《图形的初步知识》精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七上·越城期末） 如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·金华期末）如图，点A，O，E在一条直线上，CO与AE互相垂直，，则下列说法中正确的所有选项是（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤.
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
二、填空题
3．（2023七上·余姚期末）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒.
4．（2024七上·绍兴期末）如图①，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，在这三条线段中，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”，如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是﹣10和26，点C是线段AB的巧点，则点C在数轴上表示的数为 ．
5．（2024七上·越城期末） 已知线段，相交于点（不与端点重合），平分，于点，若，则的度数为 ．
6．（2024七上·鹿城期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E'OF'，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P'Q'，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P'Q'平分∠E'OF'时，则∠COP'＝ ．
7．（2024七上·义乌期末）已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线重合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ．
8．（2024七上·拱墅期末）如图，C是线段AB上的一点，D是BC中点，已知图中所有线段长度之和为23．
（1）设线段BD的长为x，则线段AC＝ ．（用含x的代数式表示）．
（2）若线段AC，BD的长度都是正整数，则线段AC的长为 ．
9．（2024七上·义乌期末）如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论错误的是（ ）
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
三、解答题
10．（2023七上·杭州期末）如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．
（1）求图 1 中的度数；
（2）如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设．
①若 平分，求α；
②若，求α．
11．（2024七上·南浔期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转60°至图2的位置，求∠MOC的度数；
（2）如图3，将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转α度（0<α<360°）．
①若经过t秒后线段ON在∠AOC的内部，且∠AOM＝3∠NOC，求t的值；
②在三角板转动时，射线OC同时绕点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，当三角板停止转动时，射线OC也停止转动．经过t秒直线ON恰好平分∠AOC，请直接写出满足条件的t的值．
12．（2024七上·海曙期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
13．（2024七上·金华期末）【阅读理解】射线OC是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，，则，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于，称射线OD是射线OB的友好线.
【知识运用】
（1）如图2，，射线OM是射线OA的友好线，则为多少度；
（2）如图3，，射线OC与射线OA重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线.
14．（2024七上·金华期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
（1）当时，求和的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
15．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若和互为等差角．当，则 ．当，则 ．
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点若与互为等差角，求的度数．
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点．如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部）
16．（2024七上·上城期末）已知：射线OD在内部，.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作OF平分∠AOB，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当∠AOD=90°时，作射线OA的反向延长线OC，OH在OA的下方，且∠AOH=∠AOE，反向延长射线OE得到射线OQ，射线OP在∠HOQ内部，OG是∠EOP的平分线，若∠BOC-∠DOF=26°，5∠GOH-2∠POQ-∠EOF=71°，求∠BOP的度数.
17．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
18．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角，即若，则称和互为等差角本题中所有角都是指大于，且小于的角
（1）若和互为等差角当，则 当，则 ；
（2）如图，将一长方形纸片沿着对折点在线段上，点在线段上使点落在点若与互为等差角，求的度数；
（3）再将纸片沿着对折点在线段或上使点落在点如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数对折时，线段落在内部．
19．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
20．（2024七上·诸暨期末）定义：同一平面内有若干条以点为端点，且不共线的射线，求出任意两射线间小于 180°的角度 ，并把所有这些角的度数和记为T． 例如：如图1，同一平面内有三条射线，，，，是内任意一条射线，则．
（1）如图2，射线，，，在同一平面内绕点O顺时针排列，其中 ，求T的值．
（2）如图3，射线，，，，在同一平面内绕点O顺时针排列，其中是（小于 ） 的角平分线，平分，且， ，求的度数．
（3）射线，，，在同一平面内，其中，比大 ，，直接写出的度数（写出三个即可）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=90°+90°-∠BOC=180°-∠BOC，∠BOD=∠DOC-∠BOC=90°-∠BOC，
∵∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=3（90°-∠BOC），
∴3（90°-∠BOC）=180°-∠BOC，
解得：∠BOC=45°.
故答案为：B.
【分析】由角的构成∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC可将∠AOD用含∠BOC的代数式表示出来，然后结合"∠AOD=3∠BOD"并结合互为余角的定义也将∠AOD用含∠BOC的代数式表示出来，于是可得关于∠BOC的方程，解方程即可求解.
