新定义型—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八上·舟山期末）定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
2．（2023八上·宁海期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.例如：，则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0，1，2其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：，故①错误；
若，故②错误；
若，则，解得，故③正确；
当时，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
的值不可能为0，
综上的值为1，2，故④错误；
故正确的个数有1个.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可直接判断①②；由定义的新运算可得1≤x-1<2，求出x的范围，据此判断③；当-1≤x<1时，0≤x+1<2、0<-x+1≤2，然后分x=-1、x=-、x=0、x=求出[x+1]+[-x+1]的值，据此判断④.
3．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
二、填空题
4．（2024八上·上城期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，，，则边上的“中高距”为 ．
【答案】（1）等腰
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
5．（2023八上·诸暨月考）当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形中一个内角β是另外一个内角a的0.5，
∴，
①当时，则，
∴，即”友好角a“的度数为108°，
②当时，“友好角a”的度数为，
③当，时，则，
∴，
∴，即”友好角a“的度数为84°，
综上所述，“友好角a”的度数为或或，
故答案为：或或．
【分析】根据题意，得，然后分类讨论：①当时，得关于a的方程，解方程求出a的值；②当时；③当，时，根据三角形内角和定理，得关于a的方程，解方程求出a的值.
6．（2023八上·鄞州期末）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数.例如：，，.如果，则满足条件的所有正整数x的值是 .
【答案】5和6
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：由定义可知：，
解得：
正整数有和.
故答案为和.
【分析】根据定义的新运算可得，求解可得x的范围，进而可得x的正整数值.
7．（2023八上·义乌月考）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 ．
【答案】3或6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当6是腰时，则底是3，
当6是底时，腰是12，
∴△ABC的底边长为3或6.
故答案为：3或6..
【分析】分两种情况：当6是腰时，求出底是3，当6是底时，腰是12，即可得出答案.
三、解答题
8．（2023八上·西湖期末）定义关于@的一种运算：，如．
（1）若，且x为正整数，求x的值．
（2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
9．（2024八上·滨江期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得到“逆反函数”为，然后将代入即可解题；
（2）根据题意得到“逆反函数”解方程组即可求得B点坐标；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，然后根据三角形的面积列方程解题即可．
10．（2024八上·杭州期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
（1）填空： _________； _________；
（2）若，求x的取值范围．
（3）若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）4，4
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
11．（2024八上·义乌期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段．
（1）如图2，和都是等腰直角三角形，且．
①图中线段的“友好”线段是 ；
②连接，若，求的长；
（2）如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长．
【答案】（1）①；
解：②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
【分析】（1）①根据等腰三角形得到然后根据“”得到，即可得到然后根据“友好”线段的定义解题；
②连接，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求出的长，结合①的结论计算即可；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，即可得到利用等边对等角得到然后运用“”证明即可得到最后利用勾股定理解题即可．
（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为．
12．（2024八上·鄞州期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
（1）若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为____．
（2）如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形．
（3）如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：∵是“方倍三角形”，且，则，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（3）解：由翻折可知：，∴，
根据“方倍三角形”定义可知：，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
延长交于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：设其余两条边为a，b，
则满足，
根据“方倍三角形”定义，还满足：，
联立方程组得，
解得，
则的面积为：；
故答案为：；
【分析】（1）设其余两条边为a，b，满足，根据“方倍三角形”定义，即可得a和b的值，即可解题；
（2）根据“方倍三角形”的定义解题即可；
（3）根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而得到为等腰直角三角形，即可得到，延长交于点E，利用勾股定理求出的长，即可解题．
13．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
14．（2024八上·瑞安期中）我们新定义一类三角形：有两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2， ，因为=2，所以这个三角形是奇异三角形
（1）若△ABC的三边长分别是3，4和 ，判断此三角形是否为奇异三角形，请说明理由．
（2）若Rt△ABC是奇异三角形，直角边分别为a，b，斜边为c，请探究a和b满足的数量关系式．
【答案】（1）解：是的，因为=，所以此三角形为奇异三角形.
（2）解：因为Rt△ABC，所以 +=
又因为三角形为奇异三角形，
当a时，得：+=2
代入得 ：++=2
2=
b=a
当b时+=2
代入得：++=2
2=
a=b
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1)根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可；
(2)由勾股定理得出a2+b2=c2，由Rt△ABC是奇异三角形，分情况讨论，得出a2+c2=2b2，b2+c2=2a2，即可得出结论.
