情境型—浙教版数学九（上）期末复习
阅卷人 一、精选情境型
得分
1．（2023九上·鹿城月考）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：B．
【分析】利用黄金分割的定义及黄金分割值列出算式求解即可.
2．（2023九上·温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过E门的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，从而根据概率公式即可算出答案.
3．（2024九上·温岭期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得OC⊥AB，
∵AB=16，
∴，
∵OA=10，
∴，OC=OA=10，
∴CD=OC-OD=10-6=4，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得，然后利用勾股定理求出OD的值，最后求CD=OC-OD的值即可.
4．（2023九上·衢江期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接，交于D，
由题意得：米，，
米，，
在中
由勾股定理得：米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故答案为：C．
【分析】连接，交于D，根据垂径定理得（米），在中由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
5．（2023九上·宁波期末）小明准备在2023年国庆期间去看电影，他想在《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的结果有2种，
∴小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是．
故答案为：C.
【分析】画出树状图，再根据求出概率即可.
6．（2023九上·宁波期末）如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
解得，AB=9．
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，即可求得.
7．（2023九上·舟山期末）盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．
已知小友喜欢图1中的款、款，喜欢图2中的款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，则他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为何（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的有2种结果，
所以他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表可得所有可能结果数，然后找到符合条件的结果数，再根据概率公式解题即可．
8．（2024九上·西湖月考）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到）
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近，
“凸面向上”的概率为，
故答案为：．
【分析】根据图中的数据稳定在附近，则可得到概率解题．
9．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到，然后利用相似三角形的对应边成比例解题．
10．（2023九上·余姚期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使，．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．
【答案】解：（1）过点作于点．
∵，，，
∴，．
设，则，
∴，
设储料场的面积为，则，
∴．
∴当时，储料场的面积最大，最大面积为．此时．
故当米，米时，所建储料场的面积最大，最大面积为．
（2）小聪建议合理．理由如下：
由题意得，
∴．
∴．
∵，
∴小聪的建议是合理的．
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作于点．设，可得，．则，可得，设储料场的面积为，得到二次函数即可解题；
（2）根据扇形弧长公式得到．然后利用扇形面积公式求得解题即可．
11．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
12．（2024九上·桐乡市期末）2022年北京冬奥会，其中跳台滑雪是极具观赏性的比赛项目之一．如图是某跳台滑雪比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此跳台滑雪的点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为60米，到轴的距离是40米，米，米．
K点是跳台滑雪中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是75米，即CK=75米.
距离分=60+2×(跳跃距离-75).
跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.
（1）求点的坐标；
（2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似地看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分是60分，求此时该抛物线的表达式；
②为了在第二跳中取得更好的成绩，该运动在起跳角度和空中姿势方面做了一定的调整，使得第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分．
【答案】（1）解：解：由题意可得：点，
设的解析式为：，
则有：，解得：，
∴的解析式为：，
设点K的坐标为，则有：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点K的坐标为．
（2）解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分，
∴，即．
∴点E与点K重合，即点E的坐标为，
由题意可得：，
解得：
所以；
②设新的着陆点为Q，
联立，
解得：或（与点C重合舍去）
∴点Q的坐标为，
∴跳跃距离为，
∴第二次的距离分为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得：点，设的解析式为：，即可求出CD的解析式，然后设点K的坐标为，则有：，进而即可得到点K的坐标；
（2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，结合题意即可求出CE的长度，进而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出其解析式；
②设新的着陆点为Q，联立一次函数和二次函数即可得到点Q的坐标，进而利用勾股定理求出CQ的距离，进而即可求解.
13．（2024九上·仙居期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h．
（1）已知．若喷水口在P处，，．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
（2）在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度．
【答案】（1）①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米
（2）水线的最大高度是米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
14．（2024九上·镇海区期末）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后根据“ 购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元 ”列二元一次方程组即可解题；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先根据利润=单利润×销售量列函数关系式，然后根据二次函数的性质求最值解题．
15．（2016九上·嵊州期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD= AB= ×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
16．（2023九上·宁波期末）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】（1）解：∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°-∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE-∠D'BE＝108°-72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D转动到点D′的路径长为 ＝ π（cm）；
（2）解：过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图：
Rt△BDG中，DG＝BD sin36°≈6×0.59＝3.54（cm），
Rt△BEH中，HE＝BE sin72°≈4×0.95＝3.80（cm），
∴DG+HE＝3.54cm+3.80cm＝7.34m≈7.3cm，
∵BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠D′BE的度数，根据∠DBD'＝∠DBE-∠D'BE，代入计算求出∠DBD′的度数，然后利用弧长公式，可求出点D转动到点D′的路径长.
