+∠OCB，
∴ ∠POC=35°，
∴ ∠POC=∠PAC，
∵ PC=PC，
∴ △POC≌△PAC（AAS），
∴ PO=PA，
∵ ∠APC=180°-∠PAC-∠ACP=120°，
∴ ∠OAP=30°，
∴ ∠OAC=∠OAP+∠CAP=30°+35°=65°.
故答案为：65°.
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BO延长线于点P，连接CP，根据角平分线的定义可得 ∠BAP=∠CAP=35°，根据SAS判定△ABP≌△ACP得∠ACP=∠ABP=25°，根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=55°，根据外角可得∠POC=35°，根据AAS判定△POC≌△PAC推出 PO=PA，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠OAP，即可求得.
11．【答案】（1）
（2）或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵D是的中点时，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∴
故答案为：.
（2）设DE=x，
①当∠AB'D=90°，
此时
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵即
∴
∴
②当∠B'AD=90°，
此时
∴
∴
∴
∵即
∴
∴
综上所述，AD的长为：或，
故答案为：或.
【分析】（1）根据题意得到DE为的中位线，即可得到进而根据三角形面积计算公式计算即可；
（2）设DE=x，由题意知需分两种情况讨论，①当∠AB'D=90°，②当∠B'AD=90°，分别利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解.
12．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC=BC=25，
∴AH=BH=AB=7，
在Rt△BCH中，OH=AB=7
由勾股定理得：CH===24，
∵OC≥CH OH，
∴当O，C，H共线时，OC最小，
∴OC的最小值为24 7=17.
故答案为：17.
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH，从而得到OC的最小值．
13．【答案】2或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵把沿DE翻折得，
∴BD=DB'=，∠B=∠B'=30°，∠BDE=∠B'DE.
①当直线DB'⊥BC时，如图
.
②当直线DB'⊥AB时，如图：
则，
∴
③当直线DB'⊥AC时，如图：
延长B'D，CA交于点G，过点D作DP⊥BC于点P.
∴∠G=∠DPB=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°=∠BDF.
∴∠FDP=∠BDP－∠BDF=30°.
∵DP⊥BC，
∴
∴DF=2.
故答案为：2或.
【分析】根据所在的直线与的一边垂直分3种情况讨论，利用含30°角所对的直角边等于斜边长的一半，即可计算DF的长.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①当设则
∵
∴
∵
∴
∴
②
∵
∴B'为DC'中点，
∵
∴
设则
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，当时，△ADC′是以为腰的等腰三角形，
故答案为：.
【分析】由题意可知需分两种情况讨论，①当设则然后根据勾股定理列方程求解，②设则得到：根据""，据此列方程求解.
15．【答案】（1）16
（2）2：1
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF.
∵BE⊥AC，点D为AB的中点，
∴Rt△BCE中，BC= 2EF，Rt△ABE中，AB=2DE.
∵AF⊥BC，点D是AB的中点.
∴Rt△ABF中，AB=2DF，
∵AB=AC，
∴2EF+2DE+2DF=BC+AB+AB=BC+AB+AC.
即△ABC的周长是△DEF的周长的2倍，
∵△DEF的周长是8，
∴△ABC的周长是16.
故答案为：16；
( 2) ∵AE：EC=3：2，设AE=3x，EC=2x，
∴AC=AB=5x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE=4x，
∴在Rt△BCE中，
∵CE =2x，BE=4x，
∴.
∴.
∴在Rt△ABF中，
∴
故答案为：2：1.
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半，得AB=2DF=2DE，BC=2EF，于是可根据△DEF的周长得△ABC的周长；
（2）根据AE： EC=3： 2可设AE=3x，EC=2x，从而可利用勾股定理分别表示出AF和EF的长，问题可解决.
16．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，
∵ ，
∴△ADP是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OPD=∠B=∠A=60°，AB=AC=10，
∵∠APD=∠APO+∠OPD=∠BDP+∠B，
∴∠APO=∠BDP，
∴△APO≌△BDP，
∴BP=AO=3，
∴AP=AB BP=10 =7；
故答案为：7.
【分析】连接OD，则由 得到△ADP是等边三角形，则∠OPD=∠B=∠A=60°，由三角形外角性质，得到∠APD=∠BDP，则△APO≌△BDP，即可得到BP=AO=3，然后求出AP的长度.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：为等腰Rt△，且∠AEF=90°，
AE=EF， ∠AEB+∠FEC=90°，
又四边形ABCD为矩形，
∠B=∠C=90°，AD=BC，∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CEF.
AB=EC，BE=FC.
3(AB+BE)=2(AD+DF)，
3(EC+BE)=2AD+2DF，
3AD=2AD+2DF，即AD=2DF，
设DF=a，BA=b，则AD=2a，BE=BC-AB=2a-b，CF=b-a，
2a-b=b-a，即
，
则
故答案为： .
