综合与实践题—浙教版数学九（上）期末复习
一、二次函数
1．（2024九上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务.
素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状.为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）.
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米.
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式.
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值.
任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花，请对花卉的种植宽度提出合理的建议.
【答案】解：任务1：
由题意可设
把代入：解得，
∴水柱模型的表达式为
任务2：
设喷水口升高h米，
则水柱模型的函数表达式为
把代入：解得，
即喷水口升高的最小值为0.33
任务3：
由题意可知喷水口在最高处时的水柱模型表达式为
当时：，
解得，（舍）
故花卉种植的宽度不宜超过米
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为2.1米，令x=2.1，则，从而可以求出喷出水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当向上平移个单位，再令y=0，即，求出x的值，再减去2.1即可判断得解.
2．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
3．（2024九上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 图1
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米． 图2
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．
【答案】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移．
任务1：根据顶点为，可设抛物线的函数表达式为，再将点A代入函数解析式可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，据此可求出喷水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当向上平移个单位，利用平移的性质可得：，再令，可列出方程，解方程可求出x的值，再减去可求出答案．
4．（2024九上·淳安期中）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：m）与相对应的飞行高度y（单位：m）的数据（如表）
飞行水平距离x（单位：m） 0 20 40 60 80 100 …
飞行高度y（单位：m） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度y（单位：m）与水平飞行距离x（单位：m）满足二次函数关系．
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离；
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM＝125m．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【答案】解：任务 1：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线 x＝60，
∴顶点为（60，72）． 故可设抛物线为 y＝a（x﹣60）2+72，
又抛物线过（20，40），
∴40＝a（20﹣60）2 +72，
∴a＝﹣
所求拋物线为 ，
又令 ，
，
(舍去) 或 ，
故航模的最远飞行距离为 120 m ；
任务 2： 设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度为： ，当 时， ，
则 - ，
解得 ，
发射平台相对于安全线的最低高度为 12.5 m .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】本题主要查二次函数的实际应用：
任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入函数解析式可列出方程40＝a（20﹣60）2 +72，解方程可求出a的值，进而可求出函数解析式，再令 ，可列出方程，解方程可求出x的值，求出答案.
任务2：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，可列出不等式- ，解不等式可求出h的取值范围，进而可求出答案．
5．（2024九上·慈溪期中）请阅读信息，并解决问题：
问题 琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”．琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）.琴桥全长120米，拱高25米.
处理信息 如图是琴桥的主视图，A，B 分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线， 拱的两端 C，D 位于线段 AB 上，且 AC=BD.一根琴弦固定在拱的对称轴 OH 处，其余 16 根琴弦对称固定在 OH 两侧，每侧各 8 根．记离拱端 C 最近的一 根为第 1 根，从左往右，依次记为第 2 根，第 3 根，…OH 为第 9 根，…
测量数据 测得上桥起点 A 与拱端 C 水平距离为 20 米，最靠近拱端 C 的“琴弦”EF 高 9 米，EF 与 OH 之间设置 7 根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为 m 米.
解决问题 任务 1：以点H为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务 2：求琴弦 EF 与拱端 C 的水平距离 CE 及 m 的值．
任务 3：若需要在琴弦 EF 与 OH 之间垂直安装一个如左图所示高为 17m 的 高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面 AB 上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问 该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
【答案】解：任务1：如图，依题意可知，O(0，25)，CD=120，
∴CH=40，C(-40，0)，
设抛物线的解析式为，
∵经过点C（-40，0），
∴1600a+25=0，
∴，
∴抛物线的解析式为.
任务2：当EF=9 时，点 F 的纵坐标为-16，故 ，解得 x=±32（舍去正值）.
故 点E的横坐标为-32，此时琴弦离拱端C的水平距离CE是 8 米，
各琴弦的水平间距为 32÷8=4 米.
