浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题05 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据图中曲桥分布，列出方程即可；
【规范解答】解：如图，
将曲桥移至同一水平上可得，
故选：C
【考点评析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
2．(本题2分)（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【思路点拨】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【规范解答】解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【思路点拨】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【规范解答】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，
解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；
故选A
【考点评析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
4．(本题2分)（2022春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校联考期末）如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为米、米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为米，可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【思路点拨】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据上图可知正方形的边长为a+b，下图长方形的长为a+b+b，宽为b，并且它们的面积相等，由此可列出，解方程即可求得结论．
【规范解答】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则，即，
∵ab≠0，
∴，
解得：，
∵＞0，
∴，
∴当a=1时，，
故选：B．
【考点评析】本题考查了图形的拼接、解一元二次方程、正方形的面积、长方形的面积，正确理解题意，找到隐含的数量关系列出方程是解答的关键．
6．(本题2分)（2022春·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路点拨】根据“剪去的小正方形的边长为”，则纸盒的底面为长，宽为的长方形，再根据纸盒的底面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设剪去小正方形的边长为,则纸盒的底面为长，宽为的长方形，
依题意，得：在．
故选：D．
【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠，使点A落在线段上（即处），折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题．
【规范解答】解：设，则，
由折叠的性质可知：≌，是的中点，
，，
根据勾股定理得：，
，
，
解得：，
的解为：，
取正值为，
这条线段是线段．
故选B．
【考点评析】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【规范解答】解：中间小正方形的边长为，其面积为9，
大正方形面积为，边长为7，
∴图2是，即的几何解法，
故选：A
【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
9．(本题2分)（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】根据题意列出方程组，求出的值，再进行计算即可．
【规范解答】解：根据题意得：
，
解得：（负值已舍去），
扩建后的长方形土地的面积为m2，
故选：B．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．
10．(本题2分)（2020秋·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于，的方程组，利用②①可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，进而可得出的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．
【规范解答】解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：B．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
评卷人得分
二、填空题(共20分)
11．(本题2分)（2021春·浙江·八年级期中）某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆），若花园的面积为320平方米，则AB＝_____．
【答案】20米
【思路点拨】根据54米的篱笆，即总长度是54米，设BC＝x米，则AB＝（54-x+2）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可完成求解．
【规范解答】设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（54-x+2）米，依题意列方程得：
（54-x+2）x＝320
x2-56x+640＝0
解方程得：x1＝16，x2＝40
∵28＜40
∴x2＝40（不合题意，舍去）
∴x＝16
∴AB＝（54-x+2）＝20
故答案为：20米．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的实际应用；解题的关键是找到等量关系列方程．
12．(本题2分)（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在中，cm，cm，如果按图中所示的方法将沿折叠，使点落在边上的点，那么=______________．
【答案】3cm．
【思路点拨】利用勾股定理列式求出AB，根据翻折变换的性质可得AC′=AC，C′D=CD，然后求出BC′，设CD=x，表示出C′D、BD，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【规范解答】解：∵cm，cm，
∴AB==10cm．
∵由翻折变换的性质可知：AC′=AC=6cm，C′D=CD，
∴BC′=AB-AC′=10-6=4cm．
设CD=x，则C′D=x，BD=8-x，
在Rt△BC′D中，由勾股定理得，BC′2+C′D2=BD2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3．
∴CD=3cm．
故答案为：3cm．
【考点评析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
13．(本题2分)（2022春·河北石家庄·八年级校考期末）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在射线BA上（不与A、B重合），过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C、D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为_____．
【答案】（1，1）或（，2）或（，）
【思路点拨】设点P横坐标为a，则点P的纵坐标为﹣2a+3，然后再利用矩形OCPD的面积为1列出方程，计算出a的值，进而可得答案．
【规范解答】解：设点P横坐标为a，点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，分两种情况求解：
①∵当P在x轴上方时，
∴点P的纵坐标为﹣2a+3，
∵矩形OCPD的面积为1，
∴a（﹣2a+3）＝1，
解得：a1＝1，a2，
当a＝1时，﹣2a+3＝1，
当a时，﹣2a+3＝2，
∴点P的坐标为（1，1）或（，2），
②∵当P在x轴下方时，
∴点P的纵坐标为﹣2a+3，
∵矩形OCPD的面积为1，
∴a（2a﹣3）＝1，
解得：a1（不合题意舍去），a2，
当a时，﹣2a+3，
∴点P的坐标为（）．
故答案为：（1，1）或（，2）或（，）．
【考点评析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于列出正确的等式．
14．(本题2分)（2022春·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗重园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗重园的面积为y平方米．当y=72时，则x=_____．
【答案】12
【思路点拨】根据题意，列出方程（30-2x）x=72，解得x1=12，x2=3，由题可知30-2x≤18，解得x≥6，进而求出最后x的值．
【规范解答】解：由题意，得
（30-2x）x=72
解得x1=12，x2=3
又30-2x≤18
解得x≥6
∴x=12