2．【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①∵ CO与AE互相垂直，∴ ∠AOC=∠ COE=90°，∴ ∠AOB+∠ BOC=90°，
∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，∴，①正确；
②∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，无法判断，②错误；
③∵ ，∴，③正确；
④∵∠ COE=90°，∴ ∠COD+∠ DOE=90°，∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，
∴ ∠ DOE=BOC，∵∴ ，④正确；
⑤∵ ，∠AOB不一定等于∠ COB，⑤错误；
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等判断①即可；条件不足，无法判断②；根据平角为180°判断③即可；根据同角的余角相等得到∠ DOE=BOC，再由即可证得④；条件不足，无法判断⑤.
3．【答案】3或6
【知识点】角的运算；图形的旋转
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，此时.
当时，如图，
即，
解得；
当时，如图，
即，
解得；
故答案为3或6.
【分析】设运动时间为t秒，此时∠BOM=45°-5t°，然后分∠BOM=2∠AOM、∠AOM=2∠BOM进行计算即可.
4．【答案】14或2或8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C代表的数为x，
①若AC=2BC，可得x-（-10）=2（26-x），解得x=14；
②若BC=2AC，可得26-x=2（x+10），解得x=2；
③若AB=2AC，可得26-（-10）=2（x+10），x=8；
∴点C表示的数为14或2或8
故答案为：14或2或8．
【分析】由题意可得AC和AB的数量关系，分类讨论，列一元一次方程，解方程即可
5．【答案】或
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①如图：
∵∠AOC：∠AOE=1：2，
∴∠AOE=2∠AOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOE=2∠AOC，
∵∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°，
∴∠AOC+2∠AOC+2∠AOC=180°，
解得：∠AOC=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°=∠AOC+∠AOF，
∴∠AOF=90°-36°=54°，
∴∠BOF=180°-54°=126°；
②如图：
∵∠AOC：∠AOE=1：2，
∴∠AOE=2∠AOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOE=2∠AOC，
∵∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°，
∴∠AOC+2∠AOC+2∠AOC=180°，解得：∠AOC=36°=∠BOD，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°=∠BOD+∠BOF，
∴∠BOF=90°-36°=54°.
故答案为：126°或54°.
【分析】由题意分两种情况分别画出图形：①由∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°可得关于∠AOC的方程，解方程求出∠AOC的度数，然后由∠COF=90°=∠AOC+∠AOF可求出∠AOF的度数，然后根据平角的定义可求解；
②由∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°可得关于∠AOC的方程，解方程求出∠AOC的度数，由对顶角相等求出∠BOD的度数，然后由∠DOF=90°=∠BOD+∠BOF可求出∠BOF的度数.
6．【答案】32°或76°
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOP，
∴
∵三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E'OF'，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，
①当OP'平分∠E'OF'时，
∴
∴
②当OQ'平分∠E'OF'时，
∴
∴
综上所述，∠COP'＝32°或76°，
故答案为：32°或76°.
【分析】由题意知需分两种情况讨论，①当OP'平分∠E'OF'时，②当OQ'平分∠E'OF'时，分别根据角的和差进行计算即可求出m的值.
7．【答案】10或20或70
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
①当OD与OB没相遇之前，如图，
此时
②当OD与OB相遇之后OD在OC右侧，如图，
此时
③当OD与OB相遇之后OD在OC左侧，如图，
此时
∴
综上所述， 当时，两条射线旋转的时间t的值为：10或20或70，
故答案为：10或20或70.
【分析】根据时间和速度分别得到然后根据角的运算计算出∠BOD的度数，即可列方程求解.
8．【答案】（1）
（2）3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）设线段的长为，
∵D是BC中点，
∴，，，
∵所有线段长度之和为23，即AC+CD+DB+AD+AB+CB=23，
∴，即，
.
（2）∵ 线段，的长度都是正整数，且，，
∴可能为1，2，3，
当时，是小数，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，是小数，不符合题意，
故AC的长为3.
故答案为：，3.
【分析】（1）先根据中点表示出CD、BD、AC的长度，再列式计算即可.
（2）由（1）得，设x的取值为整数，依次代入检验即可.
9．【答案】B
【知识点】线段的中点；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、以为顶点的角共有个，则本项正确，不符合题意，
B、∵
∴
∴则本项不正确，符合题意，
C、∵为中点，为中点，
∴
∴
∵
∴则本项正确，不符合题意，
D、∵平分，平分，
∴
∵
∴
∴
∴，则本项正确，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据握手定理即可判断A项；根据得即可判断B项；根据线段中点的性质即可判断C项。根据角平分线的定义以及角的运算即可判断D项.
