阅读理解题—浙江省七（上）数学期末复习

阅读理解题—浙江省七（上）数学期末复习
一、阅读理解题
1．（2024七上·杭州月考）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
2．（2024七上·绍兴期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：
A地砖使用了36块，每块面积为xcm2，每平米单价为50元；
B地砖使用了217块，每块面积为ycm2，每平米单价为16元；
（1）用x，y表示铺设活动室地面的费用。
（2）试说出代数式 所表示的的实际含义。
3．（2024七上·绍兴期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称的根整数，例如：．
（1）【阅读理解】仿照以上方法计算：　 　，　 　；
（2）【解决问题】若，写出满足题意的的整数值　 　；
（3）【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数。
4．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是　 　填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m=　 　（用含的代数式表示）.
5．（2024七上·柯桥期中）原题呈现：代数式：的值为9．则代数式的值为．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：（∵表示“因为”，∴表示“所以”）
∵，∴．
原式．
∴代数式的值为9．
（1）【方法运用】若，则　 　．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
（3）【拓展应用】若，，测代数式的值为　 　．
6．（2023七上·德清期末）阅读下面的材料：
小明在复习过程中发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点之间的距离”．如图1，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为（较大数较小数）．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
（1）如图2，点A表示数x，点B表示数，点C表示数，且，求点A，点C所表示的数；
（2）在（1）的条件下，若点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右移动，同时点N从点C出发，以每秒6个单位长度的速度向左移动，当点N到达点B后立即以原来的速度向右移动．设移动时间为t秒，当时，求t的值．
7．（2024七上·金华期末）【阅读理解】射线OC是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，，则，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于，称射线OD是射线OB的友好线.
【知识运用】
（1）如图2，，射线OM是射线OA的友好线，则为多少度；
（2）如图3，，射线OC与射线OA重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线.
8．（2022七上·义乌月考）阅读材料：
定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）基础巩固：在A，B，C三点中，点　 　是点M，N的“倍分点”．
（2）尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个．
（3）灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数．
9．（2024七上·宁波期中）【阅读材料】
我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离，若点M表示的数，点N表示的数是，点M在点N的右边（即），则点M，N之间的距离为，即．例如：若点C表示的数是，点D表示的数是，则线段．
【理解应用】
（1）已知在数轴上，点E表示的数是，点F表示的数是，求线段的长；
【拓展应用】
如图，数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示的数是3，点P表示的数是x．
（2）当A，B，P三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，则__________；
（3）数轴上是否存在一点Q，使点Q到点A，点B的距离和为21？若存在，求出点Q表示的数；若不存在，请说明理由．
10．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】　 　．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则　 　．
11．（2023七上·武义期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，.
例：若，则，，
，，
，…
请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
（1）若，求下列两个问题.
① ， .
②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长.
（2）已知，求的值.
12．（2024七上·桐乡市期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线．
【知识运用】
（1）如图，，射线是射线的友好线，则为多少度；
（2）如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案；
13．（2024七上·越城期末） 我们知道分数写为小数形式即；反过来，无限循环小数写为分数形式即为．
一般地，任何一个无限循环小数都可以写成一个分数的形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得．
于是得．
根据以上阅读材料，回答下列问题（以下计算结果都用最简分数表示）：
（1）【理解】　 　．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程（温馨提示：，它的循环节有两位）．
（3）【创新】若已知，则　 　．
14．[阅读理解]
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，图1中，AOB=60°，∠AOC= ZCOD=∠BOD= 20°，则∠AOC=∠AOB，称射线OC是射线OA的“友好线”；同时，由于∠BOD=∠AOB，称射线OD是射线OB的“友好线”
[知识运用]
（1）如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的“友好线”，则∠AOM=　 　
（2）如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是40° ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．．
②当t为多少秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”。(直接写出答案)
15．（2021七上·镇海期末）新定义问题
如图①，已知 ，在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 、 、 .若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 为 的“幸运线”.（本题中所研究的角都是大于 而小于 的角.）
（1）（阅读理解）
角的平分线　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图①， ，射线 为 的“幸运线”，则 的度数为　 　；
（3）（解决问题）
如图②，已知 ，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，同时，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，设运动的时间为 秒（ ）.若 、 、 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的 值.
