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专题2.1 一元二次方程八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断方程是否为一元二次方程
【经典例题1】有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：①，时，不是一元二次方程；
②，，是一元二次方程；
③，含两个字母，不是一元二次方程；
④，分母含字母，不是一元二次方程；
⑤，最高次数不是2，不是一元二次方程；
⑥，，是一元一次方程，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有②，共1个
【变式训练1-1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、中，当时，不是一元二次方程，故此选项错误；
【变式训练1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意；
B、是分式方程，故不符合题意；
C、化简后为，是一元一次方程，故不符合题意；
D、是二元一次方程，故不符合题意．
【变式训练1-3】下列方程：，，，（其中a、b、c为常数，且）是一元二次方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：含有分式，不是一元二次方程，
含有两个未知数，不是一元二次方程，
，（其中a、b、c为常数，且）是一元二次方程
【变式训练1-4】下列方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【答案】C
【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程；
②是二元二次方程，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④是一元二次方程；
综上：③和④是一元二次方程．
【变式训练1-5】下列方程中①；②；③；④；⑤，一元二次方程有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【详解】解：①符合一元二次方程定义，故是一元二次方程，符合题意；②有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；④符合一元二次方程定义，故是一元二次方程，符合题意；⑤，只有才是一元二次方程，不符合题意．
∴符合题意的有2个
题型二：根据一元二次方程的定义求参数
【经典例题2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知，且，
解得或，
∴
【变式训练2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且，
解得
【变式训练2-2】关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【答案】
【详解】关于的方程是一元二次方程，
解得
【变式训练2-3】方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
，，
解得．
【变式训练2-4】当 时，关于x的方程是一元二次方程
【答案】
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得
【变式训练2-5】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：．
题型三：一元二次方程的一般形式
【经典例题3】将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【详解】解：，
整理，得：，
∴；
【变式训练3-1】把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】A
【详解】解：
，
∵，，，
∴一元二次方程的二次项系数是2与一次项系数是
【变式训练3-2】一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，2 B．6，2 C．，2 D．6x，2
【答案】B
【详解】解：方程整理得：，
则方程的一次项系数和常数项分别是6，2．
【变式训练3-3】将方程化为的形式后， ， ， ．
【答案】
【详解】解：，
整理得：，
移项合并同类项得：
化为的形式后，，，．
故答案为： ，，．
【变式训练3-4】已知一元二次方程．
(1)将方程化成一般形式；
(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)(2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为1
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得原方程的一般式为，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为1．
【变式训练3-5】把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项
(2)，二次项为，一次项为，常数项
【详解】（1）解：由，
得：，
化为一般式得：，
二次项为，一次项为，常数项；
（2）解：由，
得：，
化为一般式得：，
二次项为，一次项为，常数项．
题型四：一元二次方程的解
【经典例题4】若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0，
∴，且，
解得：．
【变式训练4-1】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
【变式训练4-2】若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】1
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是，
∴且，
解得：
【变式训练4-4】已知m是方程的根，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：是方程的根，
，
．
【变式训练4-5】已知 m是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
题型五：已知一元二次方程的解求代数式的值
【经典例题5】已知a是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，即，
【变式训练5-1】若实数x满足，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
【变式训练5-2】如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【答案】D
【详解】解：∵a是一元二次方程的根，
∴，
，
∴，
则
【变式训练5-3】若a是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2024
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【变式训练5-4】若是一元二次方程的解，则的值为 ．
【答案】2028
【详解】解：由题意得：，
∴；
【变式训练5-5】已知方程的一个根是，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
．
题型六：特殊值解一元一次方程
【经典例题6】关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：当时，，则，
所以若，则此方程必有一根为．
【变式训练6-1】若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ）
A．1，5 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：记，则即的两根为，
故或
【变式训练6-2】一元二次方程若，则方程必有一根为 ．
【答案】
【详解】解：，
是一元二次方程的一个根．
【变式训练6-3】一元二次方程若有两根1和，那么 ， ．
【答案】 0 0
【详解】解：∵一元二次方程若有两根1和，
∴，．
【变式训练6-4】关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ．
【答案】
【详解】解：令，则
∵方程有一个根为，
方程有一根为，
有一根为，
题型七：一元二次方程的估算
【经典例题7】根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．
【变式训练7-1】观察下面的表格：
判断方程的其中一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，；
当时，
【变式训练7-2】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由表格可知，当时，存在一个x的值，使，
故关于x的方程的一个解x的范围是
【变式训练7-3】根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（ ）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
【答案】C
【详解】解：∵时，；时，，
∴当x在之间取一数值时，，
∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为．
【变式训练7-4】根据下列表格对应值：
x 4.6 4.5 4.4 4.3