10．【答案】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴；
（2）①由可得，
当平分时，，
由题意可得：
∵，
∴，
∴；
②当射线在内部时，如下图：
∵，
∴，
由题意可得：，
∵，
∴，
解得．
当射线在内部时，如下图
由题意可得：，
由图形可得：，
∵，
∴，
解得，
综上所述，满足条件的α的值为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平角的性质可得，求解可得结论；
（2）①先根据，求出，再根据角平分线的定义求出，再根据，求解进而可得到结论；
②分射线在内部和射线在内部两种情况，画出图形，分别求得，再根据 列方程求解即可．
（1）∵，
∴；
（2）①∵，
∴，
当平分时，，
∵，
∴，
∴；
②当射线在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
当射线在内部时，设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的α的值为或．
11．【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∴设∠AOC＝x，∠BOC＝2x．
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，∴x＝60°，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°．
∵三角板绕点O逆时针方向旋转60°即∠BOM＝60°，
∴∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝120°－60°＝60°．
（2）解：①∵直角三角板绕点直角顶点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转t秒，
∴∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，
∴10t－180＝3（10t－210）．∴秒．
②t＝5秒，t＝20秒，t＝35秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2) ② 情况一：由（1）得，如图所示，
延长，当直线恰好平分锐角，
∴，
∴，
解得：秒；
情况二：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
情况三：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
∴三角板绕点O的运动时间为5秒或20秒或35秒．
【分析】（1）根据互补和∠AOC：∠BOC＝1：2，先求出的度数，由旋转的度数求出的度数即可；
（2）①根据∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，结合，列出等式求解即可.
②分三种情况进行讨论，情况一：ON的反向延长线平分∠AOC；情况二：ON在AB线上平分∠AOC；情况三：ON在AB线上平分∠AOC，即可.
12．【答案】（1）解：和互余
（2）解：
（3）25.2秒或者54秒
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（3）设旋转时间为t秒.
①OD在∠BOC内部时（0＜t＜18），
∠COD=54-3t，∠AOE=90-3t，
∵54-3t＜90-3t，
∴，即当OD在∠BOC内部时，不可能有；
②当OD、OE均在∠AOC内部时（18＜t＜30），
∠COD=3（t-18）=3t-54，∠AOE-90-54-3(t-18)=90-3t，
当 ，有，解得t=25.2；
③当OD∠AOC内部，但OE在AB下方时，
∠COD=3t-54，∠AOE=3（t-30）=3t-90，
当，有，解得t=54.
综上所述，若 恰好有， 旋转的时间为25.2秒或54秒.
故答案为：25.2秒或者54秒.
【分析】（1）对于第一问，由于∠COD和∠AOE互余，且∠EOD为直角，可以推导出∠EOC和∠AOE相等. 由此，可以进一步求出∠COE的度数；
（2）由于∠BOD是旋转角度，即可以通过分析旋转前后角度的变化，推导出∠COD与∠AOE之间的数量关系. 具体而言，可以通过分析∠BOD、∠COD、∠AOE之间的关系，得出含n的等式；
（3）根据题目给定的旋转速度和旋转停止的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间. 具体而言，需要分析旋转过程中∠COD与∠AOE的变化规律，然后根据题目给定的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间.
13．【答案】（1）解：射线OM是射线OA的“友好线”，且，
.
（2）解：射线OD与OA重合时，(秒)
①存在
当的度数是时，，有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
若在相遇之后，则，即，；
综上所述，当秒或30秒时，的度数是.
②相遇之前：
(Ⅰ)如图1，
OC是OA的“友好线”时，则，
即，
（Ⅱ）如图2，
OC是OD的“友好线”时，则，
即，
（Ⅲ）如图3，
OD是OC的“友好线”时，则
即，
（Ⅳ）如图4，
OD是OA的“友好线”时，则
即，
所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【分析】(1)根据友好线的定义直接带入即可.
(2)①按在相遇之前和相遇之后两种情况，分类计算即可.
②分四种情况进行讨论：(Ⅰ)OC是OA的友好线；（Ⅱ）OC是OD的友好线；（Ⅲ）OD是OC的友好线；（Ⅳ）OD是OA的友好线，列出方程进行求解即可.
14．【答案】（1）解：如图1，，
，
当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，
故，
；
（2）解：①由图1，得，
设运动时间为，如图2，
，，，，
，，，，
①当时，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
；
②，
，
，
，
，
故不存在的值；
①当时，如图：
，
故不存在的值；
②当时，如图：
，
，
，
，
解得，，
综上所述，的值为或．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据补角的定义和旋转的性质计算即可；
（2）①由图1，得，设运动时间为，进而分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算；
②分两种情况讨论，①当时，②当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算.
