浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题14 三角形的中位线
阅卷人 一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
1．（2分）（2022八下·任丘期末）如图，中，AB=10，AC=7，BC=9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．13 B． C．17 D．19
【答案】D
【规范解答】解：点、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形的周长为，
故答案为：D．
【思路点拨】根据线段的中点及三角形中位线定理可得，，继而求出四边形的周长.
2．（2分）（2022八下·平远期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【规范解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，PE∥AD，
∴∠EPD=180°-∠ADB=80°，
同理可得，PF=BC，PE∥BC，
∴∠FPD=∠CBD=30°，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=×（180°-110°）=35°，
故答案为：D．
【思路点拨】根据中位线的性质可得PE=AD，PE∥AD，PF=BC，PE∥BC，求出∠FPD=∠CBD=30°，再利用三角形的内角和可得∠PFE=×（180°-110°）=35°。
3．（2分）（2022八下·历下期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】C
【规范解答】解：连接并延长，交延长线于G，如图：
，
，，
是中点，
，
，
，，
，
是中点，
是的中位线，
，故C符合题意．
故答案为：C．
【思路点拨】连接并延长，交延长线于G，利用“AAS”证明可得，，再利用中位线的性质可得。
4．（2分）（2022八下·西青期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】B
【规范解答】解：在矩形中，，
，，
，
，，
点是矩形的对角线的中点，
，
点为的中点，
，，
，
则的周长为，
故答案为：B．
【思路点拨】利用中位线的性质可得OE的长，再利用勾股定理求出BE的长，利用直角三角形斜边上中线的性质可得OB的长，最后利用三角形的周长公式可得答案。
5．（2分）（2022八下·怀仁期末）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【规范解答】解：∵E、F分别为AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD=2EF=2×4=8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=8，
即：AC=16，
∵AB=8，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：A．
【思路点拨】先利用中位线求出OD=2EF=2×4=8，可得OB=OD=OA=OC=8，即AC=16，再利用AC=2AB，即可得到∠ACB=30°。
6．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【规范解答】解：如图，
延长交于点F，延长、交于点G，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点E是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点D是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：C．
【思路点拨】延长交于点F，延长、交于点G，根据已知条件证明，得出，得出是的中位线，即可得解。
7．（2分）（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
【答案】C
【规范解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【思路点拨】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【规范解答】解：连接CM、DM，
∵矩形ABCD
∴ ，
∵ ， M ， N 分别是边AB ， CD的中点，
∴
故①正确；
∵
∴四边形AMCN是平行四边形
∴AN∥CM
∴
∵
∴CM垂直平分PB
∴BC=PC
∴ （SSS）
∴
即
故②正确；
∵ ， ，
∴ （HL）
∴
故③正确；
取CQ中点E，连接EN
∵N是CD中点
∴EN是△CDQ的中位线
∴
∵
∴
∴ ，即
故④正确；
综上所述，正确的是①②③④
故答案为：D．
【思路点拨】连接CM、DM，由矩形的性质可得AB=CD，根据线段的中点及直角三角形斜边中线的性质可得，故①正确；可证四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥MC，根据SSS证明，可得，故②正确；根据HL可证明，可得PQ=AQ，故③正确；取CQ中点E，连接EN，可得EN是△CDQ的中位线，可得DQ=2EN，根据大角对大边进行判断即可.
9．（2分）（2022八下·港南期中）如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝ BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【规范解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，
∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠HBD=∠HBF，
∵BH=BH，
∴△BHD≌△BHF（ASA），
∴DH=HF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴OD=OB，
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF，故①正确；
∴ ，∠DOH=∠CBD=45°，∠DGO=∠CGO=∠DCB=90°，
连接OC，则∠ODG=∠OCG=45°，
∴△OGC≌△OGD（AAS），
∴ ，
∴GH是△DCF的中位线，
∴ ，
∵CE=CF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误.
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF， ，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF，
∴FH=CH，
∴∠HCF=∠HFC=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；
∵∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴三角形BDF不是直角三角形，故④错误；
故答案为：B.
