新定义型—浙江省七（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七上·杭州期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
3．（2024七上·嵊州期末）在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有种不同运算结果．（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七上·嵊州期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如，，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
5．若规定 则方程 的解 .
6． 规定一种新的运算“*”：a*b=2-a-b，则 的解是 。
7．对于任意的实数a，b，定义新运算“※”：a※b 则方程（x-1）※（x+2）=1的解为 .
8．（2022七上·上城期末）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ．
①[3V（-2）]Λ4=4
②（aVb）Vc=aV（bVc）
③-（aVb）=（-a）Λ（-b）
④（aΛb）×c=acΛbc
9．（2024七上·仙居期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ．
10．（2024七上·海曙期末）对于任意实数a、b定义一种新运算“△”如下：，例如，若，则 ．
11．（2024七上·嘉兴期末）现规定一种新的运算：，若，则 .
12．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
13．（2024七上·吴兴期末）将3个互不相同的正整数a，b，c排成一行，在数字前任意添加“”或“”号，可以得到一个算式．若运算结果为0，我们就称这组数为“守恒数组”，记为．例如数1，2，3满足，所以可记为．根据定义，中正整数m的值可以为 ．（写出一个即可）
14．（2024七上·婺城期末）已如x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中．
（1）若，则 ，a＝ ．
（2）已知．则x= ．
三、解答题
15．（2024七上·椒江期末）点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）如图①，若点C为线段AB的“雅点”，，则AB＝______；
（2）如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）
16．（2024七上·月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所以3252不是一个“五颜六色数”．
（1）判断2315 “五颜六色数”，4223 “五颜六色数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”m表示成，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝．
①若＝135，试求4b﹣2c+a+d的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b2+2的所有整数解分别为x1，x2，…，xn，试求|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|的最小值．
17．（2021七上·南浔期末）定义一种新运算，规定 .
（1）计算 的值；
（2）表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且 ，求m的值.
18．（2024·）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点 C到A，B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC 或BC=2AC，则称C是线段AB 的“倍距点”。
（1）线段AB的中点 (填“是”或者“不是”)该线段的“倍距点”。
（2）已知AB=9，C 是线段AB 的“倍距点”，则AC= 。
（3）如图①，在数轴上，点A 表示的数为2，点 B 表示的数为 20，C 为线段 AB 的中点。
①现有一动点 P 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为t(s)(t>0)，求当t为何值时，P为AC的“倍距点”。
②现有一长度为2的线段MN(如图②，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。当N为MC 的“倍距点”时，请直接写出t的值。
19．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m= （用含的代数式表示）.
20．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】 ．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则 ．
21．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角，即若，则称和互为等差角本题中所有角都是指大于，且小于的角
（1）若和互为等差角当，则 当，则 ；
（2）如图，将一长方形纸片沿着对折点在线段上，点在线段上使点落在点若与互为等差角，求的度数；
（3）再将纸片沿着对折点在线段或上使点落在点如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数对折时，线段落在内部．
22．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵的运算结果与的运算结果相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据新定义的运算法则列方程解题即可．
2．【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
添加一个绝对值时：共有4种情况，当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是
当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
共有7种情况； 其中两种计算结果相同，所以有5种不同结果.
故选： C.
【分析】分为一个绝对值和两个绝对值分别根据“绝对操作”计算，比较所得结果即可解题.
4．【答案】C
【知识点】定义新运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：根据题意，添加一组绝对值有：
①|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n；②x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n；③x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n；④ x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n；
添加两组绝对值有：
⑤|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n；⑥|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n；⑦x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n；
不能添加3组绝对值，其中③和⑤，④和⑥的运算结果相同，故共有5种不同的运算结果.
故答案为：C.
【分析】分添加一组绝对值符号和添加两组绝对值符号两种情况，分别添加计算，排除运算结果相同的情况，即可得到不同的运算结果数.
5．【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3△|x|=4可化为3△x=4或3△（-x）=4，
当3△x=4时，根据新定义，
解得：
当3△（-x）=4时，根据新定义，
解得：
故答案为：
【分析】先将原式变形为3△x=4或3△（-x）=4，再利用题干中的定义及计算方法可得或，最后求出x的值即可.
6．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：化简得
去分母，得12-2(2x-1)-3(1+x)=6，
去括号，得12-4x+2-3-3x=6，
移项、合并同类项得-7x=-5，
解得
故答案为：.