15．【答案】（1）100°；30 °或150°
（2）解：∵翻折得，∴，
与互为等差角，
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：.
当时，∠EBP'－∠B'PC=60°.
∴，
∵，
∴，
可得．
综上所述，的值为40°或80°．
（3）解：∵翻折得，点C翻折后落在点C'，折痕为PF，且点E、、P在同一直线上，
∴，.
∵与互为等差角，且线段落在内部，
∴∠B'PC'<∠EPF，
∴∠EPF－∠B'PC'=60°.
∴∠EPB'=∠B'PC'=∠EPF－60°.
∴，
∵，
∴，
解得．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）当∠1=40°，|∠1－∠2|=60°，
得：40°－∠2=60°或∠2－40°=60°
∠2=-20°（舍去）或∠2=100°
当∠1=90°，|∠1－∠2|=60°，
得90°－∠2=60°或∠2－90°=60°
∠2=30°或∠2=150°
故答案为：100°；30°或150°；
【分析】（1）根据" 互为等差角 "定义代入∠1的值，计算∠2即可，注意0°<∠2<180°；
（2）根据翻折得，根据平角定义得，根据 与互为等差角， 得或，分别代入上式计算∠BPE即可；
（3）根据题意可得∠B'PC'<∠EPF，有∠EPF－∠B'PC'=60°，根据平角定义得，分别用∠EPF表示出∠BPE和∠FPC，代入即可计算出∠EPF的度数.
16．【答案】（1）证明：∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠DOE，
∵∠AOE=∠AOB-∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB-∠EOB；
（2）证明：∵OF平分∠AOB，∴∠AOF=∠AOB，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠AOB-∠AOD=（∠AOB-∠AOD）=∠BOD；
（3）解：设∠DOF=a，∠BOD=b，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠BOF=a+b，
∵∠AOD=90°，
∴2a+b=90°，∠BOC=90°-b，
∵∠BOC-∠DOF=26°，
∴90°-b-a=26°，
∴a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，∠BOC=90°-38°=52°，
∵∠AOD=90°，OE平分∠AOD，
∴∠AOE=45°，∠EOF=19°，
∴∠AOH=∠AOE=45°，
∵OG平分∠EOP，
∴∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，
∵反向延长延长OE得到射线OQ，
∴∠EOP+∠POQ=180°，
∴2（90°-∠GOH）+∠POQ=180°，
∴∠POQ=2∠GOH，
∵5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°，
∴5∠GOH+4∠GOH-19°=71°，
∴∠GOH=10°，∠POQ=20°，
∴∠BOP=52°+45°+20°=117°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和角的运算，等量代换即可.
（2）利用角平分线的性质和角的运算，利用乘法运算律，找出角之间的关系即可.
（3）先设出∠DOF和∠BOD，然后根据角之间的关系和角平分线的性质列出方程组找出未知数的值，然后再根据题中给出的已知和角之间的数量关系进行角的运算、计算出∠BOP的度数即可.
17．【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
18．【答案】（1）100°；或
（2）解：与互为等差角，
当时，，
，
翻折得，
，
，
，
解得：，
当时，，可得．
综上所述，的值为或
（3）解：点、、在同一直线上，且与互为等差角，
，，
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 40°，
∴|∠1﹣∠2|=60°，
∴40°-∠2 = 60°或40°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2 =-20°(舍去)或100°，
∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2= 30°或150°，
故答案为： 100°， 30°或150°；
【分析】（1）根据“等差角”的定义列出等式，解方程即可；
（2）分为和两种情况，根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
（3）根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
19．【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
20．【答案】（1）解：∵，
（2）解：∵，，
∵
，
∴，
∴
（3）解： 为或或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）①如图，设，则，而，，
∴，
解得：；
②如图，设，则，而，，
∴，，
∴，
∴，
解得：；
③如图，设，则，而，，
∴，
∴，
解得：；
综上：为或或
【分析】（1）由题意知图2中有6个角，即，对其化简即可求解；
（2）由题意知图3中有10个角，即对其化简即可求解；
（3）射线 ，，， 可构成6个角，分三种情况讨论，①如图，设，则，而，，②如图，设，则，而，，③如图，设，则，而，，分别进行计算即可.
1 / 1《图形的初步知识》精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七上·越城期末） 如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=90°+90°-∠BOC=180°-∠BOC，∠BOD=∠DOC-∠BOC=90°-∠BOC，
∵∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=3（90°-∠BOC），
∴3（90°-∠BOC）=180°-∠BOC，
解得：∠BOC=45°.
