《有理数、实数、绝对值与数轴》精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七上·嵊州期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如，，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】定义新运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：根据题意，添加一组绝对值有：
①|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n；②x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n；③x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n；④ x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n；
添加两组绝对值有：
⑤|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n；⑥|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n；⑦x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n；
不能添加3组绝对值，其中③和⑤，④和⑥的运算结果相同，故共有5种不同的运算结果.
故答案为：C.
【分析】分添加一组绝对值符号和添加两组绝对值符号两种情况，分别添加计算，排除运算结果相同的情况，即可得到不同的运算结果数.
2．（2024七上·嵊州期末）在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有种不同运算结果．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
添加一个绝对值时：共有4种情况，当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是
当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
共有7种情况； 其中两种计算结果相同，所以有5种不同结果.
故选： C.
【分析】分为一个绝对值和两个绝对值分别根据“绝对操作”计算，比较所得结果即可解题.
3．（2024七上·上城期末）已知：，且abc＞0，a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵m=++，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，在这些不同的m值中，最大的值为y.
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
∴m=++，
∴分三种情况讨论：
当a>0，b<0，c<0时，m=-1+2+（-3）=-2，
当b>0，a<0，c<0时，m=-1+（-2）+3=0，
当c>0，a<0，b<0时，m=1+（-2）+（-3）=-4，
∴m共有3个不同的值：-4，-2，0.最大的值为0.
∴x=3，y=0.
∴x+y=3.
故答案为：B.
【分析】根据题中给出的已知，讨论当a、b、c取不同的值的情况下得到的m的不同值，进而得到x的值，y的值，最后得出x+y的值.
4．（2024七上·嘉兴期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，
第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，
则第2022次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1次运算结果输出的是5+3=8；
第2次运算结果输出的是8×=4；
第3次运算结果输出的是4×=2；
第4次运算结果输出的是2×=1；
第5次运算结果输出的是1+3=4；
第6次运算结果输出的是4×=2；
第7次运算结果输出的是2×=1；
以此类推，……；
从第2次运算结果开始，每3次一循环；
∵（2022-1）÷3=673……2
∴第2022次输出的结果与第3次运算输出的结果相同为2
故答案为：B.
【分析】根据定义的运算程序总结规律，根据有理数的混合运算解题即可.
5．（2024七上·东阳期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．下列选项中错误的是（ ）
A．|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离
B．若满足|x﹣2|＋|x＋3|＝6|时，则x的值是﹣3.5或2.5
C．|5＋3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离
D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，A不符合题意；
B、当时，，解得；
当时，，
当时，，解得；
∴x的值是﹣3.5或2.5，B不符合题意；
C、表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离是为8，C符合题意；
D、、两点之间的距离为，D不符合题意；
故答案为：C.【分析】根据数轴上两点间的距离公式可求A、C、D，B选项需要按照x-2<0，x+3<0；x-2<0，x+3>0；x-2>0，x+3>0三种情况分类讨论即可.
二、填空题
6．（2024七上·东阳期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则a＋b的值是 ．
【答案】7或-6
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d
∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4
且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等
∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2
∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2
∴b=-1，c=-3，
当a=8时，d=-5，则
当a=-5时，d=8，则
故答案为：7或-6.
【分析】先根据数字总和是4，内外圈的4个数字之和都相等可得，内外圈的和为2，横竖也为2，再设出空白圈的数，列出方程求解即可.
7．（2024七上·鄞州期末）整数满足，其中，则的最大值是 ．
【答案】1024
【知识点】开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：整数满足，
为整数，
，
或或或，
或或或，
又∵时，，不成立，
又，
，
，即，
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
综上所述的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，
当整数的值为2，8，2时，；
当整数的值为2，8，时，；
当整数的值为2，，8时，；
当整数的值为2，，时，；
∴的最大值是1024．
故答案为：1024．
【分析】先根据列出b的所有可能取值，再代入特殊值a=3，式子值大于2024，求得a=1，分情况将a，b的值代入求出c，整数保留，其他舍去，最后将满足条件的代入计算取最大值即可.