【分析】根据矩形性质得∠B=∠C=90°，AD=BC，由同角的余角相等得∠BAE=∠CEF，由和全等三角形的性质AAS判断出△BAE≌△CEF，则AB=EC，BE=FC，代入运算得到AD=2DF，设DF=a，则AD=2a，BA=b，则BE=BC-AB=2a-b， CF=b-a，利用BE=FC求得AB，最后利用三角形和矩形的面积公式列式计算即可.
18．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BG=x，则FG=EG=BG=x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴AF=AB-BF=2-2x，
∴EF=AF=2-2x，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=，
∴DF=AD-AF=，
∴DG=GF-DF=，
在直角三角形EFD中，；
在直角三角形EGD中，；
∴，
∴，
∴x=，
∴AF=2-2x=；
故答案为：.
【分析】先利用直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到AD、AB长；设BG=x，再根据折叠性质得到EG=BG=x，进而得到GF=x，从而AF长可以用含x的式子表示出来，可以把EF、DF、DG都用含x的式子表示出来；再根据勾股定理得到，，等量代换得到，把含x的式子代入解出x，再根据AF=2-2x即可求出AF长.
19．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图连接FD，FE，FA
∵ ， 点G是的中点
∴
∵点G是的中点
∴
∵点F是的中点，，
∴AF⊥BC，AF=BF=CF，
∵即
∴
又 ∵，AF=BF
∴
∴BE=AD=2
∴AE=AB-BE=3
在中，根据勾股定理
故答案为：
【分析】本题是斜边中线，全等综合考查，根据斜边中线特点连接DF，DE，得到直角三角形，得到对角互补模型，再证明全等得到AE长度，进而得到答案
20．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
21．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先过点M作于点N，设与交于点K，根据正方形的性质证出，进而求出，再根据等腰三角形和平行线的性质得到，最后根据勾股定理求得CM即可.
22．【答案】（1）证明：如图1，延长交于H，
∵和都是等腰直角三角形，且.
，，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点C作于N，
是等腰直角三角形，，
，.
∵，
∴，，
，
，
，
，
或（舍去），
，
的面积.
（3）解：
由（1）可知：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴.
∴的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为.
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）延长交于H，先证得，再利用SAS证得，于是可得，最后可通过证明∠HAB+∠BAD=90°，得到AD⊥BE.
（2）当 A、D、E三点共线时，∠ADC+∠CDE=180°，结合等腰直角三角形DEC可得∠ADC=135°，CN=5.由可得，，于是有∠AEB=90°，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出BE的长，即可求得△ACD的面积.
（3）由可得，由等腰直角三角形DEC可得，于是可表示△DEB的周长为，可得周长最小时，CD最小，此时CD⊥AB.即可求出周长最小值.
23．【答案】（1）40°；20°
（2）解：结论：不变，
证明：如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
又为中点，
，
，
．
（3）解：如图，在CF上截取FG=BF，连接BG．
，BF=FG，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，，
．
（4）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】(1)连接BD，
∵∠ABC=100°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=80°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=40°，
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴是等边三角形，
∴BD=BC，∠DBC=60°
∴AB=BD，∠ABD=100°-60°=40°，
又 E是AD中点，
∴∠ABF=∠DBE==20°；
故答案为：40°；20°.
(4)∵三角形ABF与三角形BFC等高不同底，
∴，
设AF=3x，则CF=8x，
由（3）可知CF=AF+BF，
∴BF=CF-AF=5x，
由（2）得在三角形AEF中，∠AEB=90°，∠AFE=∠BFC=60°，
∴∠FAE=30°，
∴EF=AF=，
∴；
故答案为：.
【分析】(1)根据等腰三角形底角相等和三角形内角和180°可求出∠BAC=40°；连接BD，根据有一个60°角的等腰三角形是等边三角形得到等边三角形BCD，由性质可得BD=BC及∠DBC=60°，进一步得到∠ABD=40°以及AB=BD，根据等腰三角形三线合一得到BE平分∠ABD，即可求出∠ABF的度数；
（2）根据有一个60°角的等腰三角形是等边三角形得到等边三角形BCD，由性质可得BD=BC及∠DBC=60°，进一步得到∠ABD=，以及AB=BD，根据等腰三角形三线合一得到BE平分∠ABD，可求出∠ABF=∠EBD=；根据等腰三角形底角相等和三角形内角和180°可求出∠BAC=，三角形外角∠BFC=∠ABF+∠BAF==60°，不论怎么变话，∠BFC都是60°；
（3）求线段之间的数量关系，一般可考虑截长补短法，这里采用截长，即在CF上截取FG=BF，根据（2）中证明∠BFC=60°，由此得到等边三角形BFG，进而得到∠BGF=60°，BF=BG，再根据等角的邻补角相等得到∠BFA=∠BGC，由（2）可得AB=BC，∠BAF=∠BCG，根据AAS可证得，得到AF=CG，即可得到CF=CG+GF=AF+BF；
（4）由三角形面积公式可知同高三角形面积比即为底的比，可以得到AF：CF=3：8，由此可以设AF=3x，CF=8x，再根据（3）结论可得BF=5x；再看EF，由（2）中可得∠AEB=90°，∠AFE=∠BFC=60°，由此得到∠FAE=30°，根据直角三角形中30°锐角所对的直角边是斜边的一半得到EF=，即可得出EF与BF的比值.