故答案为：B.
【分析】由角的构成∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC可将∠AOD用含∠BOC的代数式表示出来，然后结合"∠AOD=3∠BOD"并结合互为余角的定义也将∠AOD用含∠BOC的代数式表示出来，于是可得关于∠BOC的方程，解方程即可求解.
2．（2024七上·金华期末）如图，点A，O，E在一条直线上，CO与AE互相垂直，，则下列说法中正确的所有选项是（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤.
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①∵ CO与AE互相垂直，∴ ∠AOC=∠ COE=90°，∴ ∠AOB+∠ BOC=90°，
∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，∴，①正确；
②∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，无法判断，②错误；
③∵ ，∴，③正确；
④∵∠ COE=90°，∴ ∠COD+∠ DOE=90°，∵ ，∴∠COD+∠ BOC=90°，
∴ ∠ DOE=BOC，∵∴ ，④正确；
⑤∵ ，∠AOB不一定等于∠ COB，⑤错误；
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等判断①即可；条件不足，无法判断②；根据平角为180°判断③即可；根据同角的余角相等得到∠ DOE=BOC，再由即可证得④；条件不足，无法判断⑤.
二、填空题
3．（2023七上·余姚期末）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度在内部绕点逆时针旋转，若和中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为 秒.
【答案】3或6
【知识点】角的运算；图形的旋转
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，此时.
当时，如图，
即，
解得；
当时，如图，
即，
解得；
故答案为3或6.
【分析】设运动时间为t秒，此时∠BOM=45°-5t°，然后分∠BOM=2∠AOM、∠AOM=2∠BOM进行计算即可.
4．（2024七上·绍兴期末）如图①，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，在这三条线段中，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”，如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是﹣10和26，点C是线段AB的巧点，则点C在数轴上表示的数为 ．
【答案】14或2或8
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设点C代表的数为x，
①若AC=2BC，可得x-（-10）=2（26-x），解得x=14；
②若BC=2AC，可得26-x=2（x+10），解得x=2；
③若AB=2AC，可得26-（-10）=2（x+10），x=8；
∴点C表示的数为14或2或8
故答案为：14或2或8．
【分析】由题意可得AC和AB的数量关系，分类讨论，列一元一次方程，解方程即可
5．（2024七上·越城期末） 已知线段，相交于点（不与端点重合），平分，于点，若，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①如图：
∵∠AOC：∠AOE=1：2，
∴∠AOE=2∠AOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOE=2∠AOC，
∵∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°，
∴∠AOC+2∠AOC+2∠AOC=180°，
解得：∠AOC=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°=∠AOC+∠AOF，
∴∠AOF=90°-36°=54°，
∴∠BOF=180°-54°=126°；
②如图：
∵∠AOC：∠AOE=1：2，
∴∠AOE=2∠AOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOE=2∠AOC，
∵∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°，
∴∠AOC+2∠AOC+2∠AOC=180°，解得：∠AOC=36°=∠BOD，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°=∠BOD+∠BOF，
∴∠BOF=90°-36°=54°.
故答案为：126°或54°.
【分析】由题意分两种情况分别画出图形：①由∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°可得关于∠AOC的方程，解方程求出∠AOC的度数，然后由∠COF=90°=∠AOC+∠AOF可求出∠AOF的度数，然后根据平角的定义可求解；
②由∠AOC+∠AOE+∠DOE=180°可得关于∠AOC的方程，解方程求出∠AOC的度数，由对顶角相等求出∠BOD的度数，然后由∠DOF=90°=∠BOD+∠BOF可求出∠BOF的度数.
6．（2024七上·鹿城期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E'OF'，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P'Q'，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P'Q'平分∠E'OF'时，则∠COP'＝ ．
【答案】32°或76°
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OE平分∠AOP，
∴
∵三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E'OF'，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，
①当OP'平分∠E'OF'时，
∴
∴
②当OQ'平分∠E'OF'时，
∴
∴
综上所述，∠COP'＝32°或76°，
故答案为：32°或76°.
【分析】由题意知需分两种情况讨论，①当OP'平分∠E'OF'时，②当OQ'平分∠E'OF'时，分别根据角的和差进行计算即可求出m的值.