【分析】先按照新的运算的规定，把 转化为 一般形式：进而解方程，求出方程中的x的值即可.
7．【答案】x=-11
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得a=x-1，b=x+2
∴ （x-1）※（x+2）=
∴=1
∴2(x-1)-3(x+2)=3
2x-2-3x-6=3
-x=11
x=-11
故答案为： x=-11.
【分析】根据新定义运算以及a=x-1，b=x+2可得关于x的方程，求解方程即可得结果.
8．【答案】②③
【知识点】有理数大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
①[3V（-2）]Λ4=3Λ4=3，不符合题意；
②（aVb）Vc=max{a，b，c}，
aV（bVc）=max{a，b，c}，
故（aVb）Vc=aV（bvc），符合题意；
③-（aVb）=-max{a，b}，
（-a）Λ（-b）=min{-a，-b}，
故-（aVb）=（-a）Λ（-b），符合题意；
④如果a=2，b=-2，c=-3，
（aΛb）×c=-2×（-3）=6，
acΛbc=（-4）Λ6=-4，
此时（aΛb）×c≠acΛbc，不符合题意.
故答案为：②③.
【分析】根据定义的新运算可得[3V(-2)]Λ4=3Λ4=3，(aVb)Vc=max{a，b，c}，aV(bVc)=max{a，b，c}，-(aVb)=-max{a，b}，(-a)Λ(-b)=min{-a，-b}，据此判断①②③；根据定义的新运算可得(aΛb)×c=-2×(-3)，acΛbc=(-4)Λ6=-4，据此判断④.
9．【答案】x=－3
【知识点】定义新运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：当时，
，
解得（舍去）；
当时，，
，
解得．
综上所述，方程的解为．
故答案为：．
【分析】根据题意分类讨论：当时，；当时，，分别求出x的值即可．
10．【答案】4
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据新运算的定义， 若，
∵，，
∴25-10x=1-4x，解得x=4.
故答案为：4.
【分析】根据新运算定义，将已知条件转化为关于x的一元一次方程，求解即可.
11．【答案】1
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据定义，可得3×4-（2-x）×3=9；
12-6+3x=9，解得x=1.
故答案为：1.
【分析】根据新的定义列一元一次方程，解方程即可求出x的值.
12．【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
13．【答案】8或4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据“守恒数组”的意义得：
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
故答案为：8或4.
【分析】根据“守恒数组”定义可得关于m的方程，并结合m是正整数即可求解.
14．【答案】（1）－6；0.7
（2）－2或
【知识点】一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵[-5.3]=-6，∴-5.3=-6+a，解得a=0.7.
(2)，两边同除以2，得，∵，
∴，∴，
当=-2时，x=-2；
当=-1时，a=，x=-1+=.
故答案为：(1)-6 0.7；(2)-2或.
【分析】（1）根据题意，先求出[-5.3]，再求出a；
(2)先求出的范围，再分=-2，-1两种情况讨论.
15．【答案】（1）18
（2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG=2FG，如图1：
∵EG=2FG，EG+FG=5，
∴EG=，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+=，
②G在线段EF上，且FG=2EG，如图2：
∵FG=2EG，EG+FG=5，
∴EG=，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+=，
③G在线段EF外，且EF=2FG，如图3：
∵EF=2FG，EF=5，
∴FG=2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5=8.5，
④G在EF外，且FG=2EF，如图4：
∵FG=2EF，EF=5，
∴FG=10，
∴G表示的数为1+5+10=16，
总上所述，G表示的数为：或或8.5或16．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC=6（AC＜BC），
∴BC=2AC，
∵AC=6，
∴BC=12，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为：18；
【分析】（1）根据“雅点”的定义计算即可；
（2）分①G在线段EF上，EG=2FG；②G在线段EF上，且FG=2EG；③G在线段EF外，且EF=2FG；④G在EF外，且FG=2EF；四种情况画图，利用线段的和差，结合“雅点”的定义计算即可．
16．【答案】（1）是；不是
（2）解：① 表示成 是 “五颜六色数”，
∴a+b＝5，c+d＝6，
∵
∴1000a+100b+10c+d-（1000a+100c+10b+d）＝270，
∴b-c＝3，
∴b+d＝9，
∴ 4b﹣2c+a+d=3b﹣2c+a+b+d＝11+9＝20；
②∵m'也是五颜六色数，
∴a+c＝5，b+d＝6，
∵a+b＝5，c+d＝6，
∴b＝c，
∴a＝5-b，d＝6-b，
∴（4-d+a）x＝（4-6+b+5-b）x＝3x＝b2+2，
，
∵x 是整数，
∴b＝1 或 b＝2 或 b＝4，
∴x＝1 或 x＝2 或 6，
∴|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|＝|y﹣1|+|y﹣2|+|y﹣6|，
当 y＝2 时，|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|有最小值 5
【知识点】一元一次方程的其他应用；多个绝对值的和的最值；用代数式表示实际问题中的数量关系
17．【答案】（1）解： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1） 将a=1，b=-3代入 ，先列式，再计算即可；
（2） 利用新定义得出 =6，根据数轴可得 ，然后利用绝对值的性质进行解方程即可.