16．（2024七上·丽水期中） 【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是　 　（写出最后结果）；
②若，则　 　；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合．
①表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是　 　，表示的数是　 　；
③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是　 　；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是　 　．
17．（2024七上·义乌月考）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”。例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”．又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．
（1）数3　 　（填“是”或“不是”）的“妙点”，数2　 　（填“是”或“不是”）的“妙点”．
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值．
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】解：
．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】根据题意中的拆项法即可求出答案.
2．【答案】（1）解：A地砖一共面积为36x，花费36x×50=1800x（元）；B地砖一共面积为217y，花费217y×16=3472y（元），一共（1800x+3472y）元。
（2）解：36x+217y表示的是活动室的地面面积，因为活动室是正方形的，所以将其开平方是表示这个活动室的边长。
答：表示该正方形活动室地面的边长。
【知识点】算术平方根的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）分别计算A地砖和B地砖的费用，相加解题即可；
（2）根据36x+217y表示的是活动室的地面面积解答即可.
3．【答案】（1）4；6
（2）1或2或3
（3）解：①第一次：，
第二次：，
第三次：，
第3次之后结果为1，
故答案为：3次；
②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，
进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，
进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，
故答案为：255．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，，
，
，，
故答案为：4，6；
（2） ，，，
∴，
或或，
故答案为：1或2或3；
【分析】（1）直接根据根整数的定义计算即可；
（2）根据根整数的定义解得，然后写出整数即可；
（3） ① 对有理数137 运用根整数定义依次运算即可；
②逆用根整数运算即可解题.
4．【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
5．【答案】（1）1
（2）解：∵代数式的值为15，
∴，
∴，
∴；
（3）-4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】(1) 解：由 可得
∴
故答案为：1.
（3）解：∵，，
∴
．
故答案为：-4.
【分析】(1)先由 可得 然后整体代入计算即可；
(2)先由： 可得 由 可得 然后整体代入计算即可；
(3)先由： 可得 然后把可得 化成 然后整体代入计算即可.
6．【答案】（1）表示的数是，表示的数是3
（2）或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
7．【答案】（1）解：射线OM是射线OA的“友好线”，且，
.
（2）解：射线OD与OA重合时，(秒)
①存在
当的度数是时，，有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
若在相遇之后，则，即，；
综上所述，当秒或30秒时，的度数是.
②相遇之前：
(Ⅰ)如图1，
OC是OA的“友好线”时，则，
即，
（Ⅱ）如图2，
OC是OD的“友好线”时，则，
即，
（Ⅲ）如图3，
OD是OC的“友好线”时，则
即，
（Ⅳ）如图4，
OD是OA的“友好线”时，则
即，
所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【分析】(1)根据友好线的定义直接带入即可.
(2)①按在相遇之前和相遇之后两种情况，分类计算即可.
②分四种情况进行讨论：(Ⅰ)OC是OA的友好线；（Ⅱ）OC是OD的友好线；（Ⅲ）OD是OC的友好线；（Ⅳ）OD是OA的友好线，列出方程进行求解即可.
8．【答案】（1）B
（2）4
（3）解：根据题意，得，
①当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∴此时点Р在数轴上表示的数为．
②当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∵此时点Р在数轴上表示的数为6+12=24．
综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴点B是点M，N的“倍分点”．
故答案为：B．
（2）：设点D在数轴上所表示的数为a．
根据题意，得．
①当时，．
∴．解得或．
②当时，．
∴．解得或．
综上所述，点在数轴上对应的数有4个．
故答案为：4．
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离可求出BM，BN的长，可得到BM和BN的数量关系，根据“倍分点”的定义可作出判断.
（2）设点D在数轴上所表示的数为a，利用数轴上两点间的距离可求出AM的长，再分情况讨论：①当时；②当时；分别可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可求解.
（3）利用数轴上两点间的距离可求出MN的长，分情况讨论：①当时，可求出PN的长，点Р在点N的右侧，可求出点P在数轴上表示的数；②当时，可求出PN的长，根据点Р在点N的右侧，可得到点P在数轴上表示的数；综上所述可得答案.
