综合与实践题—浙江省七（上）数学期末复习
一、综合与实践
1．（2024七上·吴兴期末）
（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中x＝ ，y＝ ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则m= ．
【答案】（1）0.1；10
（2）右；1
（3）22.4；50
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1），.
∴x的值为0.1，y的值为10.
故答案为：0.1；10；
（2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1；
（3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数位向右移动1位，即.
故答案为：22.4.
②从7.07到70.7小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位.即m=50.
故答案为：50.
【分析】（1）根据比较容易算的0.01和100的平方根即可完善表格；
（2）在填完整的表格中观察小数点的位置变化即可得到结论；
（3）利用结论解决问题即可.
2．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】 ．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则 ．
【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
3．（2024七上·吴兴期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）由表格可得：
，，
故答案为：，10；
（2）观察可得规律：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，50．
【分析】（1）直接求算术平方根即可求解；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律即可；
（3）根据（2）中找出的规律并结合题意即可求解．
4．（2023七上·滨江期末）【综合与实践】
线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题：
（1）【操作发现】如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数．
（2）【特例研究】在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：
平分
（2）解：存在；，
或
解得：，或，
∴存在秒或秒时，使得．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
5．（2024七上·东阳期末）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了 (画出数轴会更方便)
【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：当奶奶像妙妙这样大时，豆豆为岁，
∴ 奶奶与豆豆的年龄差为[109-(-35)]÷3=48（岁），
∴ 豆豆现在的年龄为109-48-48=13（岁）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：(1)由数轴可知三根木棒长为（cm），
∴ 这根木棒的长为（cm）；
故答案为：8．
(2)∵这根木棒的长为8cm，
，
．
∴ 图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14；22．
【分析】(1)根据数轴可知3倍的长为（cm），即可求得AB.
（2）根据数轴可知6向右移动8为A，再向右移动8为B，直接计算即可.
（3）根据模型可以把奶奶与豆豆的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，先求出两人的年龄差．进而得到豆豆的年龄即可．
6．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如图，
表示七年级某班人数，
表示七年级某班男生人数，
表示七年级某班女生人数，
表示参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的女生，
表示参加围棋课的女生，
设，，则，，
∵选择围棋课的人数有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）利用线段和差可得，，即可求解；
（）利用线段和差，即可求解；
（）根据题意画出线段图，设，，则，，根据题意，表示出m，n，即可求解；
7．（2024七上·拱墅期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知，平分，平分，则_______．
问题2：已知，点C是的中点，点D是的中点，则_______．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点O在直线上，（在直线同侧），分别平分．求的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点C，D在线段上（），，点E，F分别是线段的中点，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线上，（在直线两侧），分别平分．求的度数．
【答案】解：（2）①∵线段，点C，D在线段上，，
∴，
∵点E，F分别是线段的中点，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵点O在直线上，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴．∴
【知识点】角平分线的性质；线段的中点
【解析】【解析】
解：（1）问题1：∵，平分，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：．
问题2：∵，点C是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：15．
【分析】（1）问题1：根据角平分线的定义可得，然后再根据角平分线的定义得∠AOD=∠AOC可求解；
问题2：根据线段中点的性质可得，然后再根据线段中点的性质得AD=AC可求解；
（2）①先求出，再根据线段中点的定义得，进而得，据此可求出的长；
②设，根据垂直的定义及平角的定义得，，再根据角平分线的定义得，，由此得，于是根据角的和差∠EOF=∠AOE+∠DOF+∠AOD可求解．
8．（2024七上·钱塘期末）综合与实践．
数学活动课上，老师带领学生分小组开展折纸飞机活动，依次按下图八个步骤进行．
（1）勤学小组发现，通过这样的方式折纸可以计算第2步和第4步中角的度数．如图①， 度；如图②， 度；
（2）奋进小组发现，改变折纸方法也能计算出角度．如图③，将长方形纸片分别沿，折叠，点A落在点处，点C落在点处，使得点B、、在同一直线上，请求出图中的度数；
（3）腾飞小组在原有基础上进行创新探究．将长方形纸片分别沿，折叠，使得折叠后的两部分之间有空隙（如图④）或有重叠（如图⑤），设空隙部分（或重叠部分）的，请分别求出图④与图⑤中的．（用含的代数式表示）
【答案】（1）解：根据折叠得，
∴，
故答案为：90，45；
（2）解：根据折叠得，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图④，由（2）同理得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图⑤，同理得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）直接根据折叠求出∠ABC=90°，然后得∠DBE=45°；
（2）根据折叠得，，然后由长方形的相关知识得，即可求出
；
（3）根据折叠得，，然后由长方形的相关知识得，接下来分别对照图④、图⑤结合和进行计算即可．
9．（2024七上·西湖期末）综合与实践：
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含x的代数式表示h；
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
【答案】解：（1）由表格可知：每增加一个碗，高度增加，∴；
（2）当时，，
∴这摞杯子的总高度为；
（3）当时，，
∴，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
【知识点】一次函数的其他应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个碗，高度增加．
（1）根据表格可知：每增加一个碗，高度增加，列出代数式即可；
（2）把代入（1）中的代数式，求值即可；
（3）令，求出的值即可．
10．（2024七上·嘉兴期末）根据表中的素材， 完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材 1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元.
