【精品解析】新定义型—浙教版数学九（上）期末复习

新定义型—浙教版数学九（上）期末复习
一、二次函数
1．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温州期中）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
5．（2022九上·南浔期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
（1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
（2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
6．（2024九上·定海开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
7．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
8．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数　 　“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是　 　；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
9．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
二、圆
10．（2022九上·衢州期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，是所对的圆周角，，连结，试说明与是偏等三角形．
（2）如图2，与是偏等三角形，其中，则　 　.请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，内接于，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值．
11．（2024九上·东阳期中）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，
（1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接.求证：是的“相望角”；
（2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长.
12．（2023九上·衢江期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
13．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
14．（2024九上·长兴月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到　 　个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=130°时，求∠BDC度数．
②如图3，当∠A=120°，AB=2时，求阴影部分的面积．
三、相似三角形
15．（2024九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（　　）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
16．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
17．（2021九上·鄞州期末）【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称 是 的“友好分割”线段.
（1）如图1，若 是 的“友好分割”线段， ，求 的长；
（2）【发现证明】如图2， 中，点F在 边上， 交 于D， 交 于E，连结 ，求证： 是 的“友好分割”线段；
（3）【综合运用】如图3， 是 的“友好分割”线段，连结 并延长交 的延长线于F，过点A 画 交 的外接圆于点G，连结 ，设 .
①求y关于x的函数表达式；
②连结 ，当 时，求 的值.
18．（2023九上·鄞州期末）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.
（1）如图1，平分，，.四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长；
（2）如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积.
（3）如图3，圆内接四边形中，点E是的中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该二次函数的对称轴为，图象开口向上，函数有最小值，
∵当时，该二次函数的最小值为，最大值为，
∴当时，该二次函数有最小值为，当时，，即函数的最大值为7，
∵关于对称轴直线的对称点为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】先根据“美丽点“的定义得，再由一元二次方程根的判别式解得，由此可得二次函数的解析式，然后
根据二次函数的图象与性质得图像开口向上，二次函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解．
4．【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
5．【答案】（1）解：根据题意把点代入解析式，
得，化简得：，
解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
∴有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，
解得：．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）将点（-1，-1）代入可得，再化简求解即可；
（2）设点是函数的一个不动点，可得，再利用“关于的方程有实数解”可得，最后求出b的取值范围即可.
（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
6．【答案】（1）①8；
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）5或
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【分析】（1）根据题意，先理解新定义，①由新定义直接求解即可；②根据定义结合反比例函数性质先求出，即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，先确定b=3，由新定义表示出y-x的表达式并对其配方得，再由题意得得，即可求解；
（3）先求，根据最优纵横值为2，可分两类讨论若，若，分别由二次函数的性质即可求解；
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
7．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
8．【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
9．【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
10．【答案】（1）解：∵点C是的中点，
∴，
又∵，
∴与是偏等三角形．
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：分类讨论：①当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴符合题意，
∴；
②当时，如图，
过点D作于点E，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为4或．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据“ 偏等三角形 ”的定义解题；
（2）在上截取，连接，得到，即可得到，，推导出，即可解题；
（3）分两种情况：和时，由直角三角形的性质，根据“ 偏等三角形 ”的定义解题即可．
（1）∵点C是的中点，
∴，
又∵，
∴与是偏等三角形．
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）分类讨论：①当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴符合题意，
∴；
②当时，如图，
过点D作于点E，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为4或．
11．【答案】（1）证明：直径，弦，
垂直平分弦，
∴CP=PE，
又CE⊥AB，
，
，
，
是的“相望角”；
（2）解：∵是CD的“相望角”，，
，
直径，弦，
垂直平分弦，
∴CP=DP，
，，
，，
如图，记圆心为，连接，，则
，
，
由勾股定理得，
的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得AB垂直平分CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CP=EP，由等腰三角形的三线合一得∠APC=∠APE，结合对顶角相等可推出∠APC=∠BPD，从而根据“相望角”定义得出结论；
（2）由平角定义及“相望角”定义可推出∠APC=∠BPD=45°，由垂径定理得AB垂直平分CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CP=EP，由等腰三角形性质得∠APC=∠APE=45°，∠PEC=∠PCE=45°；记圆心为O，连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COD=90°，在等腰直角△COD中，根据勾股定理可算出CD的长.