任务3：当高音谱号艺术品高度为 17 米时，顶点坐标为 17-25=-8，y=-8 时，
，解得 x=±16≈±22.4，
-24<-22.4<-20，故安装在第 3 根与第 4 根琴弦之间.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：先建立直角坐标系，由图可知，O(0，25)，CH=40，C(-40，0)，设抛物线的解析式为y= ax2+25，再将点C(-40，0)代入即可得出答案；
任务2：将y=9代入即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进而求出m的值；
任务3：将y=17代入求出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间.
6．（2024九上·杭州期中）阅读素材，完成任务
如何确定灌溉方案
素材一 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得.
素材二 现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决（利用素材1完成任务1和任务2，结合素材2完成任务3）
任务1 确定喷枪的高度 求OP的长
任务2 拟定方案1 一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米
【答案】解：任务1：
∴B(10，0)，
将B(10，0)代入 得：
解得：
∴OP的长为
任务2：当 时，
解得： (舍去) ，
∴最大半径为：
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG，
∵DG是⊙O的直径，
在 中，
∴，
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12，
把(12，0)代入 得：
解得：
，
∴喷水□P应至少上升 米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：把点B坐标代入 求出c值可得点P坐标，即可得答案；
任务2：把 代入 求出x的值即可得答案；
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG， 根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得，利用三角函数求出DG的长， 确定出⊙O半径为12， 把(12，0)代入求出c值，进而可得答案.
7．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
8．（2024九上·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处．
【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．
由题意可知，顶点是，
设，
把点代入得：
解得：，
．
任务2：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系，如图：
∵OA=1.45m，OO'=4m，CE=DF=1m，EF=20m，
∴点A坐标（0，-2.55），D点坐标（10，-3）
抛物线的形状与相同，
∴设
把代入得：，
解得：
处喷出的水流在距离点水平距离4.55米时达到最高．
任务3：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且，即原本经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4）
抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系后，可得顶点坐标（0，0），经过点D(10，-3)，故可设表达式为y=ax2，并把D点坐标带入求出a值，可得函数表达式；
（2）在坐标系中表示点A和点D的坐标，根据抛物线形状与相同，设新的表达式为，把D点坐标带入求出b值，利用可得到取最大值x的取值，即距离点的水平距离；
（3）根据抛物线原经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4），可知向下平移1米.
9．（2024九上·义乌期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．
【答案】（1）（3，2）或（3，-2）
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴
（3）解：如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为，
把B（1，2）代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q（m，），
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q点的横坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵ 交点为（1，0），（5，0），且顶点与两个交点构成的是等腰直角三角形，
∴ 顶点为（3，-2）或（3，2）；
【分析】（1）根据新定义的含义，即可求得；
（2）根据抛物线的函数解析式可得交点与顶点的坐标，再根据等腰直角三角形的性质得，求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质求得A，B的坐标，进而得到抛物线的解析式，再根据勾股定理求得AB，OB的长，再根据等面积法求得OM，再根据勾股定理求得BM，从而求得tan∠ABO，再根据tan∠QCA=，即可求得.
10．（2024九上·兰溪期中）利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为，则，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴圆形桥拱的半径为
任务2：当恰好为圆O的弦时，
∵，，
∴（垂足为M），
∴，
∴，
∴，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵，
∴，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为，
由勾股定理得，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴桥拱所在的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵，
∴，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，由线段的和差将OD用含r的代数式表示出来，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到EM=EH，在Rt△OEM中，用勾股定理求得OM的长，然后由线段的和差DM=OM-OD求出DM的长并与3.5比较大小可判断货船能通过圆形拱桥，再根据y=可得关于x的方程，解方程即可求解；
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
11．（2024九上·长兴期中）请根据以下素材，完成探究任务，
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风服装相等，
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件： ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 正 148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：，或；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10），
任务3：由任务2得，
当时，获得最大利润，
开口向下，
取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
.