（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，在Rt△BDG和Rt△BEH中，利用解直角三角形分别求出DG，HE的长，再求出DG+HE的值，即可得到点D到直线EF的距离.
阅卷人 二、最新情境型
得分
17．（2024九上·嵊州期中）我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20 B．23 C．26 D．30
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，设圆O的半径长为x，
∵AB⊥CD，
∴AP=BP=5寸，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在Rt△AOP中，x2-（x-1）2=52，
解得x=13，
∴CD=26寸．
故选：C．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=BP，设出圆的半径为x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可解题．
18．（2024九上·嘉兴期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．（2024九上·嘉兴期中）如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，
∴使得小灯泡能正常工作的概率为
故选： D.
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可.
20．（2024九上·杭州期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径，小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底：纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm.则该纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图， MN⊥AB， MN过圆心O， 连接OD，OB，
∴MN =3.5cm，
∵CD∥AB， 纸条的宽为3.5cm， AB =3cm，CD=4cm，
∴MN⊥CD，
设OM = xcm，
∴ON =MN-OM = (3.5-x) cm，
∴x=1.5，
∴OM =1.5( cm)，
( cm)
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).
故答案为：B.
【分析】由垂径定理求出BN， DM的长， 设OM =x， 由勾股定理得到 求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长.
21．（2024九上·衢州期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）.嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ）
A．玻璃水杯轮廊线所在抛物线的解析式为
B．直线PB的解析式为
C．点到杯口AB的距离为5
D．点到点的距离为
【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12）
∵抛物线与x轴交于点A（-4，0）、点B（4，0）
设抛物线y=a（x+4）(x-4)(a≠0）
且过点D（2，-12）
∴a=1
∴抛物线y=（x+4）(x-4)
即y=x2-16
故A正确，不符合题意
如图，过点P作PM⊥y轴于点M，BP交y轴于点N
∵∠ABP=45°
∴∠ONB=45°
∴ON=OB=4
∴直线PB：y=x-4
故B正确，不符合题意
令x2-16=x-4
即x2-x-12=0
∴x1=-3，x2=4(舍去）
∴点P（-3，-7）
∴ 点到杯口AB的距离为7
故C错误，符合题意
∴DP=
故D正确，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据题意易得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12），易得抛物线解析式为y=x2-16，根据∠ABP=45°易得BP与y轴交于点（0，-4）即可得直线BP的解析式，联立直线与抛物线即可得点P的坐标，再根据点P的坐标易得点P到y轴（杯口AB）的距离，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式可得PD的距离即可判断.
22．（2024九上·温州期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（ ）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式求得和，然后根据求比值即可．
23．（2024九上·温州期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：，
估计不规则图案的面积约为．
故选：B．
【分析】根据折线图可知，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率公式列方程解题即可．
24．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cmC，D两点之间的距离为3cm，圆心角为60°，则图2中摆盘的面积是( )
A．12πcm2 B．24πcm2 C．36πcm2 D．48πcm2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连结CD．
∵OC=OD，∠O=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD=OD=3cm．
∵AC=BD=12cm，
∴OA=OB=15cm，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=-=36π(cm2)．
故答案为：C.
【分析】先证得△COD是等边三角形，即可得出OC，OD的长度，再根据S阴影=S扇形AOB-S扇形COD，求解即可.
25．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=( )
A．1.2里 B．1.5里 C．1.05里 D．1.02里
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA=∠AEG=90，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴，
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA= 3.5里，EA=4.5里，
∴，
解得：FH=1.05里；
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可.
26．（2024九上·长兴期中）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ．
【答案】5.4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： ∵落在白色区域的频率稳定在0.4左右 ，
∴点落入黑色部分的频率为1-0.4=0.6，
∴黑色部分的面积为9×0.6=5.4（cm2）
故答案为：5.4.
