垂径定理—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·杭州期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．6 B．16 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，且，
∴，
∵
∴
在中，，
∴．
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得出CD=2DE，再利用勾股定理得到DE的长即可解题．
2．（2024九上·杭州月考）如图，小明用直角三角板测算圆的半径，已知在中，，测得，则该圆形的半径为（ ）
A． B．5cm C．6cm D．10cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作EF的垂直平分线交EF于点M，作PQ的垂直平分线交PQ于点N，两直线交于点O，则O是圆心，连接OQ，
即
∴四边形ANOM是矩形，
故答案为：B.
【分析】作EF的垂直平分线交EF于点M，作PQ的垂直平分线交PQ于点N，两直线交于点O，则O是圆心，连接OQ，先根据垂径定理得到 然后证明ANOM是矩形，即可求出 然后在 中运用勾股定理解题即可4cm，
3．（2024九上·鄞州期中）如图，的半径为5；M县圆外一点，交于点A，B，则弦AB的长为（ ）.
A．4 B．6 C． D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA=90°，
∵MO=6，∠OMA=30°，
∴，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：，
∵OC⊥AB，
∴BC =AC，
∴AB=2AC=2×4=8，
故答案为：D.
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB=2AC，最后求出答案即可.
4．（2024九上·宁波期中）如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70° B．80° C．75° D．60°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出的度数，利用互余得出的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可．
5．（2024九上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点.
（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为
（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为 ，此时点A旋转到点D所经过的路径长为 （结果保留r）.
【答案】（1）(2，0)
（2）(4，0)；
【知识点】垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
(1) 根据图中的数据分析可得：
点M坐标为(2，0)，
故答案为： (2，0)；
(2)点A绕点B逆时针旋转 后的点D的坐标为(4，0)，
此时点A旋转到点D所经过的路径长为
故答案为： (4，0)， .
【分析】(1)根据垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M；
(2)根据旋转的性质以及周长公式可得点A旋转到点D所经过的路径长.
6．（2024九上·余杭期中）如图，在半圆中，直径，半圆上一点于点，若，则CD的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
由直径可得，
由 可得，
∵
∴
由勾股定理可得：，
故答案为：.
【分析】连接，求出线段的长度，再根据勾股定理求解即可.
7．（2023九上·安吉期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧的中点；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据平行线得到，然后利用垂径定理即可得到结论；
（2）先利用垂径定理可得，然后在中运用勾股定理解题．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
8．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=10，AC=6．
（1）尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧BC；
（2）在（1）的基础上，在图2中连接CD，求CD的长．
【答案】（1）解：如图，点D即为所求，
（2）解：如图，连接 BC，OD 相交于点 E
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°
∵点 D 是弧 BC 的中点
∴OD⊥BC，且 OD 平分 BC
， 且 OE 是 的中位线
.
在 Rt 中，
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)直接作OD⊥BC，结合垂径定理得D为所求；
(2)由勾股定理可直接得BC=8，OE为中位线，即可得OE=3，求出DE和CE的长，由勾股定理即得CD的长.
9．（2024九上·杭州月考）如图所示，AB是的的直径，AD是弦，于点.
（1）求证：.
（2）若，求AD的长度.
【答案】（1）证明：因为AB为的直径，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，
所以，
所以，
令，
则.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到∠D=90°，即可得到∠A+∠ABD=90°，然后等量代换得到∠OBC=90°即可；
（2）根据垂径定理得到AD=OE，设OE=x，然后得到EC=3x=10，求出x即可解题.
10．（2024九上·鄞州期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为4cm.
（1）求这个圆形截面的半径.
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：过点作于，交于，连接OB，
由题意可知，，设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即
解得：x=8，
答：这个圆形截面的半径为8cm
（2）解：
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)过点O作AB的垂线交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA、OB.设OA=OD=r，根据垂径定理和勾股定理计算即可；
(2)利用三角函数求出∠AOC的度数，从而求出∠AOB的度数，再利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形AOB的面积-三角形AOB的面积”计算即可.