综上可得：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，于是加工“正”服装的有（70-x-y）人，然后根据“正”服装总件数和“风”服装相等可得关于x、y的方程，整理即可求解；
任务2：根据该工厂每天的总利润=“雅”服装的利润+“风”服装的利润+“正”服装的利润即可求解；
任务3：将任务2的解析式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
12．（2024九上·平湖期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在中，， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3） 将抛物线向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．
【答案】解：（）证明：∵， 点是的中点，∴，
∵抛物线以为顶点与轴交于两点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线；
（）∵且，点在轴上且在的左边，
∴
∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为，
∴是等边三角形，
∴，，
当时，设抛物线解析式为把点代入得：，
∴，
∴，
当时，设抛物线解析式为，
把点代入得：
∴，
∴，
综上所述，这条抛物线的解析式为或；
（）∵抛物线，
∴向下平移个单位后得抛物线，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与相同，第三次翻滚得，
即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为：，
∵
∴，
∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（）根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用抛物线的对称性得到，即可得到是等边三角形；
（）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义可知是等边三角形，即可得到点坐标，即可求出点坐标，然后分类讨论，利用顶点式求抛物线解析式；
（）根据题意求出抛物线的解析式，即可求出的坐标，得到等边，所以发现每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，然后根据规律解题即可.
二、圆
13．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
14．（2024九上·上城期末）综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为．如图，若，则，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图，连接 ，， 又， ． ． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：=______．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角并反向延长两边交圆于，两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦，，，，求圆的直径． 比赛评分标准如表：
【答案】探究任务1：直角所对的弦是直径
探究任务2：
探究任务3：
解：结论：
如图，连接，，，，．
∵，
∴
∴
则
∴；
探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，则四边形是矩形；
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，则
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
又四边形是矩形，
则
∵矩形和圆都是轴对称图形，
∴
∴
在中，
即圆的直径为．
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．理由是：直角所对的弦是直径；
故答案为：直角所对的弦是直径．
探究任务2：如图所示，
连接并延长，交于点，则
理由如下，连接，，
∵是直径
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】
探究任务1：根据直角所对的弦是直径解题即可；
探究任务2：连接并延长，交于点根据弧、弦、圆心角之间的关系解题即可；
探究任务3：根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，，解题即可；
探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，可以得到，即可求出，根据平行弦得到，再利用勾股定理解题即可．
三、相似三角形
15．（2024九上·宁波期中）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝6米，FD＝28米； （以上数据均为近似值）
根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
【答案】解：设米，米．
，
，
．
，，，
．
，
，
．
，，，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
，
，
经检验，是原方程的解，
答：飞虹塔的高度为米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】证明，得到对应边成比例，列方程解决即可．
16．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
17．（2024九上·拱墅期中）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）
（3）解：①∵，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，
四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；四点共圆模型；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，，
四点共圆，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解．
18．（2024九上·义乌期中）在中，，，．
（1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ．
（2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点F，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用：如图3是将绕点旋转到一定角度得到，当时，则线段的长 ．
【答案】（1）；45°
（2）解：成立，理由为：
由旋转可得∠BAD=∠CAE，AB=AD=7，AC=AE=，
∴
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠FBA=∠CEA=，
∴∠BFE=360°-∠BAE-∠FBA-∠CEA=360°-(∠BAC+45°)-=180°-45°=135°，
∴∠CFB=180°-∠BFE=180°-135°=45°；
（3）或
【知识点】旋转的性质；归纳与类比；猜想与证明；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
19．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”
【答案】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形 EFGH 是正方形，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OAE＝∠OEM＝45°，
∵∠AOE＝∠EOM ，
∴△AOE∽△EOM．
（2）解：
由正方形EFGH得： ，
由正方形ABCD得： ，
由吴老师与小聪的交流可知： 是 AC 和 EG 的中点，
由（1）得： ，
， 即： ，
，
由中心对称性， 得： .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到两角对应相等∠OAE＝∠OEM＝45°，即可得到三角形相似；
（2）根据勾股定理求出HE，EG，AC的长，然后根据，得到即可解题.