【分析】先求出黑色部分，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.
27．（2024九上·嘉兴期中） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式 .
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
28．（2024九上·温州期中）如图1所示是一款带毛刷的图形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.当毛刷PC从PA出发顺时针扫过时，，则的半径为 cm，.毛刷在旋转过程中，与交于点，则CD的 大长度为 cm.
【答案】16；
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1中，当PC∥OA时，
图1
∵PC∥OA
∴∠OAP=∠APC=60°，
∵OA=OB，
∴是等边三角形，
∴OA=AB=2PC=2×8=16(cm)，
如图2中，OB=16cm，PC=PB=PA=8cm，
图2
当OC⊥AB时，CD最大，此时OP=cm，PD=OD-OP=(16-)cm，
∴CD=PC-PD=8-(16-)=(-8)cm
故答案为：16，(-8).
【分析】本题考查简单的几何三视图，垂径定理，勾股定理以及三角形的性质，利用旋转60°时PC∥OA，从而证明是等边三角形，由此即可得到OA=AB=16cm，在图2中当OC⊥AB时，CD最大，故求出CD即可.
29．（2024九上·衢州期中）如图，“简车”盛水简的运行轨迹是以轴心0为圆心的圆，已知圆心0在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆的半径为 米。
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
30．（2024九上·瑞安期中）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图，以所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
由题意可知，
设抛物线的解析式为，
把代入，得：
解得，
∴所求的抛物线的解析式是，
当时，，
解得，
∴则m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】建立如图的坐标系，则抛物线上两点坐标为，然后利用待定系数法求得，然后令即可求得m的值，再根据函数的性质得到m的取值范围即可．
31．（2024九上·温州月考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点F为坐标原点，MN为x轴，GF为y轴，建立平面直角坐标系如下，
设点E的坐标为（0，c）
设函数解析式为y=ax2+c，
∵CD=12，EG=8，
∴点C（6，8+c）点Q（x，4+c）
解之：
∴
∴.
故答案为：.
（2） 把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴CH与水平面成45°角，设CH的函数解析式为y=x+m，
∵点C（6，8+c），
∴8+c=6+m，
解之：m=2+c，
∴y=x+2+c，
∴，
整理得2x2-9x-18=0
解之：x1=-1.5，x2=6，
∴，
∵CH与x轴的夹角为45°，
∴
故答案为：.
【分析】（1）以点F为坐标原点，MN为x轴，GF为y轴，建立平面直角坐标系如下，设点E的坐标为（0，c），设函数解析式为y=ax2+c，利用CD和EG的长，可得到点C，Q的坐标，将点C，Q代入函数解析式，可得到方程组，解方程组求出a，x的值，可得到二次函数解析式，由此可求出PQ的长.
（2）利用已知可得到CH与水平面成45°角，设CH的函数解析式为y=x+m，将点C的坐标代入一次函数解析式，可求出m的值，可得到一次函数解析式，将其与二次函数联立方程组，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出的值；然后根据CH与x轴的夹角为45°，可求出CH的长.
32．如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC=120°，有一根6m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为 .
【答案】m2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，扇形FBG和扇形GCH为羊活动的区域．S扇形FBG==12π(m2)，
S扇形GCH==(m2)，
∴这只羊活动区域的最大面积为12π+=(m2)．
故答案为：m2.
【分析】根据题意得出羊活动区域的最大面积为扇形FBG和扇形GCH，根据扇形的面积公式计算即可.
33．（2024九上·金华期中）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，EN＝9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是 ．
【答案】（1）解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为，
∴A为抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为：
∵抛物线过点
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，
∴令则
∴
（2）解：∵E（﹣1，﹣10），运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，
∴当x＝3时，y＝﹣9+×3＝﹣，
∴运动员此时距离水面10﹣＝＞5，
∴运动员此次跳水不会失误
（3）解：∵∴∵入水点为，∴①当抛物线经过点M时，∴②当抛物线经过点N时，∴∵该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），∴k的取值范围是：，故答案为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到A为抛物线的顶点，则利用顶点式设抛物线的解析式为：进而利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，最后令求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）根据题意得到调整点的坐标为，即可求出此时运动员此时距离水面的高度，然后与5进行比较即可；
（3）根据题意得到点M、N的坐标，然后根据入水点的坐标得到：分两种情况，①当抛物线经过点M时，②当抛物线经过点N时，分别计算出k的值即可.