（1）解：∵，，
∴，
∴点B是点M，N的“倍分点”．
故答案为：B．
（2）解：设点D在数轴上所表示的数为x．
根据题意，得．
①当时，．
∴．解得或．
②当时，．
∴．解得或．
综上所述，点在数轴上对应的数有4个．
故答案为：4．
（3）解：根据题意，得，
①当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∴此时点Р在数轴上表示的数为．
②当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∵此时点Р在数轴上表示的数为24．
综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．
9．【答案】解：（1）；
（2）或或
（3）存在
设点表示的数为，当点在点左侧时，则：，解得：；
当点在点右侧时，则：，解得：；
∴点Q表示的数为或11．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（2）当点为中点时，则：，解得：；
当点为中点时，则：，解得：，
当点为中点时，则：，解得：；
故答案为：或或
【分析】（1）利用两点间的距离公式解题即可；
（2）①分点为中点，点为中点或点为中点三种情况，列方程求解即可；
（3）设点表示的数为，分点在点左侧和点在点右侧两种情况，列方程求解即可．
10．【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
11．【答案】（1）解：①-2；-6；②②，
∴，
即线段AB的长4；
（2）解：由题意，，，
∵，
∴，
当即时，
，解得；
当时，
，等式不成立，即不存在；
当时，，解得，
综上，或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：-2，-6；
【分析】（1）①根据定义的新运算进行计算；
②a9=a2×4+1=a4=-6，然后根据两点间距离公式进行计算；
（2）由题意得a9=a2×4+1=a4=3a0，a13=a2×6+1=a6=3a0，则原方程可化为|3a0-3|+|3a0+2|=8，然后分a0<、≤a0<1、a0≥1进行计算.
12．【答案】（1）解：∵射线是射线的“友好线”，且，
∴ ．
（2）解：射线与重合时，（秒）
①存在
当的度数是时，，，
由题意分两种情况：
（Ⅰ）若在相遇之前，则，即，
；
（Ⅱ）若在相遇之后，则，即，
；
综上可得，当秒或30秒时，的度数是．
②相遇之前：
（I）如图1，
是的“友好线”时，则，
即，
；
（II）如图2，
是的“友好线”时，则，
即，
；
相遇之后：
（III）如图3，
是的“友好线”时，则
即，
；
（Ⅳ）如图4，
是的“友好线”时，则
即，
；
∴综上可得，当秒或秒或30秒或36秒时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角n等分模型
【解析】【分析】（1）根据“友好线”的意义并结合已知即可求解；
（2）①分两种情况：与相遇之前，根据减去、旋转的角度的和等于列出方程即可；与相遇之后，根据、旋转的角度的和减去等于列出方程即可；
②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义列关于t的方程，解方程即可求得t的值．
13．【答案】（1）
（2）解：设，
∵，，
∴，解得．
即．
（3）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设，
由=0.55555…可知，10x=5.55…，
∴10x-x=5，解得：x=.
故答案为：；
（3）∵，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）设，根据阅读材料中的方法计算可得关于x的方程，解方程即可求解；
(2)设，根据阅读材料中的方法计算可得关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据已知条件“”可求出的值，则的值可求解.
14．【答案】（1）40°
（2）射线OD与射线OA重合时，t=60(秒)．
①存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是40°．
有两种情况：
在OC，OD相遇前，180°-3t°- 2t°=40°，
∴t=28；
在OC，OD相遇后，3t°+2t°- 180°=40°，
∴t=44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°．
②相遇之前：
(i)如图1．
当OC是OA的“友好线”时，∠AOC= ∠AOD，
即2t°= (180°-3t)或∠AOC= ∠AOB，即2t°= ×180°，
∴t=20或t= 30．
(ii)如图2．
当OC是OD的“友好线”时，∠DOC= ∠AOD，即180°-3t°-2t°= (180°- 3t°)，
∴t= 30；
当OD是OC的“友好线”时，∠DOC= ∠BOC，即180°-3t°-2t°= (180°- 2t°)，
∴t= 相遇之后：
(iii)如图3．
当OD是OC的“友好线”时，∠COD= ∠AOC，即3t°+2t°-180°= ×2t°，
∴t=
’
当OC是OD的“友好线”时，∠COD= ∠BOD，即3t°+2t°-180°= ×3t° ，
∴t=45；
(iv)如图4．
当OD是OA的“友好线”时，
∠AOD= ∠AOC，即180°- 3t°= ×2t°或
∠AOD= ∠AOB，即180°-3t°= ×180°，
∴t= 或t=40．
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒或45秒或秒或40秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”。
【知识点】角的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) ∵射线 OM是射线OA的“友好线”，
∴∠AOM= ∠AOB= 40°．
【分析】（1）由“友好线”的定义直接求解即可；
（2）①有两种情况：在OC，OD相遇前和在OC，0D相遇后，据此分别建立方程并解之即可；
②相遇之前：(i)当OC是OA的“友好线”时，∠AOC= ∠AOD或∠AOC= ∠AOB， (ii)当OC是OD的“友好线”时，∠DOC= ∠AOD；相遇之后：(iii)当OD是OC的“友好线”时，∠COD= ∠AOC和当OC是OD的“友好线”时，∠COD= ∠BOD；(iv)当OD是OA的“友好线”时，∠AOD= ∠AOC或∠AOD= ∠AOB，据此分别列出方程并解之即可.
