【提高卷】浙教版（2024）七上 5.3 一元一次方程和它的解 同步练习
一、选择题
1．（2024七上·义乌月考）下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三.人出七，不足四，问人数、物价各几何 ”意思是：今有人合伙购物，若每人出8钱，则会多3钱；若每人出7 钱，则又差4钱，问人数、物价各是多少 设有x人，根据题意列方程得（ ）
A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4 C．8x+3=7x+4 D．8x-3=7x-4
3．下列方程变形正确的是（ ）
A．2x-5=5x+4变形为2x-5=5x+4-5x-4
B．x=2变形为
C．4x-8=0变形为
D．变形为3（x-1）-2=1
4．某同学解方程5x-1=□x+3时，把□处的系数看错得 他把□看成了（ ）
A．3 B．-9 C．8 D．-8
5．有下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0。其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（【全品】浙教版数学七年级上册第5章质量评估卷） 多项式 mx--n和-2mx+n(m，n为实数，且m≠0)的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程-mx+n=2mx--n的解是 （ ）
x 1 2 3 4
mx-n -2 -1 0 1
-2mx+n 1 -1 -3 -5
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
7． 已知 是关于x的一元一次方程，则k= （ ）
A．- 1 B．0 C．1 D．2
8．（2023七上·开江期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图1是某月的月历，用图2在月历中任意框出9个数，请你用一个等式表示a，b，c之间的关系： .
10．（2021七上·临汾期末）请写出一个解为x=-1的一元一次方程： ．
11． 有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球.已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“ ”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是 。（填序号）
12． 若x=3是关于x的方程 ax-2b=3的解，则6a-4b+2025的值为 。
三、解答题
13．利用等式的性质解下列方程：
（1）-5x=-15
（2）7x-6=8x
14． 关于x的方程：
的解是x=1；
的解是x=2；
的解是x=-2。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于 x 的方程 的解为 。
（2）比较关于x的方程 与上面各式的关系，猜想它的解是 。
（3）请验证第（2）问猜想的结论。
15． 为发展校园的数学科技运动，某校决定购买一批3阶魔方和计算器，市场调查发现，甲、乙两商店以同样的价格出售同样品牌的计算器和魔方，已知每个计算器比每个3阶魔方多9元，2个计算器与5个3阶魔方的费用相等，经洽谈，甲商店的优惠方案：每购买6个计算器，送一个魔方；乙商店的优惠方案：若购买计算器超过10个，则购买魔方打八折。设3 阶魔方的单价为x元。
（1）根据题意列出方程。
（2）在x=6，x=7，x=8中，哪一个是（1）所列方程的解。
（3）若某校购买100个3阶魔方和a（10
①请用含 a的式子分别表示出到甲店和乙店购买所花的费用。
②若a=60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商店购买比较合算
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程含有两个未知数，则本项不符合题意；
B、该方程的未知数的次数有一个为2次，则本项不符合题意；
C、该方程的未知数的次数有一个为-1次，则本项不符合题意；
D、该方程为一元一次方程，则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义：如果一个方程含有一个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做一元一次方程，据此逐项分析即可.
2．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，
根据题意得：8x-3= 7x + 4；
故答案为：B.
【分析】设有x人，根据该物品价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
3．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A： 由等式基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，则2x-5=5x+4变形为2x-5-5x-4=5x+4-5x-4，故A错误；
B： 由等式基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，等式仍然成立，则 x=2变形为 ，，故B错误；
D：等式左侧两分式的公分母为6，由等式基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，等式仍然成立： 则变形为 3（x-1）-2=6，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由等式的基本性质逐项进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=代入 5x-1=□x+3 可得，5×()-1=□×()+3，
解得，□=-8.
故答案为：C.
【分析】将x=代入方程，可得关于□的方程，解方程即可求得.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】 ①分母含有未知数，不是；
②0.3x=1含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
③，含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
④x2-4x=3含有1个未知数但有1个未知数的次数都是2次，不是；
⑤x=6含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
⑥x+2y=0含有2个未知数，不是。
综合上述，其中一元一次方程的个数是 3个
故答案为：B
【分析】根据一元一次方程的概念逐个判断：①分母含有未知数，不是；②0.3x=1含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；③，含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；④x2-4x=3含有1个未知数但有1个未知数的次数都是2次，不是；⑤x=6含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；⑥x+2y=0含有2个未知数，不是；综合上述，其中一元一次方程的个数是 3个。
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：因为 -mx+n=2mx-n，所以 mx-n=-2mx+n，根据表格可得当x=2时，mx-n与-2mx+n都为-1，所以 -mx+n=2mx-n的解为x=2，
故选：B.
