射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
一、射影定理模型（双垂直模型）
1．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是边上一点，连接，记面积为，面积为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠DEF=90°，
∴∠AEG=90°，
∵，，
∴，
∵EG=BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】由“射影相似模型”证出，从而根据相似三角形对应边成比例的性质得，即，然后根据正方形的性质求出CD=DE，∠AEG=90°，接下来利用三角形面积，进行等量代换后得，从而有，即可求出DE=CD的长.
2．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则= .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
3．（2024九上·杭州期中）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝ ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝，
∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD＋∠DGF＝180°，
∵∠FGA＋∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
故答案为：．
【分析】连接CF、FG，由已知可得 结合，可计算 再证明 从而可知 求出AG，即可由 解题.
4．（2024八下·长春净月高新技术产业开发期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）求证：．
（2）求长度．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，BC=1，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠HDC，再结合∠CBD=∠A，可得，即可证明；
（2）根据得到，由相似三角形的性质可得，于是可计算出BH的长；再结合，根据相似三角形的性质即可求出DH的长.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
5．（2024·杭州模拟）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连结，.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以，
所以，当时，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然，当时，显然，
则，即CD平分，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则，解得.
（3）解：①根据相似于可得，即
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且，则相似于，可得，又由①中，得：，即，解得，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
【知识点】切线长定理；定角定弦辅助圆模型；射影定理模型（双垂直模型）；圆的对称性
【解析】【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；
（2）由切线长连接CD，结合对称性，即若CE=CF，此时点D在已知定△ABC中的∠ACB的角平分线上，可以通过勾股定理算出斜边BC，并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可；
（3）①由切线长推出CD经过PQ中点M，此时PQ垂直平分CD，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证；
②利用①的结论即在Rt△CPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定值，∠CME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.
二、母子相似模型（公共边公共角）
6．（2024九上·合浦期中）如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC= ．
【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=∠B=30°，
又∵AD⊥AC，AD=3
∴∠DAC=90°，CD=6，∠ADC=60°
∴∠DAB=∠ADC-∠B=30°=∠B=∠C
勾股定理得AC=AB=3，
由图可知△ABD∽△BCA，
∴
∴BC=9
故答案为：9
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠C=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CD=6，由勾股定理可得AC=AB=3，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
8．（2023九上·义乌月考）如图，D为△ABC边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，BD＝2，AD＝4，则AC＝ ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴．
即，
∴．
故答案为：.
【分析】由两角相等，可证明，则，即得出，计算求解即可．
9．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
【知识点】解分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明即可求解；
（2）根据两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例得到，代入数值计算即可.
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
10．（2024九上·西湖期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
【答案】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得到 解题．
11．（2024九下·广州月考）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为( 3，4)，点B的坐标为(6，n)．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（-3，4）代入y=，得m=-3×4=-12，
∴反比例函数的解析式为y=-；
将B（6，n）代入y=-，得6n=-12，
解得n=-2，
∴B（6，-2），
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y=-x+2；
（2）解：当y=0时，-x+2=0，
解得：x=3，
∴C（3，0），
∴S△AOC=×3×4=6，S△BOC=×3×2=3，
∴S△AOB=6+3=9；
（3）解：存在．
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，
∴∠AP1C=90°，
∵A点坐标为（-3，4），
∴P1点的坐标为（-3，0）；
∵∠P2AC=90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°，
∴∠AP2P1=∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴，即，
∴P1P2=，
∴OP2=3+=，
∴P2点的坐标为（-，0），
∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-，0）．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；直角三角形的性质；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求出C点坐标，将△AOB分成△AOC和△BOC，分别表示表示，即可求解；
（3）根据题意，若△APC是直角三角形，则分别以A、P为直角顶点，分情况计算即可.过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，当P为直角顶点时，根据AP1⊥x轴，即可得到点P1坐标；当A为直角顶点时，证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似三角形的性质即可得到点P2坐标.
12．（2024九上·拱墅期中）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）
（3）解：①∵，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，
四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；四点共圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，，
四点共圆，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解．
三、梅涅劳斯定理、飞鱼相似模型
13．（2024九上·瑞安期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：．
（3）求证：．
【答案】（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，再根据可得，然后利用直径所对圆周角是直角解得；
（2）先得到，即可得到，然后证明，即可得到结论；
（3）先证明，得到，然后结合，即可得到结论．
（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
14．（2024八上·深圳期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，AD＝，
∴利用勾股定理，得AC＝，
∵∠MDN是由∠MAN折叠得到的，
∴∠MDN＝∠MAN，MA＝MD，
∵∠BDM＝∠NDM，
∴∠BDM＝∠MAN，
∵∠AMD＝∠ACD＝90°，
∴MD2＋MA2＝AD2，即2MD2＝AD2，
∴MD＝AD，
∵AD＝，
∴MD＝AD＝×=，
∵∠BDM＝∠BAC，∠DBM＝∠ABC，
∴△BDM∽△BAC，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理及等量代换可得MD＝AD，再求出MD＝AD＝×=，再证出△BDM∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，从而得解.