15．（2024八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点．
（1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 ；
（2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的二个和谐点，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）P2，P3
（2）解：①由A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）可知，当P在△ABC内部时，BP≠AC，
②当AP＝BP，∠ABP＝45°时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AG⊥PH于G，如图：
∵AP＝BP，∠ABP＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPH＝90°﹣∠APG＝∠PAG，
∵∠BHP＝90°＝∠G，
∴△BPH≌△PAG（AAS），
∴PH＝AG，BH＝PG，
设P（p，q），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴，
解得；
∴P（2，2）；
③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，过A作AQ⊥BP交BP延长线于Q，如图：
∵B（﹣4，0），C（4，0），
∴B，C关于y轴对称，
∵BP＝CP，
∴P在y轴上，
同②可得Q（2，2），
由B（﹣4，0），Q（2，2）得直线BQ解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴P（0，）；
综上所述，P的坐标为（2，2）或（0，）；
（3）＜m＜4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），P1（﹣1，1），
∴，，
，，
∴，
∴P1（﹣1，1）不是△ABC的和谐点；
∵，
∴，，
∴，
∵在内，
∴是的和谐点；
∵，
∴，，
∴
∵在内，
∴是的和谐点；
故答案为：，.
（3）解：由题意知，△ABC的和谐点P，满足AP＝BP或BP＝CP，
若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，
若BP＝CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，即y轴上；
设AB的中点为K，线段AB的垂直平分线交AC于T，如图，
设直线的解析式为：，
∵ A（0，8），C（4，0）
则，
解得：，
∴ 直线AC解析式为y＝﹣2x+8，
设T（t，﹣2t+8），
∵AT＝BT，
∴t2+（﹣2t+8﹣8）2＝（t+4）2+（﹣2t+8）2，
解得t＝，
∴T（，），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点K（﹣2，4）；
∵直线l上存在△ABC的两个和谐点，
∴直线l与y轴，线段KT都相交，
∴＜m＜4．
【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，进行逐一判断即可.
（2）分①BP=AC；②AP＝BP，∠ABP＝45°时；③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，三种情况分析即可.
（3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上，先利用待定系数法求得AC的解析式，再求得点T的坐标，进而分析即可.
四、实践探究题
16．（2024八上·长兴期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C=90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2.△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD.
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD=CD，求证：AD平分∠CAB.
【答案】（1）解：如图，△ABD即为所求共边直角三角形，
（2）证明：如图，连接 AE，DE
∵E 点是 BC 中点，
∴AE，DE 分别是 Rt△ABC 和 Rt△DBC 斜边上的中线，
∴AE＝ BC，DE＝ BC，
∴AE＝DE，
∴△ADE 是等腰三角形，
∵F 点是 AD 中点，
∴EF⊥AD
（3）证明：分别延长 AC、BD 交于点 F，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠DCF，
∴DC＝DF，
∴BD＝DF，又 AD⊥BF，
∴AB＝AF，又 AD⊥BF，
∴AD 平分∠CAB
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）以AB为斜边，作一个不与原三角形重合的直角三角形即可；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到EA=ED，结合三线合一进行说明即可；
（3）根据BD＝CD得到∠DCB＝∠DBC，进而得到∠F＝∠DCF，DC＝DF=DB，结合三线合一说明即可.
17．（2023八上·宁波期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
（1）若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为 ．
（2）如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形．
（3）如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：∵是“方倍三角形”，且，
∴AB2+AC2=2AB2=2BC2，
∴AB=BC，
即AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形；
（3）解：由折叠知△ABP≌△DBP，
∴BA=BD，∠ABP=∠DBP，
由“方倍三角形"定义可得AB2+BD2=2AD2=2BA2，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD=60°，
∴∠ABP=∠DBP=30°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴∠APB=135°，
由折叠知：∠DPB=∠APB=135°，
∴∠DPC=90°，
∵∠ABC=120°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=15°，
∴∠CAD=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴AP=DP=，
∴AD=2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP=∠PBD，
∴BE⊥AD，PE=AD=AE=1，
∴BE==，
∴PB=BE-PE=-1，
∴PC=PB=-.