18．【答案】（1）不是
（2）.3或6或9或18
（3）解：∵在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，C为线段AB 的中点，
∴点C表示的数为11。
①由题意，得OP=2t，
∴AP=|2t-2|，CP=|2t-11|，
若P为AC的“倍距点”，
则AP=2CP 或CP=2AP，
即|2t-2|=2|2t-11|，
解得 t=4或10；
或|2t-11|=2|2t-2|，
解得 (负值已舍去)。
综上所述，t的值为 或4或10。
②由题意，得点M表示的数为t，点N表示的数为t+2，
∴NC=|t+2-11|=|t-9|。
∵N为MC 的“倍距点”，
∴则 NC=2MN 或 MN =2NC，
即|t-9|=4或|t-9|=1，
解得t=5或8或10或13
【知识点】线段的中点；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）设线段AB的中点为P，∴∴点P到A，B两点的距离不呈2倍关系，∴线段AB的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是.
（2）∵C是线段AB的“倍距点”，∴①当点C在线段AB上，∵∴②当点C在线段AB上，∵∴③当点C在点A左边时，∴④当点C在点B右边时，∴综上所述，AC的长为：3或6或9或18，
故答案为：3或6或9或18.
【分析】（1）设线段AB的中点为P，则根据线段"倍距点"的定义判断即可；
（2）根据线段"倍距点"的定义得到：然后分四种情况讨论，①当点C在线段AB上，②当点C在线段AB上，③当点C在点A左边时，④当点C在点B右边时，分别根据线段间的数量关系计算即可；
（3）①根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的定义得到：点C表示的数为11，根据题意得到OP=2t，则，根据线段"倍距点"的定义得到：然后分情况计算即可；
②根据题意得：点M表示的数为t，点N表示的数为t+2，则根据线段"倍距点"的定义得到：然后分情况计算即可.
19．【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
20．【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
21．【答案】（1）100°；或
（2）解：与互为等差角，
当时，，
，
翻折得，
，
，
，
解得：，
当时，，可得．
综上所述，的值为或
（3）解：点、、在同一直线上，且与互为等差角，
，，
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 40°，
∴|∠1﹣∠2|=60°，
∴40°-∠2 = 60°或40°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2 =-20°(舍去)或100°，
∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2= 30°或150°，
故答案为： 100°， 30°或150°；
【分析】（1）根据“等差角”的定义列出等式，解方程即可；
（2）分为和两种情况，根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
（3）根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
22．【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
1 / 1新定义型—浙江省七（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七上·杭州期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有，例如：．若的运算结果与的运算结果相同，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵的运算结果与的运算结果相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据新定义的运算法则列方程解题即可．
2．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
3．（2024七上·嵊州期末）在多项式其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如，，则所有“绝对操作”共有种不同运算结果．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
添加一个绝对值时：共有4种情况，当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是
当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是
共有7种情况； 其中两种计算结果相同，所以有5种不同结果.
故选： C.
【分析】分为一个绝对值和两个绝对值分别根据“绝对操作”计算，比较所得结果即可解题.
4．（2024七上·嵊州期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如，，……则所有“绝对操作”共有（ ）种不同运算结果
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】定义新运算；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：根据题意，添加一组绝对值有：
①|x-y|-z-m-n=x-y-z-m-n；②x-|y-z|-m-n=x-y+z-m-n；③x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n；④ x-y-z-|m-n|=x-y-z-m+n；
添加两组绝对值有：
⑤|x-y|-|z-m|-n=x-y-z+m-n；⑥|x-y|-z-|m-n|=x-y-z-m+n；⑦x-|y-z|-|m-n|=x-y+z-m+n；
不能添加3组绝对值，其中③和⑤，④和⑥的运算结果相同，故共有5种不同的运算结果.
