【精品解析】【培优卷】浙教版(2024)七上 6.4 线段的和差 同步练习

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名称 【精品解析】【培优卷】浙教版(2024)七上 6.4 线段的和差 同步练习
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-01-07 12:02:06

文档简介

【培优卷】浙教版(2024)七上 6.4 线段的和差 同步练习
一、选择题
1.(2023七下·鲁甸期末)点M、N都在线段AB上,且,,若,则AB的长为(  )
A. B. C. D.
2.(2024七上·浑江期末) 已知线段,点C为直线AB上一点,且,点M,N分别是AC,BC的中点,则MN等于(  )
A.8cm B.10cm C.9cm或8cm D.9cm
3.(2021七上·碑林期末)已知A,B,C三点, , ,则 (  )
A.8cm B.4cm C.8cm或4cm D.无法确定
4.(2021七下·长兴开学考)如图,在线段AB上有C,D两点,CD长度为1cm,AB长为整数,则以A,B,C,D为端点的所有线段长度和不可能为(  )
A.16cm B.21cm C.22cm D.31cm
5.如图,C,D是线段AB 上两点,M,N分别是线段AD,BC的中点,下列结论:①若AD=BM,则AB=3BD;②若AC=BD,则AM=BN;③AC-BD=2(MC-DN);④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是(  )
A.①②③ B.③④ C.①②④ D.①②③④
6.(2022七下·宁波开学考)如图,AB=30,C为射线AB上一点,BC比AC的4倍少20,P、Q两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动,运动时间为t秒,M为BP的中点,N为QM的中点,以下结论:①BC=2AC;②运动过程中,QM的长度保持不变;③AB=4NQ;④当BQ=PB时,t=12.其中正确结论的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2021七上·南开月考)如图,A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40,C点在A、B之间,在A、B两点处各放一个挡板,M、N两个小球同时从C处出发,M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动,N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动,碰到挡板后则反方向运动,速度大小不变.设两个小球运动的时间为t秒钟(0<t<40),当M小球第一次碰到A挡板时,N小球刚好第一次碰到B挡板.则:①C点在数轴上对应的数为0;②当10<t<25时,N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t;③当25<t<40时,2MA+NB始终为定值160;④只存在唯一的t值,使3MO=NO,以上结论正确的有(  )
A.①②③④ B.①③ C.②③ D.①②④
二、填空题
8.(2024七上·黄冈期末)如图,将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠(绳子无弹性,折叠处长度忽略不计),使绳子与自身一部分重叠.若将绳子AB沿N点折叠后,点B落在处(点始终在点A右侧),在重合部分上沿绳子垂直方向剪断,将绳子分为三段,若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5,BN的值可能为   .
9.(2024七上·黄石期末)已知线段,,点、分别是、的中点,当点在直线上时,则的长为   .
10.(2024七上·拱墅期末)如图,C是线段AB上的一点,D是BC中点,已知图中所有线段长度之和为23.
(1)设线段BD的长为x,则线段AC=   .(用含x的代数式表示).
(2)若线段AC,BD的长度都是正整数,则线段AC的长为   .
11.(2023七上·义乌期中)长方形纸片上有一数轴,剪下6个单位长度(从-1到5)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图所示).若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是   .
12.(2024七上·龙岗期末)如图,点在线段的延长线上,且线段,第一次操作:分别取线段和的中点,;第二次操作:分别取线段和的中点,;第三次操作:分别取线段和的中点,;连续这样操作次,则    .
三、解答题
13.(【全效核心素养评估卷】浙教版数学七(上)第六章)如图,已知线段AB.
(1)作图:延长AB 至点C,使得 再找出AC的中点D.
(2)根据第(1)题的图示,若AB=6 cm,求 BD 的长.
14.如图,C为线段AB 的延长线上一点,D 为线段BC上一点,CD=2BD,E 为线段AC 上一点,CE=2AE.
(1)若. 求DE 的长.
(2)若AB=a,求DE 的长(用含a 的代数式表示).
(3)若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍,求 的值.
15.(【牵手重高】过关错题浙教版数学七(上)期末测试卷A)如图1,已知点M是定长线段AB上一定点,C,D两点分别从点M,B出发以1cm/s,3cm/s的速度沿直线BA运动,点C在线段AM上,点D在线段BM上.
(1)若,当点C,D运动了1s,求AC+MD的值.
(2)若点C,D运动时,总有MD=3AC,则AM=   BM.(写答案即可)
(3)在(2)的条件下,点N是直线AB上一点,且AN-BN=MN,求的值.
