浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题10 方差和标准差
姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）一组数据，，，，的平均数是4，方差是3，则，，，，的平均数和方差是（ ）．
A．13、48 B．13、45 C．16、45 D．16、48
【答案】A
【思路点拨】根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，，，的平均数是，方差是，再进行计算即可．
【规范解答】解：∵数据，，，，的平均数是4，
∴另一组数据，，，，的平均数是；
∵数据，，，，的方差是3，
∴另一组数据，，，，的方差是，
∴另一组数据，，，，的方差是48；
故选：A．
【考点评析】本题考查了方差和平均数：关键是掌握方差和平均数的变化规律；一般地设个数据，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
2．(本题2分)（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差如下表所示．若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
7 7 7.5 7.5
0.45 0.2 0.2 0.45
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【思路点拨】先根据平均成绩得到甲、乙二人成绩好于丙、丁成绩，再根据方差得到乙同学的成绩比甲同学更稳定，问题得解．
【规范解答】解：∵
∴从平均成绩看，甲、乙二人成绩好于丙、丁成绩；
∵
∴乙同学的成绩比甲同学更稳定，
∴应选的同学是乙．
故选：B．
【考点评析】本题考查了平均数和方差，平均数反应了一组数据的集中趋势，方差反应了一组数据的离散程度，一组数据的方差越小，则这组数据的更稳定，理解平均数和方差的意义是解题关键．
3．(本题2分)（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73
C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是55
【答案】D
【思路点拨】根据中位数的定义，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据平均数的计算方法，可判断C；根据极差的定义，可判断D．
【规范解答】解：A．将8个数据由小到大排列为：18，26，32，48，48，60，65，73，中位数是，故本选项说法错误，不符合题意；
B．出现次数最多的是48，众数是48，故本选项说法错误，不符合题意；
C．该班学生去年月份全班同学每月的课外阅读数量的平均数是，故本选项说法错误，不符合题意；
D．每月阅读数量的极差是，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【考点评析】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了极差、平均数、众数与中位数．
4．(本题2分)（2023·全国·八年级专题练习）甲组数据，，…，的方差是3，那么乙组数据，，…，的方差是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．无法确定
【答案】C
【思路点拨】根据方差的定义即可进行解答．
【规范解答】解：设甲组数据的平均数为，
∴，
∵，
∴乙组数据的平均数，
，
∴
，
故选：C．
【考点评析】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据，，…，的方差是，那么另一组数据，，…，的方差是．
5．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）有3个样本数据如图所示，样本1、样本2、样本3的方差分别为，关于它们有下列几种说法：①，②，③．其中正确的序号为（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②
【答案】D
【思路点拨】分别计算出方差即可．
【规范解答】解：样本1的平均数为，
，
样本2的平均数为，
，
样本3的平均数为，
，
∴．
故选：D．
【考点评析】本题考查了方差，正确掌握方差的计算公式是关键．
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】C
【思路点拨】本题主要考查的是方差的求法.解答此类问题,通常用x1，x2，…，xn表示出已知数据的平均数与方差,再根据题意用x1，x2，…，xn表示出新数据的平均数与方差,寻找新数据的平均数与原来数据平均数之间的关系．
【规范解答】设原数据为x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2.根据题意，得新数据为，，…，，其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为.故选C.