故答案为：12．
【考点评析】本题考查一元二次方程与不等式的综合应用，熟练地解一元二次方程和不等式式解决问题的关键．
15．(本题2分)（2021春·山东威海·八年级校考期中）在一个长为米，完为米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块矩形面积的，建造如图所示的宽度相同的角路，则角路的宽度为_________．
【答案】4米
【思路点拨】设路宽x米，根据题意，得，解方程即可．
【规范解答】将阴影部分集中梳理得到如下图形，设路宽x米，根据题意，得
解得（舍去），
故答案为：4米．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，正确处理阴影路是解题的关键．
16．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为______．
【答案】
【思路点拨】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．
【规范解答】解：设竹竿的长为x米，
由题意得：，
解得：，（舍去），
故答案为：．
【考点评析】考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
17．(本题2分)（2022秋·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女生，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇报演出时男生挥舞彩旗，女生摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过，那么场地的面积为___________．
【答案】50
【思路点拨】先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和b的取值范围，在范围内判断求解即可．
【规范解答】解：设长方形地块的长为am，宽为bm，彩旗的单价为x元/个；
由题意可知女生占地的长为（a-2）m，宽为（b-2）m，
由间隔均为1m，可得女生人数为（a-2+1）(b-2+1)，即为（ab-a-b+1）人，
由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，所以男生人数为2（a+1）+2(b-1)，即为（2a+2b）人；
∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，
∴4.8（2a+2b）x=4（ab-a-b+1）x；
化简得：，
∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，
∴a和b都是正整数，且
∴且为5的整数倍，
∴或，
∴；
故答案为：50．
【考点评析】本题考查了列代数式和方程在实际问题中的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出代数式，建立方程，通过限定条件，求出未知数的值．
18．(本题2分)（2019春·山东德州·八年级统考期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．
【答案】11．
【规范解答】试题分析：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为11cm．
故答案为11．
考点： 一元二次方程的应用．
19．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．
【答案】 3 6.5##
【思路点拨】先将，，用用a，b表示，再分别根据与，计算即可．
【规范解答】解：在图1中，根据题意得：，
∴，
同理在图2中，，
∴
∴，
又∵，
∴．
又∵，即，
将代入方程中得：
解得：（舍去），
∴．
在图3中，
∴
故答案为：3；．
【考点评析】本题考查列代数式，整式的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识和技巧是解题的关键．本题难度较大，所列式子较复杂，需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力．
20．(本题2分)（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为___________．
【答案】
【思路点拨】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解
【规范解答】如图2所示：
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．
故答案为：
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题8分)（2022春·八年级课时练习）将一个容积为的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．图中应满足怎样的方程？
【答案】
【思路点拨】根据题意表示出长方体的长和宽，进而表示出长方体的体积即可．
【规范解答】由题意得：长方体的长为15 ，宽为
则根据题意列出关于x的方程为： ，
整理得：；
故答案为：．
【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示长方体的棱长是解题的关键．
22．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．
【答案】(1)，
(2)不能使窗的面积达到2平方米，理由见解析
【思路点拨】（1）先求出窗框的高，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）把代入（1）所求式子，建立关于x的一元二次方程，看方程是否有解即可．
【规范解答】（1）解：设窗框的宽度为x米，则窗框的高为米，
∴，
∵落地窗的高不小于2米，
∴，
∴；
（2）解；由题意得，
∴，
∵，
∴原方程无实数根，
∴不能使窗的面积达到2平方米．
【考点评析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的应用，正确理解题意列出窗的面积与宽的关系式是解题的关键．
23．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：）
【答案】
【思路点拨】设有盖纸盒的底面边长为，根据长方形的面积公式结合纸盒的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取底面积大于侧面积时的即可得出结论
【规范解答】解：设有盖纸盒的底面边长为，
，，，
当时，，∴不合题意，舍去，∴
答：该有盖纸盒的底面边长为
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(本题8分)（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）一块长方形空地的长是24米，宽是12米．现要在它的中央划一个小长方形区域种植花卉，其余四周植草．如果四周的宽度相同，小长方形面积是原长方形面积的，那么四周的宽度是多少米？
【答案】2米
【思路点拨】设四周草地的宽度为x米，由等量关系：小长方形面积是原长方形面积的，列出方程并解之即可．
【规范解答】解：设四周草地的宽度为x米，
根据题意得：，
化简整理得：，
即，
∴解得：，，
由题意得（不合题意舍去），
所以；
答：四周的宽度为2米．
【考点评析】本题考查了一元二次方程在几何图形方面的应用，理解题意、找到相等关系是解题的关键．
25．(本题8分)（2020春·安徽安庆·八年级统考期末）学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．
（1）用x表示绿化区短边的长为______米，x的取值范围为______．
（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．
【答案】（1）（x-2），≤x≤6；（2）绿化区的长边长为5米．
【思路点拨】（1）由路面宽度不小于2米直接列出代数式，利用最长边14米以及宽度不小于2米，不大于5米，求得x的取值范围；
（2）算出路面面积和绿化区面积，利用路面造价+绿化区造价=总投资列方程解答即可．
【规范解答】解：（1）路面宽为（14-2x）米，则绿化区短边的长为：[10-（14-2x）]÷2=（x-2）米，
依题意得：2≤14-2x≤5，
解得：≤x≤6；
故答案为：（x-2），≤x≤6．
（2）设绿化区的长边长为x米．
由题意列方程得：150×4x（x-2）+200[14×10-4x（x-2）]=25000，
整理得：x2-2x-15=0，
解得：x1=5，x2=-3（不合题意，舍去）．
答：绿化区的长边长为5米．
【考点评析】考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列方程解决问题．
26．(本题10分)（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？
【答案】当0＜a＜10时，问题无解；当10≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；当a≥30时，问题有两解，即宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m
