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第1章：解直角三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.在中，，，则的值为
A． B． C． D．2
2.在中，若，则为
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
4.如图，电线杆CD与水平地面垂直，高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
6.如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为
A．6米 B．米 C．米 D．米
7.某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
8.如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC＝α，∠A′B′C＝β，则AA′＝（ ）
A.（3sinα﹣3sinβ） B。（3cosα﹣3cosβ） C． D．（3tanα﹣3tanβ）
9.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
10.如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A. B. C. D.
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若，则锐角
12.已知为锐角，是方程的一个根，则代数式的值为__________
13.如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则k=__________
14.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
15.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）
16.如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）已知：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，，AC＝10，求△ABC的面积．
18.（本题6分）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，．(1)求旗杆部分的长．(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
19.（本题8分）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
20.（本题8分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．我省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
21.（本题10分）某海域有一台风中心P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有台风，
一海监船以每小时20海里的速度自西向东航行执行任务，它在A处测得点P位于北偏东的方向上，当海监船行驶小时后到达B处，此时观测点P位于B处北偏东方向上．
求A、P之间的距离；(2) 若海监船由B处继续向东航行是否有进入台风区的危险？如果进入台风区，那么海监船需要在台风区行驶多少小时？
22.（本题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量某海河上一座桥的桥塔的高度．某学习小组设计了一个方案：如图，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
23.（本题12分）已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，
连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点．
（1）求证：；(2) 若，求的长；
(3) 求证：．
24.（本题12分）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
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第1章：解直角三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：如图：
，
，
设，则，
，
．
故选择：．
2.答案：A
解析：由题意得：
，，
，，
，，
，
故选择：．
3.答案：B
解析：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选择：B．
4.答案：B
解析：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，
∵，
∴，
故选择：B．
5.答案：B
解析：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故选择：B．
6.答案：B
解析：分别过、作，，
四边形为矩形，
斜坡的坡比，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，，
解得或（不合题意，舍去），
又背水坡的坡比，
，
在中根据勾股定理得：，
故选择：．
7.答案：B
解析：如图，过作于，
依题意，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
故选择：B
8.答案：A
解析：由题意可知：AB＝A′B′＝3m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AB＝3m，
∴，
∴AC＝AB sinα＝3sinα，
在Rt△A′B′C中，∠A′B′C＝β，A′B′＝3m，
∴，
∴A′C＝A′B′ sinβ＝3sinβ，
∴AA′＝AC﹣A′C＝3sinα﹣3sinβ＝3（sinα﹣sinβ），
故选择：A．
9.答案：A
解析：如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，
∴
∴设，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选择：A
10.答案：B
解析：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选择：．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵
故答案为：
12.答案：16
解析：∵，化简，
∴，，
∵为锐角，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
则．
13.答案：
解析：过点作轴，垂足为，
，，，，
，，
在中，，
即，
，
在中，，
即，，
∵，
即，
，
点，
．
14.答案：
解析：如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
15.答案：17
解析：如图，延长交直线于点H，则，
由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
16.答案：
解析：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：∵，
设，
∴
解得（舍去）
∴ ，
∴
18.解析：（1）在中，，
∴；
（2）解：，
在中，,
∴，
∴钢丝的总长度为．
19.解析：作于点，
由题意得，，，
∴等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
20.解析：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
21.解析：（1）过点P作，交的延长线于点C，
由题意得海里，，
设，则，
在中，，
∵，
∴，
解得，即，
∴海里；
（2）∵，
∴海监船由B处继续向东航行有进入台风区的危险；
由题意得,
∴当海监船行驶到点B时，开始进入台风区，
∴在台风区航行了海里，
小时，
∴进入台风区，海监船需要在台风区行驶1小时．
22.解析：（1）设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
（2）在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
23.解析：（1）∵是弧的中点，为的直径
∴，
∵
∴
∴
（2）解：∵，
设，则，则
∴
由垂径定理得
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴；
（3）解：由垂径定理得
∴
∵
∴
∽
即
．
24.解析：（1）如图所示，过点B作于E，
由题意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的长度约为千米；
（2）解：如图所示，过点C作于D，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
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