7．（2024七上·义乌期末）已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线重合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ．
【答案】10或20或70
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
①当OD与OB没相遇之前，如图，
此时
②当OD与OB相遇之后OD在OC右侧，如图，
此时
③当OD与OB相遇之后OD在OC左侧，如图，
此时
∴
综上所述， 当时，两条射线旋转的时间t的值为：10或20或70，
故答案为：10或20或70.
【分析】根据时间和速度分别得到然后根据角的运算计算出∠BOD的度数，即可列方程求解.
8．（2024七上·拱墅期末）如图，C是线段AB上的一点，D是BC中点，已知图中所有线段长度之和为23．
（1）设线段BD的长为x，则线段AC＝ ．（用含x的代数式表示）．
（2）若线段AC，BD的长度都是正整数，则线段AC的长为 ．
【答案】（1）
（2）3
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）设线段的长为，
∵D是BC中点，
∴，，，
∵所有线段长度之和为23，即AC+CD+DB+AD+AB+CB=23，
∴，即，
.
（2）∵ 线段，的长度都是正整数，且，，
∴可能为1，2，3，
当时，是小数，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，是小数，不符合题意，
故AC的长为3.
故答案为：，3.
【分析】（1）先根据中点表示出CD、BD、AC的长度，再列式计算即可.
（2）由（1）得，设x的取值为整数，依次代入检验即可.
9．（2024七上·义乌期末）如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论错误的是（ ）
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
【答案】B
【知识点】线段的中点；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、以为顶点的角共有个，则本项正确，不符合题意，
B、∵
∴
∴则本项不正确，符合题意，
C、∵为中点，为中点，
∴
∴
∵
∴则本项正确，不符合题意，
D、∵平分，平分，
∴
∵
∴
∴
∴，则本项正确，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据握手定理即可判断A项；根据得即可判断B项；根据线段中点的性质即可判断C项。根据角平分线的定义以及角的运算即可判断D项.
三、解答题
10．（2023七上·杭州期末）如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．
（1）求图 1 中的度数；
（2）如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设．
①若 平分，求α；
②若，求α．
【答案】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴；
（2）①由可得，
当平分时，，
由题意可得：
∵，
∴，
∴；
②当射线在内部时，如下图：
∵，
∴，
由题意可得：，
∵，
∴，
解得．
当射线在内部时，如下图
由题意可得：，
由图形可得：，
∵，
∴，
解得，
综上所述，满足条件的α的值为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平角的性质可得，求解可得结论；
（2）①先根据，求出，再根据角平分线的定义求出，再根据，求解进而可得到结论；
②分射线在内部和射线在内部两种情况，画出图形，分别求得，再根据 列方程求解即可．
（1）∵，
∴；
（2）①∵，
∴，
当平分时，，
∵，
∴，
∴；
②当射线在内部时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
当射线在内部时，设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的α的值为或．
11．（2024七上·南浔期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转60°至图2的位置，求∠MOC的度数；
（2）如图3，将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转α度（0<α<360°）．
①若经过t秒后线段ON在∠AOC的内部，且∠AOM＝3∠NOC，求t的值；
②在三角板转动时，射线OC同时绕点O以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，当三角板停止转动时，射线OC也停止转动．经过t秒直线ON恰好平分∠AOC，请直接写出满足条件的t的值．
【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∴设∠AOC＝x，∠BOC＝2x．
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，∴x＝60°，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°．
∵三角板绕点O逆时针方向旋转60°即∠BOM＝60°，
∴∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝120°－60°＝60°．
（2）解：①∵直角三角板绕点直角顶点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转t秒，
∴∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，
∴10t－180＝3（10t－210）．∴秒．
②t＝5秒，t＝20秒，t＝35秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(2) ② 情况一：由（1）得，如图所示，
延长，当直线恰好平分锐角，
∴，
∴，
解得：秒；
情况二：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
情况三：如图所示，
当平分，
∴，
∴，
解得：秒；
∴三角板绕点O的运动时间为5秒或20秒或35秒．
【分析】（1）根据互补和∠AOC：∠BOC＝1：2，先求出的度数，由旋转的度数求出的度数即可；
（2）①根据∠NOC＝（10t－210）°，∠AOM＝（10t－180）°，结合，列出等式求解即可.
②分三种情况进行讨论，情况一：ON的反向延长线平分∠AOC；情况二：ON在AB线上平分∠AOC；情况三：ON在AB线上平分∠AOC，即可.
12．（2024七上·海曙期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
【答案】（1）解：和互余
（2）解：
（3）25.2秒或者54秒
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（3）设旋转时间为t秒.