16. 如图,A,B,C,D 四点在同一条直线上.
(1)若AB=CD.
①比较线段的长短:AC    BD(填“>”“<”或“=”).
②若 且 AC=24 cm,则 AD的长为     cm.
(2)若线段 AD 被点B,C分成了3:4:5的三部分,且 AB的中点 M 和CD 的中点N 之间的距离是 20cm,求AD 的长.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
∵AM : MB=2:3,
∴AM=25AB
∵AN:NB=3:4,
∴AN=37AB
∴MN=AM-AN=(37-25)AB=135AB
∴AB=MN÷135=2×35=70cm
故选:B
【分析】已知部分的量及部分量所对应的分率,用分数除法可求整体的量。
2.【答案】D
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】①当点C在点A的右边时,如图所示:
∵AB=18,AC=2,
∴BC=AB-AC=18-2=16,
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC=1,CN=BC=8,
∴MN=MC+CN=1+8=9;
②当点C在点A的左边时,如图所示:
∵AB=18,AC=2,
∴BC=AB+AC=18+2=20,
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC=1,CN=BC=10,
∴MN=CN-MC=10-1=9,
综上,MN的长为9,
故答案为:9.
【分析】分类讨论:①当点C在点A的右边时,②当点C在点A的左边时,再分别画出图形再利用线段中点的性质及线段的和差求解即可.
3.【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:如图1,当点B在线段AC上时,
∵AB=6cm,BC=2cm,
∴AC=6+2=8cm;
如图2,当点B在线段AC外时,
∵AB=6cm,BC=2cm,
∴AC=6-2=4cm.
当A、B、C三点不在同一直线上时,A、C两点间的距离无法确定.
故答案为:D.
【分析】根据点B在线段AC上和在线段AC外两种情况进行解答即可.
4.【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:由题意可得图中以A,B , C, D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是: AC+CD+ DB+ AD+CB+AB= ( AC+CD+ DB)+(AD+CB ) +AB= AB+AB+CD+ AB=3AB+CD
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1 ,
∴以A,B,C,D为端点的所有线段长度和不可能为21.
故答案为:B
【分析】 根据数轴和题意可知,所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB,然后根据CD=1,线段AB的长度是一个正整数,可以解答本题.
5.【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:∵AD=BM,
∴AD=MD+BD,
∴,
∴AD=2BD,
∴AD+BD=2BD+BD,即AB=3BD,故①正确;
∵AC=BD,
∴AD=BC,
∴,
∵M、N分别是线段AD、BC的中点,
∴AM=BN,故②正确;
∵AC-BD=AD-BC,
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN),故③正确;
∵2MN=2MC+2CN,MC=MD-CD,
∴2MN=2(MD-CD)+2CN,
∵,,
∴,故④正确,
故答案选:D.
【分析】若AD=BM,则AM=BD,由M是AD的中点,得AM=MD,则AM=MD=BD,故AB=3BD,①正确;若AC=BD,则AD=BC,由M,N分别是AD,BC的中点,可得,,故AM=BN,②正确;因为AC=AM+MC=DM+MC,BD=BN+DN=CN+DN,所以AC-BD=DM-CN+MC-DN,又因为DM-MC=CD=CN-DN,所以DM-CN=MC-DN,故AC-BD=2(MC-DN),③正确;因为,故2MN=AB-CD,④正确.
6.【答案】C
【知识点】线段的中点;利用合并同类项、移项解一元一次方程;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设AC=x,
∴BC=4x-20,
∵AC+BC=AB,
∴x+4x-20=30
解之:x=10,
∴BC=20,AC=10,
∴BC=2AC,故①正确;
当0≤t≤15时,
此时点P在线段AB上,
∴BP=AB-AP=30-2t,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=15-t,
∵QM=BM+BQ
∴QM=15;
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
当15<t≤30时,
此时点P在线段AB外,点P在点Q的左侧,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP-AB=2t-30,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=t-15,
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
当t>30时,
此时点P在点Q的右侧,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP-AB=2t-30,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=t-15,
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
综上所述AB=4NQ时,故②正确;运动过程中QM的长度保持不变,故③正确;
当0<t≤15,PB=BQ时,此时点P在线段AB上,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AB-AP=30-2t,
∴30-2t=t
解之:t=10,
当15<t≤30,PB=BQ时,此时点P在线段AB外,点P与点Q重合,
∴t=30,
当t>30时,此时点P在点Q的右侧,PB>BQ,
∴当PB=BQ时,t=10或30,故④错误.
∴正确结论有①②③,一共3个.
故答案为:C.