故答案为：C.
【分析】分添加一组绝对值符号和添加两组绝对值符号两种情况，分别添加计算，排除运算结果相同的情况，即可得到不同的运算结果数.
二、填空题
5．若规定 则方程 的解 .
【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3△|x|=4可化为3△x=4或3△（-x）=4，
当3△x=4时，根据新定义，
解得：
当3△（-x）=4时，根据新定义，
解得：
故答案为：
【分析】先将原式变形为3△x=4或3△（-x）=4，再利用题干中的定义及计算方法可得或，最后求出x的值即可.
6． 规定一种新的运算“*”：a*b=2-a-b，则 的解是 。
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：化简得
去分母，得12-2(2x-1)-3(1+x)=6，
去括号，得12-4x+2-3-3x=6，
移项、合并同类项得-7x=-5，
解得
故答案为：.
【分析】先按照新的运算的规定，把 转化为 一般形式：进而解方程，求出方程中的x的值即可.
7．对于任意的实数a，b，定义新运算“※”：a※b 则方程（x-1）※（x+2）=1的解为 .
【答案】x=-11
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得a=x-1，b=x+2
∴ （x-1）※（x+2）=
∴=1
∴2(x-1)-3(x+2)=3
2x-2-3x-6=3
-x=11
x=-11
故答案为： x=-11.
【分析】根据新定义运算以及a=x-1，b=x+2可得关于x的方程，求解方程即可得结果.
8．（2022七上·上城期末）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是 ．
①[3V（-2）]Λ4=4
②（aVb）Vc=aV（bVc）
③-（aVb）=（-a）Λ（-b）
④（aΛb）×c=acΛbc
【答案】②③
【知识点】有理数大小比较；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
①[3V（-2）]Λ4=3Λ4=3，不符合题意；
②（aVb）Vc=max{a，b，c}，
aV（bVc）=max{a，b，c}，
故（aVb）Vc=aV（bvc），符合题意；
③-（aVb）=-max{a，b}，
（-a）Λ（-b）=min{-a，-b}，
故-（aVb）=（-a）Λ（-b），符合题意；
④如果a=2，b=-2，c=-3，
（aΛb）×c=-2×（-3）=6，
acΛbc=（-4）Λ6=-4，
此时（aΛb）×c≠acΛbc，不符合题意.
故答案为：②③.
【分析】根据定义的新运算可得[3V(-2)]Λ4=3Λ4=3，(aVb)Vc=max{a，b，c}，aV(bVc)=max{a，b，c}，-(aVb)=-max{a，b}，(-a)Λ(-b)=min{-a，-b}，据此判断①②③；根据定义的新运算可得(aΛb)×c=-2×(-3)，acΛbc=(-4)Λ6=-4，据此判断④.
9．（2024七上·仙居期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ．
【答案】x=－3
【知识点】定义新运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：当时，
，
解得（舍去）；
当时，，
，
解得．
综上所述，方程的解为．
故答案为：．
【分析】根据题意分类讨论：当时，；当时，，分别求出x的值即可．
10．（2024七上·海曙期末）对于任意实数a、b定义一种新运算“△”如下：，例如，若，则 ．
【答案】4
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：根据新运算的定义， 若，
∵，，
∴25-10x=1-4x，解得x=4.
故答案为：4.
【分析】根据新运算定义，将已知条件转化为关于x的一元一次方程，求解即可.
11．（2024七上·嘉兴期末）现规定一种新的运算：，若，则 .
【答案】1
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据定义，可得3×4-（2-x）×3=9；
12-6+3x=9，解得x=1.
故答案为：1.
【分析】根据新的定义列一元一次方程，解方程即可求出x的值.
12．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
13．（2024七上·吴兴期末）将3个互不相同的正整数a，b，c排成一行，在数字前任意添加“”或“”号，可以得到一个算式．若运算结果为0，我们就称这组数为“守恒数组”，记为．例如数1，2，3满足，所以可记为．根据定义，中正整数m的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】8或4
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据“守恒数组”的意义得：
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
故答案为：8或4.
【分析】根据“守恒数组”定义可得关于m的方程，并结合m是正整数即可求解.