【思路点拨】根据正方形的性质可得BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°，证明△BCE≌△DCF，得到∠CBE=∠CDF，易得∠BHD=∠BHF=90°，由角平分线的概念可得∠HBD=∠HBF，证明△BHD≌△BHF，得到DH=HF，推出OH是△DBF的中位线，据此判断①；连接OC，证明△OGC≌△OGD，得到DG=CG=CD=BC，推出GH是△DCF的中位线，得到GH=CF，易得GH=CE，据此判断③；根据正方形的性质以及角平分线的概念可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，则∠CDF=67.5°，根据中位线的性质可得FH=CH，由等腰三角形的性质可得∠HCF=∠HFC=67.5°，结合内角和定理可判断②；易得∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=67.5°，据此判断④.
10．（2分）如图是一个由5张纸片拼成的 ，相邻纸片之间互不重湜也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 ，中间一张矩形纸片EFGH的面积为 ，FH与GE相交于点 .当 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． . B． C． D．
【答案】A
【规范解答】 由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴ ∠ADE=∠DAE=∠BCG=∠GBC=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌△ABF，
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形，
∴GH=EF，HE=GF，
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，如图所示，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，
∴
∵
∴即
∵，
∴ S1=S2，故选项A符合题意，
∵
∴S1≠S3，故选项B不符合题意，
∵ AB=AD，EH=GH都不一定成立，故C、D都不符合题意，
故答案为：A
【思路点拨】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出S1，S2，S3进行判断即可.
阅卷人 二、填空题(共9题；每题2分，共18分)
得分
11．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
【答案】3
【规范解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【思路点拨】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
12．（2分）（2022八下·曲阳期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝ ．
【答案】
【规范解答】解：，点D是AC的中点，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴
故答案为：
【思路点拨】根据直角三角形斜边中线的性质可得=3cm，从而求出DE=4cm，根据三角形的中位线定理可得，继而得解.
13．（2分）（2022八下·抚远期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
【答案】
【规范解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高为：，
，
∵DE、EF分别是△ABC的中位线，
∴，
∴，
同理可得；
…，
∴；
故答案为：．
【思路点拨】根据边长为1的等边三角形，解得△ABC的高，求得△ABC的面积，求得、面积，找出规律即可解得.
14．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是 ．
【答案】4
【规范解答】解：点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，
、、、分别为、、、的中位线，
∵AD=CD=2，
，，
四边形的周长．
故答案为：．
【思路点拨】根据三角形中位线的性质可得，，再利用四边形的周长公式计算即可。
15．（2分）（2022八下·临渭期末）如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 ．
【答案】
【规范解答】解：如图：
延长延长BA至E，使AE=AC=4，取BE的中点F，连接DF，连接CE，过点A作AG⊥CE于点G，
∵D为BC边上的中点，
∴BD=CD，
∵EF=BF，
∴BD+BF=CD+AE+FA=CD+EF，
∴直线DF将△ABC的周长平分，
∵AE=AC=4，∠BAC=60°，
∴∠ACE=∠E=30°，
∴AG=AE=2，
∴EG=，
∵AE=AC，AG⊥CE，
∴GE=CE，
∵D为BC的中点，F为BE的中点，
∴FD为△BCE的中位线，
∴DF=CE=EG=.
故答案为：.
【思路点拨】延长BA至E，使AE=AC=4，取BE的中点F，连接DF，则直线DF将△ABC的周长平分，连接CE，过点A作AG⊥CE于点G，根据作图可知FD为△BCE的中位线，根据三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）可求得DF=CE=EG，再用勾股定理求得EG即可.
16．（2分）（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是 ．
【答案】3.5
【规范解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，
∵ AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.
【思路点拨】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.
17．（2分）（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
【答案】
【规范解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
【思路点拨】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=BH可求解.
18．（2分）（2022八下·青山期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为 ．
【答案】
【规范解答】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．
∵△APE是等腰直角三角形，
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴．
∴．
故答案为：．
【思路点拨】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T，利用等腰直角三角形的性质可证得∠APE=90°，AP=PE，利用余角的性质可证得∠BAP=∠TPE，利用AAS证明△ABP≌△PTE，利用全等三角形的对应边相等，可得到AB=PT，PB=ET；利用正方形的性质可得到ABPBC，由此可推出BC=PT，即可得到PB=CT=ET；利用正方形的性质可得到点O是AC的中点，∠DBC=45°，从而可推出∠DBC=∠TCE，同时可证得OM是△ACE的中位线，由此可推出点M的运动轨迹是OD，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长.