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）设的两直角边为a、b，则a2+b2=3①，
根据“方倍三角形"的定义得：a2+3=2b2②，
联立①②解得a=1，b=，
∴ 三角形的面积为×1×=，
故答案为：；
【分析】（1）设Rt△ABC的两直角边为a、b，由勾股定理得a2+b2=3①，根据“方倍三角形"的定义得：a2+3=2b2②，联立①②求出a、b值，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据“方倍三角形"的定义解答即可；
（3）由折叠及“方倍三角形"的定义可得△ABD为等边三角形，从而推出△PAD为等腰直角三角形，可得AP=DP=，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出PE，再根据等腰直角三角形可得PC=PB，即可得解.
18．（2024八上·东阳月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高，试探究线段与的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用
如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D向边引平行线与边交于点E．若，试求线段的长度．
【答案】（1）解：①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
．
（2）解：AD＝CB，理由如下：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
∴AD＝CB；
（3）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；定义新运算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）①由勾股高三角形的定义知：等腰直角三角形是勾股高三角形 ；
故答案为：是；
【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义判断即可；
②勾股定理可得CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，再根据勾股高三角形定义可得CD2的值，据此求解即可；
（2）由CA2﹣CB2＝CD2可得CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，从而推出AD2＝CB2，继而得解；
（3）过点A向ED引垂线，垂足为G，用AAS证明△AGD≌△CDB，可得DG＝BD，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
19．（2024八上·浙江期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
（1）初步尝试
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形.
（2）理解运用
如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长.
（3）综合应用
如图3，已知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，F为CD的中点.请根据上述条件，回答以下问题：
①∠CAD+∠BAE的度数为 °；
②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程.
【答案】（1）3
（2）解：如图 2，设点A到BC的距离为h，
∵△ABD 与△ACD 是偏等积三角形，
∴S△ABD=S△ACD.
∴，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，
在△ECD 和△ABD 中，
∴△ECD≌△ABD（AAS），∴ED＝AD，EC＝AB＝2，
∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，且 AC＝4，AE＝2AD，∴4﹣2＜2AD＜4+2，∴1＜AD＜3，
∵线段 AD 的长度为正整数，∴AD＝2，∴AE＝4。
（3）解：①180；
②BE＝2AF，理由如下：延长 AF 至 G，使 GF＝AF，连接 DG，
如图 3 所示：∵F 为 CD 的中点，∴DF＝CF
在△GDF 和△ACF中，
∴△GDF≌△ACF（SAS），
∴∠DGF＝∠CAF，GD＝AC，
∴DG∥AC，
∴∠CAD+∠GDA＝180°，
∵∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠GDA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴GD＝AB，
在△ADG 和△EAB 中，
∴△ADG≌△EAB（SAS），
∴AG＝BE，
∵AG＝2AF，
∴BE＝2AF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）当点P为AC的中点时，AP=AC=3，
此时S△ABP=S△BCP，但△ABP与△BCP不全等 ，
∴△ABP与△BCP为偏等积三角形.
故答案为：3；
（3）①∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∠CAB+∠DAE+∠CAD+∠BAE＝360°，
∴∠CAD+∠BAE＝180°， 故答案为 180；
【分析】（1）当点P为AC的中点时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
（2）先利用偏等积三角形的定义证明BD＝CD，再根据平行线的性质证明∠E＝∠BAD，结合对顶角相等，可利用AAS证明△ECD≌△ABD，然后根据全等三角形的性质可得ED＝AD，EC＝AB＝2， 再利用三边关系求出AD的范围，最后求出AE的长.
（3） ①利用周角的意义，求出∠CAD+∠BAE；
② 先利用SAS证明△GDF≌△ACF，再根据平行线的判定，证得DG∥AC， 然后根据平行线的性质，得出∠CAD+∠GDA＝180°，结合 ① 中的结果，可证∠GDA＝∠BAE，再利用SAS证明△ADG≌△EAB，然后结合全等三角形的性质，得出BE＝2AF.
1 / 1新定义型—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八上·舟山期末）定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
2．（2023八上·宁海期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.例如：，则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0，1，2其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8二、填空题
4．（2024八上·上城期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”．
（1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 三角形；
（2）若，，，则边上的“中高距”为 ．
5．（2023八上·诸暨月考）当三角形中一个内角β是另外一个内角a的时，我们称此三角形为“友好三角形”． 如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为 ．
6．（2023八上·鄞州期末）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数.例如：，，.如果，则满足条件的所有正整数x的值是 .