①OD在∠BOC内部时（0＜t＜18），
∠COD=54-3t，∠AOE=90-3t，
∵54-3t＜90-3t，
∴，即当OD在∠BOC内部时，不可能有；
②当OD、OE均在∠AOC内部时（18＜t＜30），
∠COD=3（t-18）=3t-54，∠AOE-90-54-3(t-18)=90-3t，
当 ，有，解得t=25.2；
③当OD∠AOC内部，但OE在AB下方时，
∠COD=3t-54，∠AOE=3（t-30）=3t-90，
当，有，解得t=54.
综上所述，若 恰好有， 旋转的时间为25.2秒或54秒.
故答案为：25.2秒或者54秒.
【分析】（1）对于第一问，由于∠COD和∠AOE互余，且∠EOD为直角，可以推导出∠EOC和∠AOE相等. 由此，可以进一步求出∠COE的度数；
（2）由于∠BOD是旋转角度，即可以通过分析旋转前后角度的变化，推导出∠COD与∠AOE之间的数量关系. 具体而言，可以通过分析∠BOD、∠COD、∠AOE之间的关系，得出含n的等式；
（3）根据题目给定的旋转速度和旋转停止的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间. 具体而言，需要分析旋转过程中∠COD与∠AOE的变化规律，然后根据题目给定的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间.
13．（2024七上·金华期末）【阅读理解】射线OC是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，，则，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于，称射线OD是射线OB的友好线.
【知识运用】
（1）如图2，，射线OM是射线OA的友好线，则为多少度；
（2）如图3，，射线OC与射线OA重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线.
【答案】（1）解：射线OM是射线OA的“友好线”，且，
.
（2）解：射线OD与OA重合时，(秒)
①存在
当的度数是时，，有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
若在相遇之后，则，即，；
综上所述，当秒或30秒时，的度数是.
②相遇之前：
(Ⅰ)如图1，
OC是OA的“友好线”时，则，
即，
（Ⅱ）如图2，
OC是OD的“友好线”时，则，
即，
（Ⅲ）如图3，
OD是OC的“友好线”时，则
即，
（Ⅳ）如图4，
OD是OA的“友好线”时，则
即，
所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【分析】(1)根据友好线的定义直接带入即可.
(2)①按在相遇之前和相遇之后两种情况，分类计算即可.
②分四种情况进行讨论：(Ⅰ)OC是OA的友好线；（Ⅱ）OC是OD的友好线；（Ⅲ）OD是OC的友好线；（Ⅳ）OD是OA的友好线，列出方程进行求解即可.
14．（2024七上·金华期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
（1）当时，求和的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；
②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．
【答案】（1）解：如图1，，
，
当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，
故，
；
（2）解：①由图1，得，
设运动时间为，如图2，
，，，，
，，，，
①当时，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
；
②，
，
，
，
，
故不存在的值；
①当时，如图：
，
故不存在的值；
②当时，如图：
，
，
，
，
解得，，
综上所述，的值为或．
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据补角的定义和旋转的性质计算即可；
（2）①由图1，得，设运动时间为，进而分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算；
②分两种情况讨论，①当时，②当时，分别根据角的和差关系以及旋转的性质即可列方程计算.
15．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于0°，且小于180°的角）
（1）若和互为等差角．当，则 ．当，则 ．
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点若与互为等差角，求的度数．
（3）再将纸片沿着FP对折（点F在线段CD或AD上）使点C落在点．如图2，若点E，，P在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部）
【答案】（1）100°；30 °或150°
（2）解：∵翻折得，∴，
与互为等差角，
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：.
当时，∠EBP'－∠B'PC=60°.
∴，
∵，
∴，
可得．
综上所述，的值为40°或80°．
（3）解：∵翻折得，点C翻折后落在点C'，折痕为PF，且点E、、P在同一直线上，
∴，.
∵与互为等差角，且线段落在内部，
∴∠B'PC'<∠EPF，
∴∠EPF－∠B'PC'=60°.
∴∠EPB'=∠B'PC'=∠EPF－60°.
∴，
∵，
∴，
解得．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）当∠1=40°，|∠1－∠2|=60°，
得：40°－∠2=60°或∠2－40°=60°
∠2=-20°（舍去）或∠2=100°
当∠1=90°，|∠1－∠2|=60°，
得90°－∠2=60°或∠2－90°=60°
∠2=30°或∠2=150°
故答案为：100°；30°或150°；
【分析】（1）根据" 互为等差角 "定义代入∠1的值，计算∠2即可，注意0°<∠2<180°；
（2）根据翻折得，根据平角定义得，根据 与互为等差角， 得或，分别代入上式计算∠BPE即可；
（3）根据题意可得∠B'PC'<∠EPF，有∠EPF－∠B'PC'=60°，根据平角定义得，分别用∠EPF表示出∠BPE和∠FPC，代入即可计算出∠EPF的度数.