【考点评析】本题考查平均数与方差，会分别利用方差和平均数的公式去表示方差和平均数是解题的关键．其次根据题意给代数式进行等量变形也非常重要．
7．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
【答案】A
【思路点拨】根据平均数和方差的公式列出关于x，m的方程求解．
【规范解答】解：设数据的平均数为m，则①，
，
整理得②，
把①代入②，得：，
化简得
解得：x=-2或5.5．
故选A．
【考点评析】本题主要考查的是方差公式，平均数公式，以及一元二次方程的解法，方程思想在初中数学的学习中极为重要，也是中考中的热点，本题思考问题的角度独特，难度较大．
8．(本题2分)（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）在一次体育测试中，小明记录了本班10名同学一分钟跳绳的成绩，如下表：
成绩 150 160 170 180 190
人数 2 3 2 2 1
对于这10名学生的跳绳成绩，小亮通过计算得到以下数据：众数150，中位数165，平均数160，方差是104，对于小亮计算的数据，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路点拨】分别求出平均数、中位数、众数、方差进行判断即可解答．
【规范解答】根据表格可知：
这组数据中出现次数最多，则众数为：，
这组数据的中位数为：，
这组数据的平均数为：，
这组数据的方差为：=161，
∴小亮计算的数据，正确的个数是：
故选：A．
【考点评析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，熟知平均数、中位数、众数、方差的计算方法，数据较大，正确计算是解答的关键．
9．(本题2分)（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十九中学校考期末）为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的（ ）决定
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【思路点拨】班长最值得关注的应该是哪种水果爱吃的人数最多，即众数．
【规范解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选：C．
【考点评析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
10．(本题2分)（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3 B．中位数是1 C．众数是2 D．方差是4.4
【答案】B
【思路点拨】根据平均数、中位数、众数、方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【规范解答】解：A．平均数为：，正确，故此选项不符合题意；
B．把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C．2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D．方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考点评析】此题考查了平均数、中位数和众数、方差，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，，，…，的平均数为，则方差．
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共16分)
11．(本题2分)（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）已知5个正数的标准差为2，则另一组数据的方差为____________．
【答案】36
【思路点拨】根据标准差求出5个正数的方差，再根据数据经过变形后的方差是原来数据的方差的倍，进行求解即可．
【规范解答】解：∵5个正数的标准差为2，
∴5个正数的方差为：，
∴另一组数据的方差为：；
故答案为：．
【考点评析】本题考查方差．熟练掌握标准差是方差的算术平方根，以及一组数据经过变形后的方差是原来数据的方差的倍，是解题的关键．
12．(本题2分)（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知一组数据的平均数是3，方差为，那么另一组数据的平均数和方差分别是_____，_____．
【答案】 7 3
【思路点拨】根据一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，进行计算即可．
【规范解答】解：∵数据的平均数是3，
∴数据的平均数是；
∵数据的方差为，
∴数据的方差是；
故答案为：7，3．
【考点评析】本题考查平均数和方差．熟练掌握一组数据的平均数是，方差为，根据数据经过变形后，平均数变为，方差变为，是解题的关键。
13．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则_______．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞
【思路点拨】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【规范解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：＞．
【考点评析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则___________，已知一个样本，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的标准差＝_______．
【答案】 22
【思路点拨】（1）中位数是21，这组数据有6个数，是偶数，因此21是最中间的两个数的平均数，再把这些数从小到大排列，16，18，20都比中位数21小，所以x排在20后面，进而求得x的值；
（2）先根据平均数是2求出x的值，再根据标准差公式求解．
【规范解答】解：（1）根据题意和中位数的定义，21是最中间的两个数的平均数，
∵16，18，20都比中位数21小，
∴x排在20后面，
∵20与23的平均数大于21，
∴x排在23前面，
∴该组数据从小到大排列为：12，18，20，x，23，27，
∴，
解得，
故答案为：22；
（2）∵样本－1，0，2，x，3的平均数是2，
∴，
解得，
∴，
∴标准差为：．
故答案为：．
【考点评析】本题考查利用中位数、平均数求未知数据的值，以及计算方差，标准差等知识点，熟练掌握中位数、平均数、方差，标准差的定义是解题的关键．
15．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环．方差分别是=0.90，=1.22．在本次射击测试中，成绩较稳定的是__________________ ．
【答案】甲
【思路点拨】根据方差的意义可作出判断．
【规范解答】解：∵=0.90，=1.22，
∴，
∴成绩较稳定的是甲．
故答案为：甲．
【考点评析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）甲、乙二人五次数学考试成绩如下：
甲：85，84，82，88，86.
乙：84，85，85，85，86.