12．【答案】（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）解：①，
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）解：如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据圆美四边形的定义及圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，
，根据勾股定理求得；
②连接，由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，延长到，使得，由全等三角形的判定SAS得到，由全等三角形的性质得到，，推出为等边三角形，进而得出结论；
（3）延长和交于点，根据圆周角定理、含角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理得到．
（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
13．【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
14．【答案】（1）4
（2）解：①四边形ABCD是圆内接四边形，
当时，
当时，
当时，
②连接OA、OB、OC，
四边形ABCD是圆内接四边形，，
是圆等三角形，
是等边三角形，
是等边三角形，
过点作，
扇形BOC的面积为：，阴影部分面积为：
【知识点】扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】（1）如图所示，
满足条件的点C共有4个，
故答案为：4.
【分析】(1)过O作直线AB的垂线交圆O于C1，C2，分别以A和B为圆心，AB为半径作弧与圆的交点就是所求的点；
(2)①根据圆内接四边形的性质得到∠C=180°-∠A=50°，当BD=CD时，当BD=CD时，当BC=CD时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
②根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=60°，推出△BCD是等边三角形，得到∠BDC=60°，连接OD，OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BCD=120°，∠BOD=2∠BCD=120°，求得AO⊥BD，∠AOD=∠AOB=60°，根据等边三角形到现在得到OB=OA=AB=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
15．【答案】D
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】设，先根据正方形的性质得到，进而根据黄金矩形的性质得到，代入即可表示出x，从而检验即可求解。
16．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
17．【答案】（1）解：设AE=x，
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∵AD=2CE，AB=8，
∴2EC AE=（8-AD） EC.
∴2x=8-2EC.
∴x=4-EC，
∴AE=4-EC.
∴AC=AE+EC=4.
（2）解：∵FD//AC，
∴ .
∵FE//AB，
∴
∴ .
∴AD AE=BD EC.
∴DE是△ABC的“友好分割”线段；
（3）解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴ .
∵ ，
∴ .
过点C作CH//BD交DF于点H，如图，
∵CH//BD，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴y=x2.
∴y关于x的函数表达式为：y=x2；
②连接DG，如图，
∵ ，
∴ .
∵x＞0，
∴ .
即 .
∵AG∥DE，
∴ .
∴AD=EG.
∴
∴ .
∴AE=DG，∠ADE=∠GED.
∴∠BDF=∠GEF.
∵ ，
∴∠GDE=∠AED.
∵∠AED=∠CEF，
∴∠GDE=∠CEF.
∴∠BDF+∠GDE=∠GEF+∠CEF.
即∠BDG=∠GEC.
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴
∴ .
∴△BDG∽△GEC.
∴ .
∵EG=AD，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）设AE=x，由题意可得AD AE=BD EC，将已知条件代入可得x=4-EC，即AE=4-EC，据此计算；
（2）根据FD//AC，FE//AB结合平行线分线段成比例的性质可得
，即AD AE=BD EC，据此证明；
（3）①由题意可得AD AE=BD EC，即
=x，过点C作CH//BD交DF于点H，根据平行线分线段成比例的性质可得
，据此解答；
②连接DG，根据①的结论可得x的值，由平行线的性质得
，则AD=EG，推出∠BDG=∠GEC，由题意得
，证明△BDG∽△GEC，然后根据相似三角形的性质进行解答.
18．【答案】（1）解：∵四边形为被分割的“师梅四边形”，
∴与相似，
若，
则，
∴，
若，
则，
∴，
综上所述：或；
（2）解：∵点C是直线在第一象限上的一点，
∴平分，
即，
又∵是四边形的“师梅线”，
∴，
∴
即，
∴，
作轴于点M，轴于点N，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形的面积
.
（3）解：①证明：∵E是的中点，
∴，
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴四边形为“师梅四边形”；
②解：如图，过点A作交与G，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 “师梅四边形” 定义可得△ABD与△CBD相似，进而分△ABD∽△CBD与△ABD∽三角形DBC两种情况，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求出AB的长；
（2）易得∠BOC=∠AOC=45°，△OBC∽△OCA，根据相似三角形对应边成比例可求出OC的长， 作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N， 则△ONC与△OMC都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得CM=CN=，进而根据S四边形OACB=S△OAC+S△OBC，结合三角形的面积计算方法即可算出答案；
（3）①由题意可得∠ABE＝∠EBC＝30°，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得∠BAF＝∠BFC，可证△ABF∽△FBC，即四边形ABCF是“师梅四边形”；
② 过点A作AG⊥BC交BC与G，连接AC， 由相似三角形的性质可得BF2＝AB BC，由三角形面积公式可求 ，即可求BF的长．
1 / 1新定义型—浙教版数学九（上）期末复习
一、二次函数
1．（2023九上·绍兴月考）已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；一次函数的性质；定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
2．（2023九上·浙江期中）定义平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y=x-2上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，设，所以，当点两点的横坐标相等时， dAB的最小，所以，所以曼距的最小值为.