【分析】先把 -mx+n=2mx-n进行化简为mx-n=-2mx+n，再根据表格找出mx-n与-2mx+n相等时对应的x值即可.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵kx5-2k+5=3k是关于x的一元一次方程，
∴k≠0且5-2k=1，
解得k=2.
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，进而可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，由题意得
，
故答案为：C.
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，由题意可得大和尚分的馒头为3x，小和尚分的馒头为，然后根据共100个馒头就可列出方程.
9．【答案】a+c=2b
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由图1可得，
2+18=2×10=20，
故可知图2的关系为：a+c＝2b；
故答案为：a+c＝2b.
【分析】根据图1计算可得出关系式.
10．【答案】x＋1=0（答案不唯一）
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：解为x=-1的一元一次方程可以为x＋1=0
故答案为：x＋1=0（答案不唯一）．
【分析】根据一元一次方程的定义及方程的解求解即可。
11．【答案】④
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由②得，一个△的质量等于两个〇的质量，又结合①得，两个□等于6个〇的质量，
所以一个□等于3个〇的质量，故④是错误的，
故答案为：④.
【分析】通过②可知，一个△的质量等于两个〇的质量，结合①可知两个□等于6个〇的质量，所以一个□等于3个〇的质量，据此判断即可.
12．【答案】2031
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入x=3到 ax-2b=3，得3a-2b=3.
∴6a-4b+2025=2(3a-2b)+2025=2×3+2025=2031.
故答案为：2031.
【分析】首先，需要根据已知条件将方程解代入原方程，得到一个关于a和b的等式. 然后，根据得到的等式对给定的表达式进行化简，最终求得表达式的具体值.
13．【答案】（1）解：方程两边除以-5得x=3
（2）解：方程两边减去7x得7x-6-7x=8x-7x，即x=-6
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边同除以-5，即可解出此方程.
（2）根据等式的性质1，方程两边同减去7x，再合并同类项，即可解出此方程.
14．【答案】（1）x=4
（2）x=a
（3）解：把x=a代入等式，左边 右边.
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】解：(1)根据阅读材料可知，关于x的方程 的解为x=4.
故答案为：x=4.
(2)关于x的方程 的解是x=a.
故答案为：x=a.
【分析】通过观察题干中给出的关于x的方程及其解的特征，可以发现一个规律：等式左边是x的三次方加上x，等式右边是a的三次方加上a，且等式的解是x=a. 利用这个规律，可以直接写出给定方程的解，并验证猜想.
15．【答案】（1）解：3阶魔方的单价为x元，则计算器的单价为(x+9)元，
由题意得，2(x+9)=5x.
（2）解：当x=6时，2(x+9)=30，5x=30，所以等号的左右两边相等，所以x=6是方程的解.
当x=7时，2(x+9)=32，5x=35，所以等号的左右两边不相等，所以x=7不是方程的解.
当x=8时，2(x+9)=34，5x=40，所以等号的左右两边不相等，所以x=8不是方程的解.
（3）解：①在甲店购买所花的费用为 (元)，
在乙店购买所花的费用为15a+6×100×80%=15a+480(元).
答：到甲店和乙店购买所花的费用分别为(14a+600)元，(15a+480)元.
②当a=60时，
14a+600=1440(元)，
15a+480=1380(元).
因为1440>1380，
所以到乙商店购买比较合算.
【知识点】列一元一次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用；判断是否为一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）先用x表达出计算器的单价，然后根据等量关系“2×计算器单价=5×魔方单价”列出方程；
（2）将给定的x值代入到（1）所得方程，若左边=右边则为方程的解；
（3）首先，由（2）可分别知道计算器、魔方的单价.
①根据甲店的优惠方案，每买6个计算器，送一个魔方，则通过式子表达出100个魔方中有多少个是需要掏钱买的，然后乘以（2）所得的计算器单价，再加上a个计算器的总花费15a，即可得出甲店花费的表达式；根据乙店的优惠方案，a个计算器的总花费仍然是15a，由于a＞10，即100个魔方打八折，即6×100×80%，然后两式相加即为乙店花费的表达式；②将a=60代入①中求得的甲店、乙店的花费表达式中计算出实际花费并比较大小即可得出答案.