则甲、乙两人成绩比较稳定的是______．
【答案】乙
【思路点拨】判定稳定性要使用方差，即比较甲和乙方差，方差小的较稳定．
【规范解答】设 为甲的平均数，则 =85，则甲的方差 =4；设 为乙的平均数，则 ，则乙的方差 ；因为甲的方差大于乙的方差，所以乙的成绩比较稳定．
故答案为乙．
【考点评析】本题考查平均数、方差的应用，需牢记其定义及计算公式．
17．(本题2分)（2022秋·九年级单元测试）已知一组数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，则另一组数a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方差为 _____．
【答案】3
【思路点拨】设数据a1，a2，a3，……，an的平均数为，则可求得a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的平均数，根据数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，即可求得另一组数据a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方程．
【规范解答】设数据a1，a2，a3，……，an的平均数为，即，
则此组数据的方差为；
∵a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的平均数为：
，
所以此数据的方差为：
故答案为：3．
【考点评析】本题考查了求一组数据的方差，已知一组数据的方差，则每个数据加上同一个常数后所得新数据的方差不变，平均数是原数据的平均数加上这个常数，这实质是方差与平均数的性质，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．
18．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）数据,,,的平均数是4，方差是3,则数据,,,的平均数和方差分别是_____________．
【答案】41，3
【规范解答】试题分析：根据题意可知原数组的平均数为，方差为=3，然后由题意可得新数据的平均数为，可求得方程为.
故答案为：41，3.
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三、解答题(共64分)
19．(本题6分)（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）近年来网约车给人们的出行带来了便利，某学校数学兴趣小组对甲、乙两家网约车公司机月收入进行抽样调查，两家公司分别抽取10个司机的月收入（单位：千元），调查后根统计结果绘制如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下表：
平均月收入 中位数 众数 方差
甲公司 6 6 6
乙公司 6 4
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)上表中的数据被污染，请你求出这个数据；
(3)某人打算从两家公司中选择一家做网约车司机，根据以上数据，你建议他择___________公司．（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)甲
【思路点拨】（1）求出工资为9千元的人数，再补全条形图即可；
（2）将乙公司的10个数据从小到大进行排列，求出中间两位数据的平均数，即可得出结论；
（3）根据平均数相同，方差越小，数据越稳定，进行选择即可．
【规范解答】（1）解：工资为千元的人数为：人；
补全条形统计如图所示；
（2）解：乙公司10个司机月收入从小到大分别是4，4，4，4，4，5，5，9，9，12（单位：千元）
∴乙公司的中位数；
（3）解：根据表格可知，甲乙两个公司的平均月收入相同，甲公司的中位数和众数比乙公司大，说明甲公司高工资段的人数较多，且甲公司的方差小于乙公司的方差，工资比较稳定，建议选择甲公司；
故答案为：甲．
【考点评析】本题考查统计图，中位数，以及利用方差作决策．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数的确定方法，以及方差越小，数据波动越稳定，是解题的关键．
20．(本题6分)（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）今年世界杯期间，为增强班级凝聚力，八年级6班开展了小组趣味足球比赛，全班分为5个小组开展点球大战，班主任王老师担任守门员，下面分别为五个小组进球的个数：5，8，10，7，．若已知该五个小组的进球个数平均数为8，请求出的值，并直接写出该五个小组进球个数的中位数和方差．
【答案】的值是10，该五个小组进球个数的中位数是8，方差是
【思路点拨】根据平均数列方程，解方程即可得到m的值，把数据从小到大排列后，即可求得中位数，根据方差的定义求解即可．
【规范解答】解：由题意得：，
，
这组数为5，7，8，10，10，
这组数据的中位数是8，
这组数据的方差是．
【考点评析】此题主要考查了平均数、中位数、方差，熟练掌握求解方法是解题的关键．
21．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）八（1）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，将成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图的统计图．
根据统计图，回答下列问题：
(1)求第三次模拟竞赛成绩的优秀率和乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数．
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【答案】(1)，9
(2)甲组绩优秀的人数较稳定
【思路点拨】（1）根据计算总人数人，根据计算优秀总人数，依次计算即可．
（2）计算乙组优秀人数的平均数，方差，比较判断即可．
【规范解答】（1）根据题意，得参赛总人数为：人，
∴第三次模拟竞赛成绩的优秀率为；
∵在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为人，甲组有8人，
∴乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为：17-8=9（人）．
（2）∵乙组在模拟竞赛中成绩优秀的人数的平均数为，方差，
∴，
∴甲组绩优秀的人数较稳定．
【考点评析】本题考查了样本容量的计算，平均数，方差，熟练掌握平均数，方差的计算，并灵活运用决策是解题的关键．
22．(本题6分)（2023秋·河北保定·八年级统考期末）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的折线统计图，两幅图均有部分被污染．
将两名队员10次的成绩整理后，得到下表：
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 a 7 b 1.8
乙 7 c 8 4.2
请根据图表信息回答：
(1)你认为__________队员的发挥更稳定，理由是____________________．
(2)__________，__________，__________；
(3)乙队员补射一次后，成绩为m环，发现他11次射箭成绩的中位数比c小0.5，则m的最大值为__________．
【答案】(1)甲；方差越小稳定性越好，而甲的方差小于乙的方差，所以甲队员的发挥更稳定
(2)7，7，7.5
(3)7
【思路点拨】（1）根据方差的大小与稳定性的大小的关系判断即可；
（2）根据条形统计图确定成绩为7环的次数为4，然后根据平均数的计算公式求解a值即可；观察甲队员成绩环数出现次数最多的即为b值；根据折线统计图以及平均数确定被污染的两个数值的和为15，然后根据众数为8确定被污染的两个值，最后对乙的10次成绩从大到小依次排序，求出第5和第6位数值的平均数即为c值；
（3）根据题意确定乙队员11次射箭成绩的中位数，然后根据中位数是成绩依次排序中的第6位进行判断即可．
【规范解答】（1）解：∵，