【分析】设AC=x,利用 BC比AC的4倍少20,可表示出BC,再根据AC+BC=30,建立关于x的方程,解方程求出x的值,可求出BC,AC的长,可对①作出判断;分情况讨论:当0≤t≤15时,此时点P在线段AB上,可表示出BP的长,利用线段中点的定义可表示出BM的长,由此可求出QM的长,利用线段中点的定义求出NQ的长,可得到AB与NQ之间的数量关系;当15<t≤30时,此时点P在线段AB外,点P在点Q的左侧,同理可得到AB与NQ之间的数量关系;当t>30时,此时点P在点Q的右侧,分别表示出AP,BQ,BP的长,利用线段中点的定义可表示出MB的长,即可求出NQ的长,可得到AB与NQ之间的数量关系,可对②和③作出判断;当0<t≤15,PB=BQ时,此时点P在线段AB上,利用BP=AB-AP,建立关于t的方程,解方程求出t的值;当15<t≤30,PB=BQ时,此时点P在线段AB外,点P与点Q重合,可得到t的值,可对④作出判断;综上所述可得到正确结论的个数.
7.【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-几何问题;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设C点在数轴上对应的数为x,则,
当M小球第一次碰到A挡板时,N小球刚好第一次碰到B挡板,则
解得,即C点在数轴上对应的数为0,①符合题意;
当时,N小球运动的距离为,刚好到达B点,
当时,N小球运动的距离为,刚好到达A点,M小球运动的距离为
当10<t<25时,N小球从B点向A点开始运动,此时,
点N表示数的为,②符合题意;
当时,N小球运动的距离为,M小球运动的距离为
当25<t<40时,N小球从A点向B点开始运动,M小球向B点运动
则,,
,③不符合题意;
当时,,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,
当时,,
由题意得,,解得,此时三点重合,成立;
当时,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,
由题意得,,解得,不符题意;
④符合题意
故答案为:D
【分析】先列方程2t+4t=40-(-20),求出小球第一次碰到挡板时的t值,确定点C表示的数为0,则①正确;小球N再10秒时第一次碰到挡板B返回点A,且在第25秒第一次碰到挡板A,当108.【答案】35cm或40cm或45cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm,两个断点分别为F、E,
则2x+3x+5x=100,
解得:x=10;
①若AF=3x,FE=5x,EB=2x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm;
②若AF=5x,FE=3x,EB=2x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm;
③若AF=5x,FE=2x,EB=3x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=x+3x=4x=40cm;
故答案为:35cm或40cm或45cm.
【分析】先根据线段的比例设出线段的长,分三种情况进行分析,列出方程,即可求解.
9.【答案】7.5或15
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:①点M在线段AB上时,如图1所示:
∵AB=AM+MB,AM=BM,AB=20,
∴AM=5,BM=15,
又∵Q是AB的中点,
∴AQ=BQ=AB=10,
又∵MQ=BM-BQ,
∴MQ=15-10=5,
又∵点P是AM的中点,
∴AP=PM=AM=2.5,
又∵PQ=PM+MQ,
∴PQ=2.5+5=7.5;
②点M在线段AB的反向延长线上时,如图2所示:
同理可得:AQ=AB=10,
又∵AM=BM,
∴AM=AB=10,
又∵点P是AM的中点,
∴AP=AM=5,
∵PQ=PA+AQ,
∴PQ=5+10=15,
综合所述PQ的长为7.5或15.
故答案为:7.5或15.
【分析】分类讨论:①点M在线段AB上时,②点M在线段AB的反向延长线上时,先画出图形,再利用线段的中点及线段的和差分析求解即可.
10.【答案】(1)
(2)3
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(1)设线段的长为,
∵D是BC中点,
∴,,,
∵所有线段长度之和为23,即AC+CD+DB+AD+AB+CB=23,
∴,即,
.
(2)∵ 线段,的长度都是正整数,且,,
∴可能为1,2,3,
当时,是小数,不符合题意,
当时,,符合题意,
当时,是小数,不符合题意,
故AC的长为3.
故答案为:,3.
【分析】(1)先根据中点表示出CD、BD、AC的长度,再列式计算即可.
(2)由(1)得,设x的取值为整数,依次代入检验即可.
11.【答案】或2或
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:由题意可知:三条线段的长度之比为:1:1:2,
设三条线段的长分别为:x、x、2x,
∵-1到5的距离是6,
∴4x=6,
x=6÷4,
x=,
∴这三条线段的长分别为、、3.
将这三条线段分别命名为:AB、BC、CD.