1 / 1【提高卷】浙教版（2024）七上 5.3 一元一次方程和它的解 同步练习
一、选择题
1．（2024七上·义乌月考）下列各式中是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程含有两个未知数，则本项不符合题意；
B、该方程的未知数的次数有一个为2次，则本项不符合题意；
C、该方程的未知数的次数有一个为-1次，则本项不符合题意；
D、该方程为一元一次方程，则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义：如果一个方程含有一个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做一元一次方程，据此逐项分析即可.
2．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三.人出七，不足四，问人数、物价各几何 ”意思是：今有人合伙购物，若每人出8钱，则会多3钱；若每人出7 钱，则又差4钱，问人数、物价各是多少 设有x人，根据题意列方程得（ ）
A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4 C．8x+3=7x+4 D．8x-3=7x-4
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，
根据题意得：8x-3= 7x + 4；
故答案为：B.
【分析】设有x人，根据该物品价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.
3．下列方程变形正确的是（ ）
A．2x-5=5x+4变形为2x-5=5x+4-5x-4
B．x=2变形为
C．4x-8=0变形为
D．变形为3（x-1）-2=1
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：A： 由等式基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立，则2x-5=5x+4变形为2x-5-5x-4=5x+4-5x-4，故A错误；
B： 由等式基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，等式仍然成立，则 x=2变形为 ，，故B错误；
D：等式左侧两分式的公分母为6，由等式基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，等式仍然成立： 则变形为 3（x-1）-2=6，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由等式的基本性质逐项进行判断即可。
4．某同学解方程5x-1=□x+3时，把□处的系数看错得 他把□看成了（ ）
A．3 B．-9 C．8 D．-8
【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=代入 5x-1=□x+3 可得，5×()-1=□×()+3，
解得，□=-8.
故答案为：C.
【分析】将x=代入方程，可得关于□的方程，解方程即可求得.
5．有下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2-4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0。其中一元一次方程的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】 ①分母含有未知数，不是；
②0.3x=1含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
③，含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
④x2-4x=3含有1个未知数但有1个未知数的次数都是2次，不是；
⑤x=6含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；
⑥x+2y=0含有2个未知数，不是。
综合上述，其中一元一次方程的个数是 3个
故答案为：B
【分析】根据一元一次方程的概念逐个判断：①分母含有未知数，不是；②0.3x=1含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；③，含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；④x2-4x=3含有1个未知数但有1个未知数的次数都是2次，不是；⑤x=6含有1个未知数且未知数的次数都是1次，是；⑥x+2y=0含有2个未知数，不是；综合上述，其中一元一次方程的个数是 3个。
6．（【全品】浙教版数学七年级上册第5章质量评估卷） 多项式 mx--n和-2mx+n(m，n为实数，且m≠0)的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程-mx+n=2mx--n的解是 （ ）
x 1 2 3 4
mx-n -2 -1 0 1
-2mx+n 1 -1 -3 -5
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：因为 -mx+n=2mx-n，所以 mx-n=-2mx+n，根据表格可得当x=2时，mx-n与-2mx+n都为-1，所以 -mx+n=2mx-n的解为x=2，
故选：B.
【分析】先把 -mx+n=2mx-n进行化简为mx-n=-2mx+n，再根据表格找出mx-n与-2mx+n相等时对应的x值即可.
7． 已知 是关于x的一元一次方程，则k= （ ）
A．- 1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵kx5-2k+5=3k是关于x的一元一次方程，
∴k≠0且5-2k=1，
解得k=2.
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，进而可得出结论.
8．（2023七上·开江期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人 若设大和尚有x人，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，由题意得
，
故答案为：C.
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，由题意可得大和尚分的馒头为3x，小和尚分的馒头为，然后根据共100个馒头就可列出方程.
二、填空题
9．如图1是某月的月历，用图2在月历中任意框出9个数，请你用一个等式表示a，b，c之间的关系： .
【答案】a+c=2b
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由图1可得，
2+18=2×10=20，
故可知图2的关系为：a+c＝2b；
故答案为：a+c＝2b.
【分析】根据图1计算可得出关系式.
10．（2021七上·临汾期末）请写出一个解为x=-1的一元一次方程： ．
【答案】x＋1=0（答案不唯一）
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：解为x=-1的一元一次方程可以为x＋1=0
故答案为：x＋1=0（答案不唯一）．
【分析】根据一元一次方程的定义及方程的解求解即可。
11． 有一堆实心的几何体：圆锥、正方体和球.已知相同的几何体具有相同的质量，某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时，画出了如下四幅图，图中用“△”“□”和“ ”分别表示圆锥、正方体和球，其中有一幅图画错了，它是 。（填序号）
【答案】④
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由②得，一个△的质量等于两个〇的质量，又结合①得，两个□等于6个〇的质量，
所以一个□等于3个〇的质量，故④是错误的，
故答案为：④.