11．（2024九上·温州期中）如图，AB是直径，弦于点，过点作DB的乘线，交AB的延长线于点，垂足为点，连结AC
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG
（2）解：如图，连结OC，设⊙O的半径为r．则AG＝OA＋OG＝r＋5，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE－OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2＋EC2，
∴r2＝＋（）2，
解得r1＝3，r2＝－（舍去），
∴⊙O的半径为3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出∠DEB＝∠BFG＝90°，故而得出∠D＝∠G，再根据圆周角定理可知∠A＝∠D，由此可知∠A＝∠G，进而证明AC＝CG；
（2）连结OC，设⊙O的半径为r，则AG＝OA＋OG＝r＋5，根据等腰三角形的性质即可得出AE＝EG＝，再根据垂径定理可得EC＝ED＝4，再根据勾股定理计算出r的值，即可得到半径.
12．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
【答案】（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出，则，结合圆周角定理，即可求解．
二、能力提升
13．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
14．（2024九上·杭州期中）已知⊙O为ΔABC的外接圆，AB=BC.过A作CO的垂线交CO延长线于点D，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；垂径定理
【解析】【解答】解：
如图， 延长AD、CD， 交⊙O分别为E、F，
不一定等于
∴∠BCA不一定等于∠DCA，
故A选项不符合题意；
∵AB=BC，
∵AD⊥CD，
∴∠DAC=2∠BAC， 故B选项符合题意；
不一定等于
∴ AB与2AD无法比较大小，故C选项不符合题意；
∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，根据勾股定理可得
∵AB=BC， AC
∴AC<2AB，
即 故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】延长AD、CD， 交⊙O分别为E、F， 根据 不一定等于 判断A选项，根据 判断B选项，根据 不一定等于AE判断C选项，根据在Rt△ADC中根据勾股定理可得，在△ABC中根据三角形的三边关系可得AC<2AB， 等量代换判断D选项.
15．（2024九上·宁波期中）的半径为10cm，弦，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：(1)AB，CD在圆心的同侧如图 (一) ，
连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，根据垂径定理得
在 中，
由勾股定理得 ，
在 中，
则 ，
AB和CD的距离是( ，
(2)AB， CD在圆心的异侧如图 (二) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，
由勾股定理得 ，
在 中，
则
AB和CD的距离是(
AB和CD的距离是2cm或14cm.
故答案为：C.
【分析】本题要分类讨论：(1) AB， CD在圆心的同侧如图 (一) ；(2) AB， CD在圆心的异侧如图 (二)；根据勾股定理和垂径定理求解.
16．（2024九上·余杭期中）如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H点，连接，如下图：
则，，
由题意可得，
则，
设，则，
在中，，
在中，，
则，
解得或（舍去）
即小圆的半径为，
故答案为：.
【分析】过O作于H点，连接，根据垂径定理可得，，设，则，分别在和利用勾股定理求得，求解即可.
17．（2024九上·杭州期中）已知的直径cm，CD是的弦，，垂足为点E，，垂足为点F，且cm，则的长为 cm．
【答案】6
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，
∴OH==3（cm），
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OH∥BF，
∵OA=OB，
∴EH=FH，
∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，
∴△AEH≌△KFH（AAS），
∴AH=HK，
∵AO=OB，
∴OH=BK，
∴BK=6（cm），
∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．
故答案为：6．
【分析】作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．利用勾股定理求出OH，然后利用AAS证明△AEH≌△KFH，AE=FK，再根据三角形的中位线定理解题即可．
18．（2024九上·杭州期中）如图1，AB是的直径，点为AB下方上一点.点为的中点，连结CD，CA，AD
（1）求证：OC平分.
（2）如图2，延长AC，DB相交于点.
①求证：.
②若，求的半径.
【答案】（1）证明： ∵点C为 的中点，
∴AC=DC， OC⊥AD，
∴OC平分∠ACD.
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BE⊥AD，
∵OC⊥AD， BE⊥AD，
∴OC∥BE.
②如图2， 连结BC， 则∠ACB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC∥BE，
∴∠OCA=∠E，
∴∠OAC=∠E，
∴EB=AB，
∵BC⊥AE，
设⊙O的半径为r，则.
