2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题03 解一元二次方程
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据关于的方程的解是，可知或，进一步求解即可．
【规范解答】解：∵关于的方程的解是（均为常数，），
∴在方程中，可有或，
解得．
故选：C．
【考点评析】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
2．(本题2分)（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】A
【思路点拨】将多项式配方后解答即可．
【规范解答】解：，
因为关于的多项式的最大值为7，
所以，
解得：，
所以可能为2．
故选：A．
【考点评析】此题考查配方法的运用，关键是将多项式配方后解答．
3．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【思路点拨】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可．
【规范解答】解：①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故选A．
【考点评析】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键．
4．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若用配方法解方程，则方程变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】先将常数项移到等号右边，再将方程两边同时除以2，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理成完全平方式即可．
【规范解答】解：
故选D．
【考点评析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方的方法是解题关键．
5．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【思路点拨】本题分两种情形讨论：当时，判断此时方程是否有根；当时，根据判断判别式列出不等式求解即可．
【规范解答】解：①当时，方程为，此时方程的解为；
②当时，
∵关于的方程有实数根，
∴，解得，
又∵，
∴且．
综上所述，的取值范围是．
故选：B．
【考点评析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元二次方程的根的判别式的应用，进行分类讨论是解题的关键．
6．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）对于二次三项式（且m为常数）和，下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则；
②无论x取任何实数，若等式恒成立，则；
③当时，，，则；
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】D
【思路点拨】①将代入代数式，计算即可；②根据，得，进而即可求解；③根据，令，则，一元二次方程即可求解．
【规范解答】解：①将代入，得，
∵
∴，
∴或，
故①不正确；
②∵，
∴
∴
∴，
故②不正确
③当时，，
∴
令，则，
∴，
解得：或，
即或，故③不正确；
故选：D．
【考点评析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
7．(本题2分)（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）.
A．或2 B． C．2 D．0
【答案】A
【思路点拨】首先把代入，解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【规范解答】解：把代入得：
，
即，
解得：，，
∵是一元二次方程，
∴，
∴，
∴的值为或2，故A正确．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【思路点拨】根据，得出，根据已知条件，求得，即可求解．
【规范解答】∵
，
当时，取得最大值，
又，
∴，
∴的最大值为为．
故选D．
【考点评析】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，解一元二次方程，掌握绝对值不等式的性质是解题的关键．
9．(本题2分)（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【思路点拨】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案．
【规范解答】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①错误．
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确．
③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确．
故选：B．
【考点评析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
10．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是( )
A． B．或 C． D．和
【答案】C
【思路点拨】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【规范解答】解：由，
解得：或，
当第三边长为时，
由三角形三边关系可知：，
故不能组成三角形，
当第三边为时，
由三角形三边关系可知：，能够组成三角形，
这个三角形的周长为：，
故选：C．
【考点评析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______．
【答案】3
【思路点拨】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，，以及二次项的系数不为0，求出的取值范围，再进行计算即可．
【规范解答】解：由题意，得：，
解得：，
又∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，
∴满足条件的所有非负整数k：，
∴满足条件的所有非负整数k的和为：；
故答案为：．
【考点评析】本题考查根据一元二次方程根的情况求出参数．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程的二次项系数不为0，是解题的关键．
12．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若a，b，c满足，则________；
【答案】
【思路点拨】先配成平方和等于0的性质，再利用平方的非负性求解即可．
【规范解答】解：∵，
∴，
即，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：54．
【考点评析】本题主要考查平方的非负性，配方法的应用，算术平方根等知识，将原方程配成平方和等于0的形式，是解题的关键．
13．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为__________．
【答案】
【思路点拨】因为方程的两个根为和，所以方程可以化为为，得出，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
【规范解答】解：∵关于的一元二次方程的两根为、，
∴，
整理得，
∴
解得：，
∴方程为，
即，
解得：，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，求得是解题的关键．
14．(本题2分)（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．
【答案】2
【思路点拨】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
【规范解答】解：由题意，得：，
解得：，
故答案为：2．
【考点评析】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
15．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为___________．
【答案】
【思路点拨】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【规范解答】解∶由得到，对于一元二次方程，设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故答案为∶
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解.正确计算是解题的关键．
16．(本题2分)（2021春·山东泰安·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【思路点拨】将代入方程，结合，进行求解即可．
【规范解答】解：将代入方程，得：
，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，，
∴；
故答案为：．
【考点评析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0．
17．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
【答案】或
【思路点拨】求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【规范解答】∵，
∴，
∴，或，
∴，，或，，
当，时根据，
∴，
当，时根据，
∴，
故答案为：或
【考点评析】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．
18．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________．
【答案】
【思路点拨】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【规范解答】解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴，
解得
∴原方程可化为，
解得
∴等边三角形的三边边长都为3
∴等边三角形的高为：
∴等边三角形的面积为．
故答案为．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．
19．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
【答案】
【思路点拨】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
【规范解答】解：由题意得：，
∴
设的两根分别是、；则，；
∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．
故答案为．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
20．(本题2分)（2020秋·福建泉州·八年级校考期中）已知a、b、c满足，，，则_______．
【答案】3
【思路点拨】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a、b、c的值，从而求得a+b+c的值．
【规范解答】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，
即，
∴，
∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
【考点评析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【规范解答】解：（1），
则，
故，
则，
故，
解得：，；
（2），
，
则或，
解得：，．
【考点评析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
22．(本题6分)（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)原方程的根是；