34．（2024九上·东阳期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：
（1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.
【答案】（1）；20
（2）解：圆形团扇的半径为，
圆形团扇的周长为：，
正方形团扇的边长为，
正方形团扇的周长为：，
，
圆形团扇所用的包边长度更短.
【知识点】无理数的大小比较；扇形面积的计算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：，
正方形团扇的边长为：，
故答案为：，20；
【分析】（1）根据圆的面积计算公式及正方形的面积计算公式计算即可；
（2）根据圆的周长公式及正方形的周长公式计算后再比大小即可.
35．（2024九上·拱墅月考）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A'、B'、C'（如图②），使直角边B'C'（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B'A'的延长线上，且测得此时边B'C'距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
【答案】（1）解：，，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
答：古树的高度为13.5米；
（2）解：，，
△△，
，
，
，
，
答：小丽向前移动了7米．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
1 / 1情境型—浙教版数学九（上）期末复习
阅卷人 一、精选情境型
得分
1．（2023九上·鹿城月考）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温岭期末）如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·衢江期中）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
5．（2023九上·宁波期末）小明准备在2023年国庆期间去看电影，他想在《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是( )
A． B． C． D．
6．（2023九上·宁波期末）如图，小明用长为3m的竹竿CD作测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为（ ）
A．7 m B．8 m C．6m D．9m
7．（2023九上·舟山期末）盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．
已知小友喜欢图1中的款、款，喜欢图2中的款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，则他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为何（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·西湖月考）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到）
9．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
10．（2023九上·余姚期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使，．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．
11．（2024九上·缙云期末）如图，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作“圆形托盘”，已知八角花盆底部截面是一个正八边形（如图），请根据下列信息解决问题．
（1）求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数；
（2）若八角花盆底部截面正八边形的边长是，小吴同学制作的圆形托盘半径是，问：这个托盘是否适用于此八角花盆？（图中边长的数据为近似值，供选用）
12．（2024九上·桐乡市期末）2022年北京冬奥会，其中跳台滑雪是极具观赏性的比赛项目之一．如图是某跳台滑雪比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此跳台滑雪的点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为60米，到轴的距离是40米，米，米．
K点是跳台滑雪中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是75米，即CK=75米.
距离分=60+2×(跳跃距离-75).
跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离.
（1）求点的坐标；
（2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似地看成一条抛物线，其函数表达式为．
①若该运动员第一跳的距离分是60分，求此时该抛物线的表达式；
②为了在第二跳中取得更好的成绩，该运动在起跳角度和空中姿势方面做了一定的调整，使得第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分．
13．（2024九上·仙居期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h．
（1）已知．若喷水口在P处，，．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
（2）在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度．
14．（2024九上·镇海区期末）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 11 19
日销售量y（件） 18 2
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
15．（2016九上·嵊州期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
16．（2023九上·宁波期末）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
阅卷人 二、最新情境型
得分
17．（2024九上·嵊州期中）我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20 B．23 C．26 D．30
18．（2024九上·嘉兴期中）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．
19．（2024九上·嘉兴期中）如图，电路中有3个开关a，b，c，已知电路及其他元件都能正常工作，现任意闭合两个开关，能使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．1
20．（2024九上·杭州期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径，小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底：纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm.则该纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
21．（2024九上·衢州期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）.嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在轴上），对于下列结论，其中不正确的是（ ）
A．玻璃水杯轮廊线所在抛物线的解析式为
B．直线PB的解析式为
C．点到杯口AB的距离为5
D．点到点的距离为
22．（2024九上·温州期中）某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（ ）
A．5：2 B． C．3：2 D．
23．（2024九上·温州期中）小明为了解平整地面上一块不规则图案的面积，采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（ ）
A． B． C． D．
24．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cmC，D两点之间的距离为3cm，圆心角为60°，则图2中摆盘的面积是( )
A．12πcm2 B．24πcm2 C．36πcm2 D．48πcm2
25．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=( )
A．1.2里 B．1.5里 C．1.05里 D．1.02里
26．（2024九上·长兴期中）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为 ．
27．（2024九上·嘉兴期中） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式 .