整理得
解得 (不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径长为5.
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由点C为 的中点，得 所以AC=DC， 由垂径定理得OC⊥AD， 即可根据等腰三角形的“三线合一”证明OC平分∠ACD；
(2)由AB是⊙O的直径， 得∠ADB = 90°， 由OC⊥AD， BE⊥AD， 得OC∥BE；
②连结BC， 则∠ACB=90°， 由OC =OA，∠OAC =∠OCA， 由平行线的性质得∠OCA=∠E， 则∠OAC=∠E， 所以EB=AB， 而BC⊥AE， 则( 所以 设⊙O的半径为r， 则EB = AB =2r，DE=6+2r，由勾股定理得 求出符合题意的r值即可.
三、拓展创新
19．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），CD与EE是过点P的两条弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求证：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；
（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．
【答案】（1）证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接
则，
∵，则，
∴
∴
又∵
∴平分；
（2）解：如上图，由（1）可得，
∴为等腰直角三角形，则，
∵，则
∴，则，
∴，
则；
（3）解：
的值不变，为，理由：
证明：由（1）可知，，设圆O的半径为r，
过O作，则为等腰直角三角形，则，，
在中，，
则
而，
∴.
【知识点】垂径定理；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）证明，即可求解；
（2）证明为等腰直角三角形，则，则，即可求解；
（3）由，即可求解.
1 / 1垂径定理—浙教版数学九（上）知识点训练
一、基础夯实
1．（2024九上·杭州期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．6 B．16 C．8 D．12
2．（2024九上·杭州月考）如图，小明用直角三角板测算圆的半径，已知在中，，测得，则该圆形的半径为（ ）
A． B．5cm C．6cm D．10cm
3．（2024九上·鄞州期中）如图，的半径为5；M县圆外一点，交于点A，B，则弦AB的长为（ ）.
A．4 B．6 C． D．8
4．（2024九上·宁波期中）如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70° B．80° C．75° D．60°
5．（2024九上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点.
（1）经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为
（2）点A绕点B逆时针旋转90°后的点D的坐标为 ，此时点A旋转到点D所经过的路径长为 （结果保留r）.
6．（2024九上·余杭期中）如图，在半圆中，直径，半圆上一点于点，若，则CD的长是 .
7．（2023九上·安吉期中）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧的中点；
（2）若，，求的直径．
8．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=10，AC=6．
（1）尺规作图：在图1中确定一点D，使其平分弧BC；
（2）在（1）的基础上，在图2中连接CD，求CD的长．
9．（2024九上·杭州月考）如图所示，AB是的的直径，AD是弦，于点.
（1）求证：.
（2）若，求AD的长度.
10．（2024九上·鄞州期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽，水最深的地方的高度为4cm.
（1）求这个圆形截面的半径.
（2）求图中阴影部分的面积.
11．（2024九上·温州期中）如图，AB是直径，弦于点，过点作DB的乘线，交AB的延长线于点，垂足为点，连结AC
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
12．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
二、能力提升
13．（2024九上·拱墅期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
14．（2024九上·杭州期中）已知⊙O为ΔABC的外接圆，AB=BC.过A作CO的垂线交CO延长线于点D，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024九上·宁波期中）的半径为10cm，弦，则AB和CD的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
16．（2024九上·余杭期中）如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦AB和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是 .
17．（2024九上·杭州期中）已知的直径cm，CD是的弦，，垂足为点E，，垂足为点F，且cm，则的长为 cm．
18．（2024九上·杭州期中）如图1，AB是的直径，点为AB下方上一点.点为的中点，连结CD，CA，AD
（1）求证：OC平分.
（2）如图2，延长AC，DB相交于点.
①求证：.
②若，求的半径.
三、拓展创新
19．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点（点P不与A、B重合），CD与EE是过点P的两条弦，且CD＝EF，CD⊥EF．
（1）求证：PB平分∠FPD；
（2）若PE＝3，PF＝5，求AB的长；
（3）求证：当点P在AB上运动时，的值不变，并求出这个定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，且，
∴，
∵
∴
在中，，
∴．
故选：B．
【分析】先根据垂径定理得出CD=2DE，再利用勾股定理得到DE的长即可解题．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作EF的垂直平分线交EF于点M，作PQ的垂直平分线交PQ于点N，两直线交于点O，则O是圆心，连接OQ，
即
∴四边形ANOM是矩形，
故答案为：B.