7．（2023八上·义乌月考）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为 ．
三、解答题
8．（2023八上·西湖期末）定义关于@的一种运算：，如．
（1）若，且x为正整数，求x的值．
（2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．
9．（2024八上·滨江期末）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
（1）点在的“逆反函数”图象上，则 ；
（2）图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
10．（2024八上·杭州期中）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
（1）填空： _________； _________；
（2）若，求x的取值范围．
（3）若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
11．（2024八上·义乌期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段．
（1）如图2，和都是等腰直角三角形，且．
①图中线段的“友好”线段是 ；
②连接，若，求的长；
（2）如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长．
12．（2024八上·鄞州期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
（1）若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为____．
（2）如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形．
（3）如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长．
13．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
14．（2024八上·瑞安期中）我们新定义一类三角形：有两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2， ，因为=2，所以这个三角形是奇异三角形
（1）若△ABC的三边长分别是3，4和 ，判断此三角形是否为奇异三角形，请说明理由．
（2）若Rt△ABC是奇异三角形，直角边分别为a，b，斜边为c，请探究a和b满足的数量关系式．
15．（2024八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点．
（1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 ；
（2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的二个和谐点，请直接写出m的取值范围．
四、实践探究题
16．（2024八上·长兴期中）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，∠C=90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图2.△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD.
（3）拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD=CD，求证：AD平分∠CAB.
17．（2023八上·宁波期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
（1）若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为 ．
（2）如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形．
（3）如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长．
18．（2024八上·东阳月考）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高，试探究线段与的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用
如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D向边引平行线与边交于点E．若，试求线段的长度．
19．（2024八上·浙江期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.
（1）初步尝试
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形.
（2）理解运用
如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长.
（3）综合应用
如图3，已知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，F为CD的中点.请根据上述条件，回答以下问题：
①∠CAD+∠BAE的度数为 °；
②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
2．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：，故①错误；
若，故②错误；
若，则，解得，故③正确；
当时，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
的值不可能为0，
综上的值为1，2，故④错误；
故正确的个数有1个.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可直接判断①②；由定义的新运算可得1≤x-1<2，求出x的范围，据此判断③；当-1≤x<1时，0≤x+1<2、0<-x+1≤2，然后分x=-1、x=-、x=0、x=求出[x+1]+[-x+1]的值，据此判断④.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
4．【答案】（1）等腰
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
5．【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形中一个内角β是另外一个内角a的0.5，
∴，
①当时，则，
∴，即”友好角a“的度数为108°，
②当时，“友好角a”的度数为，
③当，时，则，
∴，
∴，即”友好角a“的度数为84°，
综上所述，“友好角a”的度数为或或，
故答案为：或或．
【分析】根据题意，得，然后分类讨论：①当时，得关于a的方程，解方程求出a的值；②当时；③当，时，根据三角形内角和定理，得关于a的方程，解方程求出a的值.
6．【答案】5和6
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：由定义可知：，
解得：
正整数有和.
故答案为和.
【分析】根据定义的新运算可得，求解可得x的范围，进而可得x的正整数值.
7．【答案】3或6
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当6是腰时，则底是3，
当6是底时，腰是12，
∴△ABC的底边长为3或6.
故答案为：3或6..
【分析】分两种情况：当6是腰时，求出底是3，当6是底时，腰是12，即可得出答案.
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
9．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或．
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得到“逆反函数”为，然后将代入即可解题；
（2）根据题意得到“逆反函数”解方程组即可求得B点坐标；
（3）求得两函数与轴的交点以及两函数的交点，然后根据三角形的面积列方程解题即可．
10．【答案】（1）4，4
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
11．【答案】（1）①；
解：②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
【分析】（1）①根据等腰三角形得到然后根据“”得到，即可得到然后根据“友好”线段的定义解题；
②连接，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求出的长，结合①的结论计算即可；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，即可得到利用等边对等角得到然后运用“”证明即可得到最后利用勾股定理解题即可．
（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为．
12．【答案】（1）
（2）证明：∵是“方倍三角形”，且，则，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（3）解：由翻折可知：，∴，
根据“方倍三角形”定义可知：，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
延长交于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：设其余两条边为a，b，
则满足，
根据“方倍三角形”定义，还满足：，
联立方程组得，
解得，
则的面积为：；
故答案为：；
【分析】（1）设其余两条边为a，b，满足，根据“方倍三角形”定义，即可得a和b的值，即可解题；
（2）根据“方倍三角形”的定义解题即可；
（3）根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而得到为等腰直角三角形，即可得到，延长交于点E，利用勾股定理求出的长，即可解题．
13．【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
14．【答案】（1）解：是的，因为=，所以此三角形为奇异三角形.
