简单事件的概率—浙教版数学九（上）知识点训练
一、事件发生的可能性
1．（2024九上·浙江期末）下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ）
A．旭日东升 B．水中捞月 C．老马识途 D．十拿九稳
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：旭日东升是必然事件；
B：水中捞月是不可能事件；
C：老马识途是随机事件；
D：十拿九稳是随机事件；
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类“在一定条件下一定发生的事件是必然事件；不会发生的事件时不可能事件；有可能发生也可能不发生的事件是随机事件”逐一判断即可.
2．（2024九上·余杭期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．两数相加，和大于其中一个加数
B．若是实数，则
C．射击运动员射击一次，命中8环
D．两数相乘，同号得正数
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、 两数相加，和大于其中一个加数，可能发生也可能不发生，为随机事件；
B、 若是实数，则 ，当时，，当时，，此事件可能发生也可能不发生，为随机事件；
C、 射击运动员射击一次，命中8环 ，可能发生也可能不发生，为随机事件；
D、 两数相乘，同号得正，一定发生，为必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的概念，对选项逐个判断即可，一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件；不可能发生的事件为不可能事件；一定发生的事件为必然事件.
3．（2024七下·浙江竞赛）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个不同的数，它们的和恰为3的倍数的可能性为，则（ ））
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：
根据组合数公式可得种，
把这9个数按除以3的余数分类后，要使得四个数的和是3的倍数，有以下三种情况：
四个数除以3的余数都相同，有 种 (因为每类只有3个数，选不出4个) 。
四个数除以3的余数分别为0、1、2、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为1、1、1、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为2、2、2、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为1、1、2、2，有 种，
所以和恰为3的倍数的组合数共有2 种，
，
故答案为：C.
【分析】根据组合公式得到所有的等可能结果数，然后分情况得到和能被3整除的结果数，然后解题即可.
4．（2020九上·越城期中）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
【答案】C
【知识点】可能性的大小；利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，
∴乘坐C路线上的公交车， 从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
故答案为：C.
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，即可得出答案.
二、概率的意义
5．（2024九上·温州期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（ ）
A．很有可能中一等奖
B．张奖券中一定有一张是一等奖
C．可能中一等奖，但可能性不是很大
D．个顾客中一定有一人中一等奖
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为，
∴中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，且不意味着一定中奖，
故答案为：C．
【分析】根据概率的意义：表示事件发生的可能性大小，去分析判断即可．
6．（2019九上·杭州月考）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【答案】D
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是 ，D不符合题意，
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
三、列举法求概率
7．电影票每张50元，如果有（m+n）个人排队买票，其中m 个人各持有50元面值的人民币一张，另外n个人各持有100元面值的人民币一张，而售票处没有预备找零，当m=n =4时，将这（m+n）个人排成一列顺序购票且无需因为等待找零耽误时间的排队种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解： 设持有50元面值的人民币的人为A，持有100元面值的人民币的人为B，
利用列举法，不同结果有：
ABABABAB，ABABAABB，ABAABBAB，ABAABABB，ABAAABBB，
AABBABAB，AABBAABB，AABABBAB，AABABABB，AABAABBB，
AAABBBAB，AAABBABB，AAABABBB，AAAABBBB，
共14种．
故答案为：B.
【分析】设持有50元面值的人民币的人为A，持有100元面值的人民币的人为B，列举出所有可能结果.
8．（2024九上·柯桥期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，
∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况，
∵是直角三角形的有，只有1种情况，
∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是．
故答案为：A．
【分析】先根据题意得到符合的三角形的个数，再找出是直角三角形的个数，再利用概率公式解题即可．
9．（2024·拱墅模拟）小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数(不同数位上的数字不同)，现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解：
由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数共有369，396，639，693，936，963六种，而密码只是其中的一种，故一次打开的概率为
故答案为：.
【分析】根据题意，用直接列举法，列出三位数密码的所有结果，而密码只有其中一种，根据概率公式代入即可.
10．现有长分别为 的木条各一根， 从这 5 根木条中任取 3 根， 能构成三角形的概率是 .
【答案】0.3
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从长度为1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4，；2，3，5；2，4，5；3，4，5；
其中能构成三角形的有：3，4，5；2，4，5；2，3，4这三种结果，所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是.
故答案为：0.3.
【分析】本题考查概率计算，先列出所有可能的结果，再通过三角形三边间的关系找到能组成三角形的结果数，利用概率计算公式计算即可.
四、利用频率估计概率
11．（2024九上·温州期中）小明为了解平整地面上一块不规则的案的面积，采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：假设不规则图案的面积为xm2，
由题意，得长方形的面积为10×8=80m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案内的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，
故由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率大约为 0.35，所以=0.35，
解得 x=28.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合概率以及用频率估计概率，当试验次数足够多时，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故频率即为小球落在不规则图案内的概率，由此即可计算出概率.