【分析】作EF的垂直平分线交EF于点M，作PQ的垂直平分线交PQ于点N，两直线交于点O，则O是圆心，连接OQ，先根据垂径定理得到 然后证明ANOM是矩形，即可求出 然后在 中运用勾股定理解题即可4cm，
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA=90°，
∵MO=6，∠OMA=30°，
∴，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：，
∵OC⊥AB，
∴BC =AC，
∴AB=2AC=2×4=8，
故答案为：D.
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB=2AC，最后求出答案即可.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出的度数，利用互余得出的度数，进而利用垂径定理和圆周角定理解答即可．
5．【答案】（1）(2，0)
（2）(4，0)；
【知识点】垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：
(1) 根据图中的数据分析可得：
点M坐标为(2，0)，
故答案为： (2，0)；
(2)点A绕点B逆时针旋转 后的点D的坐标为(4，0)，
此时点A旋转到点D所经过的路径长为
故答案为： (4，0)， .
【分析】(1)根据垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M；
(2)根据旋转的性质以及周长公式可得点A旋转到点D所经过的路径长.
6．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
由直径可得，
由 可得，
∵
∴
由勾股定理可得：，
故答案为：.
【分析】连接，求出线段的长度，再根据勾股定理求解即可.
7．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据平行线得到，然后利用垂径定理即可得到结论；
（2）先利用垂径定理可得，然后在中运用勾股定理解题．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
8．【答案】（1）解：如图，点D即为所求，
（2）解：如图，连接 BC，OD 相交于点 E
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°
∵点 D 是弧 BC 的中点
∴OD⊥BC，且 OD 平分 BC
， 且 OE 是 的中位线
.
在 Rt 中，
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)直接作OD⊥BC，结合垂径定理得D为所求；
(2)由勾股定理可直接得BC=8，OE为中位线，即可得OE=3，求出DE和CE的长，由勾股定理即得CD的长.
9．【答案】（1）证明：因为AB为的直径，
所以，
又因为，
所以.
（2）解：因为，
所以，
所以，
令，
则.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到∠D=90°，即可得到∠A+∠ABD=90°，然后等量代换得到∠OBC=90°即可；
（2）根据垂径定理得到AD=OE，设OE=x，然后得到EC=3x=10，求出x即可解题.
10．【答案】（1）解：过点作于，交于，连接OB，
由题意可知，，设圆的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即
解得：x=8，
答：这个圆形截面的半径为8cm
（2）解：
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)过点O作AB的垂线交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA、OB.设OA=OD=r，根据垂径定理和勾股定理计算即可；
(2)利用三角函数求出∠AOC的度数，从而求出∠AOB的度数，再利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形AOB的面积-三角形AOB的面积”计算即可.
11．【答案】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG
（2）解：如图，连结OC，设⊙O的半径为r．则AG＝OA＋OG＝r＋5，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE－OA＝，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2＋EC2，
∴r2＝＋（）2，
解得r1＝3，r2＝－（舍去），
∴⊙O的半径为3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得出∠DEB＝∠BFG＝90°，故而得出∠D＝∠G，再根据圆周角定理可知∠A＝∠D，由此可知∠A＝∠G，进而证明AC＝CG；
（2）连结OC，设⊙O的半径为r，则AG＝OA＋OG＝r＋5，根据等腰三角形的性质即可得出AE＝EG＝，再根据垂径定理可得EC＝ED＝4，再根据勾股定理计算出r的值，即可得到半径.