（2）解：因为Rt△ABC，所以 +=
又因为三角形为奇异三角形，
当a时，得：+=2
代入得 ：++=2
2=
b=a
当b时+=2
代入得：++=2
2=
a=b
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1)根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可；
(2)由勾股定理得出a2+b2=c2，由Rt△ABC是奇异三角形，分情况讨论，得出a2+c2=2b2，b2+c2=2a2，即可得出结论.
15．【答案】（1）P2，P3
（2）解：①由A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）可知，当P在△ABC内部时，BP≠AC，
②当AP＝BP，∠ABP＝45°时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AG⊥PH于G，如图：
∵AP＝BP，∠ABP＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPH＝90°﹣∠APG＝∠PAG，
∵∠BHP＝90°＝∠G，
∴△BPH≌△PAG（AAS），
∴PH＝AG，BH＝PG，
设P（p，q），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴，
解得；
∴P（2，2）；
③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，过A作AQ⊥BP交BP延长线于Q，如图：
∵B（﹣4，0），C（4，0），
∴B，C关于y轴对称，
∵BP＝CP，
∴P在y轴上，
同②可得Q（2，2），
由B（﹣4，0），Q（2，2）得直线BQ解析式为y＝x+，
在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴P（0，）；
综上所述，P的坐标为（2，2）或（0，）；
（3）＜m＜4．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），P1（﹣1，1），
∴，，
，，
∴，
∴P1（﹣1，1）不是△ABC的和谐点；
∵，
∴，，
∴，
∵在内，
∴是的和谐点；
∵，
∴，，
∴
∵在内，
∴是的和谐点；
故答案为：，.
（3）解：由题意知，△ABC的和谐点P，满足AP＝BP或BP＝CP，
若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，
若BP＝CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，即y轴上；
设AB的中点为K，线段AB的垂直平分线交AC于T，如图，
设直线的解析式为：，
∵ A（0，8），C（4，0）
则，
解得：，
∴ 直线AC解析式为y＝﹣2x+8，
设T（t，﹣2t+8），
∵AT＝BT，
∴t2+（﹣2t+8﹣8）2＝（t+4）2+（﹣2t+8）2，
解得t＝，
∴T（，），
∵A（0，8），B（﹣4，0），
∴线段AB的中点K（﹣2，4）；
∵直线l上存在△ABC的两个和谐点，
∴直线l与y轴，线段KT都相交，
∴＜m＜4．
【分析】（1）根据各点的坐标分别求出相应线段的长度，进行逐一判断即可.
（2）分①BP=AC；②AP＝BP，∠ABP＝45°时；③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，三种情况分析即可.
（3）由题意知，的和谐点P，满足或；根据若，则点P在线段的垂直平分线上，若，则点P在线段的垂直平分线上，即y轴上，先利用待定系数法求得AC的解析式，再求得点T的坐标，进而分析即可.
16．【答案】（1）解：如图，△ABD即为所求共边直角三角形，
（2）证明：如图，连接 AE，DE
∵E 点是 BC 中点，
∴AE，DE 分别是 Rt△ABC 和 Rt△DBC 斜边上的中线，
∴AE＝ BC，DE＝ BC，
∴AE＝DE，
∴△ADE 是等腰三角形，
∵F 点是 AD 中点，
∴EF⊥AD
（3）证明：分别延长 AC、BD 交于点 F，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠F+∠DBC＝90°，∠DCF+∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠DCF，
∴DC＝DF，
∴BD＝DF，又 AD⊥BF，
∴AB＝AF，又 AD⊥BF，
∴AD 平分∠CAB
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）以AB为斜边，作一个不与原三角形重合的直角三角形即可；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到EA=ED，结合三线合一进行说明即可；
（3）根据BD＝CD得到∠DCB＝∠DBC，进而得到∠F＝∠DCF，DC＝DF=DB，结合三线合一说明即可.