19．（2分）（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，直线DA、BE相交于点F.取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 cm.
【答案】4
【规范解答】解：取 的中点 ，连接 、 ，如图：
是由 绕 点旋转得到，
， ， ，
设 ，则 ，
在四边形 中，
，
在 中， ， ， ，
，
中， ，
是 中位线，
，
而 ，
当 、 、 在一条直线上时， 最大，最大值为 ，
故答案为：4.
【思路点拨】取AB的中点H，连接HG，HF，利用旋转的性质可证得CE=CB，CD=AC，∠BCE=∠ACD，设∠BCE=∠ACD=α，可表示出∠CBE；再利用四边形的内角和定理可求出∠BFA的度数，利用勾股定理求出AB的长；利用直角三角形的性质可求出HF的长；然后利用三角形的中位线定理可求出HG的长，利用三角形的三边关系定理可知当点F，H，G在同一直线上时，FG最大，最大值是HF+HG的长，即可求解.
阅卷人 三、解答题(共7题；共62分)
得分
20．（6分）（2022八下·抚远期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
【答案】解：如图，延长交于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴是的中点．
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴为的中位线．
∴．
【思路点拨】做辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质可得 是的中点 ，通过线段的加减可得FC，再根据中位线定理即可解得DE。
21．（7分）（2022八下·房山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
【答案】证明∶方法一：如图，延长至点F，使，连接．
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，∠A=∠ECF，
∴AB∥CF，即BD∥CF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
方法二：过点C作∥交的延长线于F．
∴∠A=∠ECF，
∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴CF=AD，DE=EF，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AD=CF，
∵CF∥BD，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴DF=BC，DF∥BC，
∵，
∴∥，且．
【思路点拨】利用平行四边形的判定方法和性质求解即可。
22．（6分）（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）（3分）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）（3分）若，求DF的长度．
【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；
（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3
【思路点拨】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。
23．（8分）（2022八下·城固期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）（4分）求证：AE垂直平分CD；
（2）（4分）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACD+∠BCD=∠ABC=90°，
∵∠ADC+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵ AE平分∠CAB ，
∴AE⊥CD，CE=ED（三线合一），
即AE垂直平分CD；
（2）解：∵∠ABC=90°，
∴AB==10，
由（1）得AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF=BD=2.
【思路点拨】(1)根据余角的性质求出∠ACD=∠ADC，得出△ACD为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质，即可证出结论；
(2)根据勾股定理先求出AB，再根据线段的和差关系求出BD，然后根据三角形中位线定理求EF长即可.
24．（11分）（2022八下·南海期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：
（1）（2分）若点P是线段AC的中点，直接写出 ．
（2）（4分）如图2，过点P作轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．
（3）（5分）连接BP，若是等腰三角形，求CP的长度．
【答案】（1）
（2）解：∵PE⊥x轴，
∴PE∥CD，
若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝CD＝OC＝．
∴点P的纵坐标绝对值是，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
把A（3，0）、C（0，）代入得，，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
若点P在线段AC上，纵坐标是，
则，
解得：x＝，
此时，点P的坐标为（，）；
若点P在线段CA的延长线上，纵坐标是，
则，