14．（2024七上·婺城期末）已如x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中．
（1）若，则 ，a＝ ．
（2）已知．则x= ．
【答案】（1）－6；0.7
（2）－2或
【知识点】一元一次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：(1)∵[-5.3]=-6，∴-5.3=-6+a，解得a=0.7.
(2)，两边同除以2，得，∵，
∴，∴，
当=-2时，x=-2；
当=-1时，a=，x=-1+=.
故答案为：(1)-6 0.7；(2)-2或.
【分析】（1）根据题意，先求出[-5.3]，再求出a；
(2)先求出的范围，再分=-2，-1两种情况讨论.
三、解答题
15．（2024七上·椒江期末）点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）如图①，若点C为线段AB的“雅点”，，则AB＝______；
（2）如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）
【答案】（1）18
（2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG=2FG，如图1：
∵EG=2FG，EG+FG=5，
∴EG=，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+=，
②G在线段EF上，且FG=2EG，如图2：
∵FG=2EG，EG+FG=5，
∴EG=，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+=，
③G在线段EF外，且EF=2FG，如图3：
∵EF=2FG，EF=5，
∴FG=2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5=8.5，
④G在EF外，且FG=2EF，如图4：
∵FG=2EF，EF=5，
∴FG=10，
∴G表示的数为1+5+10=16，
总上所述，G表示的数为：或或8.5或16．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC=6（AC＜BC），
∴BC=2AC，
∵AC=6，
∴BC=12，
∴AB=AC+BC=18，
故答案为：18；
【分析】（1）根据“雅点”的定义计算即可；
（2）分①G在线段EF上，EG=2FG；②G在线段EF上，且FG=2EG；③G在线段EF外，且EF=2FG；④G在EF外，且FG=2EF；四种情况画图，利用线段的和差，结合“雅点”的定义计算即可．
16．（2024七上·月考）任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所以3252不是一个“五颜六色数”．
（1）判断2315 “五颜六色数”，4223 “五颜六色数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”m表示成，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝．
①若＝135，试求4b﹣2c+a+d的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b2+2的所有整数解分别为x1，x2，…，xn，试求|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|的最小值．
【答案】（1）是；不是
（2）解：① 表示成 是 “五颜六色数”，
∴a+b＝5，c+d＝6，
∵
∴1000a+100b+10c+d-（1000a+100c+10b+d）＝270，
∴b-c＝3，
∴b+d＝9，
∴ 4b﹣2c+a+d=3b﹣2c+a+b+d＝11+9＝20；
②∵m'也是五颜六色数，
∴a+c＝5，b+d＝6，
∵a+b＝5，c+d＝6，
∴b＝c，
∴a＝5-b，d＝6-b，
∴（4-d+a）x＝（4-6+b+5-b）x＝3x＝b2+2，
，
∵x 是整数，
∴b＝1 或 b＝2 或 b＝4，
∴x＝1 或 x＝2 或 6，
∴|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|＝|y﹣1|+|y﹣2|+|y﹣6|，
当 y＝2 时，|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|有最小值 5
【知识点】一元一次方程的其他应用；多个绝对值的和的最值；用代数式表示实际问题中的数量关系
17．（2021七上·南浔期末）定义一种新运算，规定 .
（1）计算 的值；
（2）表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且 ，求m的值.
【答案】（1）解： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1） 将a=1，b=-3代入 ，先列式，再计算即可；
（2） 利用新定义得出 =6，根据数轴可得 ，然后利用绝对值的性质进行解方程即可.
18．（2024·）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点 C到A，B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC 或BC=2AC，则称C是线段AB 的“倍距点”。
（1）线段AB的中点 (填“是”或者“不是”)该线段的“倍距点”。
（2）已知AB=9，C 是线段AB 的“倍距点”，则AC= 。
（3）如图①，在数轴上，点A 表示的数为2，点 B 表示的数为 20，C 为线段 AB 的中点。
①现有一动点 P 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为t(s)(t>0)，求当t为何值时，P为AC的“倍距点”。
②现有一长度为2的线段MN(如图②，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。当N为MC 的“倍距点”时，请直接写出t的值。
【答案】（1）不是
（2）.3或6或9或18
（3）解：∵在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，C为线段AB 的中点，
∴点C表示的数为11。
①由题意，得OP=2t，
∴AP=|2t-2|，CP=|2t-11|，
若P为AC的“倍距点”，
则AP=2CP 或CP=2AP，
即|2t-2|=2|2t-11|，
解得 t=4或10；
或|2t-11|=2|2t-2|，
解得 (负值已舍去)。
综上所述，t的值为 或4或10。
②由题意，得点M表示的数为t，点N表示的数为t+2，
∴NC=|t+2-11|=|t-9|。
∵N为MC 的“倍距点”，
∴则 NC=2MN 或 MN =2NC，
即|t-9|=4或|t-9|=1，
解得t=5或8或10或13
【知识点】线段的中点；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）设线段AB的中点为P，∴∴点P到A，B两点的距离不呈2倍关系，∴线段AB的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是.
