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浙教版九年级数学下册综合测试（第1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ）
A．4米 B．8米 C．12米 D．16米
4．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在中，，，，则边长为 ．
12．（24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ．
13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点是外一点，过点作圆的两条切线、，点、是切点，是上不同于点，的任意一点，已知，则的度数为 ．
14．（2024·全国·九年级竞赛）如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ．
15．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
16．（19-20九年级上·北京西城·期末）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为 ；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）（1）计算：
（2）在中，，，，求的余弦值和正切值．
18．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，
(1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）；
(2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图．
19．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离．
20．（2024·浙江杭州·三模）如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．
(1)求女孩的影子的长．
(2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14）
21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接．
(1)求证平分；
(2)若，，求的长．
22．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知正方形的边长为8，以为直径的交对角线于点，点在上，分别在直径的两侧）．
(1)求的度数；
(2)若，求的正弦值；
(3)求图中阴影部分的面积．
23．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角．
(1)如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌的高度；
(2)如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定．
（，，，，，）
24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长相交于点E，
①求证：．
②若，，求的半径．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级数学下册综合测试（第1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．
【详解】解：⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，
，即，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：C
3．（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ）
A．4米 B．8米 C．12米 D．16米
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得：
，
解得：；
故选D．
4．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键．
根据中心投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，
，
与相似比是，
，
的面积为，
，
故选：C．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度，注意实线与虚线的区别，能看待的线用实现，看不见的线用虚线是解题关键．
【详解】解：几何体的主视图为
故选：C．
6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可．
【详解】解：连接，
由网格可得，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故选：C．
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案．
【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴的周长．
故选：A．
8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理、三角函数等知识点．先根据正方形的性质、圆的切线的判定得出均为圆O的切线，再根据切线长定理可得，，设，，在中，由勾股定理列式计算求得，从而可得出答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线，
又∵与相切于点F，
∴，
同理得，
设，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，，
故选：B．
9．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故选B．
10．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴解得：或，
当时，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在中，，，，则边长为 ．
【答案】7或17
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论．根据题意可以画出符合条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题．
【详解】解：在中，过点作，交于点，如图，
∴在中，，
，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
∴在中，由勾股定理得：，，
，
或，
故答案为：7或17．
12．（24-25六年级上·山东威海·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三视图．解决本题的关键是根据左视图显示的各个位置小立方体的数量在俯视图中标出相应的位置小立方体的数量可以能的情况．
【详解】解：当几体需要小立方块最多时，各个位置小立方块的个数如下图所示，
从图中可得：；
当几体需要小立方块最少时，各个位置小立方块的个数如下图所示，
从图中可得：；
．
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，点是外一点，过点作圆的两条切线、，点、是切点，是上不同于点，的任意一点，已知，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，然后分类讨论：当点Q在优弧上，如图，根据圆周角定理可计算出；当点Q在劣弧上，如图，根据圆内接四边形的性质得．
【详解】解：∵和为的两条切线，
∴，，
∴，
∴，
当点Q在优弧上，如图中点位置，
；
当点Q在劣弧上，如图中点位置，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
14．（2024·全国·九年级竞赛）如图，在直角中，与都相切，且圆心在斜边上，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、三角形的面积公式，解题的关键是利用“面积法”可以简便地得到答案．
连接，利用 即可得到答案．
【详解】如图，设与相切于点E、F，连接，
则．
设，
∵，，
且 ，
∴，
解得：．
故答案为：．
15．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的切线，
∴，
根据勾股定理知：，
∴当时，线段最短，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
16．（19-20九年级上·北京西城·期末）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为 ；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，
（1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论；
正确作出图形是解题的关键．
【详解】解：（1）如图1，
∵，的半径是，，
∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，
最大值为：，
故答案为：；
（2）如图2，
∵，是直线与的公共点，线段的长度最大，
∴线段是的直径，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）（1）计算：
（2）在中，，，，求的余弦值和正切值．
【答案】（1）
（2），
【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于（1），根据，再计算即可；
对于（2），先根据勾股定理求出，再根据余弦，正切的定义解答．
【详解】（1）原式
；
（2）根据勾股定理，得．
所以，．
18．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，
(1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）；
(2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图．
【答案】(1)图见详解
(2)
【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，理解切线的性质，正确作出圆心是关键．
（1）的角平分线与的交点就是圆心，即可作出圆；
（2）连接圆心和两个切点和，则四边形是正方形，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：连接圆心和两个切点和，
则四边形是正方形，，
∴．
，
设正方形的边长是，则，
解得：．
19．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图为某城市公园平面示意图，为公园大门，，，分别为三个休闲点．经测量，，，在同一条直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在休闲点的南偏西方向，求，两地的距离．
【答案】(1)，两地的距离为339.4米
(2)，两地的距离为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，
（1）作，根据三角形的外角的性质得，根据直角三角形的性质可得，即可得，，再根据特殊角的三角函数值求出，进而得出答案；
（2）作，根据特殊角的三角函数求出，再求出，然后根据得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
∵，，
∴，，
∴，，
在中，米，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为339.4米．
（2）解：如图，过点作于点，则．
由（1）知米．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴（米）．
在中，，
∴（米），
∴（米）．
答：，两地的距离为米．
20．（2024·浙江杭州·三模）如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．
(1)求女孩的影子的长．
(2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14）
【答案】(1)女孩的影子的长为1米
(2)平方米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案．
（2）根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
答：女孩的影子的长为1米；
（2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），
∴人影扫过的图形的面积平方米．
21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接．
(1)求证平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用
(1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分；
(2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长．
点评
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点C
为的直径，
AB为的直径
BC平分
（2）解： 为的直径
，
，
，，
22．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知正方形的边长为8，以为直径的交对角线于点，点在上，分别在直径的两侧）．
(1)求的度数；
(2)若，求的正弦值；
(3)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先连接，易得点是对角线与的交点，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数；
（2）首先连接，由是直径，即可得，然后在中，由三角函数的定义，即可求得的正弦值，继而求得的正弦值；
（3）连接，由，即可求得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
为的直径，
，
四边形是正方形，
，
点，，共线，
即点是对角线与的交点，
，
；
（2）解：连接，
是直径，
，
，，
，
，
的正弦值为；
（3）解：如图，连接，
四边形是正方形，F为正方形的中心，
，
，
，
即，
．
阴影部分的面积为．
【点睛】此题考查了正方形的性质、圆周角定理、三角函数的定义以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角．
(1)如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌的高度；
(2)如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定．
（，，，，，）
【答案】(1)提示牌的高度为；
(2)提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，重心的性质．
（1）作于点，利用等腰三角形的判定和性质得到，再利用余弦函数的定义求解即可；
（2）作于点，作于点，由重心的性质得到点P在上，且，求得，利用三角函数的定义计算即可求解．
【详解】（1）解：作于点，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
答：提示牌的高度为；
（2）解：作于点，作于点，
∵点P是的重心，
∴点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的．
24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长相交于点E，
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】(1)见详解
(2)①见详解；②的半径为5
【分析】（1）由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分；
（2）由是的直径，得，由，得；
（3）连接，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为r，则，，由勾股定理得，求出符合题意的r值即可．
【详解】（1）证明：点C为的中点，
，
，
平分；
（2）①证明： 是的直径，
，
，
，
；
②如图2，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为r，则，
，
，
，
，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
的半径为5．
【点睛】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大．