∴甲队员的发挥更稳定，理由是方差越小稳定性越好，而甲的方差小于乙的方差，所以甲队员的发挥更稳定．
（2）解：由条形统计图可得成绩为7环的次数为（次），
∴平均数；且众数；
由折线统计图可得剩余两次的成绩和为，
∵众数为8，
∴剩余两次的成绩为7和8，
将乙的10次成绩从大到小依次排序为，
∴中位数，
∴．
（3）解：由题意知，乙队员11次射箭成绩的中位数为，
即乙的11次成绩从大到小依次排序中第6次成绩为7，
∴，
∴m的最大值为7．
【考点评析】本题主要考查了统计图、平均数、众数、中位数以及方差等的知识．解题的关键在于正确的处理统计图中的信息以及平均数、众数、中位数的求解．
23．(本题6分)（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 c
(1)以上成绩统计分析表中______，______，______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】(1)6，7，7
(2)甲
(3)乙组
【思路点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【规范解答】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲乙组学生平均数相等，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【考点评析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
24．(本题6分)（2023秋·河北保定·八年级校考期末）北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取 名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级 名同学测试成绩统计如下：
八年级 名同学测试成绩统计如下：
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩
七年级
八年级
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)求七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
(3)按照比赛规定分及其以上为优秀，若该校七年级学生共 人，八年级学生共 人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数．
(4)该校想让一半以上的学生得到分及以上，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由
【答案】(1)；或；．
(2)八年级的竞赛成绩更整齐．
(3)人．
(4)八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【思路点拨】（1）根据中位数、众数、平均数的概念求解即可．
（2）先根据方差的定义计算出七年级的方差，再比较七八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案．
（3）用各年级的人数乘以对应比例，然后相加即可．
（4）平均数相同，中位数和众数都大于平均数，即可得到八年级学生的知识竞赛成绩更好一些．
【规范解答】（1）解：将七年级的抽样成绩重新排列为：；
∴中位数：，
∴众数：或者，
将八年级的抽样成绩重新排列为：，
∴平均数；
故答案为：，72或79，80
（2）解：七年级的方差是：，
∴，
∴八年级的竞赛成绩更整齐．
（3）解：∵七年级以上所占比例为，八年级分以上所占比例为，
∵(人)
∴这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数人．
（4）解：八年级的学生知识竞赛成绩更好，理由如下：
∵平均数是，八年级的中位数和众数都等于
∴八年级的学生知识竞赛成绩更好．
【考点评析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．(本题6分)（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
(1)根据图示计算出、、的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】(1)平均分分，众数，中位数
(2)初中部决赛成绩较好
(3)，初中代表队选手成绩比较稳定
【思路点拨】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合已知数据，求解即可；
（2）本题中，在平均分相同的情况下，中位数较高的整体水平较好；
（3）根据方差的定义进行计算，再根据方差越小，数据波动越小，数据越稳定，可以得出结论．
【规范解答】（1）解：初中名选手的平均分分，
由条形图中的数据可知初中部分数出现次数最多的是分，故众数，
高中名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数；
（2）解：由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）解：
，
∵，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【考点评析】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的概念及意义，准确理解相关概念是解题的关键．
26．(本题6分)（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）某校为了了解七年级600名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
[分析数据]
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 41.7
乙 90 87 b 50.2
[应用数据]
(1)根据以上信息，可以求出：______分，______分；
(2)若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的600名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】(1)100，91
(2)估计参加防疫知识测试的600名学生中成绩为优秀的学生共有380人
(3)甲班成绩较好，理由见解析
【思路点拨】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可得；
（2）用600乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案；
（3）从平均数和方差两方面进行描述即可．
【规范解答】（1）解：∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则分；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在这一组中，故分；
故答案为：100，91；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计参加防疫知识测试的600名学生中成绩为优秀的学生共有380人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【考点评析】本题主要考查了众数和中位数，用样本估计总体，用平均数和方差做决策，灵活运用所学知识是解题的关键．
27．(本题8分)（2023·全国·八年级专题练习）某农科所甲、乙试验田各有水稻稻穗3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/ 频数 频率
4
9
n
m
10
2
合计 50
c．乙试验田穗长在这一组的是：
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为____，的值为____；
(2)表2中的值为____；