8．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
9．（2024七上·诸暨期末）如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A 对应的数为，点B对应的数为m， 点C到原点的距离为2，且，则m的值为 ．
【答案】0或2或4
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点C到原点的距离为2，
∴点C对应的数为±2，
①当点C对应的数为2，
∴
∴
∴
∴
②当点C对应的数为-2，
∴
∴
∴
∴-6舍去，
综上所述，m的值为0或2或4，
故答案为：0或2或4.
【分析】根据两点间的距离得到：点C对应的数为±2，分两种情况讨论，①当点C对应的数为2，此时则BC=2，即可得到关于m的方程：②当点C对应的数为-2，此时则BC=4，即可得到关于m的方程：进而即可求解.
三、解答题
10．（2024七上·东阳期末）已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝ ，PC＝ ．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒点3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．
①在点Q向点C运动过程中，能否追上点P 若能，请求出点Q运动几秒追上．
②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位 如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）-26；-10；10
（2）t；36-t
（3）解：①在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒追上点P，根据题意得
3x＝1x+16，
解得x＝8．
答：在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上；
②分两种情况：
Ⅰ）点Q从A点向点C运动时，
如果点Q在点P的后面，那么1x+16﹣3x＝4，解得x＝6，此时点P表示的数是﹣4；
如果点Q在点P的前面，那么3x﹣（1x+16）＝4，解得x＝10，此时点P表示的数是0；
Ⅱ）点Q从C点返回到点A时，
如果点Q在点P的后面，那么3x+1x+16+4＝2×36，解得x＝13，此时点P表示的数是3；
如果点Q在点P的前面，那么3x+1x+16＝2×36+4，解得x＝15，此时点P表示的数是5．
答：在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为4个单位，此时点P表示的数分别是﹣4，0，3，5．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：(1)∵ 点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，∴点表示的数为；
∵点A与点B的距离为16个单位长度，点B在点A的右侧，-26+16=-10，∴ 点表示的数为；
∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数，∴点表示的数为10；
故答案为：，，10；
(2)，
；
故答案为：t，；
【分析】（1）根据数轴的定义和坐标特点写出即可.
（2）根据路程=速度时间，可得，可得即可.
（3）①根据点追上点时，点运动的路程与点运动的路程的关系，列出方程求解即可.
②分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的后面与点在点的前面；点从点返回到点时，又分点在点的后面与点在点的前面，进行讨论即可.
11．（2024七上·拱墅期末）如图，在数轴上A点表示的数，B点表示的数，C点表示的数，是最小的正整数，且，满足+=0
（1）求= ，= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则与C点重合的点对应的数是；
（3）若点A以每秒0.2个单位的速度向右运动，点C以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动.
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点A先运动秒后，点C开始运动，A，C两点恰好在点B处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点C是否有可能比点A多运动1.5个单位？说明理由.
【答案】（1）-2；1；4
（2）解：∵，，
∴，
∴ 与点重合的点对应的数是-5.
（3）解：①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
解得，
此时，
∴相遇处的点所表示的数为.
②设点C开始运动秒后，A、C在点B相遇，
根据题意得：，
解得，
∴的值为5.
③不可能．理由如下：
设A、C运动的时间为秒，
由题意得：，
解得，
∴点不可能比点多运动个单位.
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)、解：∵，
∴，
解得，
∵是最小的正整数.
故答案为：-2；1；4.
【分析】(1)、根据两个非负数的和等于0，得到每项都为0，逐一计算即可.
(2)、根据折叠和对称点的性质求解即可.
(3)、①根据点A和点C表示的两数相等，列出方程求解即可.
②根据A、C相遇后所表示的数为1列出二元一次方程组方程组，进而求解即可.
③根据，求出与12比较判断即可．
12．（2024七上·婺城期末）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGII，，，点A、B、E、F都在效轴上点A、点E表示的数分别为m、n，且满足．长方形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形．
（1）点B表示的数为 ，点F表示的数为 ．
（2）当时，求t的值．
（3）在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．
①S的最大值为 ．持续的时间为 秒：
②当时，点”所表示的数为 ．
【答案】（1）－5；14
（2）解：或3
（3）15；；3或9
【知识点】数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解： (1)∵|m+10|+(n-4)2=0，
∴m+10=0，n-4=0，
∴m=-10，n=4.