20．（2024九上·杭州期中）如图
（1）【基础凡固】
如图1，点A，F，B在同一直线上，若，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，AB是半圆的直径，弦长分别是AC，AB上的一点，，若设，求出与的函数关系.
（3）【拓展提高】
已知是等边边AB上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）
【答案】（1）证明： ∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E =∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A =∠B=∠CFE =45°，
由 (1) 可得△AFE∽△BCF，
即
；
（3）解：连接DE， DF，
∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF =∠ECF=60°， EC = ED，FC=FD，
∵∠BDF+∠EDF =∠BDE =∠A+∠DEA，
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠BDF=∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
设AD=x， CE=DE=a， CF = DF =b，
∵AD：BD=1：n，
，
∵
由前两项得， 由后两项得，
解得，
由①得，
.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用已知得出. 进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
(2)利用 (1) 得出 ，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；
(3)首先证明 表示出ED，DF，EA， DB， AD， BF， 再利用相似三角形的性质解决问题即可.
四、解直角三角形
21．（2024九上·婺城期末）请根据素材，完成任务．
素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．
素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得．
素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．
任务一 若素材一中的，求的最大值．
任务二 若素材二中的，求的最小值．
任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．
任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值．
任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值
【答案】解：任务一，如图1，取的中点O，连接，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为2；
任务二，∵∠ACB=90°，O是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∵CD=6，
∴，
∴的最小值为12；
任务三，如图2，作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是；
任务四，如图2，作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
任务五，如图3，作于G，延长交于H，在的延长线上截取，
∴∠EGM=90°，
∵，
∴∠GEH=180°-∠EGM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BHE=90°，
∴，
设，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由任务四可知，，
∵，
当最小时，取得最大值，此时最大值为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】任务一：取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线性质得OC=2，然后由OC≥CD，即可求出答案；
任务二：根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后由OC≥CD得AB≥2CD，代入CD的值，即可得到答案；
任务三：作的外接圆，作于E，作直径，连接，根据圆周角定理的推论得∠ABF=90°，设的半径是R，然后由圆周角定理得，解直角三角形，从而用含R的算式表示AB、BF的值，接下来根据垂径定理得AE=EB，利用三角形中位线定理求得，根据三角形的三边关系得，解不等式求出R的取值范围，最后求出AB的取值范围，即可得到答案；
任务四：作的外接圆，作于E，作直径，连接，由任务三同理得关于R的不等式，从而得R的取值范围，最后求出AB的取值范围，即可得到答案；
任务五：作于G，延长交于H，在的延长线上截取，先求出，，从而得∠MEF、∠MEG的度数，然后求出EG=FH=4，，从而根据全等三角形对应角相等得∠LFH=∠MEG的度数，进而得∠NFL的度数，由任务四可知，，接下来由线段的和差关系得，即可得当最小时，取得最大值.
1 / 1综合与实践题—浙教版数学九（上）期末复习
一、二次函数
1．（2024九上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务.
素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状.为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）.
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米.
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式.
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值.
任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花，请对花卉的种植宽度提出合理的建议.
2．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
3．（2024九上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）． 图1
素材2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米． 图2
问题解决
任务1 建立模型 以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．
任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．
任务3 分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．
4．（2024九上·淳安期中）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：m）与相对应的飞行高度y（单位：m）的数据（如表）
飞行水平距离x（单位：m） 0 20 40 60 80 100 …
飞行高度y（单位：m） 0 40 64 72 64 40 …
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机，已知航模的飞行高度y（单位：m）与水平飞行距离x（单位：m）满足二次函数关系．
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离；
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），AM＝125m．若飞机落在回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
5．（2024九上·慈溪期中）请阅读信息，并解决问题：
问题 琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”．琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）.琴桥全长120米，拱高25米.
