浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题04 增长率问题（一元二次方程的应用）
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一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．
【规范解答】解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，
∴商品现在的价格为：，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，
∴商品现在的价格为：，
∴，
整理得：，
故选：C．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
2．(本题2分)（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A型号的单车，二期又投放了B型号的单车．已知B型号的单车的单价比A型号的单价提高的百分率是B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据题意列出关于x的一元二次方程即可
【规范解答】设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为，
则B型号的单车的单价比A型号的单价的增长率是，
把一期总投入看作1，由题意得：
故选：B
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决问题的关键
3．(本题2分)（2021秋·上海·八年级期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000 D．
【答案】D
【思路点拨】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【规范解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴，
即．
故选：D．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
4．(本题2分)（2022春·浙江温州·八年级统考期末）温州某镇居民人均可支配收入逐年增长，从2019年的5.2万元增长到2021年的6万元．设这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为，根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】设镇居民人均可支配收入年平均增长率为x，根据从2019年到2021年人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为，
依题意，得：．
故选：B．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝4 B．3（1+x）2＝4 C．3（1+x）3＝4 D．（1+x）3＝4
【答案】B
【思路点拨】设增长率为x，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设增长率为x，
依题意，得3（1+x）2＝4
故选：B．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
7．(本题2分)（2021春·八年级课时练习）某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
【规范解答】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
8．(本题2分)（2020春·山东威海·八年级统考期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2.3 （1+x）2=1.2 B．1.2（1+x）2=2.3
C．1.2（1﹣x）2=2.3 D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
【答案】B
【规范解答】如果每天的增长率都为x，利用第一天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3.
故选：B．
点睛：本题考查增长率问题，关键是知道两天的变化，知道两天前的情况和两天后的情况，列方程．
9．(本题2分)（2021春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程即可．
【规范解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
25（1-x）2=16．
故选：A．
【考点评析】此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）=现在的价格．
10．(本题2分)（2021春·广西南宁·八年级校考期中）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x万个，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据增长率分别表示出11月、12月的生产量，再依据第三季度的生产量为2375万个，列方程即可．
【规范解答】解：根据题意，11月的生产量为：（万个）；
12月的生产量为：（万个）；
第三季度的生产量为2375万个，列出方程为：．
故选：C．
【考点评析】本题看考查了一元二次方程应用的增长率问题，解题关键是明确增长率问题的解题特征，注意所求为一季度产量．
评卷人得分
二、填空题(0共18分)
11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
【答案】
【思路点拨】设该公司每个季度的下降率是x ，根据该公司第一季度及第三季度的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【规范解答】解∶设该公司每个季度的下降率是x，
依题意，得∶，
解得∶， （不符合题意，舍去）．
即该公司每个季度的下降率是，
故答案为∶ ．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．(本题2分)（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为元，经过两个月后的价格为元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为______．
【答案】
【思路点拨】设这件商品价格每月的增长率为x，根据9月份的价格为100元以及两个月后的价格为121元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【规范解答】解：设这件商品价格每月的增长率为x，
根据题意，得
，
解得，（不合题意，舍去）．
故这两个月平均每月的增长率是．
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
13．(本题2分)（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程____________．
【答案】
【思路点拨】先设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），列出方程即可．
【规范解答】解：设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据题意得：
故答案为:
【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出关键描述语，列出方程．
14．(本题2分)（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某特许零售店冰墩墩毛绒玩具的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．求该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率．
【答案】该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率为10%
【思路点拨】设月平均增长率为x，然后根据题意列一元二次方程即可求解．
【规范解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得=10%，（不合题意，舍去）．
答：该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率为10%．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程成为解答本题的关键．
15．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．
【答案】10%
【思路点拨】设商城自行车销量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1＋月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【规范解答】解：设商城自行车销量的月平均增长率为x，
依题意得：100（1＋x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合题意，舍去），
∴商城自行车销量的月平均增长率为10%，
故答案为：10%．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是______．
【答案】10%
【思路点拨】设平均每月利润的增长率是x，则可列出关于x的一元二次方程，解方程则问题则解决．
【规范解答】设平均每月利润的增长率是x，则由题意得：
解方程得：，（舍去）
即设平均每月利润的增长率是10%．
故答案为：10%．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，根据题意正确列出方程是关键．
17．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【思路点拨】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【规范解答】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(本题2分)（2021春·上海松江·八年级校考期中）一辆汽车，新车购买价18万元，第一年的折旧率为20%，以后每年的年折旧率为x，如果该车在购买后第三年末的折旧价值为12.25万元，求年折旧率x的值．那么可以列出关于x的方程式为___．（只列方程，不求解）
【答案】
【思路点拨】根据第一年折旧价值为，可求得第二年，第三年折旧价值，据此即可列出一元二次方程
【规范解答】解：设年折旧率为x
第一年折旧价值为，
第二年折旧价值为，
第三年折旧价值为，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意准确找到等量关系，列出方程是解决本题的关键．
19．(本题2分)（2022春·安徽滁州·八年级校联考期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 _____．
【答案】20
【思路点拨】利用总收入＝亩产量×销售单价，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解一元二次方程即可得出a的值，再取其正值即可得出结论．
【规范解答】解：由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题(共62分)
20．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
【答案】(1)三、四这两个月的月平均增长率为．
(2)当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【思路点拨】（1）直接利用二月销量四月的销量进而求出答案．
（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可．
【规范解答】（1）解：（1）设三、四这两个月的月平均增长率为x
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：三、四这两个月的月平均增长率为．
（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
根据题意可得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店五月份获利3250元．
【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.
