新情境型—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八上·浦江期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列F关于S的函数图象正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．
∴过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）先不变，再逐渐变小，最后再不变，
∴符合题意的图象是C．
故答案为：C.
【分析】根据铁块排开水的体积的变化得到函数图象即可解题．
2．（2024八上·路桥期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】由题意可得：
在△AOB和△A'OB'中
∴△AOB≌△A'OB'（SAS）
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
3．（2024八上·上城期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
4．（2024八上·浙江期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，则射线AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SSS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解： 由AB＝AD，BC＝DC ，且AC为公共边，可利用SSS证明全等，从而得到角平分线，
故答案为：A.
【分析】两个三角形三边对应相等，这两个三角形全等，即利用SSS可解释角平分仪原理.
5．（2024八上·衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
6．（2024八上·诸暨期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
故答案为：B．
【分析】利用SAS得到△ABC≌△DEC，即可解题．
7．（2024八上·鄞州期末）某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a、b分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分）之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是（ ）
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；
②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；
③步行的速度是7.5千米/时；
④骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
8．（2024八上·浦江期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：小长方形的宽是a，长是b，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∵内部小正方形面积为9，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴最外围的大正方形的边长是，
故答案为：D.
【分析】设小长方形的宽是a，长是b，，利用勾股定理可得，再根据，可得，解题即可．
二、填空题
9．（2024八上·鄞州期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长交于点，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】延长交于点，利用三角形内角和定理得到，然后根据邻补角得到，再根据三角形外角性质得到解题．
10．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
11．（2024八上·婺城期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；求代数式的值-直接代入求值
12．（2024八上·义乌期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ．
【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，
因为点E是的中点，由对称性可得
∴
的最小值的值为：
故答案为：．
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，
∴
∴
∴为等边三角形，
，，
垂直平分，
同理，
，
，
，即，
，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，然后利用勾股定理求的长解题；
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，得到为等边三角形，然后利用勾股定理解题即可．
13．（2025八上·温州期中） 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为 cm .
【答案】
【知识点】全等三角形的应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过N作NK⊥BP交EF于J点，延长GM交EB于L点，
由题易得△ELM≌△EJN，
设LM=JN=x，则EJ=x+16-2=x+14，EL=FG=34-x，
∵EJ=EL，
∴x+14=34-x，解得x=10，
则BK=10+16-2=24cm，
∵OA=OF=10+16=26cm，
∴NK=3+26+10=39cm，
在Rt△NKP中，∠P=60°，
∴KP==cm，
故BP=cm，
故答案为：.
【分析】本题根据△ELM≌△EJN，利用对应边相等列方程求解出相关线段，结合含60°的直角三角形三边关系求解即可.
三、作图题
14．（2024八上·浦江期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在其中．”记赤石为点，杉树为点，洞穴为点．
（1）根据这段记载，请使用数学知识对点与线段之间的关系进行描述．
（2）若在藏宝图上建立适当的坐标系，点的坐标分别为，点到线段的距离为5个单位长度，求出洞穴到赤石的距离．
【答案】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置，如图所示：
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）如图，建立坐标系如下：
由题意可得：，，而，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可确定洞穴的位置；
（2）根据点A和点B的坐标建立坐标系，然后根据勾股定理解题即可．
四、解答题
15．（2024八上·瑞安开学考）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
16．（2024八上·海曙期末）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩.2022年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2023年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个．已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2024年再安装A、B两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
【答案】（1）解：设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意，得，
解这个方程组，得
答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元
（2）解：设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了个，投入的总费用为w万元，根据题意，得．
解这个不等式，得
投入的总费用．
∴，
∵，∴w随m增大而减小，
∵m为正整数，当m取最大值66时，
w的最小值为（万元）．
答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解；
（2）设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了个，投入的总费用为w万元，根据题意，得，即，投入的总费用，然后根据一次函数的性质求出最值即可得解.
17．（2023八上·平湖期末）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，某地房管部门出台了一个购买首套商品房的政策性方案，部分方案如表所示.若小张家共有4口人，想利用这个政策购买首套房.