处理信息 如图是琴桥的主视图，A，B 分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线， 拱的两端 C，D 位于线段 AB 上，且 AC=BD.一根琴弦固定在拱的对称轴 OH 处，其余 16 根琴弦对称固定在 OH 两侧，每侧各 8 根．记离拱端 C 最近的一 根为第 1 根，从左往右，依次记为第 2 根，第 3 根，…OH 为第 9 根，…
测量数据 测得上桥起点 A 与拱端 C 水平距离为 20 米，最靠近拱端 C 的“琴弦”EF 高 9 米，EF 与 OH 之间设置 7 根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为 m 米.
解决问题 任务 1：以点H为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务 2：求琴弦 EF 与拱端 C 的水平距离 CE 及 m 的值．
任务 3：若需要在琴弦 EF 与 OH 之间垂直安装一个如左图所示高为 17m 的 高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面 AB 上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问 该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
6．（2024九上·杭州期中）阅读素材，完成任务
如何确定灌溉方案
素材一 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得.
素材二 现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决（利用素材1完成任务1和任务2，结合素材2完成任务3）
任务1 确定喷枪的高度 求OP的长
任务2 拟定方案1 一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米
7．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
8．（2024九上·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．
素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处．
问题解决
任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高．
任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处．
9．（2024九上·义乌期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为 ；
（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；
（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．
10．（2024九上·兰溪期中）利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
11．（2024九上·长兴期中）请根据以下素材，完成探究任务，
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风服装相等，
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件： ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 正 148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求关于x的函数表达式.
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
12．（2024九上·平湖期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在中，， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3） 将抛物线向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．
二、圆
13．（2024九上·慈溪期中）在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
（1）如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
（3）如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
14．（2024九上·上城期末）综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况(如图1)，具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理：______．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为．如图，若，则，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图，连接 ，， 又， ． ． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论：=______．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角并反向延长两边交圆于，两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想：______．(可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述) 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦，，，，求圆的直径． 比赛评分标准如表：
三、相似三角形
15．（2024九上·宁波期中）近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞虹塔就是其中之一，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝4米； 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝6米，FD＝28米； （以上数据均为近似值）
根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．
16．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
17．（2024九上·拱墅期中）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
18．（2024九上·义乌期中）在中，，，．
（1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ．
（2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点F，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由；
（3）迁移应用：如图3是将绕点旋转到一定角度得到，当时，则线段的长 ．
19．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝．在如图2的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“△AOE∽△EOM”；
小颖：我发现“已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度”，如：“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知AE＝3，BE＝1，求MN的长．”
20．（2024九上·杭州期中）如图
（1）【基础凡固】
如图1，点A，F，B在同一直线上，若，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，AB是半圆的直径，弦长分别是AC，AB上的一点，，若设，求出与的函数关系.
（3）【拓展提高】
已知是等边边AB上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）
四、解直角三角形
21．（2024九上·婺城期末）请根据素材，完成任务．
素材一 如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．
素材二 如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得．
素材三 如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．
任务一 若素材一中的，求的最大值．
任务二 若素材二中的，求的最小值．
任务三 若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．
任务四 若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值．
任务五 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值
答案解析部分
1．【答案】解：任务1：
由题意可设
把代入：解得，
∴水柱模型的表达式为
任务2：
设喷水口升高h米，
则水柱模型的函数表达式为
把代入：解得，
即喷水口升高的最小值为0.33
任务3：
由题意可知喷水口在最高处时的水柱模型表达式为
当时：，
解得，（舍）
故花卉种植的宽度不宜超过米
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为2.1米，令x=2.1，则，从而可以求出喷出水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当向上平移个单位，再令y=0，即，求出x的值，再减去2.1即可判断得解.
