浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题07 动态几何问题（一元二次方程的应用）
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A． B． C．6 D．
【答案】B
【思路点拨】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【规范解答】解：∵，
∴，
设点E运动的时间是．
根据题意可得，
解得， ，
∵，
∴两点运动了后停止运动．
∴．
故选∶B．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
2．(本题2分)（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动 秒时，的面积等于5cm2．
A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
【答案】D
【思路点拨】由题意可得，，则利用三角形的面积公式即可求解．
【规范解答】解：设运动的时间为，
由题意得：，，
，
解得：，，
即当或时，的面积等于．
故选：D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，正确地列出方程是解题的关键．
3．(本题2分)（2022秋·广东韶关·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【思路点拨】设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，由三角形的面积公式结合△PBQ的面积为15cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【规范解答】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t （8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
【答案】D
【思路点拨】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【规范解答】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【思路点拨】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【规范解答】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
6．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题已知了 、 的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 =速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
【规范解答】解：设秒后，的面积等于，
依题意得：，
∴，
∴，，
当时，，即不合题意，舍去．
所以10秒后，的面积等于．
故选B．
【考点评析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、BQ、CQ关于时间x的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．
7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【答案】A
【思路点拨】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间．
【规范解答】解：设点运动的时间为，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当到达点时两点同时停止运动，
，
，
．
故选：A．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【思路点拨】当运动时间为t秒时，cm，cm，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【规范解答】解：当运动时间为ts时，cm，cm，
∴cm．
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：当的面积为时，点P运动的时间是2s．
故选：A．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【答案】A
【思路点拨】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解．
【规范解答】解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ，
∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论：
①当时，则，
则，解得：，（舍去）；
②当时，，
则，即，此时，此方程无解；
③当时，，
则，即，解得：（舍去），；
故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）．
【考点评析】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．
10．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )
A．2x·x＝24
B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24
D．(10－2x)(8－x)＝48
【答案】D
【规范解答】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知(10－2x)(8－x)＝24,
(10－2x)(8－x)＝48,选D.
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过________秒钟，使的面积等于．
【答案】2或4##4或2
【思路点拨】设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论．
【规范解答】解：设经过秒，的面积等于，则，，
根据题意，可得：，
即，
解得：，，
∴经过或，的面积等于，
故答案为：2或4．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．
12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
【答案】10或
【思路点拨】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在上运动；（2）当蚂蚁在上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．
【规范解答】解：有两种情况：
（1）如图1，当蚂蚁在上运动时，
设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得；
（2）如图2，当蚂蚁在上运动时，
设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得，（舍去）．
答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100．
故答案为：10或．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．
13．(本题2分)（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．
【答案】2或3##3或2
【思路点拨】设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解．
【规范解答】解：设运动时间为秒，则，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____．
【答案】
【思路点拨】设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，根据题意得： ， ，从而得到，再由 ，可得到关于 的方程，即可求解．
【规范解答】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，
根据题意得： ， ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵△PCQ的面积等于450m2，
∴ ，
解得： ，
∵点从点C开始沿以的速度移动，
∴ ，
∴ ，
即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ．
故答案为：
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于 的方程是解题的关键．
15．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
【答案】或
【思路点拨】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．
【规范解答】解：∵在等腰中，，，
∴，，．
∵于点．
∴设当时间为秒时，的面积为．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
当时，，，
，即，
解得：或（舍去）．
综上所述：当或秒时，的面积为．
故答案为：或．
【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．
