浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题15 矩形的判定和性质
阅卷人 一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
1．（2分）（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【规范解答】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故答案为：C．
【思路点拨】根据矩形的性质和三角形中位线的性质可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的边长，最后求得△BOE的周长.
2．（2分）（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【规范解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵，
∴AO=DO=
∵∠AOD=∠BOC=120°
∴∠OAD=30°
∵∠OPA=90°
∴OP=
故答案为：A.
【思路点拨】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.
3．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【规范解答】解：解：，
，又，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：C．
【思路点拨】
两直线平行，内错角相等，根据折叠性质证得，等腰三角形腰相等，再根据勾股定理即可求得AD.
4．（2分）（2022八下·元阳期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】A
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ACB=30°，
∵
∴
在Rt△ABC中，
∴AD=BC=3，
∵
∴
在Rt△DAE中，DE=
故答案为：A
【思路点拨】先求出AD和AE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可。
5．（2分）（2022八下·钢城期末）在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点E处，线段交于定O，过O作于点G，于点H，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【规范解答】解：∵将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，
∴∠ACB＝∠ACE，∠E＝∠B＝90°，AE＝AB＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴OA＝OC，
设OA＝OC＝x，则OE＝8 x，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴42＋（8 x）2＝x2，
解得x＝5，
∴OA＝OC＝5，
∵OG⊥AC，
∴AG＝CG＝AC，
而AC＝，
∴AG＝CG＝2，
∴OG＝，
∵AG＝CG，，
∴GH∥AB，
∴GH＝AB＝2，
∴，
故答案为：B．
【思路点拨】设OA＝OC＝x，则OE＝8 x，利用勾股定理可得42＋（8 x）2＝x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC和OG的长，最后利用中位线的性质可得GH＝AB＝2，从而可得到。
6．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF，
在△DFE与△CFN中，
∴△DFE≌△CFN，
∴EF＝FN，
∴△EBN为等腰三角形，
无法确定△EBN为等边三角形，故②不符合题意；
由等腰三角形的三线合一得：BF⊥EN，
∴BF垂直平分EN，故①符合题意；
∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，
∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，
∴∠EFM＝∠EBF，
∵∠DFE＝∠EFM，
∴∠DFE＝∠FBE，
∴；故③符合题意；
∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，
∴BE＝3EM，
∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合题意．
综上所述：①③④都符合题意，
故答案为：B．
【思路点拨】由折叠的性质得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性质得出BF垂直平分EN，由两组角对应相等的两个三角形相似，可求，由AAS证出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，则S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出结论。
7．（2分）（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【规范解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【思路点拨】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【规范解答】解：连接CM、DM，
∵矩形ABCD
∴ ，
∵ ， M ， N 分别是边AB ， CD的中点，
∴
故①正确；
∵
∴四边形AMCN是平行四边形
∴AN∥CM
∴
∵
∴CM垂直平分PB
∴BC=PC
∴ （SSS）
∴
即
故②正确；
∵ ， ，
∴ （HL）
∴
故③正确；
取CQ中点E，连接EN
∵N是CD中点
∴EN是△CDQ的中位线
∴
∵
∴
∴ ，即
故④正确；
综上所述，正确的是①②③④
故答案为：D．
【思路点拨】连接CM、DM，由矩形的性质可得AB=CD，根据线段的中点及直角三角形斜边中线的性质可得，故①正确；可证四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥MC，根据SSS证明，可得，故②正确；根据HL可证明，可得PQ=AQ，故③正确；取CQ中点E，连接EN，可得EN是△CDQ的中位线，可得DQ=2EN，根据大角对大边进行判断即可.
9．（2分）（2022八下·广安期末）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5 B．当y＝5时，x＝2
C．当x＝6时，y＝10 D．矩形MNPQ的周长是18
【答案】B
【规范解答】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长， ， ，
A、 时，△MNR的面积＝ ，正确，不符合题意；
B、 时， 高 ，则高 ，点R在PN或QM上，距离QP有2个单位，对应的x值是2或11，错误，符合题意；
C、 时，点R在QP上，△MNR的面积＝ ，正确，不符合题意；
D、矩形周长为 ，正确，不符合题意.
