综合与实践题—浙江省八（上）数学期末复习
一、综合与实践题
1．（2024八上·嘉兴期末）根据表中素材，探索完成以下任务：
建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”
问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．
素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．
素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．
问题解决 分析 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格． 运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A村xB村① ▲ ② ▲
问题1 设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
问题2 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）
2．（2023八上·平湖期末）现有斜边相等的一副三角板，已知，.某学习小组利用这副三角板进行数学探究时发现：若这副三角板按如图①或图②方式摆放，连结PC，则PA、PB与PC之间存在一定的数量关系.
（1）聪明的小嘉同学对图①开展了探究，他的思路：通过延长PA至点，使得，连结CM.然后证明，再证是等腰直角三角形，从而获得，请你按照小嘉的思路写出完整的解题过程；
（2）若这副三角板按图②方式摆放，则上述PA、PB与PC之间的数量关系还成立吗？若不成立，请写出它们之间存在的数量关系，并说明理由.
3．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
4．（2023八上·长兴期末）【问题背景】
（1）如图1，点P是线段，的中点，求证：；
（2）【变式迁移】
如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，若，，求的长；
（3）【拓展创新】
如图3，在等腰中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长.
5．（2023八上·宁波期末）如图1，在中，，D是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点F，连结.
（1）【初步尝试】
如图2，当，线段的长度是 ，线段的长度是 .
（2）【结论探究】
如图1，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如下表所示，请帮小宁完成证明.
如图，延长至G，使，连结，.
（3）【拓展应用】
如图3，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结.请补全图形，并求出当时，线段的长.
6．（2024八上·海曙期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1．在和中，，，，，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连接AD，求证：平分．
7．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
8．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
9．（2023八上·柯桥期中）
（1）【问题发现】
如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝4，ED＝3，则BE= .
（2）【问题提出】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.
（3）【问题解决】
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC＝45°，△ACD面积为14且CD的长为7，求△BCD的面积.
10．（2024八上·宁波期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
11．（2024八上·东阳月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高，试探究线段与的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用
如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D向边引平行线与边交于点E．若，试求线段的长度．
12．（2024八上·舟山期末）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值；
③若，求的值．
13．（2025八上·温州期中） 如图
（1）问题背景： 如图 1， 在 与 中， .求证： .
（2）类比探究： 如图 2， 在 Rt 中， ， 点 为边 B C上任意一点（不是 B C 中点）， 求证： .
（3）拓展应用： 如图 3， 在四边形 A B C D 中， ，求 B D 的长.
答案解析部分
1．【答案】解：分析：12+x；24(12+x)；
问题1：
∵k=4>0，y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值， .
问题2：由题意得，设新的总运费为W，
则
，
随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：分析：乙还剩[60-(48-x)]=（12+x）吨，全部运往B，从乙运往B的运费是24元/吨，故总运费为：24(12+x)元；
故答案为：12+x；24(12+x)；
【分析】（1）把所有运费加起来再化简即可，最后根据一次项系数的正负判断最小运费情况；
（2）把甲运往A的新运费加其他不变的运费，最后依然根据一次项系数的正负判断最小运费情况.
2．【答案】（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
（2）解：不成立，
证： 在 AP上截取 AH，使得 ， 连结 CH.
是等腰直角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，得到然后证明△PCM是等腰直角三角形，解题即可；
（2） 在 AP上截取 AH，使得 ， 连结 CH，证明△PCH是等腰直角三角形，得到，进而得到△PCH是等腰直角三角形，即可解题.
3．【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
4．【答案】（1）证明：点P是线段，的中点，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
在等腰中，是底边上的高线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）如图：延长到T，使得，连接，延长交于点J.
点D为中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
.
【分析】（1）根据中点的概念可得PA=PB，PC=PD，利用SAS证明△PAC≌△PBD，得到∠A=∠B，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质可得AD=DC，利用SAS证明△ADF≌△CDE，得到∠FAD=∠ECD，AF=CE，推出AF∥CE，然后利用勾股定理可求出CE的值，进而可得AF的值；
（3）延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证明△ADF≌△BDT，得到AF=BT=8，∠T=∠AFD，根据同角的余角相等可得∠ACF=∠CBJ，证明△AFC≌△CJB，得到CF=BJ=3，CJ=BT=8，则FJ=JT=5，据此求解.
5．【答案】（1）5；3
（2）解：延长至G，使，连结，，
∵D是中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴.