第一种情况:当AB:BC:CD=1:1:2时,折痕上的点表示的数是:-1++×=,
第二种情况:当AB:BC:CD=1:2:1时,折痕上的点表示的数是:-1++=2,
第三种情况:当AB:BC:CD=2:1:1时,折痕上的点表示的数是:-1+3+×=,
故答案为:或2或.
【分析】本题考查实数与数轴,做题时要先求出这三条线段的长,然后分三种情况进行讨论,最后分别求解得出答案.
12.【答案】
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解:∵ 线段和的中点,,
∴AM1=AM,AN1=AN,
∴M1N1=AM1-AN1=(AM-AN)=MN=10;
∵线段和的中点,,
∴AM2=AM1,AN2=AN1,
∴M2N2=AM2-AN2=(AM1-AN1)=M1N1=5;

∴.
故答案为:.
【分析】利用线段和的中点,,可证AM1=AM,AN1=AN,由此可得到M1N1=10;同理可证M2N2=M1N1,根据此规律可证,将n=10代入可求出结果.
13.【答案】(1)解:如图
(2)解:∵ BC=AB=×6=3cm
∴AC=AB+BC=9cm
∵点D是AC的中点
∴CD=AC=×9=4.5cm
∴BD=CD-BC=4.5-3=1.5cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算;尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】(1)根据题意画出图形即可;
(2)根据 BC=AB易得BC的长度,即可得AC的长度,再根据点D是AC的中点可得CD=AC可得CD的长度,再根据BD=CD-BC可得结果.
14.【答案】(1)解:∵,,,

∴,
∴.
∵,
∴.
∴,
∴;
(2)解:设,
∵,,

∴,解得.
∵,解得.
∴,
∴.
(3)解:设,则,
∴,
∴,
∴图中所有线段和为
.
∵图中所有线段的长度之和是线段 AD长度的7倍,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)先根据题意得出及的长,进而可得出及的长,由即可得出结论;
(2)设,方法同(1),数字换为字母进行分析计算.
(3)设设,则,求所有线段的长度,表示出所有线段的和,根据“ 图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍 ”得到,从而得到,即可求解.
15.【答案】(1)解:当点C,D运动了1s时,CM=1cm,BD=3cm,
∵AB=11cm,CM=1cm,BD=3cm,
∴AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.
(2)
(3)解:当点N在线段AB上时,如图,
∵AN-BN=MN,AN-AM=MN,

当点N在线段AB的延长线上时,如图,
∵AN-BN=MN,AN-BN=AB,
∴MN=AB,

综上所述或
【知识点】整式的加减运算;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(2)设运动时间为t,
则CM=t,BD=3t,
∵AC=AM-t,MD=BM-3t,
又MD=3AC,
∴BM-3t=3AM-3t,
即BM=3AM,
∵BM=AB-AM,
∴AB-AM=3AM,
故答案为:
【分析】(1)先根据题意得到CM=1cm,BD=3cm,进而根据线段的运算结合AC+MD=AB-CM-BD即可求解;
(2)设运动时间为t,则CM=t,BD=3t,根据整式的加减运算结合点的运动得到AC=AM-t,MD=BM-3t,根据MD=3AC即可得到BM-3t=3AM-3t,即BM=3AM,再进行线段的运算得到AB-AM=3AM,即,等量代换即可求解;
(3)根据题意分类讨论:当点N在线段AB上时,当点N在线段AB的延长线上时,再根据线段的运算得到MN和AB的关系,从而即可求解。
16.【答案】(1)=;30
(2)解:如图所示:
设AB=3xcm,则BC=4x cm,CD=5x cm,
∵是AB的中点,
∴BM=AB=
∵N 是CD 的中点,
∴CN=CD=,
∵MB+BC+CN=20
∴+4x+=20
解得x=,
∴3x=,4x=10,5x=
∴AD=AB+BC+CD
=3x+4x+5x
=+10+
=30
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(1)如图所示:
①∵AB=CD,
∴ AB+BC=CD+BC
即AC=BD
∴答案为:=.
②∵BC=AC,AC=24
∴BC=18,
∴AB=AC-BC=24-18=6,
∵AB=CD
∴CD=6
∴AD=AC+CD
=24+6
=30.
故答案为:=;30.
【分析】(1)①由线段的和的关系可得结果;②由线段的倍数关系,可得BC=18,再线段的和、差关系,可得出AD;
(2)由线段的比值关系可得:AB=3xcm,BC=4x cm,CD=5x cm;再用线段的中点定义可得到BM=AB=,CN=CD=;再由线段的和关系得MB+BC+CN=20;求出x,再用线段和的关系可得到AD.
