开放型—浙江省八（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2024八上·瓯海期末）如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
2．（2024八上·义乌期中）如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（不添加辅助线）
【答案】AD＝CD或∠ABD=∠CBD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，AB=BC，BD=BD，
若添加AD=CD，则 △ABD≌△CBD （SSS），
若添加∠ABD=∠CBD，则△ABD≌△CBD （SAS）.
故答案为：AD＝CD或∠ABD=∠CBD.
【分析】根据SSS和SAS即可判定△ABD≌△CBD.
3．（2023八上·新昌期中）如图，在RtABC与RtDCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使RtABC≌RtDCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
【答案】AB=DC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①添加：AB=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
②添加：AC=BD，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
③添加：∠ABC=∠DCB，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
④添加：∠ACB=∠DBC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
故答案为：AB=DC或AC=BD或∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC(答案不唯一) ．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法“斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”或“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合题意即可求解．
4．（2024八上·海曙期末）在平行四边形中，边上的高为，，，则平行四边形周长等于 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
在平行四边形中，边上的高为4，，
由勾股定理得：， ，
，
，
的周长等于
如图2所示：
在中，边上的高为4，，
根据勾股定理得：，
，
的周长等于：，
则的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
【分析】根据题意分类讨论：边上的高在平行四边形的内部和外部分别画出图形，进而利用勾股定理求出解即可．
5．（2024八上·柯桥期中）如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 ．
【答案】∠A=∠C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：由题意得， 则要用AAS来证明 ，还需要条件一角相等 (不能使是两组相等角的夹边) ， 即 所以还需添加的一个条件是
故答案为：
【分析】根据题意可知 则需要添加一角相等，据此求解即可.
6．（2024八上·临海期中）如图，点E是AC的中点，要使△ADE≌△CFE，还需添加一个条件可以是 （只需写出一种情况）
【答案】AD∥CF等
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥CF，
∴∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠EFC，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴ △ADE≌△CFE (AAS)，
故答案为：AD∥CF.
【分析】由平行线的性质得到∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠EFC，由线段中点的定义得到AE=CE，由此即可利用AAS证明△ADE≌△CFE.
7．（2024八上·瑞安期中）如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是 ．
【答案】AB=CD或BO=CO
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB ⊥ BO，CD ⊥ CO，
∴∠ABO=∠DCO =90°，
AB=CD或BO=CO，符合两直角三角形全等的判定定理HL；
故答案为：AB=CD或BO=CO.
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
8．（2024八上·鹿城期中）如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 （图形中不再增加其他字母）．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，，
①添加∠ACB=∠DBC时，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
②添加AB=CD时，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
综上可得：可添加或．
故答案为：（或（答案不唯一）．
【分析】由题意，根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等”并结合图形即可判断求解．
二、解答题
9．（2024八上·杭州期中）已知的三边，，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
【答案】（1）解：∵的三边，，，而，，，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形
（2）解：当时，直角三角形的边长为；
当时，直角三角形的边长为
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的判定定理：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，给三边分别平方，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；
（2）依据，均为正整数，即可得到直角三角形的边长．
（1）解：∵的三边，，，
而，，，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形；
（2）当时，直角三角形的边长为；
当时，直角三角形的边长为．（答案不唯一）
10．（2024八上·临海期中）下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度.
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪
标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
请你帮助小聪组完成下列任务.
（1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.
【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或点C，D分别在 AO，BO 的延长线上或A，O，C；B，O，D 三点共线等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的宽度 AB 为 360 米.
（3）解：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD=60°，确定AD的方向；同理使∠ABE=60°，确定BE 的方向：然后找到两个方向的交汇处点 C：量出 AC的长度，即为小山坡的宽度 AB(测量方案只要符合即可).
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根据“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性质来测量.