15．【答案】（1）是
（2）15°，22.5°，30°
（3）解：∵ ，
∴射线ON与OA重合的时间为 （秒），
∴当 时 在与 重合之前，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， ，
② ， ，
③ ， ；
当 时， 在与 重合之后，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， （不符合题意，舍去），
② ， ，
③ ， （不符合题意，舍去）；
综上： 或 或 或 .
【知识点】角的运算；图形的旋转；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有 ，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为是；
（2）由题意得：
∵ ，射线 为 的“幸运线”，
∴①当 时，则有： ；
②当 时，则有 ；
③当 时，则有 ；
综上所述：当射线 为 的“幸运线”时，∠AOC的度数为 ， ， ，
故答案为 ， ， ；
【分析】（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有 ，则根据题意可求解；
（2）根据“幸运线”的定义可得当 时，当 时，当 时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当 时 在与 重合之前，则有 ， ，由 是 的幸运线可进行分类求解；②当 时， 在与 重合之后，则有 ， ，由 是 的幸运线可分类进行求解.
16．【答案】（1）9；1或-7
（2）；-5；3；a+b=-2
（3）-15
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①-6和3的两点之间的距离是：；
②表示x与-3两数再数轴上所对应的两点之间的距离为4，
∴x=1或-7
故答案为：9，1或-7.
（2）①∵数轴上表示-3的点与表示1的点重合，
∴-3与1的中点为，
设表示的点与数x表示的点重合，
∴，
解得，
②设点A表示的数为a，点B表示的数为6，
∴b-a=8，，
解得a =-5，b=3，
③∵，
∴a+b=-2，
故答案为：；-5，3；a+b=-2.
(3)当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的最小值为|-3-2| =5，
当-1≤y≤5时，|y+1|+|y-5|的最小值为|1-(-5)|=6，
∵|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11时，
∴-3≤x≤2，-1≤y≤5，
∴x·y的最小值为-3×5=-15，
故答案为：-15.
【分析】(1)依据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
(2)①求出重合点所表示的数，再根据数轴上“中点”所表示数的计算方法列方程进行解答即可；②由①得b-a=8，即可；③由数轴上两点“中点”所表示的数的计算方法进行解答即可；
(3)根据|x+З|+|x-2|的最小值是5，|y+1|+|y-5|的最小值是6，再根据
|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11，确定x、y的取值范围，从而进行计算即可.
17．【答案】（1）不是；不是
（2）解：若点Q在M，N两点之间，则，解得：x=0
若点Q在点M的左侧，则，解得：，不符合题意题意，舍去
若点Q在点N的右侧，则，且x>4，解得：，不符合题意题意，舍去
综上所述，x的值为0或﹣8
（3）解：秒、20秒、15秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵，且5不是1的2倍
∴3表示的点不是的“妙点”，
，且2不等于4的2倍
∴2表示的点不是的“妙点”，
故答案为：不是，不是
（3）由图可知，AB=60，BP=2t，AP=60－2t
由题意可得：0当点P是[A，B]的妙点，则60－2t=2×2t
解得：t=10
当点P是[B，A]的妙点，则
解得：t=20
当点B是[A，P]的妙点，则
解得：t=15
当点B是[P，A]的妙点，则
解得：t=60，不符合题意
当点A是[B，P]的妙点，则
解得：t=15
当点A是[P，B]的妙点，则
解得：t=﹣30，不符合题意
综上所述，秒、20秒、15秒时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的妙点
故答案为：秒、20秒、15秒
【分析】（1）根据“妙点”的定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：根据“妙点”的定义即可求出答案.
（3）根据“妙点”的定义分情况讨论：建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1阅读理解题—浙江省七（上）数学期末复习
一、阅读理解题
1．（2024七上·杭州月考）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】根据题意中的拆项法即可求出答案.