（3）解：延长至G，使，连接，，
由(2)同理可证
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
解得，；
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴点E是的中点，
∵D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴F为的中点，
∴，；
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理可得AB的值，推出DE为△ABC的中位线，得到DE=BC=3，DE∥BC，由平行线的性质可得∠CED=∠C=90°，则四边形CEDF为矩形，CF=DE=3，进而得到EF为△ABC的中位线，据此求解；
（2）延长ED至G，使DG=DE，连接BG、FG，根据中点的概念可得AD=BD，利用SAS证明△AED≌△BDG，得到BG=AE，∠A=∠DBG，结合∠A+∠ABG=90°可得∠GBF=90°，推出DF为EG的垂直平分线，得到EF=FG，然后根据勾股定理进行解答；
（3）延长ED至G，使DG=DE，连接BG、FG，由(2)同理可证△AED≌△BDG，得到∠EAD=∠GBD，AE=BG，则AC∥BG，由平行线的性质可得∠ACB=∠CBG=90°，结合勾股定理可得AE2+BF2=EF2，设BF=x，则CF=x-6，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理求解即可.
6．【答案】（1）证明：∵在中，，，，∴
∵，
∴
∴是直角三角形，
和是共边直角三角形；
（2）证明：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点，
∴AE，DE分别是和斜边上的中线，
∴，∴
∴是等腰三角形，
∵F点是AD中点，∴
（3）解：取BC中点Q，连结AQ，DQ
∵
∴
设
则
∵， ，Q为BC中点，∴
∴
∴
∴
∴∴∴AD平分
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=5，然后根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可得到答案；
（2）连接AE，DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）取BC中点Q，连结AQ，DQ，由题意得，设，则，， ，推出，由可推出，即可得到答案.
7．【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
8．【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
9．【答案】（1）7
（2）解：过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠AC=9
∴∠ACB=90°-∠ECD=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝3，
∴S△BCD＝BC DE＝；
（3）解：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为14且CD的长为7，
∴×7 AE＝14，∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD-DE=3，
∵∠ABC=∠CAB＝45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=9o°-∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝3，
∴S△BCD＝CD BF＝.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） ∵∠B=∠E=∠ACD＝90° ，
∴∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠A=∠DCE，
∵AC=CD，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴BC=DE=3，CE=AB=4，
∴BE=BC+CE=3+4=7，
【分析】（1）证明△ACB≌△CDE（AAS），可得BC=DE=3，CE=AB=4，继而得解；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），可得BC＝ED＝3，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD的面积求出AE=4，易求△ADE是等腰直角三角形，可得DE=AE=4，从而求出CE=CD-DE=3，再证△ACE≌△CBF（AAS），可得BF＝CE＝3，根据三角形的面积公式计算即可.
10．【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案为B
【分析】（1）倍长中线全等依据是SAS；
（2）倍长中线得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代换得到答案；
（3）在（2）的基础上，作等腰三角形的三线合一辅助线，再通过设元表示线段长度，利用方程思想解决问题.
11．【答案】（1）解：①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
．
（2）解：AD＝CB，理由如下：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
∴AD＝CB；
（3）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；定义新运算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）①由勾股高三角形的定义知：等腰直角三角形是勾股高三角形 ；
故答案为：是；
【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义判断即可；
②勾股定理可得CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，再根据勾股高三角形定义可得CD2的值，据此求解即可；
（2）由CA2﹣CB2＝CD2可得CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，从而推出AD2＝CB2，继而得解；
（3）过点A向ED引垂线，垂足为G，用AAS证明△AGD≌△CDB，可得DG＝BD，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
12．【答案】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
．
②连接，如图2：
由（1）可知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如图3，过点B作的垂线，垂足为点F，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，，
在中，，
∴．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，利用"SAS"证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可求出∠BCD的度数，进而即可求出∠BCE的度数；
②连接，由全等三角形的性质得到：，，进而根据垂直的定义和角的等量代换即可得到：，进而可利用"SAS"证明，得到：，即可证明为等边三角形，进而即可求解；
③过点B作的垂线，垂足为点F，根据题意可证明为等腰直角三角形，进而得到，，然后利用勾股定理即可求出DF的长度，进而即可求解.
13．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE
∴∠EAC=∠DAB
又∵AB=AC， AD=AE.
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE
（2）证明：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结ED与EB.