15．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（ ）
A．60 B．120 C．50 D．100
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
四、三角形内接矩形相似
16．（2022九上·南山期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 m．
【答案】0.48
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设与的交点为，如下图：
设，则，
由题意可得，，
∴，
∴，即
解得，即
故答案为：0.48．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值即可。
17．（2024九上·瑞安期末）有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）当时，求加工成的矩形零件的周长．
【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
【知识点】函数自变量的取值范围；矩形的性质；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）先证明，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比得到，代入数值化简即可；
（2）把代入求出x的值，进一步求得y，利用周长公式即可解题．
（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
1 / 1射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练
一、射影定理模型（双垂直模型）
1．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，于点，正方形的顶点在线段上，是边上一点，连接，记面积为，面积为，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·福田期中）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为 D，AE平分∠BAC，分别交 BD，BC于点 F，E．若 AB：BC＝3：4，则= .
3．（2024九上·杭州期中）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝ ．
4．（2024八下·长春净月高新技术产业开发期中）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．
（1）求证：．
（2）求长度．
5．（2024·杭州模拟）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.
（1）当时，求劣弧PQ的度数；
（2）当时，求AD的长；
（3）连结，.
①证明：.
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.
二、母子相似模型（公共边公共角）
6．（2024九上·合浦期中）如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC= ．
7．（2024九上·浙江期中）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．
8．（2023九上·义乌月考）如图，D为△ABC边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，BD＝2，AD＝4，则AC＝ ．
9．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
10．（2024九上·西湖期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC=， AC=3，求CD的长．
11．（2024九下·广州月考）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为( 3，4)，点B的坐标为(6，n)．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024九上·拱墅期中）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
三、梅涅劳斯定理、飞鱼相似模型
13．（2024九上·瑞安期末）如图，在圆内接中，，弦，延长至点E，延长至点F，连接，使，延长交于点G，使，延长交于点H．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：．
（3）求证：．
14．（2024八上·深圳期中）如图，在中，，点，分别在，边上，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上，且，连接，若，，则 .
15．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（ ）
A．60 B．120 C．50 D．100
四、三角形内接矩形相似
16．（2022九上·南山期末）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是 m．
17．（2024九上·瑞安期末）有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
（2）当时，求加工成的矩形零件的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；射影定理模型（双垂直模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=DE，∠DEF=90°，
∴∠AEG=90°，
∵，，
∴，
∵EG=BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】由“射影相似模型”证出，从而根据相似三角形对应边成比例的性质得，即，然后根据正方形的性质求出CD=DE，∠AEG=90°，接下来利用三角形面积，进行等量代换后得，从而有，即可求出DE=CD的长.
2．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，则AC＝＝5x，再证出△ABD∽△ACB，可得，将数据代入求出AD＝，再证出△ABE∽△ADF，可得，再将数据代入求出即可.
3．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝，
∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD＋∠DGF＝180°，
∵∠FGA＋∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝，
故答案为：．
【分析】连接CF、FG，由已知可得 结合，可计算 再证明 从而可知 求出AG，即可由 解题.
4．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，BC=1，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠HDC，再结合∠CBD=∠A，可得，即可证明；
（2）根据得到，由相似三角形的性质可得，于是可计算出BH的长；再结合，根据相似三角形的性质即可求出DH的长.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
答：的长度为．
5．【答案】（1）解：如图，连结CP、CQ.
因为DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，所以，
所以，当时，则弧PQ为130°
.
（2）解：连结CD，显然，当时，显然，
则，即CD平分，过点D作DG垂直BC于点G，则AD=AG，
则，解得.
（3）解：①根据相似于可得，即
②由（2）可得，C、D、M三点共线，且，则相似于，可得，又由①中，得：，即，解得，所以点M在以CE为直径的圆上运动，取CE的中点H，当B、M、H三点共线时，BM最短，此时最小值为6.
【知识点】切线长定理；定角定弦辅助圆模型；射影定理模型（双垂直模型）；圆的对称性
【解析】【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可；
（2）由切线长连接CD，结合对称性，即若CE=CF，此时点D在已知定△ABC中的∠ACB的角平分线上，可以通过勾股定理算出斜边BC，并利用角平分线的性质作垂结合等积求出AD即可；
（3）①由切线长推出CD经过PQ中点M，此时PQ垂直平分CD，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证；
②利用①的结论即在Rt△CPD中典型的射影定理进行推理计算，找出动态变化中的不变量，即CE为定值，∠CME为定角，从而得出M的运动轨迹为圆，进而分析出其最值即可.