(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少
(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少
【答案】(1)50%
(2)67.5万台
【思路点拨】（1）设年平均增长率为x，根据2020年出口量×（1+年平均增长率）=2022年的出口量，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用2023年的出口量= 2022年的出口量×（1+年平均增长率），即可得出结论．
【规范解答】（1）解：设年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两年新能源汽车出口量的年平均增长率为；
（2）万台，
∴预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万台．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商品获利4250元．
【思路点拨】（1）由题意可得，一月份的销售量为：256件；设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，利用销量×每件商品的利润，列出方程，解方程即可．
【规范解答】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：， (不合题意舍去)，
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：， (不合题意舍去)，
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程，解方程．
23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【思路点拨】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(本题6分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．
(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．
(2)求10月份该玩具的销售量．
【答案】(1)两个月销售额的月平均增长率为20%
(2)10月份该玩具的销售量为180个
【思路点拨】（1）根据题意，找出等量关系，列出方程求解即可，10月销售额=8月销售额×（1+平均增长率）；
（2）根据“销售额=单价×数量”列出方程求解即可．
【规范解答】（1）解：设这两个月销售额的月平均增长率为，
由题意得：，
解之得：，（舍），
答：这两个月销售额的月平均增长率为20%．
（2）设10月份该玩具的销售价格为元，
由题意得：，
解之得：，（舍），
当时，，
答：10月份该玩具的销售量为180个．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解．
25．(本题6分)（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长百分率为
(2)当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元
【思路点拨】（1）利用平均增长率的等量关系：，列式计算即可；
（2）利用总利润＝单件利润×销售数量，列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【考点评析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键．
26．(本题6分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
(2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【思路点拨】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据总利润=A，B两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【规范解答】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意，
得200（1+x）2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%，
∴200（1+20%）=240（人），
∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人；
（2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，
∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人），
设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件，
根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456，
∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，
∴432-a≤3a，
解得：a≥108，
∵-3＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a=108时，W最大，最大值为3132，
∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元．
【考点评析】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
27．(本题6分)（2021春·四川成都·八年级统考期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）每天增长的百分率是20%；（2）①应该增加4条生产线；②不能，见解析
【思路点拨】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30a）万个/天，根据每天生产口罩9000万个，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【规范解答】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：300（1+x）2=432，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（900-30m）=3900，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（900-30a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（900-30a）=9000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩9000万个．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．(本题6分)（2019秋·八年级课时练习）某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率．
【答案】5%.
【思路点拨】根据“本金年利率）本息和”作为相等关系列方程求解即可．注意第二年存的本金为5000+10000x元．注意根据实际意义进行值的取舍．
【规范解答】设银行原来年利率x一年后本利：10000（1+x)元，取出5000后,存入金额为：5000+10000x元，依题意得：
5000+10000x+（5000+10000x）（x-3%）（1-20%）=5588
2000x2+3440x-177=0
（20x-1）(100x+177)=0
解得x=0.05 =5% ，x=-1.77(不符要求舍去)
答：原来年利率为5%．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．本题的等量关系是：本金年利率）本息和．
29．(本题8分)（2017春·八年级单元测试）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
【答案】（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% ；（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆.
【思路点拨】（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解；
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，根据要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，可列出不等式求解．
【规范解答】（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，得75（1+x）2=108，
则1+x=±1.2，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；
（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，
根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
【考点评析】本题第一问考查的是一个增长率问题，知道2008年的辆数，知道2010年的辆数，发生了两年变化，可列方程求解．第二问以汽车总量做为不等量关系，根据增加的和报废的，可求出结果．
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专题04 增长率问题（一元二次方程的应用）
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题2分)（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A型号的单车，二期又投放了B型号的单车．已知B型号的单车的单价比A型号的单价提高的百分率是B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B型号的投放数量比A型号投放数量的增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．(本题2分)（2021秋·上海·八年级期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000 D．
4．(本题2分)（2022春·浙江温州·八年级统考期末）温州某镇居民人均可支配收入逐年增长，从2019年的5.2万元增长到2021年的6万元．设这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为，根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝4 B．3（1+x）2＝4 C．3（1+x）3＝4 D．（1+x）3＝4
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．(本题2分)（2021春·八年级课时练习）某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
8．(本题2分)（2020春·山东威海·八年级统考期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2.3 （1+x）2=1.2 B．1.2（1+x）2=2.3
C．1.2（1﹣x）2=2.3 D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3
9．(本题2分)（2021春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题2分)（2021春·广西南宁·八年级校考期中）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x万个，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共18分)
11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．
12．(本题2分)（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为元，经过两个月后的价格为元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为______．
13．(本题2分)（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程____________．
14．(本题2分)（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某特许零售店冰墩墩毛绒玩具的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．求该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率．
15．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．
16．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是______．
17．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
18．(本题2分)（2021春·上海松江·八年级校考期中）一辆汽车，新车购买价18万元，第一年的折旧率为20%，以后每年的年折旧率为x，如果该车在购买后第三年末的折旧价值为12.25万元，求年折旧率x的值．那么可以列出关于x的方程式为___．（只列方程，不求解）
19．(本题2分)（2022春·安徽滁州·八年级校联考期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 _____．
评卷人得分
三、解答题(共62分)
20．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．
(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）
21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.
(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少
(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少
22．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
24．(本题6分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．
(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．
(2)求10月份该玩具的销售量．
25．(本题6分)（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
26．(本题6分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．
(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？
(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．
27．(本题6分)（2021春·四川成都·八年级统考期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
28．(本题6分)（2019秋·八年级课时练习）某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率．
29．(本题8分)（2017春·八年级单元测试）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
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