故答案为：C.
【分析】设点的坐标，根据定义表示出曼距 dAB，当两点横坐标相等时， dAB取得最小值，求解即可．
3．（2024九上·温州期中）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该二次函数的对称轴为，图象开口向上，函数有最小值，
∵当时，该二次函数的最小值为，最大值为，
∴当时，该二次函数有最小值为，当时，，即函数的最大值为7，
∵关于对称轴直线的对称点为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】先根据“美丽点“的定义得，再由一元二次方程根的判别式解得，由此可得二次函数的解析式，然后
根据二次函数的图象与性质得图像开口向上，二次函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解．
4．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
5．（2022九上·南浔期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
（1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
（2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意把点代入解析式，
得，化简得：，
解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
∴有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，
解得：．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）将点（-1，-1）代入可得，再化简求解即可；
（2）设点是函数的一个不动点，可得，再利用“关于的方程有实数解”可得，最后求出b的取值范围即可.
（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
6．（2024九上·定海开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）①8；
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）5或
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【分析】（1）根据题意，先理解新定义，①由新定义直接求解即可；②根据定义结合反比例函数性质先求出，即可求解；
（2）根据题意，由二次函数的性质，先确定b=3，由新定义表示出y-x的表达式并对其配方得，再由题意得得，即可求解；
（3）先求，根据最优纵横值为2，可分两类讨论若，若，分别由二次函数的性质即可求解；
（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，
故答案为：
②，
∵，
∴
∴函数的“最优纵横值”为2
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：
∴
∴
∵最优纵横值为5，
∴
∴
（3）解：
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
7．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
8．（2023九上·绍兴月考）若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为.
（1）①判断：函数　 　“明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是　 　；
（2）若抛物线上有两个“明德点”，求的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）不是；（0，0）或（2，4）
（2）抛物线是“明德函数”， ，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，，
的取值范围为且；
（3）由题意可知，
整理得，
整理得，
对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k；根据题意分类讨论：
①
②
③
综上，k的值为0或。
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①令2x+3=2x，此方程无解，
∴ 函数不是“ 明德函数 ”
故答案为：不是.
② 令x2=2x，解得x=0或2，
∴ 函数的图像上的明德点是（0，0） 或（2，4）；
故答案为：（0，0） 或（2，4）；
【分析】（1）根据“ 明德函数 ”的定义进行判断即可；
（2）根据“ 明德函数 ”的定义可得，可得△＞0，据此解答即可；
（3）根据“ 明德函数 ”的定义可得，由唯一一个“明德点”，可得△=0，可得，对称轴为直线m=k，此时n的最小值为2k，再分类讨论即可.
9．（2023九上·路桥月考）对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为，这个关联函数的转折点是(1，0)．
（1）已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．
（2）已知二次函数y＝x2－2x－3，点(a，4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．
（3）在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x2－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．
【答案】（1）（，0）
（2）解：令y＝0，x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点坐标为（－1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴关联函数y＝，
将（a，4）代入y＝x2－2x－3得4＝a2－2a－3，
解得a1＝1－，a2＝1＋，
将（a，4）代入y＝－x2＋2x＋3得4＝－a2＋2a＋3，
解得a3＝a4＝1，
∴a＝1±或1．
（3）解：∵y＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，a－1），对称轴为直线x＝1，
点M（－1，1）、N（3，1）关于直线x＝1对称，
如图，作MN关于x轴的对称的线段M'N'，
当a－1＝1时，a＝2，抛物线顶点在线段MN上，
当a－1＝－1时，a＝0，抛物线顶点在线段M'N'上，
∴0＜a＜2满足题意；
当抛物线经过点M，N时，将（－1，1）代入y＝x2－2x＋a得1＝1＋2＋a，
解得a＝－2，
将（－1，－1）代入y＝x2－2x＋a得－1＝1＋2＋a，
解得a＝－4，
∴－4≤a＜－2符合题意，
综上所述，0＜a＜2或－4≤a＜－2．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）令y＝0，2x－3＝0，解得x＝，∴其关联函数为y＝，
关联函数的转折点为（，0）．
【分析】（1）根据一次函数的解的性质，将y=0代入一次函数，求出x的值；根据“关联函数”的定义，可列关于x、y的一元二次方程，加减消元法即可求出转折点的坐标.
（2）根据因式分解法解二次函数，可以得到函数与x轴的两个交点的坐标；根据“关联函数”的定义，可得关联函数的解析式；将点（a，4）分别代入关联函数，可以解得a的值.