1 / 1【培优卷】浙教版(2024)七上 6.4 线段的和差 同步练习
一、选择题
1.(2023七下·鲁甸期末)点M、N都在线段AB上,且,,若,则AB的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
∵AM : MB=2:3,
∴AM=25AB
∵AN:NB=3:4,
∴AN=37AB
∴MN=AM-AN=(37-25)AB=135AB
∴AB=MN÷135=2×35=70cm
故选:B
【分析】已知部分的量及部分量所对应的分率,用分数除法可求整体的量。
2.(2024七上·浑江期末) 已知线段,点C为直线AB上一点,且,点M,N分别是AC,BC的中点,则MN等于(  )
A.8cm B.10cm C.9cm或8cm D.9cm
【答案】D
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】①当点C在点A的右边时,如图所示:
∵AB=18,AC=2,
∴BC=AB-AC=18-2=16,
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC=1,CN=BC=8,
∴MN=MC+CN=1+8=9;
②当点C在点A的左边时,如图所示:
∵AB=18,AC=2,
∴BC=AB+AC=18+2=20,
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC=1,CN=BC=10,
∴MN=CN-MC=10-1=9,
综上,MN的长为9,
故答案为:9.
【分析】分类讨论:①当点C在点A的右边时,②当点C在点A的左边时,再分别画出图形再利用线段中点的性质及线段的和差求解即可.
3.(2021七上·碑林期末)已知A,B,C三点, , ,则 (  )
A.8cm B.4cm C.8cm或4cm D.无法确定
【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:如图1,当点B在线段AC上时,
∵AB=6cm,BC=2cm,
∴AC=6+2=8cm;
如图2,当点B在线段AC外时,
∵AB=6cm,BC=2cm,
∴AC=6-2=4cm.
当A、B、C三点不在同一直线上时,A、C两点间的距离无法确定.
故答案为:D.
【分析】根据点B在线段AC上和在线段AC外两种情况进行解答即可.
4.(2021七下·长兴开学考)如图,在线段AB上有C,D两点,CD长度为1cm,AB长为整数,则以A,B,C,D为端点的所有线段长度和不可能为(  )
A.16cm B.21cm C.22cm D.31cm
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:由题意可得图中以A,B , C, D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是: AC+CD+ DB+ AD+CB+AB= ( AC+CD+ DB)+(AD+CB ) +AB= AB+AB+CD+ AB=3AB+CD
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1 ,
∴以A,B,C,D为端点的所有线段长度和不可能为21.
故答案为:B
【分析】 根据数轴和题意可知,所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB,然后根据CD=1,线段AB的长度是一个正整数,可以解答本题.
5.如图,C,D是线段AB 上两点,M,N分别是线段AD,BC的中点,下列结论:①若AD=BM,则AB=3BD;②若AC=BD,则AM=BN;③AC-BD=2(MC-DN);④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是(  )
A.①②③ B.③④ C.①②④ D.①②③④
【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:∵AD=BM,
∴AD=MD+BD,
∴,
∴AD=2BD,
∴AD+BD=2BD+BD,即AB=3BD,故①正确;
∵AC=BD,
∴AD=BC,
∴,
∵M、N分别是线段AD、BC的中点,
∴AM=BN,故②正确;
∵AC-BD=AD-BC,
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN),故③正确;
∵2MN=2MC+2CN,MC=MD-CD,
∴2MN=2(MD-CD)+2CN,
∵,,
∴,故④正确,
故答案选:D.
【分析】若AD=BM,则AM=BD,由M是AD的中点,得AM=MD,则AM=MD=BD,故AB=3BD,①正确;若AC=BD,则AD=BC,由M,N分别是AD,BC的中点,可得,,故AM=BN,②正确;因为AC=AM+MC=DM+MC,BD=BN+DN=CN+DN,所以AC-BD=DM-CN+MC-DN,又因为DM-MC=CD=CN-DN,所以DM-CN=MC-DN,故AC-BD=2(MC-DN),③正确;因为,故2MN=AB-CD,④正确.