故答案为：B．
【思路点拨】由图2知，，然后结合图象及三角形的面积公式逐项计算，再判断即可.
10．（2分）（2022八下·慈溪期末）如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【规范解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45°，
∴BF=EF，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG=PE，∠PEF=∠GBF，
∵∠ABD=∠FPG=45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP=BG，
∴AP=PE；
故①正确；
如图2，连接CG，
由①知：PG∥AB，PG=AB，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG=CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG=PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，
∵∠CEG=45°，
∴CE= CG= PD；
故③正确；
如图3，连接AC交BD于O，
∠CGF=∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD=
∴∠COF=90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴OC=FG，BD=2OC=2FG，
△BFG≌△EFP，
，
，
故②正确；
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 .
故④正确.
故答案为：D.
【思路点拨】在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，根据正方形的性质得∠FBC=∠ABD=45°，则BF=EF，证△BFG≌△EFP，得BG=PE，∠PEF=∠GBF，易得四边形ABGP是平行四边形，则AP=BG，据此判断①；连接CG，易得四边形DCGP是平行四边形，则CG=PD，CG∥PD，根据三角函数的概念得CE=CG，据此判断③；连接AC交BD于O，根据正方形性质得AC⊥BD，BD=AB=PG，则四边形OCGF是矩形，OC=FG，BD=2OC=2FG，根据全等三角形的性质可得PF=FG，据此判断②；根据等腰三角形的性质结合内角和定理可得∠BPE=∠BEP=67.5°，∠FPG=∠FGP=45°，则∠GPE=22.5°，推出PG=GE，则FG=GE，BE=(1+)FG，DF=(-1)PF，据此判断④.
阅卷人 二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分
11．（2分）（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
【答案】
【规范解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵，
∴，
，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴矩形ABCD的面积=，
故答案为：
【思路点拨】先利用割补法求出，再利用矩形的性质可得矩形ABCD的面积=。
12．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点恰好落在边OC上，则OE的长为 ．
【答案】
【规范解答】解：连接A′D，AD，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，
∵CD=3DB，
∴CD=3，BD=1，
∴CD=AB，
∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，
∴A′D=AD，A′E=AE，
在Rt△A′CD与Rt△DBA中，，
∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），
∴A′C=BD=1，
∴A′O=2，
∵A′O2+OE2=A′E2，
∴22+OE2=（4﹣OE）2，
∴OE=，
故答案为：.
【思路点拨】连接A′D，AD，先利用“HL”证明Rt△A′CD≌Rt△DBA可得A′C=BD=1，求出A′O=2，再利用勾股定理可得22+OE2=（4﹣OE）2，最后求出OE的长即可。
13．（2分）（2022八下·钢城期末）如图，在矩形中，，，点P是不与A，D重合的两点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值是 ．
【答案】
【规范解答】解：如图所示，连接OP，
∵AB＝2，AD＝4，
由勾股定理可得BD＝，S△ABD＝AB AD＝×2×4＝4，
在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，
∴OA PE＋OD PF＝×4＝2，即，
∴PE＋PF＝，
故答案为：．
【思路点拨】连接OP，利用割补法可得S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝S△ABD，再将数据代入可得OA PE＋OD PF＝×4＝2，即，求出PE＋PF＝即可。
14．（2分）（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于 ．
【答案】4.8
【规范解答】解：连接，
四边形是菱形，
四边形为矩形，
当时，有最小值，
此时
的最小值为，
故答案为：4.8．
【思路点拨】利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
15．（2分）（2022八下·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么 秒．
【答案】或或6或3
【规范解答】解：当在边上，如图，由题意得：，，，
，
，
；
当在上时，如图，由题意得：，，
，
，
；
当，有一点到达终点时，点，同时停止运动，
，
和符合题意．
故答案为：或．
【思路点拨】分两种情况：①当在边上，②当在上时，再分别画出图象并求解即可。
16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形中，为中点，经过点且，交于点，交于点，点为的中点，．则以下结论中：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①③④
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
点是中点，
，
，
，
，
，
在中，点G是中点，且，
，
，
，
，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
，由题意知，点与点不重合，故②不符合题意；
，
，
，
∴△AEF是等边三角形，故③符合题意；
，
，
，
∵，
，
，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【思路点拨】利用矩形的性质、相似三角形的判定及性质和等边三角形的判定方法逐项判断即可。
17．（2分）（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】
【规范解答】解：如图，连接EO、PO、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
∵点O，P 分别是边AB ，AD 的中点，
∴OB=AO=4，AP=DP=6，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC=，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP=，
由折叠可得OE=OC=，
∵PE≥OE-OP，
∴PE最小值=OE-OP=，
故答案为：．
【思路点拨】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.