（3）根据二次函数的顶点式，可得抛物线的对称轴的直线；根据点的坐标的对称性，可得a的取值范围.根据二次函数上点的坐标的性质，代入函数，即可求出a的值；根据二次函数图象的性质，可以求得a的另一个取值范围.
二、圆
10．（2022九上·衢州期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，是所对的圆周角，，连结，试说明与是偏等三角形．
（2）如图2，与是偏等三角形，其中，则　 　.请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，内接于，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值．
【答案】（1）解：∵点C是的中点，
∴，
又∵，
∴与是偏等三角形．
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：分类讨论：①当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴符合题意，
∴；
②当时，如图，
过点D作于点E，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为4或．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据“ 偏等三角形 ”的定义解题；
（2）在上截取，连接，得到，即可得到，，推导出，即可解题；
（3）分两种情况：和时，由直角三角形的性质，根据“ 偏等三角形 ”的定义解题即可．
（1）∵点C是的中点，
∴，
又∵，
∴与是偏等三角形．
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）分类讨论：①当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴符合题意，
∴；
②当时，如图，
过点D作于点E，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴符合题意，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为4或．
11．（2024九上·东阳期中）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，
（1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接.求证：是的“相望角”；
（2）如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长.
【答案】（1）证明：直径，弦，
垂直平分弦，
∴CP=PE，
又CE⊥AB，
，
，
，
是的“相望角”；
（2）解：∵是CD的“相望角”，，
，
直径，弦，
垂直平分弦，
∴CP=DP，
，，
，，
如图，记圆心为，连接，，则
，
，
由勾股定理得，
的长为.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得AB垂直平分CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CP=EP，由等腰三角形的三线合一得∠APC=∠APE，结合对顶角相等可推出∠APC=∠BPD，从而根据“相望角”定义得出结论；
（2）由平角定义及“相望角”定义可推出∠APC=∠BPD=45°，由垂径定理得AB垂直平分CE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CP=EP，由等腰三角形性质得∠APC=∠APE=45°，∠PEC=∠PCE=45°；记圆心为O，连接OC、OD，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COD=90°，在等腰直角△COD中，根据勾股定理可算出CD的长.
12．（2023九上·衢江期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数．
（2）在（1）的条件下，若的半径为．
①则的长是______．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）解：①，
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）解：如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据圆美四边形的定义及圆内接四边形的性质，即可求解；
（2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，
，根据勾股定理求得；
②连接，由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，延长到，使得，由全等三角形的判定SAS得到，由全等三角形的性质得到，，推出为等边三角形，进而得出结论；
（3）延长和交于点，根据圆周角定理、含角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理得到．
（1）解：由题意得：
四边形是圆美四边形，
，
，
．
（2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接，
，，，
，
，，
．
故答案为：．
②如图，连接，在（1）的条件下，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，延长到，使得，
又，，
，
，，
，
为等边三角形，
则，
即，
．
（3）如图，延长和交于点，
在（1）的条件下，，，
是直径，
，，
，
，，
在中，
，
，
即，
解得：．
13．（2023九上·杭州期中） 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；定义新运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得AB为EC的垂直平分线得∠CPA＝∠EPA，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠EPA，等量代换得∠CPA＝∠BPD；
（2）根据圆周角定理得∠CED＝α，进而得到∠APE＝90°-α，再根据对顶角相等得∠BPD＝∠APE，再根据美丽角得∠APC＝∠BPD，再根据补角得∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD即可求得；
（3）连接OC，OD，根据勾股定理列方程，即可求得PC，CE.
14．（2024九上·长兴月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到　 　个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=130°时，求∠BDC度数．
②如图3，当∠A=120°，AB=2时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4
（2）解：①四边形ABCD是圆内接四边形，
当时，
当时，
当时，
②连接OA、OB、OC，
四边形ABCD是圆内接四边形，，
是圆等三角形，
是等边三角形，
是等边三角形，
过点作，
扇形BOC的面积为：，阴影部分面积为：
【知识点】扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【解答】（1）如图所示，
满足条件的点C共有4个，
故答案为：4.
【分析】(1)过O作直线AB的垂线交圆O于C1，C2，分别以A和B为圆心，AB为半径作弧与圆的交点就是所求的点；
(2)①根据圆内接四边形的性质得到∠C=180°-∠A=50°，当BD=CD时，当BD=CD时，当BC=CD时，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
②根据圆内接四边形的性质得到∠BCD=60°，推出△BCD是等边三角形，得到∠BDC=60°，连接OD，OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BCD=120°，∠BOD=2∠BCD=120°，求得AO⊥BD，∠AOD=∠AOB=60°，根据等边三角形到现在得到OB=OA=AB=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.