16．(本题2分)（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当______时，的面积等于．
【答案】2
【思路点拨】首先用分别表示，的长度，然后利用三角形的面积公式即可列出关于的方程，解方程即可解决问题．
【规范解答】解：，、，
，
，，
当时，，故舍去，
当时，的面积等于，
故答案为：．
【考点评析】此题考查了一元二次方程、三角形的面积公式，也是一个动点问题，用分别表示，的长度是解决问题的关键．
17．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 _____秒时，它们相距．
【答案】9或12
【思路点拨】设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合厘米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【规范解答】解：设运动秒时，，两点相距15厘米，
依题意，得：，
解得：，，
运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米；
故答案为：9或12．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．(本题2分)（2022春·山东淄博·八年级校考期中）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．
【答案】7
【思路点拨】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【规范解答】解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：，AB⊥AC，
∵在Rt△ABC中，BC=500km，AB=300km，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴
解得：，（不符合题意，舍去）．
故答案为：7．
【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．
19．(本题2分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【答案】2或4或
【思路点拨】过点作于点，设时间，根据面积列方程即可求出答案．
【规范解答】解：如图，过点作于点，则，
，
，
设经过秒后的面积等于，
则，，，
当点在线段上运动时，，
根据题意：，
，，
当点在的延长线上运动时，，
根据题意：，
，（舍，
故经过2秒或4秒或秒后，的面积等于．
故答案为：2秒或4秒或秒．
【考点评析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是要对分类讨论．
20．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
【答案】或
【思路点拨】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
【规范解答】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．
故答案为：，．
【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
【答案】(1)秒或秒
(2)秒或秒
【思路点拨】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米，根据三角形的面积公式结合的面积等于8平方厘米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，则厘米，，根据三角形、矩形的面积公式及的面积等于矩形面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【规范解答】（1）设经过秒时，的面积等于8平方厘米，
则厘米 ，厘米，
根据题意，得，
整理，得 ，
解得 ， ．
故经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）设经过秒时，的面积等于矩形面积的，
则厘米，厘米，
根据题意，得 ，
整理，得 ，
解得 ，．
故经过秒或秒时，的面积等于直角三角形面积．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．(本题6分)（2022秋·江西南昌·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？
【答案】2s或4s
【思路点拨】当运动时间为ts时，，，利用三角形面积公式结合的面积等于8，列出关于t的一元二次方程解得即可．
【规范解答】解：当运动时间为ts时，，，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当t为2s或4s时，的面积等于8．
【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．(本题8分)（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点P在上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为；点Q在上从点C运动到点A（不包括点A），速度为．若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)经过几秒，P，Q两点的距离为？
(2)经过几秒，的面积为？
【答案】(1)经过1秒，P，Q两点的距离为
(2)经过秒或秒，的面积为
【思路点拨】（1）设经过秒，P，Q两点的距离为，勾股定理列式求解即可；
（2）利用，列式计算即可．
【规范解答】（1）解：设经过秒，P，Q两点的距离为，
由题意，得：，
∵在中，，，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得：，（舍去）；
∴经过1秒，P，Q两点的距离为；
（2）解：设经过秒，的面积为，
此时：，则：，
∴，
解得：，
∴经过秒或秒，的面积为．
【考点评析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键．
24．(本题8分)（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：
(1)若点在边上，当为何值时，？
(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，当时
(2)存在；当或时，的面积为
【思路点拨】（1）先根据已知条件求出的长度，再设经过 秒，是直角三角形，此时， ，当，，解方程即可；
（2）设经过秒，的面积为，连接，作于，分类讨论点在边上和点在边上，，即可求解．
【规范解答】（1）解：过点作，如图所示：
∵等腰三角形，，，
∴，
∴，
∴，
设经过秒，是直角三角形，则
， ，
当时，如图所示：
∴，
∴，
解得：，
若点在边上，当时
（2）存在，理由如下：
当点在边上，连接，过点作于，如图所示：
设经过秒，的面积为，则
， ，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍），
当点在边上，连接，，作于，如图所示：
设经过秒，的面积为，则
，，
∴，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴当或时，的面积为．
【考点评析】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的应用和三角形与动点问题的综合，分类讨论思想和数形结合的思想是解决本题的关键．
25．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积是面积的．
【思路点拨】（1）利用勾股定理求出，然后根据即可得出答案；
（2）分两种情况：①当点在线段上，即时，②当点在线段的延长线上，即时，分别根据的面积是面积的列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵点P从点A开始沿射线向点以的速度移动，
∴，
∴当点在线段上运动时，、两点之间的距离为，
故答案为：；
（2）解：，
①当点在线段上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
∵，
∴该一元二次方程无实数根，
∴此情况不存在；
②当点在线段的延长线上，即时，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
综上所述，存在，当时，的面积是面积的．
【考点评析】本题考查了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
26．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
(1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)秒
(2)秒或秒
【思路点拨】（1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点P应在上，才是四边形．根据路程=速度时间，分别用t表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．
【规范解答】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的
，，
，
解得：
∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的．
（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为，
①当时，