24．【答案】（1）证明：由对称得．
．
是边上的中线，
．
．
，
∴△BEC是直角三角形；
（2）解：，
．
．
是等边三角形．
．
．
由对称得，．
．
；
（3）解：①当∠BAC=90°时，
∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD=BD=CD=BC；
②如图1，当∠ABC=90°时，
（图1）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
．
．
；
③如图2，当∠ACB=90°时，
（图2）
是等边三角形，
．
．
由对称性得．
．
，
综上AD=CD或AD=2CD.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；数学思想
【解析】【分析】（1）根据翻折得到CD=ED，结合中线AD得到BD=ED=DC，利用等边对等角得∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，结合三角形内角和180°即可求解；
（2）根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到AB=BD=CD=BC，进而根据三边相等的三角形是直角三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°、邻补角、翻折性质及周角定义可得∠EDC=120°，最后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠BCE的度数；
（3）分别讨论：①当∠BAC=90°时，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD=CD；②如图1，当∠ABC=90°时，由等边三角形性质、邻补角可求出∠EDC=120°，由翻折性质及周角定理得∠ADC=∠ADE=120°，进而可得∠ADB=60°，由三角形内角和定理得∠BAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD；③如图2，当∠ACB=90°时，由等边三角形性质及翻折性质可推出∠ADC=∠ADE=60°，由三角形内角和定理得∠CAD=30°，最后根据含30°角直角三角形性质可得AD=2CD，综上即可得出结论.
25．【答案】（1）证明：∵在中，，，，∴
∵，
∴
∴是直角三角形，
和是共边直角三角形；
（2）证明：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点，
∴AE，DE分别是和斜边上的中线，
∴，∴
∴是等腰三角形，
∵F点是AD中点，∴
（3）解：取BC中点Q，连结AQ，DQ
∵
∴
设
则
∵， ，Q为BC中点，∴
∴
∴
∴
∴∴∴AD平分
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=5，然后根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可得到答案；
（2）连接AE，DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）取BC中点Q，连结AQ，DQ，由题意得，设，则，， ，推出，由可推出，即可得到答案.
26．【答案】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
．
②连接，如图2：
由（1）可知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如图3，过点B作的垂线，垂足为点F，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，，
在中，，
∴．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，利用"SAS"证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可求出∠BCD的度数，进而即可求出∠BCE的度数；
②连接，由全等三角形的性质得到：，，进而根据垂直的定义和角的等量代换即可得到：，进而可利用"SAS"证明，得到：，即可证明为等边三角形，进而即可求解；
③过点B作的垂线，垂足为点F，根据题意可证明为等腰直角三角形，进而得到，，然后利用勾股定理即可求出DF的长度，进而即可求解.
27．【答案】（1）解：∵在中，
∴BC=
∵
∴BD2+CD2=25=BC2
∴△BCD是直角三角形
∴和是共边直角三角形．
（2）解：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点
∴AE，DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线
∴AE=BC，DE=BC，
∴AE=DE
∴△ADE是等腰三角形
∵F点是AD中点
∴EF⊥AD；
（3）解：作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点，
∵∠BAC=90°
∴四边形ANDM是矩形
∴∠NDM=90°
∴∠NDC+∠CDM=90°
又∠BDC=90°
∴∠NDC+∠BDN=90°
∴∠BDN= CDM
∵∠BND=∠CMD=90°，BD=CD
∴△BDN≌△CDM
∴DN=DM，
∴平分．
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证明BD2+CD2=BC2，可证得△BCD是直角三角形，据此可证得结论.
（2）连接AE，DE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AE=DE，再利用等腰三角形的性质可证得结论.
（3）作DN⊥AB，DM⊥AC的延长线于M点。易证四边形ANDM是矩形，利用矩形的性质可得到∠NDM=90°，利用余角的性质可证得∠BDN= CDM；再利用AAS可证得△BDN≌△CDM，利用全等三角形的性质可证得DN=DM，然后利用角平分线的判定定理可证得结论.
28．【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案为B
【分析】（1）倍长中线全等依据是SAS；
（2）倍长中线得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代换得到答案；
（3）在（2）的基础上，作等腰三角形的三线合一辅助线，再通过设元表示线段长度，利用方程思想解决问题.
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