浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题08 一元二次方程根与系数的关系
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一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2021春·山东威海·八年级校考期中）一元二次方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】设一元二次方程的两个根为，根据题意，求解即可．
【规范解答】设一元二次方程的两个根为，
根据题意，
∴解得．
故选A．
【考点评析】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键．
2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【思路点拨】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．
【规范解答】解：设、是的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：，
∵方程的两根互为倒数，
∴可得，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
∴符合题意，
当时，，
∴不符合题意．
∴，
故选：B．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和是否小于零，及两根之积是否大于零．
【规范解答】解：A.，，两根均为正数；
B.，，两根为一正一负；
C.，，两根均为负数；
D.，，两根为一正一负．
故答案为：C．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
4．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【规范解答】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
∴．
故选：D．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．(本题2分)（2022春·浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【思路点拨】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【规范解答】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【考点评析】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键．
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．
【规范解答】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．
7．(本题2分)（2018秋·湖南·八年级统考期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
【答案】D
【规范解答】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
8．(本题2分)（2020秋·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
【答案】C
【规范解答】解：原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程．
当|x-3|<0时，x无解；
当|x-3|=0时，只有1解；
当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解．
所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根．
①当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得=-2
②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0．
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2．
9．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
【答案】A
【思路点拨】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
【规范解答】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，
方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012，
又x1x2=（cd）2012-2012，
则（ab）2012-（cd）2012=x1x2 (cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．
故选：A．
【考点评析】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=．
10．(本题2分)（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0
【答案】D
【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．
【规范解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
则a≠0且△＞0，
由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，
解得，
又∵x1＜1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
那么（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，
，x1x2=9，
即，
解得，
综上所述，a的取值范围为：.
故选D．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．根与系数的关系为：.
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二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（江苏省无锡市东林集团2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知，是一元二次方程的两根，则______．
【答案】6
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【规范解答】解：，是一元二次方程的两根，
，
故答案为：6．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
12．(本题2分)（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）若一元二次方程的两根分别为、，则______．
【答案】
【思路点拨】分别利用一元二次方程根与系数的关系求，将后面的分式通分后再代入求值即可得答案．
【规范解答】解∶，
．
故答案为∶．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系，孰练掌握是解题的关键．
13．(本题2分)（2022秋·四川达州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，若方程的两根之和等于两根之积，则k的值为____
【答案】
【思路点拨】设方程的两根为，根据根的判别式得到，解得，根据根与系数的关系得到，则，可解得，然后根据的取值范围可确定满足条件的的值．
【规范解答】解∶设方程的两根为，
根据题意得，解得，
方程的两根之和等于两根之积，
，
，
而，
．
故答案为：
【考点评析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系∶若方程两个为，则．也考查了一元二次方程根的判别式．
14．(本题2分)（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则_____．
【答案】2
【思路点拨】由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．
【规范解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：2．
【考点评析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．
15．(本题2分)（2021秋·浙江·九年级自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为__________．
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得，的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得，代入可得，同理可得，两式相减即可得的值，进而可得的值．
【规范解答】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．
因为是方程的根，所以，又，
所以①
同理可得②
①-②得．
因为，所以，所以．
故答案为
【考点评析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
16．(本题2分)（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
【答案】
【思路点拨】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
【规范解答】由根与系数的关系得，，
所以，
则，
则
．
故答案为：．
【考点评析】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
17．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）已知a、b、c均为实数，且，，则______．
【答案】4
【思路点拨】先变形得到a+b=4，ab=2c2-4c+10，再根据根与系数的关系，a、b可看作是方程x2-4x+2c2-4c+10=0的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（c-）2=0，得到x=2，c=，然后计算abc的值即可；
【规范解答】∵a+b=4，ab=2c2-4c+10
∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c-）2=0
∴x-2=0或c-=0
解得x=2，c=
∴ab=2×3-4×+10=4
∴abc=4×=4
故答案为：4．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次方程是解决本题的关键．
18．(本题2分)（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．
【答案】 4； -3
【思路点拨】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值．
【规范解答】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为，
∴，
展开，，
可得，，
∴；
∵，，
∴，
∵方程（）有两个根为、，
∴，且，
∴，
设（），得，
∵方程有正数解，
∴，
解得，即，
∴．
故答案为：4，-3．
【考点评析】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键．
19．(本题2分)（2020秋·山东德州·九年级校考期中）设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
【答案】2017
【思路点拨】利用一元二次方程的解的定义得到α2＝﹣α+2018，则α2+2α+β＝α+β+2018，再根据根与系数的关系得到α+β＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【规范解答】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，
∴α2+α﹣2018＝0，
∴α2＝﹣α+2018，
∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，
∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．
故答案为2017．
【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程根与系数关系.
20．(本题2分)（2019秋·河南周口·九年级统考期中）一元二次方程的两根为，，若，则______.
【答案】-7
【思路点拨】先用根与系数的关系，确定m、n的和与积，进一步确定a的值，然后将m代入，得到，最后再对变形即会完成解答.