解得：x＝，
此时，点P的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）；
（3）解：①当PB＝PC时，如图：过点P作PQ⊥BC于点Q，
∴∠PQC＝90°，
∵PB＝PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴CQ＝BQ＝BC＝，
∵BC∥OA，
∴∠PCQ＝∠CAO＝30°，
∴PQ＝CQ＝，
∴CP＝2PQ＝；
②当CP＝CB时，CP＝3；
③当BP＝BC时，过点B作BH⊥CP于点H，如图：
∴∠CHB＝90°，CP＝2CH，
在Rt△BCH中，∠BCH＝30°，BC＝3，
∴BH＝，
∴CH＝BH＝，
∴CP＝2CH＝．
综上，若△CPB是等腰三角形，CP的长度为：或3或．
【规范解答】解：(1)∵C（0，），∠AOC＝90°，∠CAO＝30°，
∴AC＝2OC＝2，
∴OA＝＝3，
∵点D是OC的中点，点P是线段AC的中点，
∴PD是△AOC的中位线，
∴PD＝OA＝，
故答案为：；
【思路点拨】（1）先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理求出OA的长，最后利用中位线的性质可得PD的长；
（2）先求出直线AC的解析式，再分两种情况：①若点P在线段AC上，②若点P在线段CA的延长线上，再分别求解即可；
（3）分三种情况：①当PB＝PC时，②当CP＝CB时，CP＝3；③当BP＝BC时，过点B作BH⊥CP于点H，再分别求解即可。
25．（11分）（2022八下·晋中期末）综合与实践：图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，，，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且，将△ABC绕点A在平面内旋转．
（1）（2分）观察猜想：若，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置 ，则DB与EC的数量关系为 ；
（2）（4分）类比探究：若，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
（3）（5分）拓展应用：如图4，在（2）的条件下，连接CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连接PM，PN，MN，若，，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
【答案】（1）
（2）解：
理由如下：如图1，∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，，
∴，
∴，即，
在△ADB与△AEC中，，
∴，
∴，
如下图，设AB、CE交于点P，
∵是△BPO的外角，也是△ACP的外角，
∴，
∴，
∴DB，CE满足的位置关系为；
（3）解：∵M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，
∴MP是的中位线，且，
∴PN是的中位线，且，
在（2）的条件下，
∴，，
∴，即有，
∵，，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴当最大时，面积最大，
连接AM、AN，当M、A、N在同一直线时，MN最大，如下图，
此时B、C在DA、EA的延长线上，
∵M、N为DE、CB中点，
∴，
又∵，
∴，
∴M、A、N在一条直线上，，
在中，，则，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
∴．
【规范解答】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，即，
在△ADB与△AEC中，，
∴，
∴．
故答案为：；
【思路点拨】（1）证明，可得；
（2）.理由：证明，可得，设AB、CE交于点P，根据三角形外角的性质可得， 从而得出∠COB=∠CAB=90°，继而得解；
（3）先证明为等腰直角三角形，可得PN=PM=MN，可得面积=PM2=MN2，由此可得当最大时，面积最大，连接AM、AN，当M、A、N在同一直线时，MN最大，此时B、C在DA、EA的延长线上，可知MN的最大值=AM+AN，据此即可求解.
26．（13分）（2022八下·诸暨期末）在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=60°，点E是边AD的中点，点P是对角线AC上一动点，连结EP，作点A关于直线EP的对称点A'．
（1）（4分）若点P是AC的中点，求EP的长度．
（2）（4分）若△AEP是以EP为腰的等腰三角形，求EP的长度．
（3）（5分）直线A'E交AC于点Q，连结QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的长度．
【答案】（1）解：∵E、P分别为AC和AD的中点，
∴EP为△ABC的中位线，
∴EP=CD=3；
（2）解：①如图，当EA=EP时，
EP=AD==，
②如图，当EP=PA时，作PH⊥AE，
∵∠AEP=∠PAE=30°，
AE=AD=3，
∵HE=AE=，
∴EP===3.
（3）Ⅰ.当∠AQE=90°时，
①如图，∵∠AEQ=60°，EP为∠AEQ的角平分线，
∴在Rt△PEQ中，∠PEQ=30°，
∴；
②如图，EP为∠AEQ的补角的平分线，
∴∠QEP=60°，
∴EP=AE=3；
Ⅱ.当∠AEQ=90°时，
①EP为∠AEQ的角平分线，
∴∠PEQ=∠AEP=45°，
∴AM=AE=3，
∴ME=AE=3，
∵EQ∥AM，
∴，即，
∴，
解得：PE=；
②如图，EP为∠AEQ的补角的平分线，
∴∠QEP=45°，
若点P与C点重合，
∵ED45°，
此时∠CEQ<45°，
∴不符合P在AC上的条件，故舍去，
综上：EP=3或3或.