2．【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的实际应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
3．【答案】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移．
任务1：根据顶点为，可设抛物线的函数表达式为，再将点A代入函数解析式可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的函数表达式；
任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，据此可求出喷水口升高的最小值；
任务3：依据题意，当向上平移个单位，利用平移的性质可得：，再令，可列出方程，解方程可求出x的值，再减去可求出答案．
4．【答案】解：任务 1：由题意，根据所给表格数据，可得抛物线的对称轴是直线 x＝60，
∴顶点为（60，72）． 故可设抛物线为 y＝a（x﹣60）2+72，
又抛物线过（20，40），
∴40＝a（20﹣60）2 +72，
∴a＝﹣
所求拋物线为 ，
又令 ，
，
(舍去) 或 ，
故航模的最远飞行距离为 120 m ；
任务 2： 设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度为： ，当 时， ，
则 - ，
解得 ，
发射平台相对于安全线的最低高度为 12.5 m .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】本题主要查二次函数的实际应用：
任务1：根据题意可得顶点为．故可设抛物线为，再把代入函数解析式可列出方程40＝a（20﹣60）2 +72，解方程可求出a的值，进而可求出函数解析式，再令 ，可列出方程，解方程可求出x的值，求出答案.
任务2：设发射平台相对于安全线的高度为，可得飞机相对于安全线的飞行高度为：，再由当时，，可列出不等式- ，解不等式可求出h的取值范围，进而可求出答案．
5．【答案】解：任务1：如图，依题意可知，O(0，25)，CD=120，
∴CH=40，C(-40，0)，
设抛物线的解析式为，
∵经过点C（-40，0），
∴1600a+25=0，
∴，
∴抛物线的解析式为.
任务2：当EF=9 时，点 F 的纵坐标为-16，故 ，解得 x=±32（舍去正值）.
故 点E的横坐标为-32，此时琴弦离拱端C的水平距离CE是 8 米，
各琴弦的水平间距为 32÷8=4 米.
任务3：当高音谱号艺术品高度为 17 米时，顶点坐标为 17-25=-8，y=-8 时，
，解得 x=±16≈±22.4，
-24<-22.4<-20，故安装在第 3 根与第 4 根琴弦之间.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：先建立直角坐标系，由图可知，O(0，25)，CH=40，C(-40，0)，设抛物线的解析式为y= ax2+25，再将点C(-40，0)代入即可得出答案；
任务2：将y=9代入即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进而求出m的值；
任务3：将y=17代入求出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间.
6．【答案】解：任务1：
∴B(10，0)，
将B(10，0)代入 得：
解得：
∴OP的长为
任务2：当 时，
解得： (舍去) ，
∴最大半径为：
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG，
∵DG是⊙O的直径，
在 中，
∴，
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12，
把(12，0)代入 得：
解得：
，
∴喷水□P应至少上升 米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：把点B坐标代入 求出c值可得点P坐标，即可得答案；
任务2：把 代入 求出x的值即可得答案；
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG， 根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得，利用三角函数求出DG的长， 确定出⊙O半径为12， 把(12，0)代入求出c值，进而可得答案.
7．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
8．【答案】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．
由题意可知，顶点是，
设，
把点代入得：
解得：，
．
任务2：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系，如图：
∵OA=1.45m，OO'=4m，CE=DF=1m，EF=20m，
∴点A坐标（0，-2.55），D点坐标（10，-3）
抛物线的形状与相同，
∴设
把代入得：，
解得：
处喷出的水流在距离点水平距离4.55米时达到最高．
任务3：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且，即原本经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4）
抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系后，可得顶点坐标（0，0），经过点D(10，-3)，故可设表达式为y=ax2，并把D点坐标带入求出a值，可得函数表达式；
（2）在坐标系中表示点A和点D的坐标，根据抛物线形状与相同，设新的表达式为，把D点坐标带入求出b值，利用可得到取最大值x的取值，即距离点的水平距离；
（3）根据抛物线原经过点D（10，-3），平移后经过点F（10，-4），可知向下平移1米.