(3)在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是____；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是____；
A．甲 B．乙 C．无法推断
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？
【答案】(1)，
(2)
(3)A，A
(4)估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个
【思路点拨】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值；
（2）根据方差的意义进行计算；
（3）根据方差的意义进行判断稳即可；
（4）根据样本估计总体即可求解．
【规范解答】（1）∵这一组对应的频率为，
∴，
∵这一组的频数为，
∴频率为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数，
故中位数为：，
故答案为：；
（3）由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．
故答案为：A，A；
（4）甲试验田中穗长在范围内频率为，
故甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个），
答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个．
【考点评析】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
28．(本题8分)（2023·全国·八年级专题练习）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数．
【答案】(1)40，96，92.5
(2)九年级成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数为980人
【思路点拨】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
【规范解答】（1），
故；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的第10、11个数分别为92、93，故中位数；
故答案为：40，96，92.5；
（2）九年级的成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级。
（3）（人），
答：估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数为980人．
【考点评析】本题考查统计图的应用、方差、众数、中位数以及平均数等知识，掌握方差、众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题10 方差和标准差
_姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、选择题(每题2分，共20分)
1．(本题2分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）一组数据，，，，的平均数是4，方差是3，则，，，，的平均数和方差是（ ）．
A．13、48 B．13、45 C．16、45 D．16、48
2．(本题2分)（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差如下表所示．若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（ ）
甲 乙 丙 丁
7 7 7.5 7.5
0.45 0.2 0.2 0.45
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．(本题2分)（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（ ）
A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73
C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是55
4．(本题2分)（2023·全国·八年级专题练习）甲组数据，，…，的方差是3，那么乙组数据，，…，的方差是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．无法确定
5．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）有3个样本数据如图所示，样本1、样本2、样本3的方差分别为，关于它们有下列几种说法：①，②，③．其中正确的序号为（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②
6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）一组数据的方差为，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ）
A． B．3 C． D．9
7．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）已知一组数据的方差为，数据为：－1，0，3，5，x，那么x等于（ ）
A．－2或5.5 B．2或－5.5 C．4或11 D．－4或－11
8．(本题2分)（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）在一次体育测试中，小明记录了本班10名同学一分钟跳绳的成绩，如下表：
成绩 150 160 170 180 190
人数 2 3 2 2 1
对于这10名学生的跳绳成绩，小亮通过计算得到以下数据：众数150，中位数165，平均数160，方差是104，对于小亮计算的数据，正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
9．(本题2分)（2023秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十九中学校考期末）为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的（ ）决定
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
10．(本题2分)（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是3 B．中位数是1 C．众数是2 D．方差是4.4
评卷人得分
二、填空题(每题2分，共16分)
11．(本题2分)（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）已知5个正数的标准差为2，则另一组数据的方差为____________．
12．(本题2分)（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知一组数据的平均数是3，方差为，那么另一组数据的平均数和方差分别是_____，_____．
13．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为，则_______．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则___________，已知一个样本，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的标准差＝_______．
15．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环．方差分别是=0.90，=1.22．在本次射击测试中，成绩较稳定的是__________________ ．
16．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）甲、乙二人五次数学考试成绩如下：
甲：85，84，82，88，86.