（2）∵C是线段AB的“倍距点”，∴①当点C在线段AB上，∵∴②当点C在线段AB上，∵∴③当点C在点A左边时，∴④当点C在点B右边时，∴综上所述，AC的长为：3或6或9或18，
故答案为：3或6或9或18.
【分析】（1）设线段AB的中点为P，则根据线段"倍距点"的定义判断即可；
（2）根据线段"倍距点"的定义得到：然后分四种情况讨论，①当点C在线段AB上，②当点C在线段AB上，③当点C在点A左边时，④当点C在点B右边时，分别根据线段间的数量关系计算即可；
（3）①根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的定义得到：点C表示的数为11，根据题意得到OP=2t，则，根据线段"倍距点"的定义得到：然后分情况计算即可；
②根据题意得：点M表示的数为t，点N表示的数为t+2，则根据线段"倍距点"的定义得到：然后分情况计算即可.
19．（2023七上·长兴期末）阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为.
例如：，，，
则称数对，，是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）下列数对中，“和积等数对”是 填序号；
①； ②； ③.
（2）如果是“和积等数对”，请求出x的值；
（3）如果是“和积等数对”，那么m= （用含的代数式表示）.
【答案】（1）②
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）
【知识点】定义新运算；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①，，
，
不是“和积等数对”；
②，，
，
是“和积等数对”；
③，，
，
不是“和积等数对”；
故答案为：②；
（3）由题意得：，
解得，
故答案为：.
【分析】（1）直接根据“和积等数对”的概念进行判断；
（2）由题意可得x+4=4x，求解即可；
（3）由题意得m+n=mn，然后表示出m即可.
20．（2024七上·武义期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将化为分数形式．
设，由可知，，所以，解得于是，得
根据以上阅读，回答下列问题：以下计算结果都用最简分数表示
（1）【理解】 ．
（2）【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．温馨提示：，它的循环节有两位哦
（3）【创新】若，则 ．
【答案】（1）
（2）解：设，由可知，，所以，解得．
于是，得.
（3）
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）解：设∵，∴∴故答案为：.
（3）设，则，设，∴∵∴∴∴∴，
故答案为：.
【分析】（1）设得到解此方程即可求解；
（2）设，得到，解此方程即可求解；
（3）设，得到，设，得到则 进而即可求解.
21．（2024七上·嵊州期末）如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角，即若，则称和互为等差角本题中所有角都是指大于，且小于的角
（1）若和互为等差角当，则 当，则 ；
（2）如图，将一长方形纸片沿着对折点在线段上，点在线段上使点落在点若与互为等差角，求的度数；
（3）再将纸片沿着对折点在线段或上使点落在点如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数对折时，线段落在内部．
【答案】（1）100°；或
（2）解：与互为等差角，
当时，，
，
翻折得，
，
，
，
解得：，
当时，，可得．
综上所述，的值为或
（3）解：点、、在同一直线上，且与互为等差角，
，，
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 40°，
∴|∠1﹣∠2|=60°，
∴40°-∠2 = 60°或40°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2 =-20°(舍去)或100°，
∵∠1和∠2互为等差角， ∠1 = 90°，
∴|∠1-∠2|=60°，
∴90°-∠2=60°或90°-∠2 = - 60°，
解得： ∠2= 30°或150°，
故答案为： 100°， 30°或150°；
【分析】（1）根据“等差角”的定义列出等式，解方程即可；
（2）分为和两种情况，根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
（3）根据翻折，利用“等差角”的定义计算即可.
22．（2024七上·鹿城期末）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线、在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，，若是的内半角，则°；
（2）如图2，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
（3）把一块含有30°角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：10°；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：，
∴的值为20°；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得：，
∴，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得：；
综上所述：t的值为或30或90或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意算出COD的度数，利用即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出和然后可用含有的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出a的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可.
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