18．（2分）（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【答案】12
【规范解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【思路点拨】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
19．（2分）（2022八下·禹州期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是 .（只填序号）
【答案】①②④
【规范解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形EFBG为矩形，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
即①正确；
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即②正确；
∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠ABC、∠EFB、∠EGB均为直角，
∴四边形EFBG为长方形，
在△BEF和△FGB中
∴△BEF≌△FGB（SSS）
∴∠BGF=∠FEB
假设∠BGF=∠ADE，则有∠FEB=∠ADE，
又∵EF∥AD，则B、E、D在同一条直线上，
而题干中E是AC上的动点，B、E、D并不一定共线，
故∠BGF不一定等于∠ADE.
故③错误；
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当时，DE最小，
∵，，
∴，
∴，
由①知，，
∴FG的最小值为，
即④正确，
综上，①②④正确，
故答案为：①②④.
【思路点拨】连接BE，交FG于点，易得四边形EFBG为矩形，得FG=BE， OB=OF=OE=OG，根据正方形的性质，得出，，利用SAS证明△ABE≌△ADE，得出DE=BE，则可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由(1)得出∠ABE=∠ADE，根据条件和角之间的关系求出DE⊥FG，即可判断②；先通过三角为直角判定四边形EFBG为长方形，再通过SSS判定△BEF≌△FGB，从而可得∠BGF=∠FEB，通过反证法推理即可判断③；根据垂线段最短得当DE⊥AC时，DE最小，根据勾股定理求出AC长，从而求出DE长，即可得FG的最小值，即可判断即④.
20．（2分）（2022八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A' B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+ B'G的最小值
【答案】
【规范解答】解：如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，
∵AB=CD=3，
∴BQ=1，
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，A'M=2B'M，
∴Q和M关于EF对称，
∴QG=MG，
又∵G为BB'的中点，∠BCB'=90°，
∴GC=B'G，
∴MG+ B'G=QG+GC，
∴当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，
∴MG+ B'G的最小值为CQ的长，
在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，
∴CQ===.
故答案为：.
【思路点拨】如图，连接GC，取线段AB的一点Q，使得AQ=2BQ，连接QG，QC，易得BQ=1，根据折叠的性质得Q和M关于EF对称，则QG=MG，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得GC=B'G，
从而得MG+ B'G=QG+GC，当Q、G、C三点共线时，CQ=QG+GC，此时QG+GC最短，MG+ B'G的最小值为CQ的长，最后在Rt△BCQ中，BQ=1，BC=6，由勾股定理求得CQ的长即可求解.
阅卷人 三、解答题(共7题；共60分)
得分
21．（6分）（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
【答案】证明：，AD⊥BC，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形ADBE是矩形．
【思路点拨】先证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形ADBE是矩形。
22．（7分）（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．
【答案】解：如图，连接，
∵点E是的中点，交于点F，
∴垂直平分，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在矩形中，，
∴.
【思路点拨】连接，根据垂直平分线的性质可得，再证明是等边三角形，可得，最后利用三角形的内角和求出即可。
23．（10分）（2019八下·高要期中）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
（1）（3分）求证：EO=FO；
（2）（3分）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）（4分）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）解：当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB，
同理，∠ACF= ∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）解：△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【思路点拨】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
24．（8分）（2022八下·越城期末）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．
（1）（4分）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；
（2）（4分）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．
【答案】（1）解：如图所示，四边形PMQN即为所求.
（2）解：如图所示，线段PH即为边RQ上的高线.
【思路点拨】（1）如图1，将点P向右平移3个单位，得到点N，再把点Q向左平移3个单位，得到点M，再顺次连接P、M、Q、N，即得到平行四边形PMQN，且面积为9；
（2）如图2，连接以PR为边的矩形的对角线，交RQ于点H，由直角三角形性质及角的互余关系，即可得∠PHR=90°，即PH⊥RQ，因此线段PH为边RQ上的高线.