∴A点表示的数为-10，E点表示的数为4.
∵EF=2AB=10，
∴AB=5.
∵-10+5=-5，4+10=14，
∴B点表示的数为-5，F点表示的数为14.
(2)∵B点表示的数为-5，E点表示的数为4，
∴t秒后，点B'表示的数为：-5+2t，点E'表示的数为：4-t，
∵OB'=OE'，
∴|-5+2t|=|4-t|，
解得：t=1或t=3
∴t的值为1或3；
(3)①由题意得：当长方形A'B'C'D'完全落在长方形E'F'G'H'上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形A'B'C'D'的面积，为3×5=15，
t秒后，A'点表示的数为-10+2t，E'点表示的数为4-t，
当点A'与点E'重合时：-10+2t=4-t.
解得：t=.
∵点B'表示的数为：-5+2t，点F'表示的数为：14-t，
∴点B'与点F'重合时有，-5+2t=14-t，
解得t=.
∵-=(秒)，
∴S的最大值为15，持续的时间为5/3秒，
故答案为：15，.
【分析】(1)根据绝对值的非负性即可得解即可求解；
(2)根据题意，由OB'=OE'建立方程|-5+2t|=|4-t|，求解即可得出答案；
①分别求得A'点，与点E'重合、点B'与点F'重合所需时间，求出两个时间差即可；
②分两种情况：当点F'在线段A'B'上，当点E'在线段A'B'上，根据题意建立方程求解即可得出答案.
13．（2024七上·萧山期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，，求出的值．
【答案】（1）解：点表示数，点表示数5，
；
（2）解：对折后，点在点的右边，且，
点表示的数是，
点表示的数是；
（3）解：点以每秒1个单位长度的速度向左运动秒，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动秒，
运动后表示的数是，
运动后表示的数是，
①当点在的右边时，
，，
，
，
；
②当在的左边时，，，
，
，
，
综上所述，当点在的右边时，；当在的左边时，．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【分析】（1）用点C表示的数减去点A表示的数就是线段AC的长；
（2）根据对折后AC的长度和点C表示的数求出对折后的点A表示的数，然后根据对折的性质求出折点D所表示的数；
（3）分两种情况：①点C在点A右边；②点A在点C右边，每种情况下根据AC与AB之间的数量关系分别求出t值即可．
四、实践探究题
14．（2024七上·绍兴期末）【概念学习】
点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称点C是{A、B}的偶点．
如图1，点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是{A、B}的偶点；表示-1的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是{A、B}的偶点，但点D是{B、A}的偶点．
【初步探究】
已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点F是{M、N}的偶点，回答下列问题：
（1）当F在点M，N之间，点F表示的数为 ；
（2）当F为数轴上一点，点F表示的数为 ；
（3）【深入思考】如图2，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为，点Q表示的数为40，现有一个动点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？
【答案】（1）3
（2）3或11
（3）解：点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，则动点E的表示的数为， ，．
分四种情况讨论：
①当点E是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
②当点E是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
③当点Q是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
④点P是的偶点时，，
，
解得：（秒）
综上所述，当为10秒、15秒或20秒时，E、P、Q中恰有一个点为其余两点的偶点．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型
【解析】【解答】解：（1）设点F表示的数为x，
∵点F是{M、N}的偶点，且点F在M，N之间；
∴MF=2NF
∴MF=MN=×（5+1）=4
∴点F表示的数是x-(-1)=4，解得x=3.
故答案为：3.
（2）设点F表示的数为x，
则MF=|x-(-1)|，NF=|5-x|；
∵点F是{M、N}的偶点
∴MF=2NF
∴|x-(-1)=|5-x|，解得x=3或11；
故答案为：3或11.
【分析】（1）根据偶点的定义，列方程即可求解；
（2）根据偶点的定义，列含绝对值方程即可求解；
（3）分情况讨论，根据偶点的定义列方程求解解.