28．（2024九上·温州期中）如图1所示是一款带毛刷的图形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上.当毛刷PC从PA出发顺时针扫过时，，则的半径为 cm，.毛刷在旋转过程中，与交于点，则CD的 大长度为 cm.
29．（2024九上·衢州期中）如图，“简车”盛水简的运行轨迹是以轴心0为圆心的圆，已知圆心0在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆的半径为 米。
30．（2024九上·瑞安期中）如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
31．（2024九上·温州月考）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ；
（2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ．
32．如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC=120°，有一根6m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为 .
33．（2024九上·金华期中）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，EN＝9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是 ．
34．（2024九上·东阳期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：
（1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.
35．（2024九上·拱墅月考）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
（1）小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE；
（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A'、B'、C'（如图②），使直角边B'C'（较短直角边）平行于地面MN（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边B'A'的延长线上，且测得此时边B'C'距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：B．
【分析】利用黄金分割的定义及黄金分割值列出算式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过E门的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，从而根据概率公式即可算出答案.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得OC⊥AB，
∵AB=16，
∴，
∵OA=10，
∴，OC=OA=10，
∴CD=OC-OD=10-6=4，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得，然后利用勾股定理求出OD的值，最后求CD=OC-OD的值即可.
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】连接，交于D，
由题意得：米，，
米，，
在中
由勾股定理得：米，
米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故答案为：C．
【分析】连接，交于D，根据垂径定理得（米），在中由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《坚如磐石》《志愿军一：雄兵出击》《莫斯科行动》《好像也没那么热血沸腾》《我是哪吒2之英雄归来》这五个电影卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的结果有2种，
∴小明抽中《志愿军一：雄兵出击》和《我是哪吒2之英雄归来》的概率是．
故答案为：C.
【分析】画出树状图，再根据求出概率即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即，
解得，AB=9．
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定与性质可得，即可求得.
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的有2种结果，
所以他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表可得所有可能结果数，然后找到符合条件的结果数，再根据概率公式解题即可．
8．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近，
“凸面向上”的概率为，
故答案为：．
【分析】根据图中的数据稳定在附近，则可得到概率解题．
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到，然后利用相似三角形的对应边成比例解题．
10．【答案】解：（1）过点作于点．
∵，，，
∴，．
设，则，
∴，
设储料场的面积为，则，
∴．
∴当时，储料场的面积最大，最大面积为．此时．
故当米，米时，所建储料场的面积最大，最大面积为．
（2）小聪建议合理．理由如下：
由题意得，
∴．
∴．
∵，
∴小聪的建议是合理的．
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作于点．设，可得，．则，可得，设储料场的面积为，得到二次函数即可解题；
（2）根据扇形弧长公式得到．然后利用扇形面积公式求得解题即可．
11．【答案】（1）解：正八边形的外角，
∴正八边形的内角；
（2）解：如图中，连接，，过点作于点．
∵，，
∴，，由题意得，
∴（，
∵，
∴这个托盘适用于此八角花盆．
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；垂径定理的实际应用；圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）求出正八边形的外角，根据内角和外角互补解题即可；
（）连接，，过点作于点，求出正八边形的所在圆的半径OA长，和托盘的半径作比较解题即可．
12．【答案】（1）解：解：由题意可得：点，
设的解析式为：，
则有：，解得：，
∴的解析式为：，
设点K的坐标为，则有：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点K的坐标为．
（2）解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为
∵该运动员第一跳的距离分是60分，
∴，即．
∴点E与点K重合，即点E的坐标为，
由题意可得：，
解得：
所以；
②设新的着陆点为Q，
联立，
解得：或（与点C重合舍去）
∴点Q的坐标为，
∴跳跃距离为，
∴第二次的距离分为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意可得：点，设的解析式为：，即可求出CD的解析式，然后设点K的坐标为，则有：，进而即可得到点K的坐标；
（2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，结合题意即可求出CE的长度，进而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出其解析式；
②设新的着陆点为Q，联立一次函数和二次函数即可得到点Q的坐标，进而利用勾股定理求出CQ的距离，进而即可求解.