25．（9分）（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）（2分）求证：四边形是矩形．
（2）（3分）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）（4分）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵，∴又∵是正方形∴∴四边形四边形是矩形
（2）解：，证明如下：连接，
∵四边形为矩形，∴，又∵四边形是正方形，P为上任意一点，∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP，∴，∴；
（3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，∵正方形ABCD的周长为40，∴AD=CD=10∵AD=CD，∠ADC=90°，，∵，∴∴的最小值是．
【思路点拨】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即证结论；
（2），理由：连接， 证明△ADP≌△ABP，根据全等三角形的性质可得PB=PD，由矩形的性质知PB=EF，即证PD=EF；
（3）由（2）得，则的最小值，即的最小值，当时，取得最小值，求出此时DP的长即得结论.
26．（10分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，，直角尺的直角顶点P在上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交于点E．
（1）（3分）求证：∽；
（2）（3分）当时，求的长；
（3）（4分）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，，，
，
又，
，
，
∽；
（2）解：在中，，，，，，由∽知：，即；
（3）解：假设存在满足条件的点P，设，则，∽，
根据的周长等于周长的2倍，得到两三角形的相似比为2，
，
解得，
，故存在满足条件的P点，的长为8．
【思路点拨】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）先求出AP的长，再利用，将数据代入可得，最后求出AE的长即可；
（3）设，则，利用相似三角形的性质可得，再求出x的值即可。
27．（10分）（2022八下·鲅鱼圈期末）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝9，OC＝15．
（1）（3分）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在边AB上的点D处，求直线EC的解析式；
（2）（3分）如图2，在OA，OC边上选取适当的点M，N，将△MON沿MN折叠，使O点落在AB边上的点D'处，过点D'作D'G⊥CO，垂足为G，交MN于点T，连接OT，判断四边形OTD'M的形状，并说明理由；
（3）（4分）在（2）的条件下，若点T的坐标为（6，），点P在直线MN上，坐标轴上是否存在点Q，使以M，D'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在矩形ABCO中，有AB=OC，OA=BC，∠B=∠BAO=∠BCO=∠EOC=90°，∵OA=9，OC=15，∴AB=15，BC=9，C点坐标为（15，0），根据折叠的性质得：DC=OC，EO=ED，∴DC=15，∴在Rt△DBC中，，∴AD=AB-DB=15-12=3，∵OA=9，EO=ED，∴AE=OA-EO=9-ED，∵在Rt△AED中，，AD=3，∴，解得DE=5，∴EO=ED=5，∴E点坐标为（0，5），设EC的解析式为，将C点坐标为（15，0），E点坐标为（0，5）代入，得，解得，则EC的解析式为；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：∵，矩形ABCO中AO⊥OC，∴，即，∴，根据折叠的性质有，，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；
（3）解：存在这样的Q点，∵在矩形ABCO中，，∴四边形也是矩形，∴，，∵∴，，
∴，∴菱形的边长是，即，∴M点坐标为：，
设直线MN的解析式为，点T在直线MN上，将，代入，得，解得，则MN的解析式为；
∵P点在直线MN上，Q点在坐标轴上，∴设P点坐标为，
当Q点在横坐标轴上时，设Q点坐标为（a，0）即：，，，，四点可构成平行四边形，第一种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，∴根据平行四边形的对角线相互平分可知PM与的中点重合，∴根据中点坐标公式有：，解得，
∴此时Q点坐标为，第二种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有：，
解得，
∴此时Q点坐标为，
第三种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有：，解得，
∴此时Q点坐标为，当Q点在纵坐标轴上时，设Q点坐标为（0，a），
即：，，，，四点可构成平行四边形，第一种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，
∴根据平行四边形的对角线相互平分可知PM与的中点重合，
∴根据中点坐标公式有：，解得，
∴此时Q点坐标为，第二种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有：，解得，∴此时Q点坐标为，第三种情况：当为平行四边形的对角线时，则为另一条对角线，∴同理根据中点坐标公式有：，解得，
∴此时Q点坐标为，综上所述：满足条件的Q点坐标为：、、．
【思路点拨】（1）利用勾股定理求出DB=12，待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（3）先求出 ， 再分类讨论，列方程求解即可。
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷
专题15 矩形的判定和性质
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
得分
1．（2分）（2022八下·抚远期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
2．（2分）（2022八下·涿州期末）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2分）（2022八下·虎林期末）如图，矩形中把矩形沿直线折叠，点落在点处，交于点．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2分）（2022八下·元阳期末）如图，在矩形ABCD中，，，点E在AB延长线上，且，连接DE，则DE的长为（ ）
A．6 B． C． D．8