人均住房面积（m2） 单价（万元/m2）
不超过30（m2）不超过45（m2）部分 1.2
超过30（m2） 1.4
超过45（m2）部分 1.6
（1）若小张家欲购买140m2的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）若设小张家购买商品房的人均面积为x（m2），缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式：
（3）若小张家购买商品房所承受的总房款大于247.2万元但不超过260万元，那么在
这个承受范围内，他家购买的商品房的人均面积的范围是多少平方米
【答案】（1）解： 20×1.2+20×1.4=172(万元)，
答： 应缴纳的房款为172万元
（2）解：当x<30时，y=4x×1.2=4.8x
当30当45（3）解：当购买商品房的人均面积为 ， 应缴纳房款 228 万元
小张家购买商品房所承受的总房款大于 247.2 万元但不超过 260 万元
解得：
答： 小张家购买的商品房的人均面积的范围是大于 平方米但不超过 平方米
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法运算解题即可；
（2）分为x<30，30（3）通过计算发现小张家购买商品房的人均面积超过45m2，然后列不等式计算即可.
18．（2024八上·新昌期末）某商店经营2023杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售10套A型和20套B型礼盒的利润和为400元，销售20套A型和10套B型礼盒的利润和为350元．
（1）分别求销售每套A型礼盒和B型礼盒的利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共100套，其中B型礼盒的进货量不超过A型礼盒的2倍，设购进A型礼盒x套，全部售出这100套礼盒的总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式．
②该商店购进A型、B型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A型礼盒的利润为a元，B型礼盒的利润为b元．由题意得：
解得
答：每套A型礼盒的利润为10元，每套B型礼盒的利润为15元．
（2）解：①∵购进A型礼盒x套．
∴购进B型礼盒套．
∴．
∵
∴
②∵，y随x的增大而减少．
∵x为正整数．
∴当时，y取到最大值．
（元）．
答：该商店购进A型34套、B型礼盒66套时，才能使总利润最大，为1330元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系： 10套A型礼盒的利润＋20套B型礼盒的利润＝400元，20套A型礼盒的利润＋10套B型礼盒的利润＝350元． 再利用等量关系列方程求解即可；
（2）①设购进A型礼盒x套，则购进B型礼盒套，利用等量关系y=A型礼盒的利润＋B型礼盒的利润即可得到y关于x的函数表达式；根据0②由一次函数的一次项系数判断函数的增减性，从而可确定取得最大值的情况.
19．（2024八上·上城期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
【答案】（1）解：根据题意得：容器的底面积为，
一个大玻璃球的体积为．
答：一个大玻璃球的体积为；
（2）解：设一个小玻璃球的体积是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：一个小玻璃球体积的大于且不大于．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）利用容器倒入水的体积=容器的底面积 x 水面的高度，可求出容器的底面积，再根据一个大玻璃球的体积=容器的底面积×放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可算出一个大玻璃球的体积；
（2）)设一个小玻璃球的体积是xcm3，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可.