13．【答案】（1）①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米
（2）水线的最大高度是米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
14．【答案】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后根据“ 购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元 ”列二元一次方程组即可解题；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先根据利润=单利润×销售量列函数关系式，然后根据二次函数的性质求最值解题．
15．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．
（2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．
∵OE⊥AB
∴BD= AB= ×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
16．【答案】（1）解：∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°-∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE-∠D'BE＝108°-72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D转动到点D′的路径长为 ＝ π（cm）；
（2）解：过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图：
Rt△BDG中，DG＝BD sin36°≈6×0.59＝3.54（cm），
Rt△BEH中，HE＝BE sin72°≈4×0.95＝3.80（cm），
∴DG+HE＝3.54cm+3.80cm＝7.34m≈7.3cm，
∵BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，
答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠D′BE的度数，根据∠DBD'＝∠DBE-∠D'BE，代入计算求出∠DBD′的度数，然后利用弧长公式，可求出点D转动到点D′的路径长.
（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，在Rt△BDG和Rt△BEH中，利用解直角三角形分别求出DG，HE的长，再求出DG+HE的值，即可得到点D到直线EF的距离.
17．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，设圆O的半径长为x，
∵AB⊥CD，
∴AP=BP=5寸，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在Rt△AOP中，x2-（x-1）2=52，
解得x=13，
∴CD=26寸．
故选：C．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=BP，设出圆的半径为x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可解题．
18．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，
∴使得小灯泡能正常工作的概率为
故选： D.
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能正常工作的结果有4种，再由概率公式求解即可.
20．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图， MN⊥AB， MN过圆心O， 连接OD，OB，
∴MN =3.5cm，
∵CD∥AB， 纸条的宽为3.5cm， AB =3cm，CD=4cm，
∴MN⊥CD，
设OM = xcm，
∴ON =MN-OM = (3.5-x) cm，
∴x=1.5，
∴OM =1.5( cm)，
( cm)
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).
故答案为：B.
【分析】由垂径定理求出BN， DM的长， 设OM =x， 由勾股定理得到 求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长.
21．【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12）
∵抛物线与x轴交于点A（-4，0）、点B（4，0）
设抛物线y=a（x+4）(x-4)(a≠0）
且过点D（2，-12）
∴a=1
∴抛物线y=（x+4）(x-4)
即y=x2-16
故A正确，不符合题意
如图，过点P作PM⊥y轴于点M，BP交y轴于点N
∵∠ABP=45°
∴∠ONB=45°
∴ON=OB=4
∴直线PB：y=x-4
故B正确，不符合题意
令x2-16=x-4
即x2-x-12=0
∴x1=-3，x2=4(舍去）
∴点P（-3，-7）
∴ 点到杯口AB的距离为7
故C错误，符合题意
∴DP=
故D正确，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据题意易得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12），易得抛物线解析式为y=x2-16，根据∠ABP=45°易得BP与y轴交于点（0，-4）即可得直线BP的解析式，联立直线与抛物线即可得点P的坐标，再根据点P的坐标易得点P到y轴（杯口AB）的距离，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式可得PD的距离即可判断.
22．【答案】D
【知识点】最简二次根式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据二次函数的顶点坐标公式求得和，然后根据求比值即可．
23．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：，
估计不规则图案的面积约为．
故选：B．
【分析】根据折线图可知，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率公式列方程解题即可．
24．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连结CD．
∵OC=OD，∠O=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD=OD=3cm．
∵AC=BD=12cm，
∴OA=OB=15cm，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=-=36π(cm2)．
故答案为：C.
【分析】先证得△COD是等边三角形，即可得出OC，OD的长度，再根据S阴影=S扇形AOB-S扇形COD，求解即可.
25．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA=∠AEG=90，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴，
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA= 3.5里，EA=4.5里，
∴，
解得：FH=1.05里；
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可.
26．【答案】5.4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： ∵落在白色区域的频率稳定在0.4左右 ，
∴点落入黑色部分的频率为1-0.4=0.6，
∴黑色部分的面积为9×0.6=5.4（cm2）
故答案为：5.4.
【分析】先求出黑色部分，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.
27．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
28．【答案】16；
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1中，当PC∥OA时，
图1
∵PC∥OA
∴∠OAP=∠APC=60°，
∵OA=OB，
∴是等边三角形，
∴OA=AB=2PC=2×8=16(cm)，
如图2中，OB=16cm，PC=PB=PA=8cm，
图2
当OC⊥AB时，CD最大，此时OP=cm，PD=OD-OP=(16-)cm，
∴CD=PC-PD=8-(16-)=(-8)cm
故答案为：16，(-8).