素材 2 学校用 1100 元购买这种钢笔和笔记本， 其数量之比为 .
素材 3 文具店开展 "满送" 优惠活动，每满 130 元送1 张兑换券， 满 260 元送 2 张兑换券， 以此类推. 学校花费 1100 元后， 将兑换券全部用于商品兑换最终， 笔记本与钢笔数量相同.
（1）【任务一：探究购买方案】分别求出换前购买钢笔和笔记本的数量.
（2）【任务二：确定兑换方式】求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
【答案】（1）解：设兑换前购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为.
根据题意，得，解得x=80.
故.
即购买钢笔80支，购买笔记本60本.
（2）解：1100÷130=8……60，可知学校花费1100元后，能兑换8张兑换券.
由（1）可知，使用兑换券前购买了钢笔80支，笔记本60本.
则设用了a张兑换券用于兑换钢笔，则8-a张兑换券用于兑换笔记本，根据题意，有
80+2a=60+4（8-a），解得a=2.
即用于兑换钢笔的兑换券的张数为2.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设兑换前购买钢笔的数量为x，则根据钢笔与笔记本的数量之比得出笔记本的数量为表示为，然后根据“钢笔花费+笔记本花费=1100元”列出方程，求解即可；
（2）先求出花费1100元能有多少张兑换券，然后设用了a张兑换券用于兑换钢笔，同时表示出用于兑换笔记本的兑换券的张数，再根据“80+钢笔兑换数=60+笔记本兑换数”列出方程，求解即可.
11．（2024七上·萧山期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数；
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题．
（2）数学探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）深入探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
；
（2）解：．
理由如下：，
，
平分，
，
；
（3）解：．
理由如下：平分，
，
①，
，
，
②，
①②，得．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据余角的概念求出∠DOE，根据角平分线的定义求出∠AOD，再根据邻补角的概念计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答即可；
（3）根据角平分线的定义、邻补角的概念用∠DOE表示出∠BOD，结合图形用∠DOE表示出∠COE，两式相加得到答案．
12．（2024七上·温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
因此最短工期为180天；
（2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，
则，
解得，
则，，
因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天；
（3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
，
当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，
则，
解得，
为整数，
应取13或14，
当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天；
当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天；
，
时，工期最短，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）思考1：分别求出三个工厂完成的时间，即可得解；
（2）思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，根据所需时间相等列方程，即可求解；
思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，根据甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，列方程，求出m的值，再根据为整数，可得应取13或14，分别求出最短工期，即可得解．
13．（2024七上·婺城期末）根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们口常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中1-12匀分布，分针60分钟转动一周是360°，时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°，因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示1：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°，在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针册直的情况，请求出此时的时刻。
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 ▲ ， 一天24个小时内，共有 ▲ 个美妙时刻。
【答案】解：任务一：
当时钟显示11：10时，时针与分针所成角度为85°
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，
由题意，得，
解得
答：所求的时间为（也可写成1时分）．
（写成1：22或1时22分不扣分）
任务三：下一个美妙时刻是（也可写成1时分）
（写成7：05或1时5分不扣分）
共有22个美妙时刻．
【知识点】钟面角、方位角；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务1：按照题干素材，11点整，时针与分针所成角度是30°；从而求得时针与分针的夹角：
任务2：设1点x分时，时针与分针垂直，由题意列出方程求解：
任务3：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转0.5°，分针每分钟旋转6°，则时针每分钟少旋转5.5°，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为360+5.5=720/11分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解.