6．【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=∠B=30°，
又∵AD⊥AC，AD=3
∴∠DAC=90°，CD=6，∠ADC=60°
∴∠DAB=∠ADC-∠B=30°=∠B=∠C
勾股定理得AC=AB=3，
由图可知△ABD∽△BCA，
∴
∴BC=9
故答案为：9
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠C=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得CD=6，由勾股定理可得AC=AB=3，再根据相似三角形性质即可求出答案.
7．【答案】（1）证明：
（2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°－20°－40°＝120°，
∵∠ABD＝∠C＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝120°－40°＝80°．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证明即可解题；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝120°，然后根据∠ABD＝∠C＝40°即可解题．
8．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴．
即，
∴．
故答案为：.
【分析】由两角相等，可证明，则，即得出，计算求解即可．
9．【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
【知识点】解分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明即可求解；
（2）根据两角相等的两个三角形相似得到，再根据对应边成比例得到，代入数值计算即可.
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ，
∴，
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
10．【答案】证明：（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴CD=2
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得到 解题．
11．【答案】（1）解：将A（-3，4）代入y=，得m=-3×4=-12，
∴反比例函数的解析式为y=-；
将B（6，n）代入y=-，得6n=-12，
解得n=-2，
∴B（6，-2），
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得
，
解得，
∴所求的一次函数的解析式为y=-x+2；
（2）解：当y=0时，-x+2=0，
解得：x=3，
∴C（3，0），
∴S△AOC=×3×4=6，S△BOC=×3×2=3，
∴S△AOB=6+3=9；
（3）解：存在．
过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，如图，
∴∠AP1C=90°，
∵A点坐标为（-3，4），
∴P1点的坐标为（-3，0）；
∵∠P2AC=90°，
∴∠P2AP1+∠P1AC=90°，而∠AP2P1+∠P2AP1=90°，
∴∠AP2P1=∠P1AC，
∴Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，
∴，即，
∴P1P2=，
∴OP2=3+=，
∴P2点的坐标为（-，0），
∴满足条件的P点坐标为（-3，0）、（-，0）．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；直角三角形的性质；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求出C点坐标，将△AOB分成△AOC和△BOC，分别表示表示，即可求解；
（3）根据题意，若△APC是直角三角形，则分别以A、P为直角顶点，分情况计算即可.过A点作AP1⊥x轴于P1，AP2⊥AC交x轴于P2，当P为直角顶点时，根据AP1⊥x轴，即可得到点P1坐标；当A为直角顶点时，证明Rt△AP2P1∽Rt△CAP1，利用相似三角形的性质即可得到点P2坐标.
12．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）
（3）解：①∵，
，
点与点关于对称，
，
，
四点共圆；
②，理由如下，
如图，
四点共圆，
，
关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；四点共圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点，，，四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）在线段同侧有两点，，
四点共圆，
故答案为：；
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解．
13．【答案】（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补得到，再根据可得，然后利用直径所对圆周角是直角解得；
（2）先得到，即可得到，然后证明，即可得到结论；
（3）先证明，得到，然后结合，即可得到结论．
（1）解：连接，
∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，AD＝，
∴利用勾股定理，得AC＝，
∵∠MDN是由∠MAN折叠得到的，
∴∠MDN＝∠MAN，MA＝MD，
∵∠BDM＝∠NDM，
∴∠BDM＝∠MAN，
∵∠AMD＝∠ACD＝90°，
∴MD2＋MA2＝AD2，即2MD2＝AD2，
∴MD＝AD，
∵AD＝，
∴MD＝AD＝×=，
∵∠BDM＝∠BAC，∠DBM＝∠ABC，
∴△BDM∽△BAC，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理及等量代换可得MD＝AD，再求出MD＝AD＝×=，再证出△BDM∽△BAC，利用相似三角形的性质可得，从而得解.
15．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
16．【答案】0.48
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设与的交点为，如下图：
设，则，
由题意可得，，
∴，
∴，即
解得，即
故答案为：0.48．
【分析】设，则，，先证明，可得，即，再求出x的值即可。
17．【答案】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
【知识点】函数自变量的取值范围；矩形的性质；相似三角形的应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【分析】（1）先证明，然后根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比得到，代入数值化简即可；
（2）把代入求出x的值，进一步求得y，利用周长公式即可解题．
（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
1 / 1