12．（2024九上·温州期中）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为 ．
【答案】0.6
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得正方形的面积为1×1=1，
∵ 小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，
∴阴影部分的面积为1×0.6=0.6，
故答案为：0.6．
【分析】先求出正方形的面积，然后由大量重复实验时，可用频率估算概率，据此即可求解.
13．（2024九下·杭州月考）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 （精确到0.1） .
（2）估算盒子里有白球多少个？
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个。每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量里复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？
【答案】（1）0.6
（2）40×0.6=24（个）.
答： 盒子里有白球24个 .
（3）解：由题意得：=0.5，
解得x=10，
答： 可以推测出x最有可能是10.
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由表格知的数据知： 估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6.
故答案为：0.6.
【分析】（1）同样条件下，大量反复实验 时，随机事件发生的频率稳定在概率附近，从而估计出概率.
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得解；
（3）利用概率公式和摸到白球的个数列出方程并解之即可.
五、几何概率
14．（2024·浙江模拟）转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为总共有6个数，其中无理数有和共两个，
所以 指针停留在无理数区域的概率是
故答案为：B.
【分析】分析得出总共有6个数，其中无理数有2个，再根据概率公式即可求解.
15．（2024九下·镇海区开学考）如图，一只圆形平盘被同心圆划成，，三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，，三个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动如图将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分，我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；几何概率
【解析】【解答】解：如图2，设AE=EC=CD=DF=BF=2x，
过O点作OH⊥CD于H，连接OC、OE、OA，则CH=DH=x，
解得.
在Rt△OAH中，OH2=OA2-AH2=5OC2-25x2，
在Rt△OCH中，OH2=OC2-CH2=OC2-x2，
∴5OC2-25x2=OC2-x2，
解得，
∴OH2=5x2，，
在Rt△OEH中，OE2=OH2+EH2=5x2+9x2=14x2，
∴
故答案为：A.
【分析】过O点作OH⊥CD于H，连接OC、OE、OA，设AE=EC=CD=DF=BF=2x，则CH=DH=x，利用几何概率的求法得到 P（S），求得OA与OC的关系，再利用勾股定理求得OC，进而可得OA，接着利用勾股定理求得OE2，最后利用几何概率的求法得到P（M）.
16．（2024九上·杭州月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是 .
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：
正方形被分成25个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是9个小正方形，
所以任意投掷飞镖1次，击中 飞镖游戏板空白部分的概率是
故答案为：
【分析】根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可.
17．某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
（2）请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件．
【答案】解：（1）转盘被等分为16份，黄色占1份，白色占11份，所以获得50元、5元购物券的概率分别是，．
（2）根据概率的意义可知指针落在某一区域的事件发生概率为，那么应有16×=6块，根据等级越高，中奖概率越小的原则，此处应涂绿色，事件为获得10元购物券．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
（2）指针落在某一区域的事件发生概率为，则应该有6块，据此解答即可．
六、列表法求概率
18．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性相同，则甲、乙两辆汽车经过该十字路口都继续直行的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
∴所有等可能的情况有9种，其中两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况有1种，
∴P（甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行）＝．
故答案为：B.
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
20．（2024九上·杭州期中）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
由表知，共有16种等可能的结果数，其中两个数的和是4的为，，，有3种，
∴两个数的和是4的概率为，
故答案为：．
【分析】先列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
21．（2024九上·浙江期末）小明为帮助自己记忆古诗，将5句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）.甲口袋中装有A，B，C三张卡片，乙口袋中装有D，E两张卡片.
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到思乡的古诗的概率是 .
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率
【答案】（1）
（2）解：
列表：
A B C
D (A，D) (B，D) (C，D)
E (A，E) (B，E) (C，E)
由表格可知共有6种等可能结果，抽到的至少有一首是励志诗的有4种，
∴抽到的至少有一首是励志诗的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 从乙口袋中随机抽取有两种等可能结果， 抽到思乡的古诗D的可能性有1种，
∴ 抽到思乡的古诗的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；
（2）列表格得到所有等可能结果数，然后找出符合条件的结果数，运用概率公式计算即可.
22．（2024九上·杭州期中）某初中九年级开展数学课题学习，设置了"视力的变化"，"哪种方式更合算"，"设计遮阳棚"三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习根据九（1）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
课题 选择次数 频率
A“视力的变化” 4 a
B“哪种方式更合算” b 0.4
C“设计遮阳棚” 20 0.5
请综合上述信息回答下列问题：
（1） ； ；
（2）某班有3男1女四名学生选择了"视力的变化"课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少 请你用列表或画树状图的方法说明理由.