2．（2024七上·绍兴期中）先阅读材料，再解决问题．
阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：
A地砖使用了36块，每块面积为xcm2，每平米单价为50元；
B地砖使用了217块，每块面积为ycm2，每平米单价为16元；
（1）用x，y表示铺设活动室地面的费用。
（2）试说出代数式 所表示的的实际含义。
【答案】（1）解：A地砖一共面积为36x，花费36x×50=1800x（元）；B地砖一共面积为217y，花费217y×16=3472y（元），一共（1800x+3472y）元。
（2）解：36x+217y表示的是活动室的地面面积，因为活动室是正方形的，所以将其开平方是表示这个活动室的边长。
答：表示该正方形活动室地面的边长。
【知识点】算术平方根的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）分别计算A地砖和B地砖的费用，相加解题即可；
（2）根据36x+217y表示的是活动室的地面面积解答即可.
3．（2024七上·绍兴期中）【数学中的阅读理解】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称的根整数，例如：．
（1）【阅读理解】仿照以上方法计算：　 　，　 　；
（2）【解决问题】若，写出满足题意的的整数值　 　；
（3）【扩展探究】①如果我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1；
②试求出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数。
【答案】（1）4；6
（2）1或2或3
（3）解：①第一次：，
第二次：，
第三次：，
第3次之后结果为1，
故答案为：3次；
②由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
，，
进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
，，
进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，
故答案为：255．
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】（1）∵，，，
，
，，
故答案为：4，6；
（2） ，，，
∴，
或或，
故答案为：1或2或3；
【分析】（1）直接根据根整数的定义计算即可；
（2）根据根整数的定义解得，然后写出整数即可；
（3） ① 对有理数137 运用根整数定义依次运算即可；
②逆用根整数运算即可解题.
4．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是　 　填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m=　 　（用含的代数式表示）.
【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
5．（2024七上·柯桥期中）原题呈现：代数式：的值为9．则代数式的值为．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：（∵表示“因为”，∴表示“所以”）
∵，∴．
原式．
∴代数式的值为9．
（1）【方法运用】若，则　 　．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
（3）【拓展应用】若，，测代数式的值为　 　．
【答案】（1）1
（2）解：∵代数式的值为15，
∴，
∴，
∴；
（3）-4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】(1) 解：由 可得
∴
故答案为：1.
（3）解：∵，，
∴
．
故答案为：-4.
【分析】(1)先由 可得 然后整体代入计算即可；
(2)先由： 可得 由 可得 然后整体代入计算即可；
(3)先由： 可得 然后把可得 化成 然后整体代入计算即可.
6．（2023七上·德清期末）阅读下面的材料：
小明在复习过程中发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点之间的距离”．如图1，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为（较大数较小数）．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
（1）如图2，点A表示数x，点B表示数，点C表示数，且，求点A，点C所表示的数；
（2）在（1）的条件下，若点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右移动，同时点N从点C出发，以每秒6个单位长度的速度向左移动，当点N到达点B后立即以原来的速度向右移动．设移动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】（1）表示的数是，表示的数是3
（2）或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
7．（2024七上·金华期末）【阅读理解】射线OC是内部的一条射线，若，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”.例如，如图1，，则，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于，称射线OD是射线OB的友好线.
【知识运用】
（1）如图2，，射线OM是射线OA的友好线，则为多少度；
（2）如图3，，射线OC与射线OA重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线.
【答案】（1）解：射线OM是射线OA的“友好线”，且，
.
（2）解：射线OD与OA重合时，(秒)
①存在
当的度数是时，，有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
若在相遇之后，则，即，；
综上所述，当秒或30秒时，的度数是.
②相遇之前：
(Ⅰ)如图1，
OC是OA的“友好线”时，则，
即，
（Ⅱ）如图2，
OC是OD的“友好线”时，则，
即，
（Ⅲ）如图3，
OD是OC的“友好线”时，则
即，
（Ⅳ）如图4，
OD是OA的“友好线”时，则
即，
所以，综上所述，当秒或秒或30秒或36秒时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”.
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【分析】(1)根据友好线的定义直接带入即可.
(2)①按在相遇之前和相遇之后两种情况，分类计算即可.
②分四种情况进行讨论：(Ⅰ)OC是OA的友好线；（Ⅱ）OC是OD的友好线；（Ⅲ）OD是OC的友好线；（Ⅳ）OD是OA的友好线，列出方程进行求解即可.