【思路点拨】(1)由题意得出EP是△ACD是中位线，根据三角形中位线定理即可求出EP长；
(2)分两种情况讨论，①当EA=EP时，②当EP=PA时，根据等腰三角形的性质，三角形中位线定理和三角函数定义分别求EP长即可；
(3)分两种情况讨论，当∠AQE=90°时，再分两种情况：①EP为∠AEQ的角平分线，②EP为∠AEQ的补角的平分线；当∠AEQ=90°时，再分两种情况：①EP为∠AEQ的角平分线，②EP为∠AEQ的补角的平分线，分别求出EP的长度即可.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题14 三角形的中位线
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
1．（2分）（2022八下·任丘期末）如图，中，AB=10，AC=7，BC=9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．13 B． C．17 D．19
2．（2分）（2022八下·平远期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠CBD=30°，∠ADB=100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
3．（2分）（2022八下·历下期末）如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD，，若，，E、F分别是AB和DC的中点，则（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
4．（2分）（2022八下·西青期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
5．（2分）（2022八下·怀仁期末）如图，矩形中，交于点分别为的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点E，于点D，连接．若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2分）（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）（2022八下·港南期中）如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝ BC；④三角形BDF是直角三角形.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2分）如图是一个由5张纸片拼成的 ，相邻纸片之间互不重湜也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 ，中间一张矩形纸片EFGH的面积为 ，FH与GE相交于点 .当 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A． . B． C． D．
阅卷人 二、填空题(共9题；每题2分，共18分)
得分
11．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则 ．
12．（2分）（2022八下·曲阳期末）已知在中，，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，，连接AF，CF，若，则AB＝ ．
13．（2分）（2022八下·抚远期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则 ．
14．（2分）（2022八下·本溪期末）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是 ．
15．（2分）（2022八下·临渭期末）如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 ．
16．（2分）（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是 ．
17．（2分）（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
18．（2分）（2022八下·青山期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为 ．
19．（2分）（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，直线DA、BE相交于点F.取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 cm.
阅卷人 三、解答题(共7题；共62分)
得分
20．（6分）（2022八下·抚远期末）如图，在中，已知，，平分，于点，为中点．求的长．
21．（7分）（2022八下·房山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，D、E分别是的中点． 求证：∥，且．
方法一 证明：如图，延长至点F，使，连接． 方法二 证明：如图，过点C作∥交的延长线于F．
22．（6分）（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．
（1）（3分）证明：四边形EFGB是菱形；
（2）（3分）若，求DF的长度．
23．（8分）（2022八下·城固期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）（4分）求证：AE垂直平分CD；
（2）（4分）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
24．（11分）（2022八下·南海期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：
（1）（2分）若点P是线段AC的中点，直接写出 ．
（2）（4分）如图2，过点P作轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．
（3）（5分）连接BP，若是等腰三角形，求CP的长度．
25．（11分）（2022八下·晋中期末）综合与实践：图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在△ABC中，，，D，E分别为AB，AC边上一点，连接DE，且，将△ABC绕点A在平面内旋转．
（1）（2分）观察猜想：若，将△ABC绕点A旋转到如图2所示的位置 ，则DB与EC的数量关系为 ；
（2）（4分）类比探究：若，将△ABC绕点A旋转到如图3所示的位置，DB，CE相交于点O，猜想DB，CE满足的位置关系，并说明理由；
（3）（5分）拓展应用：如图4，在（2）的条件下，连接CD，分别取DE，DC，BC的中点M，P，N，连接PM，PN，MN，若，，请直接写出在旋转过程中△PMN面积的最大值．
26．（13分）（2022八下·诸暨期末）在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=60°，点E是边AD的中点，点P是对角线AC上一动点，连结EP，作点A关于直线EP的对称点A'．
（1）（4分）若点P是AC的中点，求EP的长度．
（2）（4分）若△AEP是以EP为腰的等腰三角形，求EP的长度．
（3）（5分）直线A'E交AC于点Q，连结QE，若△AEQ是直角三角形，求EP的长度．
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