15．（2024七上·嘉兴期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，
研究数轴我们发现了许多重要的规律．
（1）【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
则A，B两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为 ；
②【类比探究】：线段的中点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）；
（3）【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，
同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中；
①M，N两点之间的距离为 ；（用含t的代数式表示）
②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为 （用含t的代数式表示）．
【答案】（1）12；
（2）；
（3）；
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离；用代数式表示实际问题中的数量关系；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：（1）A、B两点之间的距离=5-（-7）=12，线段AB的中点到A的距离=12÷2=6，
线段的中点表示的数为5-6=-1；
故答案为：12；-1.
（2）①两点间的距离为正数，当0＞a＞b时， A，B两点之间的距离为AB=|a-b|=a-b；
故答案为：a-b.
② 线段的中点表示的数为 a-=；
故答案为：.
（3）①运动时间为t时，MA=t，NB=2t；
M，N两点之间的距离为12-（t+2t）=12-3t；
故答案为：12-3t.
②AC=，BD=2t÷2=t；
∴线段CD的长=12-（+t）=12-t
故答案为：（12-t）.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，列代数式即可求出AB的长；根据数轴上点的特征和线段中点的性质，列代数式即可计算；
（2）①数轴上两点之间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数；
②数轴上线段的中点表示的数等于右边的点表示的数减去线段距离的一半长；
（3）①分别用含t的代数式表示MA和NB，根据线段的计算，即可列代数式求解；
②分别用含t的代数式表示AC和BD，根据线段的计算，即可列代数式求解.
1 / 1《有理数、实数、绝对值与数轴》精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七上·嵊州期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如，，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2024七上·嵊州期末）在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有种不同运算结果．（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·上城期末）已知：，且abc＞0，a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024七上·嘉兴期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，
第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，
则第2022次输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2024七上·东阳期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．下列选项中错误的是（ ）
A．|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离
B．若满足|x﹣2|＋|x＋3|＝6|时，则x的值是﹣3.5或2.5
C．|5＋3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离
D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6
二、填空题
6．（2024七上·东阳期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则a＋b的值是 ．
7．（2024七上·鄞州期末）整数满足，其中，则的最大值是 ．
8．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
9．（2024七上·诸暨期末）如图，在数轴上，点B在点A的右侧．已知点A 对应的数为，点B对应的数为m， 点C到原点的距离为2，且，则m的值为 ．
三、解答题
10．（2024七上·东阳期末）已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝ ，PC＝ ．
（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒点3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．
①在点Q向点C运动过程中，能否追上点P 若能，请求出点Q运动几秒追上．
②在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位 如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．
11．（2024七上·拱墅期末）如图，在数轴上A点表示的数，B点表示的数，C点表示的数，是最小的正整数，且，满足+=0
（1）求= ，= ，c= ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则与C点重合的点对应的数是；
（3）若点A以每秒0.2个单位的速度向右运动，点C以每秒0.3个单位的速度向左运动，直至两点相遇时停止运动.
①若两点同时开始运动，求相遇处的点所表示的数；
②若点A先运动秒后，点C开始运动，A，C两点恰好在点B处相遇，求的值；
③若两点同时开始运动，点C是否有可能比点A多运动1.5个单位？说明理由.