12．【答案】（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出，则，结合圆周角定理，即可求解．
13．【答案】B
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
设⊙O的半径为r，则，，
∵，
∴，，
∵AC是⊙O的直径，，，
∴，
在中， ，即，
解得，
∴， ， ，
在和中，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，先利用垂径定理、勾股定理求出r的值，再根据线段的和差求出CE的长，根据勾股定理可求出BC的长，然后利用相似三角形的判定与性质即可求得OF的长度．
14．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；垂径定理
【解析】【解答】解：
如图， 延长AD、CD， 交⊙O分别为E、F，
不一定等于
∴∠BCA不一定等于∠DCA，
故A选项不符合题意；
∵AB=BC，
∵AD⊥CD，
∴∠DAC=2∠BAC， 故B选项符合题意；
不一定等于
∴ AB与2AD无法比较大小，故C选项不符合题意；
∵AD⊥CD，
∴在Rt△ADC中，根据勾股定理可得
∵AB=BC， AC∴AC<2AB，
即 故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】延长AD、CD， 交⊙O分别为E、F， 根据 不一定等于 判断A选项，根据 判断B选项，根据 不一定等于AE判断C选项，根据在Rt△ADC中根据勾股定理可得，在△ABC中根据三角形的三边关系可得AC<2AB， 等量代换判断D选项.
15．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：(1)AB，CD在圆心的同侧如图 (一) ，
连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，根据垂径定理得
在 中，
由勾股定理得 ，
在 中，
则 ，
AB和CD的距离是( ，
(2)AB， CD在圆心的异侧如图 (二) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，
由勾股定理得 ，
在 中，
则
AB和CD的距离是(
AB和CD的距离是2cm或14cm.
故答案为：C.
【分析】本题要分类讨论：(1) AB， CD在圆心的同侧如图 (一) ；(2) AB， CD在圆心的异侧如图 (二)；根据勾股定理和垂径定理求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过O作于H点，连接，如下图：
则，，
由题意可得，
则，
设，则，
在中，，
在中，，
则，
解得或（舍去）
即小圆的半径为，
故答案为：.
【分析】过O作于H点，连接，根据垂径定理可得，，设，则，分别在和利用勾股定理求得，求解即可.
17．【答案】6
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，
∴OH==3（cm），
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OH∥BF，
∵OA=OB，
∴EH=FH，
∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，
∴△AEH≌△KFH（AAS），
∴AH=HK，
∵AO=OB，
∴OH=BK，
∴BK=6（cm），
∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．
故答案为：6．
【分析】作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．利用勾股定理求出OH，然后利用AAS证明△AEH≌△KFH，AE=FK，再根据三角形的中位线定理解题即可．
18．【答案】（1）证明： ∵点C为 的中点，
∴AC=DC， OC⊥AD，
∴OC平分∠ACD.
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BE⊥AD，
∵OC⊥AD， BE⊥AD，
∴OC∥BE.
②如图2， 连结BC， 则∠ACB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC∥BE，
∴∠OCA=∠E，
∴∠OAC=∠E，
∴EB=AB，
∵BC⊥AE，
设⊙O的半径为r，则.
整理得
解得 (不符合题意，舍去)，
∴⊙O的半径长为5.
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由点C为 的中点，得 所以AC=DC， 由垂径定理得OC⊥AD， 即可根据等腰三角形的“三线合一”证明OC平分∠ACD；
(2)由AB是⊙O的直径， 得∠ADB = 90°， 由OC⊥AD， BE⊥AD， 得OC∥BE；
②连结BC， 则∠ACB=90°， 由OC =OA，∠OAC =∠OCA， 由平行线的性质得∠OCA=∠E， 则∠OAC=∠E， 所以EB=AB， 而BC⊥AE， 则( 所以 设⊙O的半径为r， 则EB = AB =2r，DE=6+2r，由勾股定理得 求出符合题意的r值即可.
19．【答案】（1）证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接
则，
∵，则，
∴
∴
又∵
∴平分；
（2）解：如上图，由（1）可得，
∴为等腰直角三角形，则，
∵，则
∴，则，
∴，
则；
（3）解：
的值不变，为，理由：
证明：由（1）可知，，设圆O的半径为r，
过O作，则为等腰直角三角形，则，，
在中，，
则
而，
∴.
【知识点】垂径定理；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）证明，即可求解；
（2）证明为等腰直角三角形，则，则，即可求解；
（3）由，即可求解.
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