14．（2024七上·嘉兴期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，
研究数轴我们发现了许多重要的规律．
（1）【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
则A，B两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为 ；
②【类比探究】：线段的中点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）；
（3）【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，
同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中；
①M，N两点之间的距离为 ；（用含t的代数式表示）
②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为 （用含t的代数式表示）．
【答案】（1）12；
（2）；
（3）；
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离；用代数式表示实际问题中的数量关系；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：（1）A、B两点之间的距离=5-（-7）=12，线段AB的中点到A的距离=12÷2=6，
线段的中点表示的数为5-6=-1；
故答案为：12；-1.
（2）①两点间的距离为正数，当0＞a＞b时， A，B两点之间的距离为AB=|a-b|=a-b；
故答案为：a-b.
② 线段的中点表示的数为 a-=；
故答案为：.
（3）①运动时间为t时，MA=t，NB=2t；
M，N两点之间的距离为12-（t+2t）=12-3t；
故答案为：12-3t.
②AC=，BD=2t÷2=t；
∴线段CD的长=12-（+t）=12-t
故答案为：（12-t）.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，列代数式即可求出AB的长；根据数轴上点的特征和线段中点的性质，列代数式即可计算；
（2）①数轴上两点之间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数；
②数轴上线段的中点表示的数等于右边的点表示的数减去线段距离的一半长；
（3）①分别用含t的代数式表示MA和NB，根据线段的计算，即可列代数式求解；
②分别用含t的代数式表示AC和BD，根据线段的计算，即可列代数式求解.
15．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
16．（2024七上·吴兴期末）根据以下素材，回答问题．
问题 背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地，其中粗线表示墙面，已知，米，米．初步设计方案有两种：如图①，点D在线段上；如图②，点D在线段的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米．项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中．
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米．
任务一 根据图1的设计， 若设，则在①中， ；（请用含x的代数式表示） 在②中，长方形的周长为 ．
任务二 根据学校要求，劳动实践基地的长宽，请分别求出不同方案下的值．
任务三 在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案： （填①或②），并求出此时所需的费用．
【答案】任务一：；任务二：1；任务三：①，288元
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：任务一：，，，
；
长方形的周长为：；
故答案为：；
任务二：如图①，，
由题意得：，
解得：，
即；
如图②，，，
由题意得：，
解得：，
即；
任务三：由任务二知符合要求的方案为：①；
由（2）得，
∴，
∴，
∴面积为（平方米）
∴费用为（元）．
【分析】任务一：根据长方形的对边相等和长方形的周长等于相邻两边之和的2倍即可求解；
任务二：根据图形，分别表示出的长，由长宽可列关于x的方程，解方程即可求解；
任务三：根据任务二知符合要求的方案为：①；代入数据计算即可．
1 / 1综合与实践题—浙江省七（上）数学期末复习
一、综合与实践
1．（2024七上·吴兴期末）
（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中x＝ ，y＝ ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则m= ．
2．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】 ．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则 ．
3．（2024七上·吴兴期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
4．（2023七上·滨江期末）【综合与实践】
线段和角有很多相似之处，如都可以度量，都能进行大小比较等．小滨根据“角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形”，研究了一个问题：
（1）【操作发现】如图，射线从出发，绕着端点以每秒的速度逆时针旋转，回到位置时，停止旋转．当射线旋转24秒时到达位置，继续旋转30秒，到达位置，若平分，求的度数．
（2）【特例研究】在上述条件下，若射线从出发，继续旋转秒，问是否存在，使得？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
5．（2024七上·东阳期末）问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了 (画出数轴会更方便)
6．
（1）【问题探究】
如图，点C，D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧，若AC=BD，CD=6 cm，AB=9 cm，则线段AC 的长为 cm。
（2）【方法迁移】
已知点C，D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧，若AC=BD，CD=a( cm)，AB=b( cm)(b>a)，则线段AC 的长为 cm(用含a，b 的代数式表示)。
（3）【学以致用】
已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数是n(n7．（2024七上·拱墅期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知，平分，平分，则_______．