16．（2024七上·上城期末）已知：射线OD在内部，.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作OF平分∠AOB，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当∠AOD=90°时，作射线OA的反向延长线OC，OH在OA的下方，且∠AOH=∠AOE，反向延长射线OE得到射线OQ，射线OP在∠HOQ内部，OG是∠EOP的平分线，若∠BOC-∠DOF=26°，5∠GOH-2∠POQ-∠EOF=71°，求∠BOP的度数.
【答案】（1）证明：∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠DOE，
∵∠AOE=∠AOB-∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB-∠EOB；
（2）证明：∵OF平分∠AOB，∴∠AOF=∠AOB，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠AOB-∠AOD=（∠AOB-∠AOD）=∠BOD；
（3）解：设∠DOF=a，∠BOD=b，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠BOF=a+b，
∵∠AOD=90°，
∴2a+b=90°，∠BOC=90°-b，
∵∠BOC-∠DOF=26°，
∴90°-b-a=26°，
∴a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，∠BOC=90°-38°=52°，
∵∠AOD=90°，OE平分∠AOD，
∴∠AOE=45°，∠EOF=19°，
∴∠AOH=∠AOE=45°，
∵OG平分∠EOP，
∴∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，
∵反向延长延长OE得到射线OQ，
∴∠EOP+∠POQ=180°，
∴2（90°-∠GOH）+∠POQ=180°，
∴∠POQ=2∠GOH，
∵5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°，
∴5∠GOH+4∠GOH-19°=71°，
∴∠GOH=10°，∠POQ=20°，
∴∠BOP=52°+45°+20°=117°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和角的运算，等量代换即可.
（2）利用角平分线的性质和角的运算，利用乘法运算律，找出角之间的关系即可.
（3）先设出∠DOF和∠BOD，然后根据角之间的关系和角平分线的性质列出方程组找出未知数的值，然后再根据题中给出的已知和角之间的数量关系进行角的运算、计算出∠BOP的度数即可.
17．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
18．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角，即若，则称和互为等差角本题中所有角都是指大于，且小于的角
（1）若和互为等差角当，则 当，则 ；
（2）如图，将一长方形纸片沿着对折点在线段上，点在线段上使点落在点若与互为等差角，求的度数；
（3）再将纸片沿着对折点在线段或上使点落在点如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数对折时，线段落在内部．
【答案】（1）100°；或
（2）解：与互为等差角，
当时，，
，
翻折得，
，
，
，
解得：，
当时，，可得．
综上所述，的值为或
（3）解：点、、在同一直线上，且与互为等差角，
，，
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 40°，
∴|∠1﹣∠2|=60°，
∴40°-∠2 = 60°或40°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2 =-20°(舍去)或100°，
∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2= 30°或150°，
故答案为： 100°， 30°或150°；
【分析】（1）根据“等差角”的定义列出等式，解方程即可；
（2）分为和两种情况，根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
（3）根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
19．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
20．（2024七上·诸暨期末）定义：同一平面内有若干条以点为端点，且不共线的射线，求出任意两射线间小于 180°的角度 ，并把所有这些角的度数和记为T． 例如：如图1，同一平面内有三条射线，，，，是内任意一条射线，则．
（1）如图2，射线，，，在同一平面内绕点O顺时针排列，其中 ，求T的值．
（2）如图3，射线，，，，在同一平面内绕点O顺时针排列，其中是（小于 ） 的角平分线，平分，且， ，求的度数．
（3）射线，，，在同一平面内，其中，比大 ，，直接写出的度数（写出三个即可）．
【答案】（1）解：∵，
（2）解：∵，，
∵
，
∴，
∴
（3）解： 为或或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）①如图，设，则，而，，
∴，
解得：；
②如图，设，则，而，，
∴，，
∴，
∴，
解得：；
③如图，设，则，而，，
∴，
∴，
解得：；
综上：为或或
【分析】（1）由题意知图2中有6个角，即，对其化简即可求解；
（2）由题意知图3中有10个角，即对其化简即可求解；
（3）射线 ，，， 可构成6个角，分三种情况讨论，①如图，设，则，而，，②如图，设，则，而，，③如图，设，则，而，，分别进行计算即可.
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