9．【答案】（1）（3，2）或（3，-2）
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）
∴由“美丽抛物线的”定义可知
∴解得；
∵，
∴
（3）解：如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，
由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，
∴AE=CE=BE，
∵B（1，2），
∴AE=CE=BE=2，OE=1，
∴AO=1，OC=3，
∴A（-1，0），C（3，0）
∴抛物线解析式为，
把B（1，2）代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线解析式为
∵，，
，
∴，
∴
∴，
∴，
设Q（m，），
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得（舍去）或或，
∴Q点的横坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵ 交点为（1，0），（5，0），且顶点与两个交点构成的是等腰直角三角形，
∴ 顶点为（3，-2）或（3，2）；
【分析】（1）根据新定义的含义，即可求得；
（2）根据抛物线的函数解析式可得交点与顶点的坐标，再根据等腰直角三角形的性质得，求解即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质求得A，B的坐标，进而得到抛物线的解析式，再根据勾股定理求得AB，OB的长，再根据等面积法求得OM，再根据勾股定理求得BM，从而求得tan∠ABO，再根据tan∠QCA=，即可求得.
10．【答案】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为，则，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴圆形桥拱的半径为
任务2：当恰好为圆O的弦时，
∵，，
∴（垂足为M），
∴，
∴，
∴，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵，
∴，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为，
由勾股定理得，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴桥拱所在的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵，
∴，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，由线段的和差将OD用含r的代数式表示出来，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到EM=EH，在Rt△OEM中，用勾股定理求得OM的长，然后由线段的和差DM=OM-OD求出DM的长并与3.5比较大小可判断货船能通过圆形拱桥，再根据y=可得关于x的方程，解方程即可求解；
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
11．【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：，或；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x≥10），
任务3：由任务2得，
当时，获得最大利润，
开口向下，
取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
.
综上可得：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，于是加工“正”服装的有（70-x-y）人，然后根据“正”服装总件数和“风”服装相等可得关于x、y的方程，整理即可求解；
任务2：根据该工厂每天的总利润=“雅”服装的利润+“风”服装的利润+“正”服装的利润即可求解；
任务3：将任务2的解析式化为顶点式并结合二次函数的性质即可求解.
12．【答案】解：（）证明：∵， 点是的中点，∴，
∵抛物线以为顶点与轴交于两点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线；
（）∵且，点在轴上且在的左边，
∴
∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为，
∴是等边三角形，
∴，，
当时，设抛物线解析式为把点代入得：，
∴，
∴，
当时，设抛物线解析式为，
把点代入得：
∴，
∴，
综上所述，这条抛物线的解析式为或；
（）∵抛物线，
∴向下平移个单位后得抛物线，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与相同，第三次翻滚得，
即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为：，
∵
∴，
∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（）根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用抛物线的对称性得到，即可得到是等边三角形；
（）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义可知是等边三角形，即可得到点坐标，即可求出点坐标，然后分类讨论，利用顶点式求抛物线解析式；
（）根据题意求出抛物线的解析式，即可求出的坐标，得到等边，所以发现每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，然后根据规律解题即可.
13．【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理可得BC，再利用勾股定理即可求解；
（2）连接BO、OC，利用HL判定Rt△BOM≌Rt△CON，即可得出结论；
（3）过点作交于，过点作交于，连接，由（2）可知，四边形是正方形，再分别运用勾股定理求出GO、EO即可.