【规范解答】解：由得：m+n=-5，mn=a，即a=2
又m是方程的根，则有，
所以+（m+n）=-2-5=-7
故答案为-7.
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程的解和多项式的变形，其中根据需要对多项式进行变形是解答本题的关键.
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三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程．
(1)不解方程，判断该方程的根的情况；
(2)设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值．
【答案】(1)一定有实数根
(2)2
【思路点拨】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可判定；
(2)首先可求得，，再根据其中有一根不大于0，可得，据此即可求解．
【规范解答】（1）解：，，，
，
，
∴该方程一定有实数根；
（2）解：由原方程可得：，
解得，．
∵方程其中一根不大于0，
．
又，
∴，
，
∴y的最大值为2．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程的解法、根与系数的关系、根的判别式是解决本题的关键．
22．(本题6分)（2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，将所求式子变形为，据此求解即可．
【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当，原方程即为，
∵方程的根为，，
∴，
∴，
∴
．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(本题8分)（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为，求m的值，并求另一根．
(3)若方程两根为，且满足，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)；另一根为1
(3)
【思路点拨】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可；
（2）把代入，得：，再根据两根之和等于，可得另一根；
（3）根据方程两根为，，则变形，解答即可．
【规范解答】（1）解：，，
方程总有两个实数根；
（2）把代入，得：，
解得：，
根据两根之和等于，所以，
另一根是1；
（3），
，
解得：．
【考点评析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．
24．(本题8分)（2022秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．
例如：已知方程的两根分别是，
则，
请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题：
(1)已知方程的两根分别是，，求和的值；
(2)已知方程的两根分别是，，且，求的值；
(3)已知、是方程的两个根，则________．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【思路点拨】（1）先把原方程化为一般式，再仿照题意求解即可；
（2）先仿照题意得到，再根据求出的值即可得到答案；
（3）先根据题意和一元二次方程解的定义得到，再根据所求可以变形为进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵方程，即的两根分别是，，
∴；
（2）解：∵方程的两根分别是，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵、是方程的两个根，
∴，
∴
∴
，
故答案为：2．
【考点评析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
25．(本题8分)（2023秋·湖北黄石·九年级校联考期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析
【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即．
【规范解答】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，
∴，，
∴，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
∴此时原方程没有实数根，
∴不符合题意；
当时，，
∴此时原方程有两个不相等的实数根，
∴符合题意，
∴的值为1；
（2）①∵，
∴．
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，；
②猜想：．
证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，
同理可得：②，
由①+②，得：，
∵，，，
∴，即．
【考点评析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
26．(本题8分)（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)k的值为2
(3)m的取值范围为或
【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【规范解答】（1）解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3），
，
∴或，
∴或．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．
【考点评析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．
27．(本题8分)（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．
【答案】
【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得关于k的方程，求解该方程即可．
【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根、，
∴，
∵，
∴
．
解方程得：，．
∵，
∴．
【考点评析】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
28．(本题8分)（2020秋·四川·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【思路点拨】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝ 2，得出m＝ 1，n＝ 1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【规范解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，
∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【考点评析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题08 一元二次方程根与系数的关系
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2021春·山东威海·八年级校考期中）一元二次方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题2分)（2022春·浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题2分)（2018秋·湖南·八年级统考期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
8．(本题2分)（2020秋·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期中）已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或a>0 D．或a>0
9．(本题2分)（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（ ）
A． B． C．2012 D．2011
10．(本题2分)（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣＜a＜0
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共20分)
11．(本题2分)（江苏省无锡市东林集团2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）已知，是一元二次方程的两根，则______．
12．(本题2分)（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）若一元二次方程的两根分别为、，则______．
13．(本题2分)（2022秋·四川达州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程，若方程的两根之和等于两根之积，则k的值为____
14．(本题2分)（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则_____．
15．(本题2分)（2021秋·浙江·九年级自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为__________．
16．(本题2分)（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
17．(本题2分)（2022秋·九年级课时练习）已知a、b、c均为实数，且，，则______．
18．(本题2分)（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．
19．(本题2分)（2020秋·山东德州·九年级校考期中）设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．
20．(本题2分)（2019秋·河南周口·九年级统考期中）一元二次方程的两根为，，若，则______.
评卷人得分
三、解答题(共60分)
21．(本题6分)（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程．
(1)不解方程，判断该方程的根的情况；
(2)设，是方程的两根，其中有一根不大于0，若，求y的最大值．
22．(本题6分)（2023秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当时，方程的根为，，求代数式的值．
23．(本题8分)（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根为，求m的值，并求另一根．
(3)若方程两根为，且满足，求m的值．
24．(本题8分)（2022秋·河南南阳·九年级校考阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．
例如：已知方程的两根分别是，
则，
请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题：
(1)已知方程的两根分别是，，求和的值；
(2)已知方程的两根分别是，，且，求的值；
(3)已知、是方程的两个根，则________．
25．(本题8分)（2023秋·湖北黄石·九年级校联考期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出，的值．
②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．
26．(本题8分)（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
27．(本题8分)（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，求的值．
28．(本题8分)（2020秋·四川·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
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