6.(2022七下·宁波开学考)如图,AB=30,C为射线AB上一点,BC比AC的4倍少20,P、Q两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动,运动时间为t秒,M为BP的中点,N为QM的中点,以下结论:①BC=2AC;②运动过程中,QM的长度保持不变;③AB=4NQ;④当BQ=PB时,t=12.其中正确结论的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】线段的中点;利用合并同类项、移项解一元一次方程;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设AC=x,
∴BC=4x-20,
∵AC+BC=AB,
∴x+4x-20=30
解之:x=10,
∴BC=20,AC=10,
∴BC=2AC,故①正确;
当0≤t≤15时,
此时点P在线段AB上,
∴BP=AB-AP=30-2t,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=15-t,
∵QM=BM+BQ
∴QM=15;
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
当15<t≤30时,
此时点P在线段AB外,点P在点Q的左侧,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP-AB=2t-30,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=t-15,
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
当t>30时,
此时点P在点Q的右侧,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AP-AB=2t-30,
∵点M是BP的中点,
∴BM= BP=t-15,
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点,
∴NQ= QM= ,
∴AB=4NQ;
综上所述AB=4NQ时,故②正确;运动过程中QM的长度保持不变,故③正确;
当0<t≤15,PB=BQ时,此时点P在线段AB上,
∴AP=2t,BQ=t,
∴BP=AB-AP=30-2t,
∴30-2t=t
解之:t=10,
当15<t≤30,PB=BQ时,此时点P在线段AB外,点P与点Q重合,
∴t=30,
当t>30时,此时点P在点Q的右侧,PB>BQ,
∴当PB=BQ时,t=10或30,故④错误.
∴正确结论有①②③,一共3个.
故答案为:C.
【分析】设AC=x,利用 BC比AC的4倍少20,可表示出BC,再根据AC+BC=30,建立关于x的方程,解方程求出x的值,可求出BC,AC的长,可对①作出判断;分情况讨论:当0≤t≤15时,此时点P在线段AB上,可表示出BP的长,利用线段中点的定义可表示出BM的长,由此可求出QM的长,利用线段中点的定义求出NQ的长,可得到AB与NQ之间的数量关系;当15<t≤30时,此时点P在线段AB外,点P在点Q的左侧,同理可得到AB与NQ之间的数量关系;当t>30时,此时点P在点Q的右侧,分别表示出AP,BQ,BP的长,利用线段中点的定义可表示出MB的长,即可求出NQ的长,可得到AB与NQ之间的数量关系,可对②和③作出判断;当0<t≤15,PB=BQ时,此时点P在线段AB上,利用BP=AB-AP,建立关于t的方程,解方程求出t的值;当15<t≤30,PB=BQ时,此时点P在线段AB外,点P与点Q重合,可得到t的值,可对④作出判断;综上所述可得到正确结论的个数.
7.(2021七上·南开月考)如图,A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40,C点在A、B之间,在A、B两点处各放一个挡板,M、N两个小球同时从C处出发,M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动,N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动,碰到挡板后则反方向运动,速度大小不变.设两个小球运动的时间为t秒钟(0<t<40),当M小球第一次碰到A挡板时,N小球刚好第一次碰到B挡板.则:①C点在数轴上对应的数为0;②当10<t<25时,N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t;③当25<t<40时,2MA+NB始终为定值160;④只存在唯一的t值,使3MO=NO,以上结论正确的有(  )
A.①②③④ B.①③ C.②③ D.①②④
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示;一元一次方程的实际应用-几何问题;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设C点在数轴上对应的数为x,则,
当M小球第一次碰到A挡板时,N小球刚好第一次碰到B挡板,则
解得,即C点在数轴上对应的数为0,①符合题意;
当时,N小球运动的距离为,刚好到达B点,
当时,N小球运动的距离为,刚好到达A点,M小球运动的距离为
当10<t<25时,N小球从B点向A点开始运动,此时,
点N表示数的为,②符合题意;
当时,N小球运动的距离为,M小球运动的距离为
当25<t<40时,N小球从A点向B点开始运动,M小球向B点运动
则,,
,③不符合题意;
当时,,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,
当时,,
由题意得,,解得,此时三点重合,成立;
当时,,
由题意得,,解得,不符题意;
当时,,
由题意得,,解得,不符题意;
④符合题意
故答案为:D
【分析】先列方程2t+4t=40-(-20),求出小球第一次碰到挡板时的t值,确定点C表示的数为0,则①正确;小球N再10秒时第一次碰到挡板B返回点A,且在第25秒第一次碰到挡板A,当10二、填空题
8.(2024七上·黄冈期末)如图,将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠(绳子无弹性,折叠处长度忽略不计),使绳子与自身一部分重叠.若将绳子AB沿N点折叠后,点B落在处(点始终在点A右侧),在重合部分上沿绳子垂直方向剪断,将绳子分为三段,若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5,BN的值可能为   .