三、相似三角形
15．（2024九上·拱墅月考）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（　　）
A．（﹣1）a B．（2﹣2）a C．（+1）a D．（2+2）a
【答案】D
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
，
故答案为：D
【分析】设，先根据正方形的性质得到，进而根据黄金矩形的性质得到，代入即可表示出x，从而检验即可求解。
16．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
17．（2021九上·鄞州期末）【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称 是 的“友好分割”线段.
（1）如图1，若 是 的“友好分割”线段， ，求 的长；
（2）【发现证明】如图2， 中，点F在 边上， 交 于D， 交 于E，连结 ，求证： 是 的“友好分割”线段；
（3）【综合运用】如图3， 是 的“友好分割”线段，连结 并延长交 的延长线于F，过点A 画 交 的外接圆于点G，连结 ，设 .
①求y关于x的函数表达式；
②连结 ，当 时，求 的值.
【答案】（1）解：设AE=x，
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∵AD=2CE，AB=8，
∴2EC AE=（8-AD） EC.
∴2x=8-2EC.
∴x=4-EC，
∴AE=4-EC.
∴AC=AE+EC=4.
（2）解：∵FD//AC，
∴ .
∵FE//AB，
∴
∴ .
∴AD AE=BD EC.
∴DE是△ABC的“友好分割”线段；
（3）解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴ .
∵ ，
∴ .
过点C作CH//BD交DF于点H，如图，
∵CH//BD，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴y=x2.
∴y关于x的函数表达式为：y=x2；
②连接DG，如图，
∵ ，
∴ .
∵x＞0，
∴ .
即 .
∵AG∥DE，
∴ .
∴AD=EG.
∴
∴ .
∴AE=DG，∠ADE=∠GED.
∴∠BDF=∠GEF.
∵ ，
∴∠GDE=∠AED.
∵∠AED=∠CEF，
∴∠GDE=∠CEF.
∴∠BDF+∠GDE=∠GEF+∠CEF.
即∠BDG=∠GEC.
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴
∴ .
∴△BDG∽△GEC.
∴ .
∵EG=AD，
∴ .
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）设AE=x，由题意可得AD AE=BD EC，将已知条件代入可得x=4-EC，即AE=4-EC，据此计算；
（2）根据FD//AC，FE//AB结合平行线分线段成比例的性质可得
，即AD AE=BD EC，据此证明；
（3）①由题意可得AD AE=BD EC，即
=x，过点C作CH//BD交DF于点H，根据平行线分线段成比例的性质可得
，据此解答；
②连接DG，根据①的结论可得x的值，由平行线的性质得
，则AD=EG，推出∠BDG=∠GEC，由题意得
，证明△BDG∽△GEC，然后根据相似三角形的性质进行解答.
18．（2023九上·鄞州期末）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.
（1）如图1，平分，，.四边形是被分割成的“师梅四边形”，求长；
（2）如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且，，若点C是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“师梅线”，求四边形的面积.
（3）如图3，圆内接四边形中，点E是的中点，连接交于点F，连接，，①求证：四边形是“师梅四边形”；②若的面积为，求线段的长.
【答案】（1）解：∵四边形为被分割的“师梅四边形”，
∴与相似，
若，
则，
∴，
若，
则，
∴，
综上所述：或；
（2）解：∵点C是直线在第一象限上的一点，
∴平分，
即，
又∵是四边形的“师梅线”，
∴，
∴
即，
∴，
作轴于点M，轴于点N，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形的面积
.
（3）解：①证明：∵E是的中点，
∴，
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴四边形为“师梅四边形”；
②解：如图，过点A作交与G，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 “师梅四边形” 定义可得△ABD与△CBD相似，进而分△ABD∽△CBD与△ABD∽三角形DBC两种情况，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求出AB的长；
（2）易得∠BOC=∠AOC=45°，△OBC∽△OCA，根据相似三角形对应边成比例可求出OC的长， 作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N， 则△ONC与△OMC都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得CM=CN=，进而根据S四边形OACB=S△OAC+S△OBC，结合三角形的面积计算方法即可算出答案；
（3）①由题意可得∠ABE＝∠EBC＝30°，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得∠BAF＝∠BFC，可证△ABF∽△FBC，即四边形ABCF是“师梅四边形”；
② 过点A作AG⊥BC交BC与G，连接AC， 由相似三角形的性质可得BF2＝AB BC，由三角形面积公式可求 ，即可求BF的长．
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