5．（2分）（2022八下·钢城期末）在矩形中，，，将矩形沿折叠，点B落在点E处，线段交于定O，过O作于点G，于点H，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，点E是的中点，的平分线交于点F将沿折叠，点D恰好落在上M点处，延长交于点N，有下列四个结论：①垂直平分；②是等边三角形；③；④．其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
7．（2分）（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2分）（2022八下·南充期末）如图，矩形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 于 ， 的延长线交 于 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）（2022八下·广安期末）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y．若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5 B．当y＝5时，x＝2
C．当x＝6时，y＝10 D．矩形MNPQ的周长是18
10．（2分）（2022八下·慈溪期末）如图，正方形 中，点P为 延长线上任一点，连结 ，过点P作 ，交 的延长线于点E，过点E作 于点F.下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
阅卷人 二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
得分
11．（2分）（2022八下·无为期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为 ．
12．（2分）（2022八下·环翠期末）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点恰好落在边OC上，则OE的长为 ．
13．（2分）（2022八下·钢城期末）如图，在矩形中，，，点P是不与A，D重合的两点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值是 ．
14．（2分）（2022八下·广饶期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于 ．
15．（2分）（2022八下·门头沟期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么 秒．
16．（2分）（2022八下·建昌期末）如图，在矩形中，为中点，经过点且，交于点，交于点，点为的中点，．则以下结论中：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的序号为 ．
17．（2分）（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ．
18．（2分）（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
19．（2分）（2022八下·禹州期末）如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是 .（只填序号）
20．（2分）（2022八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，点A落在点A'处，点B落在CD边点B'处，连结BB'交EF于点G，点M在A' B'上，A'M=2B'M，若CD=3，AD=6，在折叠的过程中，点B'在边CD上不同的位置时，则MG+ B'G的最小值
阅卷人 三、解答题(共7题；共60分)
得分
21．（6分）（2022八下·长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点B作AD的平行线交外角∠BAF的平分线于点E．求证：四边形ADBE是矩形．
22．（7分）（2022八下·南康期末）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F，点M在上，连接，把延翻折．当点A的对应点恰好落在上时，求的度数．
23．（10分）（2019八下·高要期中）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E.
（1）（3分）求证：EO=FO；
（2）（3分）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）（4分）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。
24．（8分）（2022八下·越城期末）如图均是由边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、Q、R均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法．
（1）（4分）如图1，以线段PQ为对角线画一个面积为9的平行四边形PMQN，且M、N在格点上；
（2）（4分）如图2，画△PQR边RQ上的高线PH，点H是垂足．
25．（9分）（2022八下·顺平期末）如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F．
（1）（2分）求证：四边形是矩形．
（2）（3分）请你猜想与的数量关系，并给出证明．
（3）（4分）在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值．
26．（10分）（2022八下·环翠期末）如图，在矩形中，，直角尺的直角顶点P在上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交于点E．
（1）（3分）求证：∽；
（2）（3分）当时，求的长；
（3）（4分）是否存在这样的点P，使的周长等于周长的2倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
27．（10分）（2022八下·鲅鱼圈期末）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝9，OC＝15．
（1）（3分）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在边AB上的点D处，求直线EC的解析式；
（2）（3分）如图2，在OA，OC边上选取适当的点M，N，将△MON沿MN折叠，使O点落在AB边上的点D'处，过点D'作D'G⊥CO，垂足为G，交MN于点T，连接OT，判断四边形OTD'M的形状，并说明理由；
中小学教育资源及组卷应用平台
（3）（4分）在（2）的条件下，若点T的坐标为（6，），点P在直线MN上，坐标轴上是否存在点Q，使以M，D'，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21世纪教育网(www.21cnjy.com)