【答案】35cm或40cm或45cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm,两个断点分别为F、E,
则2x+3x+5x=100,
解得:x=10;
①若AF=3x,FE=5x,EB=2x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm;
②若AF=5x,FE=3x,EB=2x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm;
③若AF=5x,FE=2x,EB=3x,如图:
∵N为EF的中点,
∴,
∴BN=x+3x=4x=40cm;
故答案为:35cm或40cm或45cm.
【分析】先根据线段的比例设出线段的长,分三种情况进行分析,列出方程,即可求解.
9.(2024七上·黄石期末)已知线段,,点、分别是、的中点,当点在直线上时,则的长为   .
【答案】7.5或15
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:①点M在线段AB上时,如图1所示:
∵AB=AM+MB,AM=BM,AB=20,
∴AM=5,BM=15,
又∵Q是AB的中点,
∴AQ=BQ=AB=10,
又∵MQ=BM-BQ,
∴MQ=15-10=5,
又∵点P是AM的中点,
∴AP=PM=AM=2.5,
又∵PQ=PM+MQ,
∴PQ=2.5+5=7.5;
②点M在线段AB的反向延长线上时,如图2所示:
同理可得:AQ=AB=10,
又∵AM=BM,
∴AM=AB=10,
又∵点P是AM的中点,
∴AP=AM=5,
∵PQ=PA+AQ,
∴PQ=5+10=15,
综合所述PQ的长为7.5或15.
故答案为:7.5或15.
【分析】分类讨论:①点M在线段AB上时,②点M在线段AB的反向延长线上时,先画出图形,再利用线段的中点及线段的和差分析求解即可.
10.(2024七上·拱墅期末)如图,C是线段AB上的一点,D是BC中点,已知图中所有线段长度之和为23.
(1)设线段BD的长为x,则线段AC=   .(用含x的代数式表示).
(2)若线段AC,BD的长度都是正整数,则线段AC的长为   .
【答案】(1)
(2)3
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(1)设线段的长为,
∵D是BC中点,
∴,,,
∵所有线段长度之和为23,即AC+CD+DB+AD+AB+CB=23,
∴,即,
.
(2)∵ 线段,的长度都是正整数,且,,
∴可能为1,2,3,
当时,是小数,不符合题意,
当时,,符合题意,
当时,是小数,不符合题意,
故AC的长为3.
故答案为:,3.
【分析】(1)先根据中点表示出CD、BD、AC的长度,再列式计算即可.
(2)由(1)得,设x的取值为整数,依次代入检验即可.
11.(2023七上·义乌期中)长方形纸片上有一数轴,剪下6个单位长度(从-1到5)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图所示).若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是   .
【答案】或2或
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:由题意可知:三条线段的长度之比为:1:1:2,
设三条线段的长分别为:x、x、2x,
∵-1到5的距离是6,
∴4x=6,
x=6÷4,
x=,
∴这三条线段的长分别为、、3.
将这三条线段分别命名为:AB、BC、CD.
第一种情况:当AB:BC:CD=1:1:2时,折痕上的点表示的数是:-1++×=,
第二种情况:当AB:BC:CD=1:2:1时,折痕上的点表示的数是:-1++=2,
第三种情况:当AB:BC:CD=2:1:1时,折痕上的点表示的数是:-1+3+×=,
故答案为:或2或.
【分析】本题考查实数与数轴,做题时要先求出这三条线段的长,然后分三种情况进行讨论,最后分别求解得出答案.
12.(2024七上·龙岗期末)如图,点在线段的延长线上,且线段,第一次操作:分别取线段和的中点,;第二次操作:分别取线段和的中点,;第三次操作:分别取线段和的中点,;连续这样操作次,则    .
【答案】
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解:∵ 线段和的中点,,
∴AM1=AM,AN1=AN,
∴M1N1=AM1-AN1=(AM-AN)=MN=10;
∵线段和的中点,,
∴AM2=AM1,AN2=AN1,
∴M2N2=AM2-AN2=(AM1-AN1)=M1N1=5;

∴.
故答案为:.
【分析】利用线段和的中点,,可证AM1=AM,AN1=AN,由此可得到M1N1=10;同理可证M2N2=M1N1,根据此规律可证,将n=10代入可求出结果.
三、解答题
13.(【全效核心素养评估卷】浙教版数学七(上)第六章)如图,已知线段AB.
(1)作图:延长AB 至点C,使得 再找出AC的中点D.
(2)根据第(1)题的图示,若AB=6 cm,求 BD 的长.