17．【答案】（1）
（2）证明：∵是“方倍三角形”，且，
∴AB2+AC2=2AB2=2BC2，
∴AB=BC，
即AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形；
（3）解：由折叠知△ABP≌△DBP，
∴BA=BD，∠ABP=∠DBP，
由“方倍三角形"定义可得AB2+BD2=2AD2=2BA2，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD=60°，
∴∠ABP=∠DBP=30°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴∠APB=135°，
由折叠知：∠DPB=∠APB=135°，
∴∠DPC=90°，
∵∠ABC=120°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=15°，
∴∠CAD=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴AP=DP=，
∴AD=2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP=∠PBD，
∴BE⊥AD，PE=AD=AE=1，
∴BE==，
∴PB=BE-PE=-1，
∴PC=PB=-.
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）设的两直角边为a、b，则a2+b2=3①，
根据“方倍三角形"的定义得：a2+3=2b2②，
联立①②解得a=1，b=，
∴ 三角形的面积为×1×=，
故答案为：；
【分析】（1）设Rt△ABC的两直角边为a、b，由勾股定理得a2+b2=3①，根据“方倍三角形"的定义得：a2+3=2b2②，联立①②求出a、b值，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据“方倍三角形"的定义解答即可；
（3）由折叠及“方倍三角形"的定义可得△ABD为等边三角形，从而推出△PAD为等腰直角三角形，可得AP=DP=，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出PE，再根据等腰直角三角形可得PC=PB，即可得解.
18．【答案】（1）解：①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
．
（2）解：AD＝CB，理由如下：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
∴AD＝CB；
（3）解：过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；定义新运算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）①由勾股高三角形的定义知：等腰直角三角形是勾股高三角形 ；
故答案为：是；
【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义判断即可；
②勾股定理可得CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，再根据勾股高三角形定义可得CD2的值，据此求解即可；
（2）由CA2﹣CB2＝CD2可得CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，从而推出AD2＝CB2，继而得解；
（3）过点A向ED引垂线，垂足为G，用AAS证明△AGD≌△CDB，可得DG＝BD，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
19．【答案】（1）3
（2）解：如图 2，设点A到BC的距离为h，
∵△ABD 与△ACD 是偏等积三角形，
∴S△ABD=S△ACD.
∴，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，
在△ECD 和△ABD 中，
∴△ECD≌△ABD（AAS），∴ED＝AD，EC＝AB＝2，
∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，且 AC＝4，AE＝2AD，∴4﹣2＜2AD＜4+2，∴1＜AD＜3，
∵线段 AD 的长度为正整数，∴AD＝2，∴AE＝4。
（3）解：①180；
②BE＝2AF，理由如下：延长 AF 至 G，使 GF＝AF，连接 DG，
如图 3 所示：∵F 为 CD 的中点，∴DF＝CF
在△GDF 和△ACF中，
∴△GDF≌△ACF（SAS），
∴∠DGF＝∠CAF，GD＝AC，
∴DG∥AC，
∴∠CAD+∠GDA＝180°，
∵∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠GDA＝∠BAE，
∵AC＝AB，
∴GD＝AB，
在△ADG 和△EAB 中，
∴△ADG≌△EAB（SAS），
∴AG＝BE，
∵AG＝2AF，
∴BE＝2AF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）当点P为AC的中点时，AP=AC=3，
此时S△ABP=S△BCP，但△ABP与△BCP不全等 ，
∴△ABP与△BCP为偏等积三角形.
故答案为：3；
（3）①∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∠CAB+∠DAE+∠CAD+∠BAE＝360°，
∴∠CAD+∠BAE＝180°， 故答案为 180；
【分析】（1）当点P为AC的中点时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
（2）先利用偏等积三角形的定义证明BD＝CD，再根据平行线的性质证明∠E＝∠BAD，结合对顶角相等，可利用AAS证明△ECD≌△ABD，然后根据全等三角形的性质可得ED＝AD，EC＝AB＝2， 再利用三边关系求出AD的范围，最后求出AE的长.
（3） ①利用周角的意义，求出∠CAD+∠BAE；
② 先利用SAS证明△GDF≌△ACF，再根据平行线的判定，证得DG∥AC， 然后根据平行线的性质，得出∠CAD+∠GDA＝180°，结合 ① 中的结果，可证∠GDA＝∠BAE，再利用SAS证明△ADG≌△EAB，然后结合全等三角形的性质，得出BE＝2AF.
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