1 / 1开放型—浙江省八（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2024八上·瓯海期末）如图所示，在同一直线上，，，要使，需添加的一个条件是________，并说明理由．
2．（2024八上·义乌期中）如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（不添加辅助线）
3．（2023八上·新昌期中）如图，在RtABC与RtDCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使RtABC≌RtDCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
4．（2024八上·海曙期末）在平行四边形中，边上的高为，，，则平行四边形周长等于 ．
5．（2024八上·柯桥期中）如图，已知∠1＝∠2，要用AAS来证明△ABD≌△CDB，还需添加的一个条件为 ．
6．（2024八上·临海期中）如图，点E是AC的中点，要使△ADE≌△CFE，还需添加一个条件可以是 （只需写出一种情况）
7．（2024八上·瑞安期中）如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO，CD⊥CO，AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是 ．
8．（2024八上·鹿城期中）如图，已知，要使，只需增加的一个条件是 （图形中不再增加其他字母）．
二、解答题
9．（2024八上·杭州期中）已知的三边，，．
（1）求证：是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
10．（2024八上·临海期中）下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度.
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪
标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡 的宽度AB 在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA. OD =OB OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m
请你帮助小聪组完成下列任务.
（1）任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
2．【答案】AD＝CD或∠ABD=∠CBD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，AB=BC，BD=BD，
若添加AD=CD，则 △ABD≌△CBD （SSS），
若添加∠ABD=∠CBD，则△ABD≌△CBD （SAS）.
故答案为：AD＝CD或∠ABD=∠CBD.
【分析】根据SSS和SAS即可判定△ABD≌△CBD.
3．【答案】AB=DC(答案不唯一)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①添加：AB=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
②添加：AC=BD，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
③添加：∠ABC=∠DCB，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
④添加：∠ACB=∠DBC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
故答案为：AB=DC或AC=BD或∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC(答案不唯一) ．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法“斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”或“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合题意即可求解．
4．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
在平行四边形中，边上的高为4，，
由勾股定理得：， ，
，
，
的周长等于
如图2所示：
在中，边上的高为4，，
根据勾股定理得：，
，
的周长等于：，
则的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
【分析】根据题意分类讨论：边上的高在平行四边形的内部和外部分别画出图形，进而利用勾股定理求出解即可．
5．【答案】∠A=∠C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
解：由题意得， 则要用AAS来证明 ，还需要条件一角相等 (不能使是两组相等角的夹边) ， 即 所以还需添加的一个条件是
故答案为：
【分析】根据题意可知 则需要添加一角相等，据此求解即可.
6．【答案】AD∥CF等
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥CF，
∴∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠EFC，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴ △ADE≌△CFE (AAS)，
故答案为：AD∥CF.
【分析】由平行线的性质得到∠EAD=∠ECF，∠EDA=∠EFC，由线段中点的定义得到AE=CE，由此即可利用AAS证明△ADE≌△CFE.
7．【答案】AB=CD或BO=CO
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AB ⊥ BO，CD ⊥ CO，
∴∠ABO=∠DCO =90°，
AB=CD或BO=CO，符合两直角三角形全等的判定定理HL；
故答案为：AB=CD或BO=CO.
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
8．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：，，
①添加∠ACB=∠DBC时，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
②添加AB=CD时，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
综上可得：可添加或．
故答案为：（或（答案不唯一）．
【分析】由题意，根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等”并结合图形即可判断求解．
9．【答案】（1）解：∵的三边，，，而，，，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形
（2）解：当时，直角三角形的边长为；
当时，直角三角形的边长为
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的判定定理：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，给三边分别平方，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；
（2）依据，均为正整数，即可得到直角三角形的边长．
（1）解：∵的三边，，，
而，，，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形；
（2）当时，直角三角形的边长为；
当时，直角三角形的边长为．（答案不唯一）
10．【答案】（1）解：∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°或点C，D分别在 AO，BO 的延长线上或A，O，C；B，O，D 三点共线等.
（2）解：∵OA=OC， OB=OD， ∠COD=∠AOB.
∴△COD≌△AOB.
∴CD=AB=360 m.
答：小山坡的宽度 AB 为 360 米.
（3）解：如图，先在B处立一根标杆，使∠BAD=60°，确定AD的方向；同理使∠ABE=60°，确定BE 的方向：然后找到两个方向的交汇处点 C：量出 AC的长度，即为小山坡的宽度 AB(测量方案只要符合即可).
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】(1)l利用∠AOB+∠BOC=180°， ∠AOB+∠AOD=180°，即可求解；
（2）根据“SAS”得出△COD≌△AOB，即可求解；
（3）可以利用全等的性质来测量.
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