∵在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， 且AE⊥AD
∴∠EAD=∠BAC=90°
∴∠EAB=∠DAC
又∵AC=AB， AE=AD
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴BE=DC
∠EBD=∠EBA+∠ABD=∠C+∠ABD=90°
∵在Rt△AED中，ED2=2AD2
∴Rt△EBD中，有BD2+BE2=ED2
即BD2+DC2=2AD2
（3）解：法①：过点D作DE，使得∠EDB=60°， 且ED=BD，则△BED为等边三角形. 连结EA交BC于点F，过点E作EH⊥CB的延长线交于点H.
∵∠EDB=∠ADC=60°
∴∠EDA=∠BDC，
又∵ED=BD， AD=CD
∴△DAE≌△DCB（SAS）.
∴∠EAD=∠BCD， EA=BC=4
∵∠ABC+∠ADC=150°
∴∠DAB+∠BCD=∠DAB+∠EAD=210°
∴∠EAB=150°
∴∠BAF=30°
由AB=，得AF=2， BF=1
∴EF=6， HF=3， EH=，
∴HB=2
∴EB=
即BD=
法②：过点C作CE，使得∠ECB=60°， 且EC=BC，则△BEC为等边三角形. 连结BE并延长，过点D作DF⊥BE交BE于点F.
∵△BEC为等边三角形
∴BC=EC=BE=4， ∠FED=30°
∵∠ADC=60°， AD=CD
∴△ADC为等边三角形
∴AC=DC，∠ACD=60°
又∵∠ABC=60°
∴∠BCA=∠ECD
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴DE=AB=
则在△FED中，有DF= ， EF=
∴在Rt△BFD中，BD==
【知识点】全等三角形的应用；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）利用手拉手模型证明全等从而得到结论；
（2）构造手拉手模型，结合全等得到直角△EBD，再利用勾股定理进行说明即可；
（3）构造手拉手模型，得到含30°的直角三角形，结合勾股定理求解即可.
1 / 1综合与实践题—浙江省八（上）数学期末复习
一、综合与实践题
1．（2024八上·嘉兴期末）根据表中素材，探索完成以下任务：
建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”
问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．
素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．
素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．
问题解决 分析 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格． 运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A村xB村① ▲ ② ▲
问题1 设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
问题2 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）
【答案】解：分析：12+x；24(12+x)；
问题1：
∵k=4>0，y随x的增大而增大，
∴当时，有最小值， .
问题2：由题意得，设新的总运费为W，
则
，
随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：分析：乙还剩[60-(48-x)]=（12+x）吨，全部运往B，从乙运往B的运费是24元/吨，故总运费为：24(12+x)元；
故答案为：12+x；24(12+x)；
【分析】（1）把所有运费加起来再化简即可，最后根据一次项系数的正负判断最小运费情况；
（2）把甲运往A的新运费加其他不变的运费，最后依然根据一次项系数的正负判断最小运费情况.
2．（2023八上·平湖期末）现有斜边相等的一副三角板，已知，.某学习小组利用这副三角板进行数学探究时发现：若这副三角板按如图①或图②方式摆放，连结PC，则PA、PB与PC之间存在一定的数量关系.
（1）聪明的小嘉同学对图①开展了探究，他的思路：通过延长PA至点，使得，连结CM.然后证明，再证是等腰直角三角形，从而获得，请你按照小嘉的思路写出完整的解题过程；
（2）若这副三角板按图②方式摆放，则上述PA、PB与PC之间的数量关系还成立吗？若不成立，请写出它们之间存在的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明： ，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
（2）解：不成立，
证： 在 AP上截取 AH，使得 ， 连结 CH.
是等腰直角三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，得到然后证明△PCM是等腰直角三角形，解题即可；
（2） 在 AP上截取 AH，使得 ， 连结 CH，证明△PCH是等腰直角三角形，得到，进而得到△PCH是等腰直角三角形，即可解题.
3．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
4．（2023八上·长兴期末）【问题背景】
（1）如图1，点P是线段，的中点，求证：；
（2）【变式迁移】
如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，若，，求的长；
（3）【拓展创新】
如图3，在等腰中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长.
【答案】（1）证明：点P是线段，的中点，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
在等腰中，是底边上的高线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：（3）如图：延长到T，使得，连接，延长交于点J.
点D为中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
.