20．（2024八上·义乌期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．
（1）求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍．
①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？
②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，
根据题意得：，解得：．
答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元
（2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件，
根据题意得：，解得：
又均为正整数，
可以为
∴该商店共有3种进货方案．
②
，w随的增大而增大，
当时，最大，最大利润是元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）①设购进宸宸件，根据题意列不等式组求出m的取值范围，然后利用m和均为正整数，求出m的值即可解题；
②列出利润的关系式然后根据一次函数的增减性，结合m的取值即可求解．
（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，
根据题意得：，解得：．
答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元；
（2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件，
根据题意得：，解得：
又均为正整数，可以为该商店共有3种进货方案．
②
，w随的增大而增大，
当时，最大，最大利润是元．
21．（2024八上·鄞州期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克
（2）安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一次函数的实际应用-销售问题
五、实践探究题
22．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
23．（2024八上·浦江期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题．
项目 内容
材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．
材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下： 套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元 套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个
任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围．
任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数．
任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案．
【答案】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为，
∴把代入可得：，
解得：，
此时解析式为，
当且为整数时，设此时函数解析式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴此时函数解析式为：，
任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意，
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元，
再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意，
选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意，
∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．
任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下，
∴肉包买20个，菜包买0个，
设购买豆浆碗，
选择方案一：，
解得：，
∴的最大值为：，
选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包，
∴，
解得：，
∴的最大值为：，
选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个，
∴，
解得：，
此时购买豆浆的最大数量为（碗），
选择B套餐10份，则肉包有20个，
∴，
解得：，
此时购买豆浆的最大数量为（碗），
同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗，
综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数的解析式即可；
（2）根据套餐中豆浆的数量，选择购买方式即可；
（3）分三种方案，列不等式进行讨论解题即可．
1 / 1新情境型—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八上·浦江期末）科学课上，老师将一块铁块绑在细绳上，并挂在弹簧测力计上．现将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．将过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）记为，铁块离开原位的距离（横坐标）为．则下列F关于S的函数图象正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·路桥期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
3．（2024八上·上城期末）有一块长方形菜园，一边利用足够长的墙，另三边用长度为的篱笆围成，设长方形的长为 ，宽为 ，则下列函数图象能反映与关系的是
A． B．
C． D．
4．（2024八上·浙江期中）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，则射线AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪作图所运用的数学知识是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（2024八上·衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A．以上，以下 B．以上，以下
C．以上，以下 D．以上，以下
6．（2024八上·诸暨期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．（2024八上·鄞州期末）某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，a、b分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分）之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是（ ）
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；
②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；
③步行的速度是7.5千米/时；
④骑车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024八上·浦江期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·鄞州期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ．
10．（2024八上·浙江期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ．
11．（2024八上·婺城期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ．
12．（2024八上·义乌期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，中，，若在上取一点，则的值最小值是 ．
13．（2025八上·温州期中） 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为 cm .
三、作图题
14．（2024八上·浦江期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在其中．”记赤石为点，杉树为点，洞穴为点．
（1）根据这段记载，请使用数学知识对点与线段之间的关系进行描述．
（2）若在藏宝图上建立适当的坐标系，点的坐标分别为，点到线段的距离为5个单位长度，求出洞穴到赤石的距离．
四、解答题
15．（2024八上·瑞安开学考）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
16．（2024八上·海曙期末）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩.2022年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2023年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个．已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2024年再安装A、B两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
17．（2023八上·平湖期末）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，某地房管部门出台了一个购买首套商品房的政策性方案，部分方案如表所示.若小张家共有4口人，想利用这个政策购买首套房.
人均住房面积（m2） 单价（万元/m2）
不超过30（m2）不超过45（m2）部分 1.2
超过30（m2） 1.4
超过45（m2）部分 1.6
（1）若小张家欲购买140m2的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）若设小张家购买商品房的人均面积为x（m2），缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式：
（3）若小张家购买商品房所承受的总房款大于247.2万元但不超过260万元，那么在
这个承受范围内，他家购买的商品房的人均面积的范围是多少平方米
18．（2024八上·新昌期末）某商店经营2023杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售10套A型和20套B型礼盒的利润和为400元，销售20套A型和10套B型礼盒的利润和为350元．
（1）分别求销售每套A型礼盒和B型礼盒的利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共100套，其中B型礼盒的进货量不超过A型礼盒的2倍，设购进A型礼盒x套，全部售出这100套礼盒的总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式．
②该商店购进A型、B型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
19．（2024八上·上城期末）如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
（1）求一个大玻璃球的体积；
（2）放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
20．（2024八上·义乌期末）为了抓住亚运会商机，某商店决定购进宸宸，莲莲两种亚运会纪念品，若购进宸宸10件，莲莲5件，需要1000元；若购进宸宸5件，莲莲3件，需要550元．
（1）求购进宸宸，莲莲两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进宸宸的数量不少于莲莲数量的6倍，且不超过莲莲数量的8倍．
①设购进宸宸m件，则购进莲莲件(用含m的代数式表示)，该商店共有几种进货方案？
②若销售宸宸每件可获利润20元，莲莲每件可获利润30元，销售这两种亚运会纪念品的利润为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最大利润是多少元？
21．（2024八上·鄞州期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
五、实践探究题
22．（2024八上·上城期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
（1）【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
（2）【任务2】设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
（3）当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
23．（2024八上·浦江期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题．
项目 内容
材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．
材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下： 套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元 套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个
任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围．
任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数．
任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：将该铁块慢慢从水面上方一定距离浸入水中，直至完全浸没．
∴过程中弹簧测力计的示数（纵坐标）先不变，再逐渐变小，最后再不变，
∴符合题意的图象是C．
故答案为：C.