【分析】通过②可知，一个△的质量等于两个〇的质量，结合①可知两个□等于6个〇的质量，所以一个□等于3个〇的质量，据此判断即可.
12． 若x=3是关于x的方程 ax-2b=3的解，则6a-4b+2025的值为 。
【答案】2031
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入x=3到 ax-2b=3，得3a-2b=3.
∴6a-4b+2025=2(3a-2b)+2025=2×3+2025=2031.
故答案为：2031.
【分析】首先，需要根据已知条件将方程解代入原方程，得到一个关于a和b的等式. 然后，根据得到的等式对给定的表达式进行化简，最终求得表达式的具体值.
三、解答题
13．利用等式的性质解下列方程：
（1）-5x=-15
（2）7x-6=8x
【答案】（1）解：方程两边除以-5得x=3
（2）解：方程两边减去7x得7x-6-7x=8x-7x，即x=-6
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边同除以-5，即可解出此方程.
（2）根据等式的性质1，方程两边同减去7x，再合并同类项，即可解出此方程.
14． 关于x的方程：
的解是x=1；
的解是x=2；
的解是x=-2。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于 x 的方程 的解为 。
（2）比较关于x的方程 与上面各式的关系，猜想它的解是 。
（3）请验证第（2）问猜想的结论。
【答案】（1）x=4
（2）x=a
（3）解：把x=a代入等式，左边 右边.
【知识点】估计方程的解
【解析】【解答】解：(1)根据阅读材料可知，关于x的方程 的解为x=4.
故答案为：x=4.
(2)关于x的方程 的解是x=a.
故答案为：x=a.
【分析】通过观察题干中给出的关于x的方程及其解的特征，可以发现一个规律：等式左边是x的三次方加上x，等式右边是a的三次方加上a，且等式的解是x=a. 利用这个规律，可以直接写出给定方程的解，并验证猜想.
15． 为发展校园的数学科技运动，某校决定购买一批3阶魔方和计算器，市场调查发现，甲、乙两商店以同样的价格出售同样品牌的计算器和魔方，已知每个计算器比每个3阶魔方多9元，2个计算器与5个3阶魔方的费用相等，经洽谈，甲商店的优惠方案：每购买6个计算器，送一个魔方；乙商店的优惠方案：若购买计算器超过10个，则购买魔方打八折。设3 阶魔方的单价为x元。
（1）根据题意列出方程。
（2）在x=6，x=7，x=8中，哪一个是（1）所列方程的解。
（3）若某校购买100个3阶魔方和a（10①请用含 a的式子分别表示出到甲店和乙店购买所花的费用。
②若a=60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商店购买比较合算
【答案】（1）解：3阶魔方的单价为x元，则计算器的单价为(x+9)元，
由题意得，2(x+9)=5x.
（2）解：当x=6时，2(x+9)=30，5x=30，所以等号的左右两边相等，所以x=6是方程的解.
当x=7时，2(x+9)=32，5x=35，所以等号的左右两边不相等，所以x=7不是方程的解.
当x=8时，2(x+9)=34，5x=40，所以等号的左右两边不相等，所以x=8不是方程的解.
（3）解：①在甲店购买所花的费用为 (元)，
在乙店购买所花的费用为15a+6×100×80%=15a+480(元).
答：到甲店和乙店购买所花的费用分别为(14a+600)元，(15a+480)元.
②当a=60时，
14a+600=1440(元)，
15a+480=1380(元).
因为1440>1380，
所以到乙商店购买比较合算.
【知识点】列一元一次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式值的实际应用；判断是否为一元一次方程的解
【解析】【分析】（1）先用x表达出计算器的单价，然后根据等量关系“2×计算器单价=5×魔方单价”列出方程；
（2）将给定的x值代入到（1）所得方程，若左边=右边则为方程的解；
（3）首先，由（2）可分别知道计算器、魔方的单价.
①根据甲店的优惠方案，每买6个计算器，送一个魔方，则通过式子表达出100个魔方中有多少个是需要掏钱买的，然后乘以（2）所得的计算器单价，再加上a个计算器的总花费15a，即可得出甲店花费的表达式；根据乙店的优惠方案，a个计算器的总花费仍然是15a，由于a＞10，即100个魔方打八折，即6×100×80%，然后两式相加即为乙店花费的表达式；②将a=60代入①中求得的甲店、乙店的花费表达式中计算出实际花费并比较大小即可得出答案.
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