【分析】本题考查简单的几何三视图，垂径定理，勾股定理以及三角形的性质，利用旋转60°时PC∥OA，从而证明是等边三角形，由此即可得到OA=AB=16cm，在图2中当OC⊥AB时，CD最大，故求出CD即可.
29．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
30．【答案】
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图，以所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
由题意可知，
设抛物线的解析式为，
把代入，得：
解得，
∴所求的抛物线的解析式是，
当时，，
解得，
∴则m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】建立如图的坐标系，则抛物线上两点坐标为，然后利用待定系数法求得，然后令即可求得m的值，再根据函数的性质得到m的取值范围即可．
31．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点F为坐标原点，MN为x轴，GF为y轴，建立平面直角坐标系如下，
设点E的坐标为（0，c）
设函数解析式为y=ax2+c，
∵CD=12，EG=8，
∴点C（6，8+c）点Q（x，4+c）
解之：
∴
∴.
故答案为：.
（2） 把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，
∴CH与水平面成45°角，设CH的函数解析式为y=x+m，
∵点C（6，8+c），
∴8+c=6+m，
解之：m=2+c，
∴y=x+2+c，
∴，
整理得2x2-9x-18=0
解之：x1=-1.5，x2=6，
∴，
∵CH与x轴的夹角为45°，
∴
故答案为：.
【分析】（1）以点F为坐标原点，MN为x轴，GF为y轴，建立平面直角坐标系如下，设点E的坐标为（0，c），设函数解析式为y=ax2+c，利用CD和EG的长，可得到点C，Q的坐标，将点C，Q代入函数解析式，可得到方程组，解方程组求出a，x的值，可得到二次函数解析式，由此可求出PQ的长.
（2）利用已知可得到CH与水平面成45°角，设CH的函数解析式为y=x+m，将点C的坐标代入一次函数解析式，可求出m的值，可得到一次函数解析式，将其与二次函数联立方程组，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出的值；然后根据CH与x轴的夹角为45°，可求出CH的长.
32．【答案】m2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，扇形FBG和扇形GCH为羊活动的区域．S扇形FBG==12π(m2)，
S扇形GCH==(m2)，
∴这只羊活动区域的最大面积为12π+=(m2)．
故答案为：m2.
【分析】根据题意得出羊活动区域的最大面积为扇形FBG和扇形GCH，根据扇形的面积公式计算即可.
33．【答案】（1）解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为，
∴A为抛物线的顶点，
∴设抛物线的解析式为：
∵抛物线过点
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，
∴令则
∴
（2）解：∵E（﹣1，﹣10），运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，
∴当x＝3时，y＝﹣9+×3＝﹣，
∴运动员此时距离水面10﹣＝＞5，
∴运动员此次跳水不会失误
（3）解：∵∴∵入水点为，∴①当抛物线经过点M时，∴②当抛物线经过点N时，∴∵该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），∴k的取值范围是：，故答案为：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到A为抛物线的顶点，则利用顶点式设抛物线的解析式为：进而利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，最后令求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）根据题意得到调整点的坐标为，即可求出此时运动员此时距离水面的高度，然后与5进行比较即可；
（3）根据题意得到点M、N的坐标，然后根据入水点的坐标得到：分两种情况，①当抛物线经过点M时，②当抛物线经过点N时，分别计算出k的值即可.
34．【答案】（1）；20
（2）解：圆形团扇的半径为，
圆形团扇的周长为：，
正方形团扇的边长为，
正方形团扇的周长为：，
，
圆形团扇所用的包边长度更短.
【知识点】无理数的大小比较；扇形面积的计算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：，
正方形团扇的边长为：，
故答案为：，20；
【分析】（1）根据圆的面积计算公式及正方形的面积计算公式计算即可；
（2）根据圆的周长公式及正方形的周长公式计算后再比大小即可.
35．【答案】（1）解：，，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
答：古树的高度为13.5米；
（2）解：，，
△△，
，
，
，
，
答：小丽向前移动了7米．
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
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