12．（2024七上·婺城期末）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGII，，，点A、B、E、F都在效轴上点A、点E表示的数分别为m、n，且满足．长方形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形EFGH以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形．
（1）点B表示的数为 ，点F表示的数为 ．
（2）当时，求t的值．
（3）在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为S．
①S的最大值为 ．持续的时间为 秒：
②当时，点”所表示的数为 ．
13．（2024七上·萧山期末）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数5，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示．
例如：．
（1）求线段的长；
（2）以数轴上某点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，求点表示的数；
（3）若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过秒时，，求出的值．
四、实践探究题
14．（2024七上·绍兴期末）【概念学习】
点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们就称点C是{A、B}的偶点．
如图1，点A表示的数为-2，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是{A、B}的偶点；表示-1的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是{A、B}的偶点，但点D是{B、A}的偶点．
【初步探究】
已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点F是{M、N}的偶点，回答下列问题：
（1）当F在点M，N之间，点F表示的数为 ；
（2）当F为数轴上一点，点F表示的数为 ；
（3）【深入思考】如图2，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为，点Q表示的数为40，现有一个动点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？
15．（2024七上·嘉兴期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，
研究数轴我们发现了许多重要的规律．
（1）【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
则A，B两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为 ；
②【类比探究】：线段的中点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）；
（3）【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，
同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中；
①M，N两点之间的距离为 ；（用含t的代数式表示）
②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为 （用含t的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定义新运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：根据题意，添加一组绝对值有：
①|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n；②x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n；③x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n；④ x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n；
添加两组绝对值有：
⑤|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n；⑥|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n；⑦x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n；
不能添加3组绝对值，其中③和⑤，④和⑥的运算结果相同，故共有5种不同的运算结果.
故答案为：C.
【分析】分添加一组绝对值符号和添加两组绝对值符号两种情况，分别添加计算，排除运算结果相同的情况，即可得到不同的运算结果数.
2．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
添加一个绝对值时：共有4种情况，当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是
当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
共有7种情况； 其中两种计算结果相同，所以有5种不同结果.
故选： C.
【分析】分为一个绝对值和两个绝对值分别根据“绝对操作”计算，比较所得结果即可解题.
3．【答案】B
【知识点】多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】解：∵m=++，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，在这些不同的m值中，最大的值为y.
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
∴m=++，
∴分三种情况讨论：
当a>0，b<0，c<0时，m=-1+2+（-3）=-2，
当b>0，a<0，c<0时，m=-1+（-2）+3=0，
当c>0，a<0，b<0时，m=1+（-2）+（-3）=-4，
∴m共有3个不同的值：-4，-2，0.最大的值为0.
∴x=3，y=0.
∴x+y=3.
故答案为：B.
【分析】根据题中给出的已知，讨论当a、b、c取不同的值的情况下得到的m的不同值，进而得到x的值，y的值，最后得出x+y的值.
4．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1次运算结果输出的是5+3=8；
第2次运算结果输出的是8×=4；
第3次运算结果输出的是4×=2；
第4次运算结果输出的是2×=1；
第5次运算结果输出的是1+3=4；
第6次运算结果输出的是4×=2；
第7次运算结果输出的是2×=1；
以此类推，……；
从第2次运算结果开始，每3次一循环；
∵（2022-1）÷3=673……2
∴第2022次输出的结果与第3次运算输出的结果相同为2
故答案为：B.
【分析】根据定义的运算程序总结规律，根据有理数的混合运算解题即可.
5．【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A、表示数在数轴上的对应点与原点的距离，A不符合题意；
B、当时，，解得；
当时，，
当时，，解得；
∴x的值是﹣3.5或2.5，B不符合题意；
C、表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离是为8，C符合题意；
D、、两点之间的距离为，D不符合题意；
故答案为：C.【分析】根据数轴上两点间的距离公式可求A、C、D，B选项需要按照x-2<0，x+3<0；x-2<0，x+3>0；x-2>0，x+3>0三种情况分类讨论即可.
6．【答案】7或-6
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d
∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4
且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等
∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2
∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2
∴b=-1，c=-3，
当a=8时，d=-5，则
当a=-5时，d=8，则
故答案为：7或-6.
【分析】先根据数字总和是4，内外圈的4个数字之和都相等可得，内外圈的和为2，横竖也为2，再设出空白圈的数，列出方程求解即可.
7．【答案】1024
【知识点】开立方（求立方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：整数满足，
为整数，
，
或或或，
或或或，
又∵时，，不成立，
又，
，
，即，
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，不符合题意，舍去；
当时，，，符合题意；
综上所述的值为2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，
当整数的值为2，8，2时，；
当整数的值为2，8，时，；
当整数的值为2，，8时，；
当整数的值为2，，时，；
∴的最大值是1024．
故答案为：1024．
【分析】先根据列出b的所有可能取值，再代入特殊值a=3，式子值大于2024，求得a=1，分情况将a，b的值代入求出c，整数保留，其他舍去，最后将满足条件的代入计算取最大值即可.