0.1 0.2
判断关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由表格可知，当时，存在一个的值，使，
故关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是；
【变式训练7-5】观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：时，，
，
时，，
，
所以方程解的范围为．
题型八：一元二次方程中定义新运算
【经典例题8】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，∴，
由①得，，
代入②得，解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
【变式训练8-1】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ．
【答案】5
【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，
，解得：，
，
【变式训练8-2】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由；
(2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值．
【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析(2)
【详解】（1）解：当时，，
故一元二次方程是 “和谐方程”；
（2）解：是关于x的“和谐方程”，
当时，，
是此“和谐方程”的一个根，
，
即，解得．
故．
【变式训练8-3】定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)是，理由见解析
【详解】（1）解：的“友好”方程是；
故答案为：；
（2）解：是．理由如下：
把代入方程得，
即，
关于的一元二次方程的“友好”方程为，
把代入得，
所以是方程的一个解，
即为的“友好”方程的一个解．
【变式训练8-4】定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值．
【答案】(1)10；(2)．
【详解】（1）解：因为，
所以；
（2）解：因为，
所以，
又因为方程的一个根为2，
所以，
解得．
【变式训练8-5】【阅读理解】
【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程的“对称方程”是______；
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
【答案】(1)(2)1
【详解】（1）解：，，
方程的“对称方程”是，
故答案为：；
（2）解：由，移项可得：，
方程与为对称方程，
，
解得：，
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专题2.1 一元二次方程八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断方程是否为一元二次方程
【经典例题1】有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列方程：，，，（其中a、b、c为常数，且）是一元二次方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-4】下列方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③
【变式训练1-5】下列方程中①；②；③；④；⑤，一元二次方程有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二：根据一元二次方程的定义求参数
【经典例题2】若是关于的一元二次方程，则的值为 ．
【变式训练2-1】若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
【变式训练2-2】关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【变式训练2-3】方程是关于的一元二次方程，则 ．
【变式训练2-4】当 时，关于x的方程是一元二次方程
【变式训练2-5】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
题型三：一元二次方程的一般形式
【经典例题3】将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式训练3-1】把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【变式训练3-2】一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．，2 B．6，2 C．，2 D．6x，2
【变式训练3-3】将方程化为的形式后， ， ， ．
【变式训练3-4】已知一元二次方程．
(1)将方程化成一般形式；
(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【变式训练3-5】把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项．
(1)；
(2)．
题型四：一元二次方程的解
【经典例题4】若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练4-1】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练4-2】若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为 ．
【变式训练4-3】若关于的一元二次方程有一个根是，则 ．
【变式训练4-4】已知m是方程的根，求代数式的值．
【变式训练4-5】已知 m是方程的一个根，求代数式的值．
题型五：已知一元二次方程的解求代数式的值
【经典例题5】已知a是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【变式训练5-1】若实数x满足，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【变式训练5-2】如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（ ）
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【变式训练5-3】若a是方程的一个根，则的值为 ．
【变式训练5-4】若是一元二次方程的解，则的值为 ．
【变式训练5-5】已知方程的一个根是，求代数式的值．
题型六：特殊值解一元一次方程
【经典例题6】关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（）
A．1 B． C． D．无法确定
【变式训练6-1】若关于的一元二次方程的两根分别为，则方程的两根分别为（ ）
A．1，5 B． C． D．
【变式训练6-2】一元二次方程若，则方程必有一根为 ．
【变式训练6-3】一元二次方程若有两根1和，那么 ， ．
【变式训练6-4】关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为 ．
题型七：一元二次方程的估算
【经典例题7】根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】观察下面的表格：
判断方程的其中一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】根据所给的表格，估计一元二次方程的解的近似范围（ ）
x
A． B． C． D．
【变式训练7-3】根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（ ）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
【变式训练7-4】根据下列表格对应值：
x 4.6 4.5 4.4 4.3
0.1 0.2
判断关于 x 的方程（）的一个解 x 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
题型八：一元二次方程中定义新运算
【经典例题8】新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【变式训练8-1】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ．
【变式训练8-2】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由；
(2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值．
【变式训练8-3】定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【变式训练8-4】定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：．
(1)求的值；
(2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值．
【变式训练8-5】【阅读理解】
【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程的“对称方程”是______；
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