【答案】(1)解:如图
(2)解:∵ BC=AB=×6=3cm
∴AC=AB+BC=9cm
∵点D是AC的中点
∴CD=AC=×9=4.5cm
∴BD=CD-BC=4.5-3=1.5cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算;尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】(1)根据题意画出图形即可;
(2)根据 BC=AB易得BC的长度,即可得AC的长度,再根据点D是AC的中点可得CD=AC可得CD的长度,再根据BD=CD-BC可得结果.
14.如图,C为线段AB 的延长线上一点,D 为线段BC上一点,CD=2BD,E 为线段AC 上一点,CE=2AE.
(1)若. 求DE 的长.
(2)若AB=a,求DE 的长(用含a 的代数式表示).
(3)若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍,求 的值.
【答案】(1)解:∵,,,

∴,
∴.
∵,
∴.
∴,
∴;
(2)解:设,
∵,,

∴,解得.
∵,解得.
∴,
∴.
(3)解:设,则,
∴,
∴,
∴图中所有线段和为
.
∵图中所有线段的长度之和是线段 AD长度的7倍,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)先根据题意得出及的长,进而可得出及的长,由即可得出结论;
(2)设,方法同(1),数字换为字母进行分析计算.
(3)设设,则,求所有线段的长度,表示出所有线段的和,根据“ 图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍 ”得到,从而得到,即可求解.
15.(【牵手重高】过关错题浙教版数学七(上)期末测试卷A)如图1,已知点M是定长线段AB上一定点,C,D两点分别从点M,B出发以1cm/s,3cm/s的速度沿直线BA运动,点C在线段AM上,点D在线段BM上.
(1)若,当点C,D运动了1s,求AC+MD的值.
(2)若点C,D运动时,总有MD=3AC,则AM=   BM.(写答案即可)
(3)在(2)的条件下,点N是直线AB上一点,且AN-BN=MN,求的值.
【答案】(1)解:当点C,D运动了1s时,CM=1cm,BD=3cm,
∵AB=11cm,CM=1cm,BD=3cm,
∴AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.
(2)
(3)解:当点N在线段AB上时,如图,
∵AN-BN=MN,AN-AM=MN,

当点N在线段AB的延长线上时,如图,
∵AN-BN=MN,AN-BN=AB,
∴MN=AB,

综上所述或
【知识点】整式的加减运算;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(2)设运动时间为t,
则CM=t,BD=3t,
∵AC=AM-t,MD=BM-3t,
又MD=3AC,
∴BM-3t=3AM-3t,
即BM=3AM,
∵BM=AB-AM,
∴AB-AM=3AM,
故答案为:
【分析】(1)先根据题意得到CM=1cm,BD=3cm,进而根据线段的运算结合AC+MD=AB-CM-BD即可求解;
(2)设运动时间为t,则CM=t,BD=3t,根据整式的加减运算结合点的运动得到AC=AM-t,MD=BM-3t,根据MD=3AC即可得到BM-3t=3AM-3t,即BM=3AM,再进行线段的运算得到AB-AM=3AM,即,等量代换即可求解;
(3)根据题意分类讨论:当点N在线段AB上时,当点N在线段AB的延长线上时,再根据线段的运算得到MN和AB的关系,从而即可求解。
16. 如图,A,B,C,D 四点在同一条直线上.
(1)若AB=CD.
①比较线段的长短:AC    BD(填“>”“<”或“=”).
②若 且 AC=24 cm,则 AD的长为     cm.
(2)若线段 AD 被点B,C分成了3:4:5的三部分,且 AB的中点 M 和CD 的中点N 之间的距离是 20cm,求AD 的长.
【答案】(1)=;30
(2)解:如图所示:
设AB=3xcm,则BC=4x cm,CD=5x cm,
∵是AB的中点,
∴BM=AB=
∵N 是CD 的中点,
∴CN=CD=,
∵MB+BC+CN=20
∴+4x+=20
解得x=,
∴3x=,4x=10,5x=
∴AD=AB+BC+CD
=3x+4x+5x
=+10+
=30
【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解:(1)如图所示:
①∵AB=CD,
∴ AB+BC=CD+BC
即AC=BD
∴答案为:=.
②∵BC=AC,AC=24
∴BC=18,
∴AB=AC-BC=24-18=6,
∵AB=CD
∴CD=6
∴AD=AC+CD
=24+6
=30.
故答案为:=;30.
【分析】(1)①由线段的和的关系可得结果;②由线段的倍数关系,可得BC=18,再线段的和、差关系,可得出AD;
(2)由线段的比值关系可得:AB=3xcm,BC=4x cm,CD=5x cm;再用线段的中点定义可得到BM=AB=,CN=CD=;再由线段的和关系得MB+BC+CN=20;求出x,再用线段和的关系可得到AD.
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