8．【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
9．【答案】0或2或4
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点C到原点的距离为2，
∴点C对应的数为±2，
①当点C对应的数为2，
∴
∴
∴
∴
②当点C对应的数为-2，
∴
∴
∴
∴-6舍去，
综上所述，m的值为0或2或4，
故答案为：0或2或4.
【分析】根据两点间的距离得到：点C对应的数为±2，分两种情况讨论，①当点C对应的数为2，此时则BC=2，即可得到关于m的方程：②当点C对应的数为-2，此时则BC=4，即可得到关于m的方程：进而即可求解.
10．【答案】（1）-26；-10；10
（2）t；36-t
（3）解：①在点Q向点C运动过程中，设点Q运动x秒追上点P，根据题意得
3x＝1x+16，
解得x＝8．
答：在点Q向点C运动过程中，能追上点P，点Q运动8秒追上；
②分两种情况：
Ⅰ）点Q从A点向点C运动时，
如果点Q在点P的后面，那么1x+16﹣3x＝4，解得x＝6，此时点P表示的数是﹣4；
如果点Q在点P的前面，那么3x﹣（1x+16）＝4，解得x＝10，此时点P表示的数是0；
Ⅱ）点Q从C点返回到点A时，
如果点Q在点P的后面，那么3x+1x+16+4＝2×36，解得x＝13，此时点P表示的数是3；
如果点Q在点P的前面，那么3x+1x+16＝2×36+4，解得x＝15，此时点P表示的数是5．
答：在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能为4个单位，此时点P表示的数分别是﹣4，0，3，5．
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：(1)∵ 点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，∴点表示的数为；
∵点A与点B的距离为16个单位长度，点B在点A的右侧，-26+16=-10，∴ 点表示的数为；
∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数，∴点表示的数为10；
故答案为：，，10；
(2)，
；
故答案为：t，；
【分析】（1）根据数轴的定义和坐标特点写出即可.
（2）根据路程=速度时间，可得，可得即可.
（3）①根据点追上点时，点运动的路程与点运动的路程的关系，列出方程求解即可.
②分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的后面与点在点的前面；点从点返回到点时，又分点在点的后面与点在点的前面，进行讨论即可.
11．【答案】（1）-2；1；4
（2）解：∵，，
∴，
∴ 与点重合的点对应的数是-5.
（3）解：①两点同时开始运动秒后相遇，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
解得，
此时，
∴相遇处的点所表示的数为.
②设点C开始运动秒后，A、C在点B相遇，
根据题意得：，
解得，
∴的值为5.
③不可能．理由如下：
设A、C运动的时间为秒，
由题意得：，
解得，
∴点不可能比点多运动个单位.
【知识点】绝对值的非负性；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)、解：∵，
∴，
解得，
∵是最小的正整数.
故答案为：-2；1；4.
【分析】(1)、根据两个非负数的和等于0，得到每项都为0，逐一计算即可.
(2)、根据折叠和对称点的性质求解即可.
(3)、①根据点A和点C表示的两数相等，列出方程求解即可.
②根据A、C相遇后所表示的数为1列出二元一次方程组方程组，进而求解即可.
③根据，求出与12比较判断即可．
12．【答案】（1）－5；14
（2）解：或3
（3）15；；3或9
【知识点】数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解： (1)∵|m+10|+(n-4)2=0，
∴m+10=0，n-4=0，
∴m=-10，n=4.
∴A点表示的数为-10，E点表示的数为4.
∵EF=2AB=10，
∴AB=5.
∵-10+5=-5，4+10=14，
∴B点表示的数为-5，F点表示的数为14.
(2)∵B点表示的数为-5，E点表示的数为4，
∴t秒后，点B'表示的数为：-5+2t，点E'表示的数为：4-t，
∵OB'=OE'，
∴|-5+2t|=|4-t|，
解得：t=1或t=3
∴t的值为1或3；
(3)①由题意得：当长方形A'B'C'D'完全落在长方形E'F'G'H'上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形A'B'C'D'的面积，为3×5=15，
t秒后，A'点表示的数为-10+2t，E'点表示的数为4-t，
当点A'与点E'重合时：-10+2t=4-t.