乙：84，85，85，85，86.
则甲、乙两人成绩比较稳定的是______．
17．(本题2分)（2022秋·九年级单元测试）已知一组数据a1，a2，a3，……，an的方差为3，则另一组数a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1的方差为 _____．
18．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）数据,,,的平均数是4，方差是3,则数据,,,的平均数和方差分别是_____________．
评卷人得分
三、解答题(共64分)
19．(本题6分)（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）近年来网约车给人们的出行带来了便利，某学校数学兴趣小组对甲、乙两家网约车公司机月收入进行抽样调查，两家公司分别抽取10个司机的月收入（单位：千元），调查后根统计结果绘制如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下表：
平均月收入 中位数 众数 方差
甲公司 6 6 6
乙公司 6 4
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)上表中的数据被污染，请你求出这个数据；
(3)某人打算从两家公司中选择一家做网约车司机，根据以上数据，你建议他择___________公司．（填“甲”或“乙”）
20．(本题6分)（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）今年世界杯期间，为增强班级凝聚力，八年级6班开展了小组趣味足球比赛，全班分为5个小组开展点球大战，班主任王老师担任守门员，下面分别为五个小组进球的个数：5，8，10，7，．若已知该五个小组的进球个数平均数为8，请求出的值，并直接写出该五个小组进球个数的中位数和方差．
21．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）八（1）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，将成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图的统计图．
根据统计图，回答下列问题：
(1)求第三次模拟竞赛成绩的优秀率和乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数．
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
22．(本题6分)（2023秋·河北保定·八年级统考期末）甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的折线统计图，两幅图均有部分被污染．
将两名队员10次的成绩整理后，得到下表：
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 a 7 b 1.8
乙 7 c 8 4.2
请根据图表信息回答：
(1)你认为__________队员的发挥更稳定，理由是____________________．
(2)__________，__________，__________；
(3)乙队员补射一次后，成绩为m环，发现他11次射箭成绩的中位数比c小0.5，则m的最大值为__________．
23．(本题6分)（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 c
(1)以上成绩统计分析表中______，______，______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
24．(本题6分)（2023秋·河北保定·八年级校考期末）北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取 名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级 名同学测试成绩统计如下：
八年级 名同学测试成绩统计如下：
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩
七年级
八年级
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)求七年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？
(3)按照比赛规定分及其以上为优秀，若该校七年级学生共 人，八年级学生共 人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数．
(4)该校想让一半以上的学生得到分及以上，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由
25．(本题6分)（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
平均分分 中位数分 众数分 方差（）
初中部
高中部
(1)根据图示计算出、、的值；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
26．(本题6分)（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）某校为了了解七年级600名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
[分析数据]
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93 41.7
乙 90 87 b 50.2
[应用数据]
(1)根据以上信息，可以求出：______分，______分；
(2)若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的600名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
27．(本题8分)（2023·全国·八年级专题练习）某农科所甲、乙试验田各有水稻稻穗3万个，为了考察水稻穗长的情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/ 频数 频率
4
9
n
m
10
2
合计 50
c．乙试验田穗长在这一组的是：
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田 平均数 中位数 众数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表1中的值为____，的值为____；
(2)表2中的值为____；
(3)在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是____；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是____；
A．甲 B．乙 C．无法推断
(4)若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个？
28．(本题8分)（2023·全国·八年级专题练习）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着落，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又达到了一个新的高度．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数．
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