【分析】（1）根据中点的概念可得PA=PB，PC=PD，利用SAS证明△PAC≌△PBD，得到∠A=∠B，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）连接CE，根据等腰三角形的性质可得AD=DC，利用SAS证明△ADF≌△CDE，得到∠FAD=∠ECD，AF=CE，推出AF∥CE，然后利用勾股定理可求出CE的值，进而可得AF的值；
（3）延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证明△ADF≌△BDT，得到AF=BT=8，∠T=∠AFD，根据同角的余角相等可得∠ACF=∠CBJ，证明△AFC≌△CJB，得到CF=BJ=3，CJ=BT=8，则FJ=JT=5，据此求解.
5．（2023八上·宁波期末）如图1，在中，，D是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点F，连结.
（1）【初步尝试】
如图2，当，线段的长度是 ，线段的长度是 .
（2）【结论探究】
如图1，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如下表所示，请帮小宁完成证明.
如图，延长至G，使，连结，.
（3）【拓展应用】
如图3，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结.请补全图形，并求出当时，线段的长.
【答案】（1）5；3
（2）解：延长至G，使，连结，，
∵D是中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴.
（3）解：延长至G，使，连接，，
由(2)同理可证
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
解得，；
∴.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴点E是的中点，
∵D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴F为的中点，
∴，；
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理可得AB的值，推出DE为△ABC的中位线，得到DE=BC=3，DE∥BC，由平行线的性质可得∠CED=∠C=90°，则四边形CEDF为矩形，CF=DE=3，进而得到EF为△ABC的中位线，据此求解；
（2）延长ED至G，使DG=DE，连接BG、FG，根据中点的概念可得AD=BD，利用SAS证明△AED≌△BDG，得到BG=AE，∠A=∠DBG，结合∠A+∠ABG=90°可得∠GBF=90°，推出DF为EG的垂直平分线，得到EF=FG，然后根据勾股定理进行解答；
（3）延长ED至G，使DG=DE，连接BG、FG，由(2)同理可证△AED≌△BDG，得到∠EAD=∠GBD，AE=BG，则AC∥BG，由平行线的性质可得∠ACB=∠CBG=90°，结合勾股定理可得AE2+BF2=EF2，设BF=x，则CF=x-6，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理求解即可.
6．（2024八上·海曙期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图1．在和中，，，，，，说明和是共边直角三角形．
（2）问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，求证．
（3）拓展延伸：如图3，和是共边直角三角形，且，连接AD，求证：平分．
【答案】（1）证明：∵在中，，，，∴
∵，
∴
∴是直角三角形，
和是共边直角三角形；
（2）证明：如图，连接AE，DE，
∵E点是BC中点，
∴AE，DE分别是和斜边上的中线，
∴，∴
∴是等腰三角形，
∵F点是AD中点，∴
（3）解：取BC中点Q，连结AQ，DQ
∵
∴
设
则
∵， ，Q为BC中点，∴
∴
∴
∴
∴∴∴AD平分
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=5，然后根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可得到答案；
（2）连接AE，DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）取BC中点Q，连结AQ，DQ，由题意得，设，则，， ，推出，由可推出，即可得到答案.
7．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
8．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
9．（2023八上·柯桥期中）
（1）【问题发现】
如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝4，ED＝3，则BE= .
（2）【问题提出】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.
（3）【问题解决】
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC＝45°，△ACD面积为14且CD的长为7，求△BCD的面积.
【答案】（1）7
（2）解：过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图：
∵DE⊥BC，CD⊥AC，
∴∠E=∠AC=9
∴∠ACB=90°-∠ECD=∠CDE，
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝3，
∴S△BCD＝BC DE＝；
（3）解：过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图：
∵△ACD面积为14且CD的长为7，
∴×7 AE＝14，∴AE＝4，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴CE=CD-DE=3，
∵∠ABC=∠CAB＝45°，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=9o°-∠BCF=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝3，
∴S△BCD＝CD BF＝.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） ∵∠B=∠E=∠ACD＝90° ，
∴∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠A=∠DCE，
∵AC=CD，
∴△ACB≌△CDE（AAS），
∴BC=DE=3，CE=AB=4，
∴BE=BC+CE=3+4=7，
【分析】（1）证明△ACB≌△CDE（AAS），可得BC=DE=3，CE=AB=4，继而得解；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），可得BC＝ED＝3，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，由△ACD的面积求出AE=4，易求△ADE是等腰直角三角形，可得DE=AE=4，从而求出CE=CD-DE=3，再证△ACE≌△CBF（AAS），可得BF＝CE＝3，根据三角形的面积公式计算即可.