14．【答案】探究任务1：直角所对的弦是直径
探究任务2：
探究任务3：
解：结论：
如图，连接，，，，．
∵，
∴
∴
则
∴；
探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，则四边形是矩形；
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，则
∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
又四边形是矩形，
则
∵矩形和圆都是轴对称图形，
∴
∴
在中，
即圆的直径为．
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．理由是：直角所对的弦是直径；
故答案为：直角所对的弦是直径．
探究任务2：如图所示，
连接并延长，交于点，则
理由如下，连接，，
∵是直径
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】
探究任务1：根据直角所对的弦是直径解题即可；
探究任务2：连接并延长，交于点根据弧、弦、圆心角之间的关系解题即可；
探究任务3：根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，，解题即可；
探究任务4：如图所示，作直径，作交于点，连接，设交于点，可以得到，即可求出，根据平行弦得到，再利用勾股定理解题即可．
15．【答案】解：设米，米．
，
，
．
，，，
．
，
，
．
，，，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
，
，
经检验，是原方程的解，
答：飞虹塔的高度为米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】证明，得到对应边成比例，列方程解决即可．
16．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
17．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）
（3）解：①∵，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，
四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；四点共圆模型；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，，
四点共圆，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解．
18．【答案】（1）；45°
（2）解：成立，理由为：
由旋转可得∠BAD=∠CAE，AB=AD=7，AC=AE=，
∴
∴△ABD∽△ACE，
∴，∠FBA=∠CEA=，
∴∠BFE=360°-∠BAE-∠FBA-∠CEA=360°-(∠BAC+45°)-=180°-45°=135°，
∴∠CFB=180°-∠BFE=180°-135°=45°；
（3）或
【知识点】旋转的性质；归纳与类比；猜想与证明；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
19．【答案】（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形 EFGH 是正方形，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠OAE＝∠OEM＝45°，
∵∠AOE＝∠EOM ，
∴△AOE∽△EOM．
（2）解：
由正方形EFGH得： ，
由正方形ABCD得： ，
由吴老师与小聪的交流可知： 是 AC 和 EG 的中点，
由（1）得： ，
， 即： ，
，
由中心对称性， 得： .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到两角对应相等∠OAE＝∠OEM＝45°，即可得到三角形相似；
（2）根据勾股定理求出HE，EG，AC的长，然后根据，得到即可解题.
20．【答案】（1）证明： ∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E =∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A =∠B=∠CFE =45°，
由 (1) 可得△AFE∽△BCF，
即
；
（3）解：连接DE， DF，
∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF =∠ECF=60°， EC = ED，FC=FD，
∵∠BDF+∠EDF =∠BDE =∠A+∠DEA，
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠BDF=∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
设AD=x， CE=DE=a， CF = DF =b，
∵AD：BD=1：n，
，
∵
由前两项得， 由后两项得，
解得，
由①得，
.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)利用已知得出. 进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
(2)利用 (1) 得出 ，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到y和x的数量关系，进而求出y与x的函数关系式；
(3)首先证明 表示出ED，DF，EA， DB， AD， BF， 再利用相似三角形的性质解决问题即可.
21．【答案】解：任务一，如图1，取的中点O，连接，
∵，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为2；
任务二，∵∠ACB=90°，O是AB中点，
∴，
∵，
∴，
∵CD=6，
∴，
∴的最小值为12；
任务三，如图2，作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是；
任务四，如图2，作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
任务五，如图3，作于G，延长交于H，在的延长线上截取，
∴∠EGM=90°，
∵，
∴∠GEH=180°-∠EGM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BHE=90°，
∴，
设，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由任务四可知，，
∵，
当最小时，取得最大值，此时最大值为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】任务一：取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线性质得OC=2，然后由OC≥CD，即可求出答案；
任务二：根据直角三角形斜边上的中线性质得，然后由OC≥CD得AB≥2CD，代入CD的值，即可得到答案；
任务三：作的外接圆，作于E，作直径，连接，根据圆周角定理的推论得∠ABF=90°，设的半径是R，然后由圆周角定理得，解直角三角形，从而用含R的算式表示AB、BF的值，接下来根据垂径定理得AE=EB，利用三角形中位线定理求得，根据三角形的三边关系得，解不等式求出R的取值范围，最后求出AB的取值范围，即可得到答案；
任务四：作的外接圆，作于E，作直径，连接，由任务三同理得关于R的不等式，从而得R的取值范围，最后求出AB的取值范围，即可得到答案；
任务五：作于G，延长交于H，在的延长线上截取，先求出，，从而得∠MEF、∠MEG的度数，然后求出EG=FH=4，，从而根据全等三角形对应角相等得∠LFH=∠MEG的度数，进而得∠NFL的度数，由任务四可知，，接下来由线段的和差关系得，即可得当最小时，取得最大值.
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