当点在点上方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得（舍），．
当点在点下方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得，（舍）．
②当时，则
∵，，
∴，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴
有，
得方程：，
，
此方程无实根．
综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为．
【考点评析】本题考查一元二次方程动点问题，涉及到一元二次方程和勾股定理的相关知识，注意分类讨论思想的运用．
27．(本题8分)（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．
【答案】，或
【思路点拨】根据运动特点先求出，，，即有，，；再根据直角三角形的特点，分类三种情况讨论即可作答．
【规范解答】根据运动特点可得：，，
∴，
∵射线OD是的平分线，
∴OD也是第一象限的角平分线，
∵第一象限的角平分线的点的横纵坐标相等，
∵点P从点O出发射线OD方向移动，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据矩形的性质易得，
则；；；
当为直角三角形时，
时，，
解得；(舍去)；
时，，
解得：，
时，
解得：(舍去)，
综上，，或秒时，为直角三角形．
【考点评析】本题考查了两点之间的距离公式，勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握两点之间的距离公式，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解题的关键．
28．(本题8分)（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【思路点拨】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出；
（2）因为，所以当是等腰三角形时，只有，表示出，当时，；当时，；当时，；利用，即可求出t的值；
（3）由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；利用，解关于t的方程即可．
【规范解答】（1）解：当时，由题意可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴是等腰三角形时，只有，
由题意可知：，
∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴当时，；当时，；当时，；
∵
∴，解得：，故不符合题意；
，解得：，符合题意；
，解得：，符合题意；
综上所述：或；
（3）解：假设存在t使得的面积等于，
由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；
∴当时，；解得：或（舍去）
当时，，解得：或（舍去）；
当时，，因为，故无解，
综上所述，当或时的面积等于．
【考点评析】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出的值．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题07 动态几何问题（一元二次方程的应用）
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A． B． C．6 D．
2．(本题2分)（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，cm，cm．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从顶点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是2cm/s，点的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，当，两点运动 秒时，的面积等于5cm2．
A．1 B．3 C．3或5 D．1或5
3．(本题2分)（2022秋·广东韶关·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
4．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
6．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是（ ）
A．或 B． C． D．
7．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
8．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
9．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
10．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( )
A．2x·x＝24
B．(10－2x)(8－x)＝24
C．(10－x)(8－2x)＝24
D．(10－2x)(8－x)＝48
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（2022秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过________秒钟，使的面积等于．
12．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
13．(本题2分)（2022秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．
14．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点从点C开始沿以的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是____．
15．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．
16．(本题2分)（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动；点从出发沿向点以厘米秒的速度匀速挪动点、分别从起点同时出发，挪动到某一位置时所需时间是为秒，当______时，的面积等于．
17．(本题2分)（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 _____秒时，它们相距．
18．(本题2分)（2022春·山东淄博·八年级校考期中）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过______小时它就会进入台风影响区．
19．(本题2分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
20．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，厘米，厘米，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，如果，分别是从，同时出发，设时间为秒．
(1)经过几秒时，的面积等于平方厘米？
(2)经过几秒时，的面积等于直角三角形面积的？
22．(本题6分)（2022秋·江西南昌·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？
23．(本题8分)（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，点P在上，从点B到点C运动（不包括点C），点P运动的速度为；点Q在上从点C运动到点A（不包括点A），速度为．若点P，Q分别从B，C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
(1)经过几秒，P，Q两点的距离为？
(2)经过几秒，的面积为？
24．(本题8分)（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰三角形，，，点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，同时点从点出发，沿的方向以的速度向终点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，运动时间记为秒，请解决下列问题：
(1)若点在边上，当为何值时，？
(2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
25．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为秒．当点运动到点时，两点停止运动．
(1)当点在线段上运动时，、两点之间的距离为______．（用含的代数式表示）
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
26．(本题8分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
(1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
27．(本题8分)（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．
28．(本题8分)（2022秋·广东清远·九年级统考期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