(2)原方程的根是．
【思路点拨】(1)设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根；
(2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根．
【规范解答】（1）设，则原方程可化为
解得∶
当时，，解得
当时，，方程无解
原方程的根是；
（2）设，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当时，，解得
当时，，方程无解
经检验∶都是原方程的解
原方程的根是．
【考点评析】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【思路点拨】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ．
(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．
【规范解答】（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
【考点评析】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
24．(本题8分)（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件．
(1)求，两种商品的单价；
(2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠．
【答案】(1)A商品的单价为180元，商品的单价为240元
(2)当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠
【思路点拨】（1）设商品单价为元，则商品单价为元，然后根据题意列分式方程求解；
（2）分别求得甲乙两个商场的总价，然后通过列方程和不等式计算作出比较．
【规范解答】（1）解：设商品单价为元，则商品单价为元，由题意可得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
元，
商品的单价为180元，商品的单价为240元；
（2）解：设在商场花费为元，在商场的花费为元，由题意可得：
，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，选择乙商场更优惠；当时，甲乙商场花费一样；当时，选择甲商场更优惠．
【考点评析】本题考查了分式方程的应用和一次函数的应用，找准题目间的等量关系正确列出关系式求解是关键．
25．(本题8分)（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点坐标为或或或
【思路点拨】（1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得、的坐标；
（2）过作于点，由勾股定理可求得，由角平分线的性质可得，再根据，可求得，则可求得的面积；
（3）可设，分、和三种情况，分别构造“”型全等，可求得点坐标．
【规范解答】（1）解：在中，
令可得
解得，
令，解得，
，；
（2）如图，过点作于点，
平分，
，
由可知，，
，
，
，解得，
；
（3）点P在第一象限内，为等腰直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，如图，过点作轴于点，则
∵，，
∴，
∴
∴,
∴,
∴此时点坐标为；
②时，如图，
同理可得
∴,
∴,
则此时点坐标为；
③时，如图，过点作轴，过点作于点，
同理可得，
∴，
∴
解得：
∴
所以此时点坐标为；
综上可知使为等腰直角三角形的点坐标为或或．
【考点评析】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在(1)中注意函数图象与坐标轴的交点的求法，在(2)中利用角平分线的性质和等积法求得的长是解题的关键，在(3)中根据全等三角形的性质证明，由全等三角形的性质得到关于点坐标是解题的关键．
26．(本题8分)（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【规范解答】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【考点评析】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
27．(本题8分)（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1)求点的坐标和的大小；
(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，，，．
【思路点拨】（1）先求解，，可得，，从而可得，如图，取的中点,连接,而，再证明为等边三角形，可得答案；
（2）先证明，,可得,求解，可得为，过作交x轴于Q，设， 可得.，从而可得答案；
（3）由为，设，而,可得,再分三种情况讨论即可.
【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
如图，取的中点,连接,而，
∴，
∴为等边三角形，
∴.
（2）解：∵折叠，，
∴，，
∴，,
∴,
∴，
设为，
∴，解得：，
∴为，
过作交x轴于Q，
设，代入，
∴，
解得：，
得.
令，则
∴
（3）解：∵为，设，
而，
∴，
当时，
，
解得：，
∴，
当时，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
当时，
∴，解得：，
∴或，
综上：，，，．
【考点评析】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，含的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.
28．(本题10分)（2023春·八年级课时练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）当时，有最大值
【思路点拨】（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；
（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．
【规范解答】（1）证明：
．
．
．
．
是正数．
（2）解：由题意得：，，．
．
．
．
又∵
当时，有最大值．
中小学教育资源及组卷应用平台
【考点评析】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．21世纪教育网(www.21cnjy.com)2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题03 解一元二次方程
姓名：___________班级：___________考号：__________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题2分)（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最大值为7，则m的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
3．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
4．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若用配方法解方程，则方程变形为（ ）
A． B． C． D．
5．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）对于二次三项式（且m为常数）和，下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则；
②无论x取任何实数，若等式恒成立，则；
③当时，，，则；
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．(本题2分)（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）.
A．或2 B． C．2 D．0
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．(本题2分)（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）三角形两边长分别为和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是( )
A． B．或 C． D．和
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么满足条件的所有非负整数k的和为______．
12．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若a，b，c满足，则________；
13．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为__________．
14．(本题2分)（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，则的值是_____．
15．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为___________．
16．(本题2分)（2021春·山东泰安·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______．
17．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．
18．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________．
19．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
20．(本题2分)（2020秋·福建泉州·八年级校考期中）已知a、b、c满足，，，则_______．
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
22．(本题6分)（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
24．(本题8分)（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）已知商品的单价比商品少60元，且用3600元购买商品的数量比购买商品的数量多5件．
(1)求，两种商品的单价；
(2)甲、乙两家商场以同样的价格出售，两种商品．甲商场的优惠方案是：购买商品享受七折优惠，商品无优惠；乙商场的优惠方案是：每购买10件商品，赠送1件商品．现需到同一家商场购买40件商品和件商品（为10的倍数），求到哪个商场购买更优惠．
25．(本题8分)（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）如图，函数的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C在y轴上，AC平分∠OAB．
(1)求点A、B的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在第一象限内，且以A、B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你直接写出点P的坐标．
26．(本题8分)（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
27．(本题8分)（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段上的点处，折痕与轴的交点记为．
(1)求点的坐标和的大小；
(2)在轴正半轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
28．(本题10分)（2023春·八年级课时练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
（1）已知，求证是正数．
知识迁移：
（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