8．（2022七上·义乌月考）阅读材料：
定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）基础巩固：在A，B，C三点中，点　 　是点M，N的“倍分点”．
（2）尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个．
（3）灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数．
【答案】（1）B
（2）4
（3）解：根据题意，得，
①当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∴此时点Р在数轴上表示的数为．
②当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∵此时点Р在数轴上表示的数为6+12=24．
综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴点B是点M，N的“倍分点”．
故答案为：B．
（2）：设点D在数轴上所表示的数为a．
根据题意，得．
①当时，．
∴．解得或．
②当时，．
∴．解得或．
综上所述，点在数轴上对应的数有4个．
故答案为：4．
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离可求出BM，BN的长，可得到BM和BN的数量关系，根据“倍分点”的定义可作出判断.
（2）设点D在数轴上所表示的数为a，利用数轴上两点间的距离可求出AM的长，再分情况讨论：①当时；②当时；分别可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可求解.
（3）利用数轴上两点间的距离可求出MN的长，分情况讨论：①当时，可求出PN的长，点Р在点N的右侧，可求出点P在数轴上表示的数；②当时，可求出PN的长，根据点Р在点N的右侧，可得到点P在数轴上表示的数；综上所述可得答案.
（1）解：∵，，
∴，
∴点B是点M，N的“倍分点”．
故答案为：B．
（2）解：设点D在数轴上所表示的数为x．
根据题意，得．
①当时，．
∴．解得或．
②当时，．
∴．解得或．
综上所述，点在数轴上对应的数有4个．
故答案为：4．
（3）解：根据题意，得，
①当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∴此时点Р在数轴上表示的数为．
②当时，．
∵点Р在点N的右侧，
∵此时点Р在数轴上表示的数为24．
综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24．
9．（2024七上·宁波期中）【阅读材料】
我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离，若点M表示的数，点N表示的数是，点M在点N的右边（即），则点M，N之间的距离为，即．例如：若点C表示的数是，点D表示的数是，则线段．
【理解应用】
（1）已知在数轴上，点E表示的数是，点F表示的数是，求线段的长；
【拓展应用】
如图，数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示的数是3，点P表示的数是x．
（2）当A，B，P三个点中，其中一个点是另外两个点所连线段的中点时，则__________；
（3）数轴上是否存在一点Q，使点Q到点A，点B的距离和为21？若存在，求出点Q表示的数；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）或或
（3）存在
设点表示的数为，当点在点左侧时，则：，解得：；
当点在点右侧时，则：，解得：；
∴点Q表示的数为或11．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（2）当点为中点时，则：，解得：；
当点为中点时，则：，解得：，
当点为中点时，则：，解得：；
故答案为：或或
【分析】（1）利用两点间的距离公式解题即可；
（2）①分点为中点，点为中点或点为中点三种情况，列方程求解即可；
（3）设点表示的数为，分点在点左侧和点在点右侧两种情况，列方程求解即可．
10．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】　 　．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则　 　．
【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
11．（2023七上·武义期末）已知一列，数，，，…，具有以下规律：，.
例：若，则，，
，，
，…
请认真阅读上面的运算推理过程，完成下面问题.
（1）若，求下列两个问题.
① ， .
②在数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为，求线段AB的长.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：①-2；-6；②②，
∴，
即线段AB的长4；
（2）解：由题意，，，
∵，
∴，
当即时，
，解得；
当时，
，等式不成立，即不存在；
当时，，解得，
综上，或.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：-2，-6；
【分析】（1）①根据定义的新运算进行计算；
②a9=a2×4+1=a4=-6，然后根据两点间距离公式进行计算；
（2）由题意得a9=a2×4+1=a4=3a0，a13=a2×6+1=a6=3a0，则原方程可化为|3a0-3|+|3a0+2|=8，然后分a0<、≤a0<1、a0≥1进行计算.