问题2：已知，点C是的中点，点D是的中点，则_______．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点O在直线上，（在直线同侧），分别平分．求的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段，点C，D在线段上（），，点E，F分别是线段的中点，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线上，（在直线两侧），分别平分．求的度数．
8．（2024七上·钱塘期末）综合与实践．
数学活动课上，老师带领学生分小组开展折纸飞机活动，依次按下图八个步骤进行．
（1）勤学小组发现，通过这样的方式折纸可以计算第2步和第4步中角的度数．如图①， 度；如图②， 度；
（2）奋进小组发现，改变折纸方法也能计算出角度．如图③，将长方形纸片分别沿，折叠，点A落在点处，点C落在点处，使得点B、、在同一直线上，请求出图中的度数；
（3）腾飞小组在原有基础上进行创新探究．将长方形纸片分别沿，折叠，使得折叠后的两部分之间有空隙（如图④）或有重叠（如图⑤），设空隙部分（或重叠部分）的，请分别求出图④与图⑤中的．（用含的代数式表示）
9．（2024七上·西湖期末）综合与实践：
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
【数学思考】
（1）观察这些表格中数据的规律，用含x的代数式表示h；
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
10．（2024七上·嘉兴期末）根据表中的素材， 完成下面的任务：
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材 1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元.
素材 2 学校用 1100 元购买这种钢笔和笔记本， 其数量之比为 .
素材 3 文具店开展 "满送" 优惠活动，每满 130 元送1 张兑换券， 满 260 元送 2 张兑换券， 以此类推. 学校花费 1100 元后， 将兑换券全部用于商品兑换最终， 笔记本与钢笔数量相同.
（1）【任务一：探究购买方案】分别求出换前购买钢笔和笔记本的数量.
（2）【任务二：确定兑换方式】求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
11．（2024七上·萧山期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将一直角三角板的直角顶点放在直线上，，是三角板的两条直角边，三角板可绕点任意旋转，射线平分．当三角板绕点旋转到图1的位置时，，试求的度数；
（1）数学思考：请你解答老师提出的问题．
（2）数学探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图2的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）深入探究：老师提出，当三角板绕点旋转到图3的位置时，射线平分，请同学们猜想与之间有怎样的数量关系？并说明理由．
12．（2024七上·温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
13．（2024七上·婺城期末）根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们口常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中1-12匀分布，分针60分钟转动一周是360°，时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°，因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示1：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°，在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针册直的情况，请求出此时的时刻。
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 ▲ ， 一天24个小时内，共有 ▲ 个美妙时刻。
14．（2024七上·嘉兴期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，
研究数轴我们发现了许多重要的规律．
（1）【特例感知】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
则A，B两点之间的距离为 ，线段的中点表示的数为 ；
（2）①【分类讨论】：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为；
当，则A，B两点之间的距离为 ；
②【类比探究】：线段的中点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）；
（3）【综合运用】：若数轴上点A，点B表示的数分别为5，，
点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，
同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
当M，N两点相遇时，均停止运动，设运动时间为t秒（），点M，N在运动过程中；
①M，N两点之间的距离为 ；（用含t的代数式表示）
②若点C为的中点，点D为的中点，线段的长度为 （用含t的代数式表示）．
15．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
16．（2024七上·吴兴期末）根据以下素材，回答问题．
问题 背景 吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一 项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地，其中粗线表示墙面，已知，米，米．初步设计方案有两种：如图①，点D在线段上；如图②，点D在线段的延长线上（包括点C）．
素材二 通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米．项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中．
素材三 经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米．
任务一 根据图1的设计， 若设，则在①中， ；（请用含x的代数式表示） 在②中，长方形的周长为 ．
任务二 根据学校要求，劳动实践基地的长宽，请分别求出不同方案下的值．
任务三 在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案： （填①或②），并求出此时所需的费用．
答案解析部分
1．【答案】（1）0.1；10
（2）右；1
（3）22.4；50
【知识点】探索数与式的规律；求算术平方根
【解析】【解答】解：（1），.