【分析】根据铁块排开水的体积的变化得到函数图象即可解题．
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】由题意可得：
在△AOB和△A'OB'中
∴△AOB≌△A'OB'（SAS）
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】函数的图象
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SSS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解： 由AB＝AD，BC＝DC ，且AC为公共边，可利用SSS证明全等，从而得到角平分线，
故答案为：A.
【分析】两个三角形三边对应相等，这两个三角形全等，即利用SSS可解释角平分仪原理.
5．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
故答案为：B．
【分析】利用SAS得到△ABC≌△DEC，即可解题．
7．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
8．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：小长方形的宽是a，长是b，，
由勾股定理可得，，
即，
解得，
∵内部小正方形面积为9，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴最外围的大正方形的边长是，
故答案为：D.
【分析】设小长方形的宽是a，长是b，，利用勾股定理可得，再根据，可得，解题即可．
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长交于点，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】延长交于点，利用三角形内角和定理得到，然后根据邻补角得到，再根据三角形外角性质得到解题．
10．【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PN⊥OB，如图，
∵
∴OP平分∠AOB，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：3.
【分析】过点P作PN⊥OB，进而逆用角平分线的性质得到OP平分∠AOB，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到进而即可求解.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；求代数式的值-直接代入求值
12．【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，
因为点E是的中点，由对称性可得
∴
的最小值的值为：
故答案为：．
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，如图，
∴
∴
∴为等边三角形，
，，
垂直平分，
同理，
，
，
，即，
，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，然后利用勾股定理求的长解题；
（2）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，得到为等边三角形，然后利用勾股定理解题即可．
13．【答案】
【知识点】全等三角形的应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过N作NK⊥BP交EF于J点，延长GM交EB于L点，
由题易得△ELM≌△EJN，
设LM=JN=x，则EJ=x+16-2=x+14，EL=FG=34-x，
∵EJ=EL，
∴x+14=34-x，解得x=10，
则BK=10+16-2=24cm，
∵OA=OF=10+16=26cm，
∴NK=3+26+10=39cm，
在Rt△NKP中，∠P=60°，
∴KP==cm，
故BP=cm，
故答案为：.
【分析】本题根据△ELM≌△EJN，利用对应边相等列方程求解出相关线段，结合含60°的直角三角形三边关系求解即可.
14．【答案】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置于，该点即为洞穴的位置，如图所示：
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）如图，建立坐标系如下：
由题意可得：，，而，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可确定洞穴的位置；
（2）根据点A和点B的坐标建立坐标系，然后根据勾股定理解题即可．
15．【答案】（1）解：设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，
依据题意得：，
解得：，
∴A，B两种机器人每台每小时各分拣40件、50件包裹；
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，
依据题意得：40m+50（200-m）≥9000，
解得：m≤100，
∴最多应购进A种机器人100台.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种机器人每台每小时各分拣x件、y件包裹，根据”启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹“列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据”购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件“列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取最大整数解即可.
（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
16．【答案】（1）解：设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意，得，
解这个方程组，得
答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元
（2）解：设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了个，投入的总费用为w万元，根据题意，得．
解这个不等式，得
投入的总费用．
∴，
∵，∴w随m增大而减小，
∵m为正整数，当m取最大值66时，
w的最小值为（万元）．
答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解；
（2）设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了个，投入的总费用为w万元，根据题意，得，即，投入的总费用，然后根据一次函数的性质求出最值即可得解.