10．（2024八上·宁波期末）
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（ ）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长．
【答案】（1）B
（2）证明：延长至点，使得，连结，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，连结，过点C作于点H，
设，则，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段的中点
【解析】【解答】 (1)解： ，BE=EC，∠AEB=∠CEF，SAS全等，故答案为B
【分析】（1）倍长中线全等依据是SAS；
（2）倍长中线得到全等、平行，之后倒角得到等腰三角形，等量代换得到答案；
（3）在（2）的基础上，作等腰三角形的三线合一辅助线，再通过设元表示线段长度，利用方程思想解决问题.
11．（2024八上·东阳月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高，试探究线段与的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用
如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D向边引平行线与边交于点E．若，试求线段的长度．
【答案】（1）解：①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
．
（2）解：AD＝CB，理由如下：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
∴AD＝CB；
（3）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；定义新运算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）①由勾股高三角形的定义知：等腰直角三角形是勾股高三角形 ；
故答案为：是；
【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义判断即可；
②勾股定理可得CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，再根据勾股高三角形定义可得CD2的值，据此求解即可；
（2）由CA2﹣CB2＝CD2可得CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，从而推出AD2＝CB2，继而得解；
（3）过点A向ED引垂线，垂足为G，用AAS证明△AGD≌△CDB，可得DG＝BD，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
12．（2024八上·舟山期末）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角和等腰直角，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值；
③若，求的值．
【答案】（1）证明：如图1，∵等腰直角和等腰直角，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
．
②连接，如图2：
由（1）可知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
③如图3，过点B作的垂线，垂足为点F，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，，
在中，，
∴．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，利用"SAS"证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可求出∠BCD的度数，进而即可求出∠BCE的度数；
②连接，由全等三角形的性质得到：，，进而根据垂直的定义和角的等量代换即可得到：，进而可利用"SAS"证明，得到：，即可证明为等边三角形，进而即可求解；
③过点B作的垂线，垂足为点F，根据题意可证明为等腰直角三角形，进而得到，，然后利用勾股定理即可求出DF的长度，进而即可求解.
13．（2025八上·温州期中） 如图
（1）问题背景： 如图 1， 在 与 中， .求证： .
（2）类比探究： 如图 2， 在 Rt 中， ， 点 为边 B C上任意一点（不是 B C 中点）， 求证： .
（3）拓展应用： 如图 3， 在四边形 A B C D 中， ，求 B D 的长.
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE
∴∠EAC=∠DAB
又∵AB=AC， AD=AE.
∴△ADB≌△AEC（SAS）
∴BD=CE
（2）证明：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结ED与EB.
∵在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， 且AE⊥AD
∴∠EAD=∠BAC=90°
∴∠EAB=∠DAC
又∵AC=AB， AE=AD
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴BE=DC
∠EBD=∠EBA+∠ABD=∠C+∠ABD=90°
∵在Rt△AED中，ED2=2AD2
∴Rt△EBD中，有BD2+BE2=ED2
即BD2+DC2=2AD2
（3）解：法①：过点D作DE，使得∠EDB=60°， 且ED=BD，则△BED为等边三角形. 连结EA交BC于点F，过点E作EH⊥CB的延长线交于点H.
∵∠EDB=∠ADC=60°
∴∠EDA=∠BDC，
又∵ED=BD， AD=CD
∴△DAE≌△DCB（SAS）.
∴∠EAD=∠BCD， EA=BC=4
∵∠ABC+∠ADC=150°
∴∠DAB+∠BCD=∠DAB+∠EAD=210°
∴∠EAB=150°
∴∠BAF=30°
由AB=，得AF=2， BF=1
∴EF=6， HF=3， EH=，
∴HB=2
∴EB=
即BD=
法②：过点C作CE，使得∠ECB=60°， 且EC=BC，则△BEC为等边三角形. 连结BE并延长，过点D作DF⊥BE交BE于点F.
∵△BEC为等边三角形
∴BC=EC=BE=4， ∠FED=30°
∵∠ADC=60°， AD=CD
∴△ADC为等边三角形
∴AC=DC，∠ACD=60°
又∵∠ABC=60°
∴∠BCA=∠ECD
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴DE=AB=
则在△FED中，有DF= ， EF=
∴在Rt△BFD中，BD==
【知识点】全等三角形的应用；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）利用手拉手模型证明全等从而得到结论；
（2）构造手拉手模型，结合全等得到直角△EBD，再利用勾股定理进行说明即可；
（3）构造手拉手模型，得到含30°的直角三角形，结合勾股定理求解即可.
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