∴x的值为0.1，y的值为10.
故答案为：0.1；10；
（2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右；1；
（3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数位向右移动1位，即.
故答案为：22.4.
②从7.07到70.7小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位.即m=50.
故答案为：50.
【分析】（1）根据比较容易算的0.01和100的平方根即可完善表格；
（2）在填完整的表格中观察小数点的位置变化即可得到结论；
（3）利用结论解决问题即可.
2．【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
3．【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：（1）由表格可得：
，，
故答案为：，10；
（2）观察可得规律：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，50．
【分析】（1）直接求算术平方根即可求解；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律即可；
（3）根据（2）中找出的规律并结合题意即可求解．
4．【答案】（1）解：由题意得：
平分
（2）解：存在；，
或
解得：，或，
∴存在秒或秒时，使得．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
5．【答案】（1）8
（2）14；22
（3）解：当奶奶像妙妙这样大时，豆豆为岁，
∴ 奶奶与豆豆的年龄差为[109-(-35)]÷3=48（岁），
∴ 豆豆现在的年龄为109-48-48=13（岁）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：(1)由数轴可知三根木棒长为（cm），
∴ 这根木棒的长为（cm）；
故答案为：8．
(2)∵这根木棒的长为8cm，
，
．
∴ 图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14；22．
【分析】(1)根据数轴可知3倍的长为（cm），即可求得AB.
（2）根据数轴可知6向右移动8为A，再向右移动8为B，直接计算即可.
（3）根据模型可以把奶奶与豆豆的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，先求出两人的年龄差．进而得到豆豆的年龄即可．
6．【答案】（1）1.5
（2）
（3）解：如图，
表示七年级某班人数，
表示七年级某班男生人数，
表示七年级某班女生人数，
表示参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的男生，
表示未参加围棋课的女生，
表示参加围棋课的女生，
设，，则，，
∵选择围棋课的人数有人，
∴，即，解得：，
∵，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）利用线段和差可得，，即可求解；
（）利用线段和差，即可求解；
（）根据题意画出线段图，设，，则，，根据题意，表示出m，n，即可求解；
7．【答案】解：（2）①∵线段，点C，D在线段上，，
∴，
∵点E，F分别是线段的中点，
∴，
∴，
∴；
②设，
∵点O在直线上，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴．∴
【知识点】角平分线的性质；线段的中点
【解析】【解析】
解：（1）问题1：∵，平分，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：．
问题2：∵，点C是的中点，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：15．
【分析】（1）问题1：根据角平分线的定义可得，然后再根据角平分线的定义得∠AOD=∠AOC可求解；
问题2：根据线段中点的性质可得，然后再根据线段中点的性质得AD=AC可求解；
（2）①先求出，再根据线段中点的定义得，进而得，据此可求出的长；
②设，根据垂直的定义及平角的定义得，，再根据角平分线的定义得，，由此得，于是根据角的和差∠EOF=∠AOE+∠DOF+∠AOD可求解．
8．【答案】（1）解：根据折叠得，
∴，
故答案为：90，45；
（2）解：根据折叠得，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图④，由（2）同理得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图⑤，同理得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）直接根据折叠求出∠ABC=90°，然后得∠DBE=45°；
（2）根据折叠得，，然后由长方形的相关知识得，即可求出
；
（3）根据折叠得，，然后由长方形的相关知识得，接下来分别对照图④、图⑤结合和进行计算即可．
9．【答案】解：（1）由表格可知：每增加一个碗，高度增加，∴；
（2）当时，，
∴这摞杯子的总高度为；
（3）当时，，
∴，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
【知识点】一次函数的其他应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个碗，高度增加．
（1）根据表格可知：每增加一个碗，高度增加，列出代数式即可；
（2）把代入（1）中的代数式，求值即可；
（3）令，求出的值即可．
10．【答案】（1）解：设兑换前购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为.
根据题意，得，解得x=80.
故.
即购买钢笔80支，购买笔记本60本.
（2）解：1100÷130=8……60，可知学校花费1100元后，能兑换8张兑换券.
由（1）可知，使用兑换券前购买了钢笔80支，笔记本60本.
