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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题3.1 投影七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 D．线段
【答案】C
【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A、B、D三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．
2．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，
∴小明的身高比小强高，
∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定，
∴无法判断谁的影子长．
3．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是
图形，
故选：B．
4．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（ ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】如图所示，根据题意可知，，
根据物高与影长的比相等，得，
解得，
∴．
所以树高为4米．
5．某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（ ）
A．5 B．20 C．40 D．8
【答案】B
【详解】解：设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得：
，
，
，
所以旗杆的高度为20米
6．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵太阳光线与地面成的角，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
7．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图
∵ ．
∴，，，
∵ ，
∴，
∴，即
∴，
故选：C．
8．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：一丈五尺等于15尺，五寸等于0.5尺，一尺五寸等于1.5尺，设竹竿长x尺，由题意，得：；
9．如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
【答案】C
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
10．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米，
树的高度是6米；
延长，交于点，
，
，
，
米，
米，
米，
线段的长度为，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．某一时刻，甲、乙两人并排站立在太阳光下，若两人的影长相等，则两人的身高 ．（填“相等”或“不相等”）
【答案】相等
【详解】解：某一时刻，甲、乙两人并排站立在太阳光下，当两人的影长相等，则两人的身高相等；
12．阳光下旗杆的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”）
【答案】平行
【详解】阳光下旗杆的影子属于平行投影．
13．在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 ．
【答案】60
【详解】解：设这栋楼的高度为，
根据题意有：，
解得：，
故这栋楼的高度为．
14．生活情境·白炽灯如图，在白炽灯下方有一个乒乓球，这个乒乓球在地面上的投影是 形，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上影子的变化情况为 （填“越小”“越大”或“不变”）．
【答案】 圆 越大
【详解】解：这个乒乓球在地面上的投影是圆形，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上影子的变化情况为越大
15．如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m．
【答案】5
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：5．
16．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．
【答案】3
【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N．
由题意得：四边形是矩形，
则，，，．
∵，
∴，
由平行投影可知：，即，解得：．
17．如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米．
【答案】
【详解】解：过点作，交于点，
设塔影留在坡面部分的塔高、塔影留在平地部分的塔高，则铁塔的高为，
∵，∴，
∵，点是的中点，∴，
∵，∴，∴∴铁塔的高度为．
故答案为：．
18．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米．
【答案】 10
【详解】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：10，．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图．
(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）；
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图，延长、，它们的交点为O点，再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子，所以即为所求；
（2）解：作交于E，交于F，如图，，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
答：路灯O与地面的距离为．
20．如图，晚上小丽由路灯走向路灯，当她行至点处时，发现她在路灯下的影长为，且影子的顶端恰好在点，接着她又走了至点处，此时她在路灯下的影子的顶端恰好在点，已知小丽的身高为，路灯的高度为小丽与路灯，在同一平面内
(1)请在图中画出路灯在位置灯下的影子；
(2)计算路灯的高度．
【答案】(1)见解析(2)路灯的高度为
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意知，，，，，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，即，
解得，
路灯的高度为．
21．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．
【答案】
【详解】解：如图，延长，相交于点，
∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，即，
∴，
∵，
∴树影长，
又∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，即，
∴，
答：树高为．
22．如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是．
(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
(2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）；
(3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图所示，线段即为所求；
（3）解：如图所示，过点P作交延长线于H，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴路灯的高度为．
23．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）
(1)标出王琳站在处在路灯下的影子；
(2)计算王琳站在处在路灯下的影长；
(3)计算路灯的高度．
【答案】(1)线段(2)米(3)米
【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子；
（2）根据题意知：，，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：王琳站在处在路灯下的影长为米；
（3）由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：路灯的高度为米．
24．坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量．
方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为．
方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为．
课题 测量春秋大鼎的高度
成员 组长：×××．组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，）
测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度
… … … … …
(1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到）
(2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度；
(3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可）
【答案】(1)5.50(2)春秋大鼎的高度约为(3)见解析
【详解】（1）解：设春秋大鼎的高度为，由题意得，
解得
故答案为：；
（2）解：如图，延长，交于点P．
∵，，，
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，．
设，则．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得．
答：春秋大鼎的高度约为；
（3）解：在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差．（答案不唯一）中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题3.1 投影七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 D．线段
2．在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长
B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
3．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
4．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（ ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（ ）
A．5 B．20 C．40 D．8
6．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问竿长几何？”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
10．马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．某一时刻，甲、乙两人并排站立在太阳光下，若两人的影长相等，则两人的身高 ．（填“相等”或“不相等”）
12．阳光下旗杆的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”）
13．在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为 ．
14．生活情境·白炽灯如图，在白炽灯下方有一个乒乓球，这个乒乓球在地面上的投影是 形，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上影子的变化情况为 （填“越小”“越大”或“不变”）．
15．如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m．
16．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．
17．如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米．
18．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图．
(1)请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）；
(2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离．
20．如图，晚上小丽由路灯走向路灯，当她行至点处时，发现她在路灯下的影长为，且影子的顶端恰好在点，接着她又走了至点处，此时她在路灯下的影子的顶端恰好在点，已知小丽的身高为，路灯的高度为小丽与路灯，在同一平面内
(1)请在图中画出路灯在位置灯下的影子；
(2)计算路灯的高度．
21．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．
22．如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是．
(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
(2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）；
(3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．
23．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米）
(1)标出王琳站在处在路灯下的影子；
(2)计算王琳站在处在路灯下的影长；
(3)计算路灯的高度．
24．坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量．
方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为．
方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为．
课题 测量春秋大鼎的高度
成员 组长：×××．组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，）
测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度
… … … … …
(1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到）
(2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度；
(3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可）