12．（2024七上·桐乡市期末）【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”例如，如图，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线．
【知识运用】
（1）如图，，射线是射线的友好线，则为多少度；
（2）如图，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻秒，使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．请直接写出所有答案；
【答案】（1）解：∵射线是射线的“友好线”，且，
∴ ．
（2）解：射线与重合时，（秒）
①存在
当的度数是时，，，
由题意分两种情况：
（Ⅰ）若在相遇之前，则，即，
；
（Ⅱ）若在相遇之后，则，即，
；
综上可得，当秒或30秒时，的度数是．
②相遇之前：
（I）如图1，
是的“友好线”时，则，
即，
；
（II）如图2，
是的“友好线”时，则，
即，
；
相遇之后：
（III）如图3，
是的“友好线”时，则
即，
；
（Ⅳ）如图4，
是的“友好线”时，则
即，
；
∴综上可得，当秒或秒或30秒或36秒时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角n等分模型
【解析】【分析】（1）根据“友好线”的意义并结合已知即可求解；
（2）①分两种情况：与相遇之前，根据减去、旋转的角度的和等于列出方程即可；与相遇之后，根据、旋转的角度的和减去等于列出方程即可；
②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义列关于t的方程，解方程即可求得t的值．
13．（2024七上·越城期末） 我们知道分数写为小数形式即；反过来，无限循环小数写为分数形式即为．
一般地，任何一个无限循环小数都可以写成一个分数的形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得．
于是得．
根据以上阅读材料，回答下列问题（以下计算结果都用最简分数表示）：
（1）【理解】　 　．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程（温馨提示：，它的循环节有两位）．
（3）【创新】若已知，则　 　．
【答案】（1）
（2）解：设，
∵，，
∴，解得．
即．
（3）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设，
由=0.55555…可知，10x=5.55…，
∴10x-x=5，解得：x=.
故答案为：；
（3）∵，
∴
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）设，根据阅读材料中的方法计算可得关于x的方程，解方程即可求解；
(2)设，根据阅读材料中的方法计算可得关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据已知条件“”可求出的值，则的值可求解.
14．[阅读理解]
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，图1中，AOB=60°，∠AOC= ZCOD=∠BOD= 20°，则∠AOC=∠AOB，称射线OC是射线OA的“友好线”；同时，由于∠BOD=∠AOB，称射线OD是射线OB的“友好线”
[知识运用]
（1）如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的“友好线”，则∠AOM=　 　
（2）如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是40° ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．．
②当t为多少秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”。(直接写出答案)
【答案】（1）40°
（2）射线OD与射线OA重合时，t=60(秒)．
①存在某个时刻t(秒)，使得∠COD的度数是40°．
有两种情况：
在OC，OD相遇前，180°-3t°- 2t°=40°，
∴t=28；
在OC，OD相遇后，3t°+2t°- 180°=40°，
∴t=44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°．
②相遇之前：
(i)如图1．
当OC是OA的“友好线”时，∠AOC= ∠AOD，
即2t°= (180°-3t)或∠AOC= ∠AOB，即2t°= ×180°，
∴t=20或t= 30．
(ii)如图2．
当OC是OD的“友好线”时，∠DOC= ∠AOD，即180°-3t°-2t°= (180°- 3t°)，
∴t= 30；
当OD是OC的“友好线”时，∠DOC= ∠BOC，即180°-3t°-2t°= (180°- 2t°)，
∴t= 相遇之后：
(iii)如图3．
当OD是OC的“友好线”时，∠COD= ∠AOC，即3t°+2t°-180°= ×2t°，
∴t=
’
当OC是OD的“友好线”时，∠COD= ∠BOD，即3t°+2t°-180°= ×3t° ，
∴t=45；
(iv)如图4．
当OD是OA的“友好线”时，
∠AOD= ∠AOC，即180°- 3t°= ×2t°或
∠AOD= ∠AOB，即180°-3t°= ×180°，
∴t= 或t=40．
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒或45秒或秒或40秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”。
【知识点】角的运算；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) ∵射线 OM是射线OA的“友好线”，
∴∠AOM= ∠AOB= 40°．
【分析】（1）由“友好线”的定义直接求解即可；
（2）①有两种情况：在OC，OD相遇前和在OC，0D相遇后，据此分别建立方程并解之即可；
②相遇之前：(i)当OC是OA的“友好线”时，∠AOC= ∠AOD或∠AOC= ∠AOB， (ii)当OC是OD的“友好线”时，∠DOC= ∠AOD；相遇之后：(iii)当OD是OC的“友好线”时，∠COD= ∠AOC和当OC是OD的“友好线”时，∠COD= ∠BOD；(iv)当OD是OA的“友好线”时，∠AOD= ∠AOC或∠AOD= ∠AOB，据此分别列出方程并解之即可.
15．（2021七上·镇海期末）新定义问题
如图①，已知 ，在 内部画射线 ，得到三个角，分别为 、 、 .若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 为 的“幸运线”.（本题中所研究的角都是大于 而小于 的角.）
（1）（阅读理解）
角的平分线　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图①， ，射线 为 的“幸运线”，则 的度数为　 　；
（3）（解决问题）
如图②，已知 ，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，同时，射线 从 出发，以每秒 的速度绕 点逆时针旋转，设运动的时间为 秒（ ）.若 、 、 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的 值.