则设用了a张兑换券用于兑换钢笔，则8-a张兑换券用于兑换笔记本，根据题意，有
80+2a=60+4（8-a），解得a=2.
即用于兑换钢笔的兑换券的张数为2.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设兑换前购买钢笔的数量为x，则根据钢笔与笔记本的数量之比得出笔记本的数量为表示为，然后根据“钢笔花费+笔记本花费=1100元”列出方程，求解即可；
（2）先求出花费1100元能有多少张兑换券，然后设用了a张兑换券用于兑换钢笔，同时表示出用于兑换笔记本的兑换券的张数，再根据“80+钢笔兑换数=60+笔记本兑换数”列出方程，求解即可.
11．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
；
（2）解：．
理由如下：，
，
平分，
，
；
（3）解：．
理由如下：平分，
，
①，
，
，
②，
①②，得．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据余角的概念求出∠DOE，根据角平分线的定义求出∠AOD，再根据邻补角的概念计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答即可；
（3）根据角平分线的定义、邻补角的概念用∠DOE表示出∠BOD，结合图形用∠DOE表示出∠COE，两式相加得到答案．
12．【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
因此最短工期为180天；
（2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，
则，
解得，
则，，
因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天；
（3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
，
当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，
则，
解得，
为整数，
应取13或14，
当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天；
当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天；
，
时，工期最短，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）思考1：分别求出三个工厂完成的时间，即可得解；
（2）思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，根据所需时间相等列方程，即可求解；
思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，根据甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，列方程，求出m的值，再根据为整数，可得应取13或14，分别求出最短工期，即可得解．
13．【答案】解：任务一：
当时钟显示11：10时，时针与分针所成角度为85°
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，
由题意，得，
解得
答：所求的时间为（也可写成1时分）．
（写成1：22或1时22分不扣分）
任务三：下一个美妙时刻是（也可写成1时分）
（写成7：05或1时5分不扣分）
共有22个美妙时刻．
【知识点】钟面角、方位角；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务1：按照题干素材，11点整，时针与分针所成角度是30°；从而求得时针与分针的夹角：
任务2：设1点x分时，时针与分针垂直，由题意列出方程求解：
任务3：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转0.5°，分针每分钟旋转6°，则时针每分钟少旋转5.5°，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为360+5.5=720/11分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解.
14．【答案】（1）12；
（2）；
（3）；
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离；用代数式表示实际问题中的数量关系；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：（1）A、B两点之间的距离=5-（-7）=12，线段AB的中点到A的距离=12÷2=6，
线段的中点表示的数为5-6=-1；
故答案为：12；-1.
（2）①两点间的距离为正数，当0＞a＞b时， A，B两点之间的距离为AB=|a-b|=a-b；
故答案为：a-b.
② 线段的中点表示的数为 a-=；
故答案为：.
（3）①运动时间为t时，MA=t，NB=2t；
M，N两点之间的距离为12-（t+2t）=12-3t；
故答案为：12-3t.
②AC=，BD=2t÷2=t；
∴线段CD的长=12-（+t）=12-t
故答案为：（12-t）.
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，列代数式即可求出AB的长；根据数轴上点的特征和线段中点的性质，列代数式即可计算；
（2）①数轴上两点之间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数；
②数轴上线段的中点表示的数等于右边的点表示的数减去线段距离的一半长；
（3）①分别用含t的代数式表示MA和NB，根据线段的计算，即可列代数式求解；
②分别用含t的代数式表示AC和BD，根据线段的计算，即可列代数式求解.
15．【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
16．【答案】任务一：；任务二：1；任务三：①，288元
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：任务一：，，，
；
长方形的周长为：；
故答案为：；
任务二：如图①，，
由题意得：，
解得：，
即；
如图②，，，
由题意得：，
解得：，
即；
任务三：由任务二知符合要求的方案为：①；
由（2）得，
∴，
∴，
∴面积为（平方米）
∴费用为（元）．
【分析】任务一：根据长方形的对边相等和长方形的周长等于相邻两边之和的2倍即可求解；
任务二：根据图形，分别表示出的长，由长宽可列关于x的方程，解方程即可求解；
任务三：根据任务二知符合要求的方案为：①；代入数据计算即可．
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