【思路点拨】本题的等量关系是：与墙垂直的一面×与墙平行的一面=长方形的面积，设垂直墙的一边为xm，由题意得x（40﹣2x）＝150，解方程即可求出题目结果．
【规范解答】解：如图，设垂直于墙的一边为xm，
由题意得x（40﹣2x）＝150，
解得x1＝15，x2＝5．
当x＝15时，40﹣2×15＝10；
当x＝5时，40﹣2×5＝30，
∴当0＜a＜10时，问题无解；
当10≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；
当a≥30时，问题有两解，即宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m的鸡场．
【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，解题时一定要结合实际，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
27．(本题10分)（2023春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
【答案】(1)①②长为米，宽为米
(2)或
【思路点拨】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；
（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．
【规范解答】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，
故答案为：平方米；
②根据题意，得，
又∵，
，
原方程化为，
解得（不符合题意，舍去），，
（米），
答：原来矩形场地的长为米，宽为米；
（2）解：根据题意，得，
整理得，
，为正整数，
是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，
当时，，
，，
；
当时，，
，，
；
当时，，
，，
，
综上所述，或．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题05 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022春·广西崇左·八年级统考期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题2分)（2022春·浙江湖州·八年级校联考阶段练习）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
4．(本题2分)（2022春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校联考期末）如图，某校在操场东边开发出一块边长分别为米、米的长方形菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为米，可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
6．(本题2分)（2022春·重庆沙坪坝·八年级统考期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠，使点A落在线段上（即处），折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ）
A． B．
C． D．
9．(本题2分)（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题2分)（2020秋·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（2021春·浙江·八年级期中）某公园准备围建一个矩形花园ABCD，其中一边靠墙，其他三边用长为54米的篱笆围成，已知墙EF长为28米，并且与墙平行的一面BC上要预留2米宽的入口（如图MN所示，不用围篱笆），若花园的面积为320平方米，则AB＝_____．
12．(本题2分)（2020秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在中，cm，cm，如果按图中所示的方法将沿折叠，使点落在边上的点，那么=______________．
13．(本题2分)（2022春·河北石家庄·八年级校考期末）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在射线BA上（不与A、B重合），过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C、D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为_____．
14．(本题2分)（2022春·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗重园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗重园的面积为y平方米．当y=72时，则x=_____．
15．(本题2分)（2021春·山东威海·八年级校考期中）在一个长为米，完为米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块矩形面积的，建造如图所示的宽度相同的角路，则角路的宽度为_________．
16．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽，竖着比城门高，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为______．
17．(本题2分)（2022秋·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内站成行距、列距均为的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是．但后来发现这样安排只能刚好站下参加汇演的所有女生，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置．汇报演出时男生挥舞彩旗，女生摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过，那么场地的面积为___________．
18．(本题2分)（2019春·山东德州·八年级统考期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．
19．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为；若时，则_________；若再在边长为大正方形的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图3），当时，则图3中阴影部分的面积_________．
20．(本题2分)（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为___________．
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题8分)（2022春·八年级课时练习）将一个容积为的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．图中应满足怎样的方程？
22．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）某商店需要在外墙安装落地窗，用总长为6米的铝合金做成一个如图所示的“日”字型窗框，设窗框的宽度为x米，落地窗的面积为y平方米．落地窗的高不小于2米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)能否使窗的面积达到2平方米，如果能，窗的高度和宽度各是多少？如果不能，试说明理由．
23．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，将一张宽的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：）
24．(本题8分)（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）一块长方形空地的长是24米，宽是12米．现要在它的中央划一个小长方形区域种植花卉，其余四周植草．如果四周的宽度相同，小长方形面积是原长方形面积的，那么四周的宽度是多少米？
25．(本题8分)（2020春·安徽安庆·八年级统考期末）学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．
（1）用x表示绿化区短边的长为______米，x的取值范围为______．
（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．
26．(本题10分)（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？
27．(本题10分)（2023春·浙江·八年级专题练习）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；
若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．
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