解得：t=.
∵点B'表示的数为：-5+2t，点F'表示的数为：14-t，
∴点B'与点F'重合时有，-5+2t=14-t，
解得t=.
∵-=(秒)，
∴S的最大值为15，持续的时间为5/3秒，
故答案为：15，.
【分析】(1)根据绝对值的非负性即可得解即可求解；
(2)根据题意，由OB'=OE'建立方程|-5+2t|=|4-t|，求解即可得出答案；
①分别求得A'点，与点E'重合、点B'与点F'重合所需时间，求出两个时间差即可；
②分两种情况：当点F'在线段A'B'上，当点E'在线段A'B'上，根据题意建立方程求解即可得出答案.
13．【答案】（1）解：点表示数，点表示数5，
；
（2）解：对折后，点在点的右边，且，
点表示的数是，
点表示的数是；
（3）解：点以每秒1个单位长度的速度向左运动秒，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动秒，
运动后表示的数是，
运动后表示的数是，
①当点在的右边时，
，，
，
，
；
②当在的左边时，，，
，
，
，
综上所述，当点在的右边时，；当在的左边时，．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【分析】（1）用点C表示的数减去点A表示的数就是线段AC的长；
（2）根据对折后AC的长度和点C表示的数求出对折后的点A表示的数，然后根据对折的性质求出折点D所表示的数；
（3）分两种情况：①点C在点A右边；②点A在点C右边，每种情况下根据AC与AB之间的数量关系分别求出t值即可．
14．【答案】（1）3
（2）3或11
（3）解：点E从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止，若运动时间为t，则动点E的表示的数为， ，．
分四种情况讨论：
①当点E是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
②当点E是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
③当点Q是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
④点P是的偶点时，，
，
解得：（秒）
综上所述，当为10秒、15秒或20秒时，E、P、Q中恰有一个点为其余两点的偶点．
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型
【解析】【解答】解：（1）设点F表示的数为x，
∵点F是{M、N}的偶点，且点F在M，N之间；
∴MF=2NF
∴MF=MN=×（5+1）=4
∴点F表示的数是x-(-1)=4，解得x=3.
故答案为：3.
（2）设点F表示的数为x，
则MF=|x-(-1)|，NF=|5-x|；
∵点F是{M、N}的偶点
∴MF=2NF
∴|x-(-1)=|5-x|，解得x=3或11；
故答案为：3或11.
【分析】（1）根据偶点的定义，列方程即可求解；
（2）根据偶点的定义，列含绝对值方程即可求解；
（3）分情况讨论，根据偶点的定义列方程求解解.
15．【答案】（1）12；
（2）；
（3）；
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离；用代数式表示实际问题中的数量关系；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：（1）A、B两点之间的距离=5-（-7）=12，线段AB的中点到A的距离=12÷2=6，
线段的中点表示的数为5-6=-1；
故答案为：12；-1.
（2）①两点间的距离为正数，当0＞a＞b时， A，B两点之间的距离为AB=|a-b|=a-b；
故答案为：a-b.
② 线段的中点表示的数为 a-=；
故答案为：.
（3）①运动时间为t时，MA=t，NB=2t；
M，N两点之间的距离为12-（t+2t）=12-3t；
故答案为：12-3t.
②AC=，BD=2t÷2=t；
∴线段CD的长=12-（+t）=12-t
故答案为：（12-t）.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，列代数式即可求出AB的长；根据数轴上点的特征和线段中点的性质，列代数式即可计算；
（2）①数轴上两点之间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数；
②数轴上线段的中点表示的数等于右边的点表示的数减去线段距离的一半长；
（3）①分别用含t的代数式表示MA和NB，根据线段的计算，即可列代数式求解；
②分别用含t的代数式表示AC和BD，根据线段的计算，即可列代数式求解.
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