【答案】（1）是
（2）15°，22.5°，30°
（3）解：∵ ，
∴射线ON与OA重合的时间为 （秒），
∴当 时 在与 重合之前，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， ，
② ， ，
③ ， ；
当 时， 在与 重合之后，如图所示：
∴ ， ，
是 的幸运线，则有以下三类情况：
① ， （不符合题意，舍去），
② ， ，
③ ， （不符合题意，舍去）；
综上： 或 或 或 .
【知识点】角的运算；图形的旋转；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有 ，符合“幸运线”的定义，所以角平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为是；
（2）由题意得：
∵ ，射线 为 的“幸运线”，
∴①当 时，则有： ；
②当 时，则有 ；
③当 时，则有 ；
综上所述：当射线 为 的“幸运线”时，∠AOC的度数为 ， ， ，
故答案为 ， ， ；
【分析】（1）若OC为∠AOB的角平分线，则有 ，则根据题意可求解；
（2）根据“幸运线”的定义可得当 时，当 时，当 时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当 时 在与 重合之前，则有 ， ，由 是 的幸运线可进行分类求解；②当 时， 在与 重合之后，则有 ， ，由 是 的幸运线可分类进行求解.
16．（2024七上·丽水期中） 【阅读理解】
表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示和3的两点之间的距离是　 　（写出最后结果）；
②若，则　 　；
（2）【动手探究】
伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合．
①表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是　 　，表示的数是　 　；
③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是　 　；
（3）【拓展延伸】
当时，的最小值是　 　．
【答案】（1）9；1或-7
（2）；-5；3；a+b=-2
（3）-15
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：（1）①-6和3的两点之间的距离是：；
②表示x与-3两数再数轴上所对应的两点之间的距离为4，
∴x=1或-7
故答案为：9，1或-7.
（2）①∵数轴上表示-3的点与表示1的点重合，
∴-3与1的中点为，
设表示的点与数x表示的点重合，
∴，
解得，
②设点A表示的数为a，点B表示的数为6，
∴b-a=8，，
解得a =-5，b=3，
③∵，
∴a+b=-2，
故答案为：；-5，3；a+b=-2.
(3)当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|的最小值为|-3-2| =5，
当-1≤y≤5时，|y+1|+|y-5|的最小值为|1-(-5)|=6，
∵|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11时，
∴-3≤x≤2，-1≤y≤5，
∴x·y的最小值为-3×5=-15，
故答案为：-15.
【分析】(1)依据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
(2)①求出重合点所表示的数，再根据数轴上“中点”所表示数的计算方法列方程进行解答即可；②由①得b-a=8，即可；③由数轴上两点“中点”所表示的数的计算方法进行解答即可；
(3)根据|x+З|+|x-2|的最小值是5，|y+1|+|y-5|的最小值是6，再根据
|x+З|+|x-2|+|y+1|+|y-5|=11，确定x、y的取值范围，从而进行计算即可.
17．（2024七上·义乌月考）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”。例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”．又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．
（1）数3　 　（填“是”或“不是”）的“妙点”，数2　 　（填“是”或“不是”）的“妙点”．
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值．
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
【答案】（1）不是；不是
（2）解：若点Q在M，N两点之间，则，解得：x=0
若点Q在点M的左侧，则，解得：，不符合题意题意，舍去
若点Q在点N的右侧，则，且x>4，解得：，不符合题意题意，舍去
综上所述，x的值为0或﹣8
（3）解：秒、20秒、15秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵，且5不是1的2倍
∴3表示的点不是的“妙点”，
，且2不等于4的2倍
∴2表示的点不是的“妙点”，
故答案为：不是，不是
（3）由图可知，AB=60，BP=2t，AP=60－2t
由题意可得：0当点P是[A，B]的妙点，则60－2t=2×2t
解得：t=10
当点P是[B，A]的妙点，则
解得：t=20
当点B是[A，P]的妙点，则
解得：t=15
当点B是[P，A]的妙点，则
解得：t=60，不符合题意
当点A是[B，P]的妙点，则
解得：t=15
当点A是[P，B]的妙点，则
解得：t=﹣30，不符合题意
综上所述，秒、20秒、15秒时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的妙点
故答案为：秒、20秒、15秒
【分析】（1）根据“妙点”的定义即可求出答案.
（2）分情况讨论：根据“妙点”的定义即可求出答案.
（3）根据“妙点”的定义分情况讨论：建立方程，解方程即可求出答案.
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