17．【答案】（1）解： 20×1.2+20×1.4=172(万元)，
答： 应缴纳的房款为172万元
（2）解：当x<30时，y=4x×1.2=4.8x
当30当45（3）解：当购买商品房的人均面积为 ， 应缴纳房款 228 万元
小张家购买商品房所承受的总房款大于 247.2 万元但不超过 260 万元
解得：
答： 小张家购买的商品房的人均面积的范围是大于 平方米但不超过 平方米
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法运算解题即可；
（2）分为x<30，30（3）通过计算发现小张家购买商品房的人均面积超过45m2，然后列不等式计算即可.
18．【答案】（1）解：设A型礼盒的利润为a元，B型礼盒的利润为b元．由题意得：
解得
答：每套A型礼盒的利润为10元，每套B型礼盒的利润为15元．
（2）解：①∵购进A型礼盒x套．
∴购进B型礼盒套．
∴．
∵
∴
②∵，y随x的增大而减少．
∵x为正整数．
∴当时，y取到最大值．
（元）．
答：该商店购进A型34套、B型礼盒66套时，才能使总利润最大，为1330元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系： 10套A型礼盒的利润＋20套B型礼盒的利润＝400元，20套A型礼盒的利润＋10套B型礼盒的利润＝350元． 再利用等量关系列方程求解即可；
（2）①设购进A型礼盒x套，则购进B型礼盒套，利用等量关系y=A型礼盒的利润＋B型礼盒的利润即可得到y关于x的函数表达式；根据0②由一次函数的一次项系数判断函数的增减性，从而可确定取得最大值的情况.
19．【答案】（1）解：根据题意得：容器的底面积为，
一个大玻璃球的体积为．
答：一个大玻璃球的体积为；
（2）解：设一个小玻璃球的体积是 ，
根据题意得：，
解得：．
答：一个小玻璃球体积的大于且不大于．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）利用容器倒入水的体积=容器的底面积 x 水面的高度，可求出容器的底面积，再根据一个大玻璃球的体积=容器的底面积×放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可算出一个大玻璃球的体积；
（2）)设一个小玻璃球的体积是xcm3，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可.
20．【答案】（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，
根据题意得：，解得：．
答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元
（2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件，
根据题意得：，解得：
又均为正整数，
可以为
∴该商店共有3种进货方案．
②
，w随的增大而增大，
当时，最大，最大利润是元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）①设购进宸宸件，根据题意列不等式组求出m的取值范围，然后利用m和均为正整数，求出m的值即可解题；
②列出利润的关系式然后根据一次函数的增减性，结合m的取值即可求解．
（1）解：设购进宸宸每件需元，莲莲每件需元，
根据题意得：，解得：．
答：购进宸宸每件需50元，莲莲每件需100元；
（2）解：①设购进宸宸件，则购进莲莲件，
根据题意得：，解得：
又均为正整数，可以为该商店共有3种进货方案．
②
，w随的增大而增大，
当时，最大，最大利润是元．
21．【答案】（1）甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克
（2）安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一次函数的实际应用-销售问题
22．【答案】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
（2）解：背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点防地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
【知识点】一次函数的实际应用；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）直接描点作图；利用待定系数法求出函数关系式，并求出x的最值；当y=70时求出a的值即可；
（2）由“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和x与y之间的函数关系式，得背带的总长度为-2x+120+x=-x+120，再根据背带总长度与身高的比例关系列出等式化简即可；
（3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时x的值，从而得出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为h，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度为，再根据头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，得，将h代入（2）中得到的函数关系式，求出x的值即可.
23．【答案】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为，
∴把代入可得：，
解得：，
此时解析式为，
当且为整数时，设此时函数解析式为，
把，代入可得：
，
解得：，
∴此时函数解析式为：，
任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗．
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意，
选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元，
再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意，
选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意，
∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．
任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下，
∴肉包买20个，菜包买0个，
设购买豆浆碗，
选择方案一：，
解得：，
∴的最大值为：，
选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包，
∴，
解得：，
∴的最大值为：，
选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个，
∴，
解得：，
此时购买豆浆的最大数量为（碗），
选择B套餐10份，则肉包有20个，
∴，
解得：，
此时购买豆浆的最大数量为（碗），
同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗，
综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数的解析式即可；
（2）根据套餐中豆浆的数量，选择购买方式即可；
（3）分三种方案，列不等式进行讨论解题即可．
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