【答案】（1）0.1；16
（2）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2， 男1 男3， 男1 女， 男1
男2 男1， 男2 男3， 男2 女， 男2
男3 男1， 男3 男2， 男3 女， 男3
女 男1， 女 男2， 女 男3， 女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等.其中一男一女的情况有6种，∴这两人正好是1男1女的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】(1)∵被调查的总人数为： (人)，
，
故答案为： 0.1、 16；
【分析】(1)先根据C课题的次数及频率求出总人数，再根据次数=频数×总数求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
七、树状图法求概率
23．（2024九上·余杭期中）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然.将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B或），再经过第二道门（或）才能出去。已知松鼠可以任意选择一条路线出去，则松鼠通过BD路线出去的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠通过BD路线出去的结果数为1，则松鼠通过BD路线出去的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据题意画出树状图确定松鼠走出笼子的所有可能路线结果数和松鼠通过BD路线出去的结果数，然后运用概率公式计算即可．
24．（2024九上·余杭月考）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把3节车厢分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为，
故答案为：A．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，然后由概率公式即可求解．
25．（2024·义乌模拟）甲、乙、丙三人练习传球，开始球在甲手上，每人都可以把球传给另外两人中的一人.经过5次传球后，球回到甲手上的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，经过五次传播后球的情况如下：
一共有32种可能的情况，其中传回甲手里的情况有10种，故概率为
故答案为：.
【分析】根据题意，列出树状图，数出所有可能的情况数，以及最后又传回甲手里的情况数，再利用概率公式计算即可.
26．（2024九上·乐清期中） “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结品，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀.
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机
抽取一张邮票.请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率.
【答案】（1）
（2）解：法一：树状图
P（至少有一张是 D（立秋））=
法二：列表法
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
C （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
P（至少有一张是 D（立秋））=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)共有A、B、C、D四张邮票，即n=4，故抽中B的概率为P=；
故答案为：.
【分析】(1)直接由概率的计算公式直接计算即可得结果；
(2)树状图或列表法列出所有可能的情况，再根据概率公式进行计算即可.
1 / 1简单事件的概率—浙教版数学九（上）知识点训练
一、事件发生的可能性
1．（2024九上·浙江期末）下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（ ）
A．旭日东升 B．水中捞月 C．老马识途 D．十拿九稳
2．（2024九上·余杭期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．两数相加，和大于其中一个加数
B．若是实数，则
C．射击运动员射击一次，命中8环
D．两数相乘，同号得正数
3．（2024七下·浙江竞赛）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个不同的数，它们的和恰为3的倍数的可能性为，则（ ））
A． B． C． D．
4．（2020九上·越城期中）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
二、概率的意义
5．（2024九上·温州期中）“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（ ）
A．很有可能中一等奖
B．张奖券中一定有一张是一等奖
C．可能中一等奖，但可能性不是很大
D．个顾客中一定有一人中一等奖
6．（2019九上·杭州月考）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
三、列举法求概率
7．电影票每张50元，如果有（m+n）个人排队买票，其中m 个人各持有50元面值的人民币一张，另外n个人各持有100元面值的人民币一张，而售票处没有预备找零，当m=n =4时，将这（m+n）个人排成一列顺序购票且无需因为等待找零耽误时间的排队种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2024九上·柯桥期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·拱墅模拟）小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数(不同数位上的数字不同)，现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 .
10．现有长分别为 的木条各一根， 从这 5 根木条中任取 3 根， 能构成三角形的概率是 .
四、利用频率估计概率
11．（2024九上·温州期中）小明为了解平整地面上一块不规则的案的面积，采取了以下办法：用一个长为10m，宽为8m的长方形，将它围起来（如图1），然后随机地朝长方形区域内扔小球，并计算小球落在阴影区域内（落在界线上或长方形区域外不计）的频率，并绘制成折线统计图（如图2），由此可估计不规则图案的面积约为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
12．（2024九上·温州期中）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分，为了估计阴影部分的面积，小美同学在正方形内随机掷小石块，经过大量重复试验，发现小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，则据此估计阴影部分的面积为 ．
13．（2024九下·杭州月考）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 （精确到0.1） .
（2）估算盒子里有白球多少个？
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个。每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量里复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？
五、几何概率
14．（2024·浙江模拟）转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九下·镇海区开学考）如图，一只圆形平盘被同心圆划成，，三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在，，三个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动如图将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分，我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2024九上·杭州月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是 .
17．某商场柜台为了吸引顾客，打出了一个小广告如下：本专柜为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率100%，最高奖50元．具体方法是：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准黄、红、绿、白色区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券．（转盘的各个区域均被等分）请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小亮的妈妈购物150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？
（2）请在转盘的适当地方写上一个区域的颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在某一区域的事件发生概率为，并说出此事件．
六、列表法求概率
18．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
19．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性相同，则甲、乙两辆汽车经过该十字路口都继续直行的概率为( )
A． B． C． D．
20．（2024九上·杭州期中）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
21．（2024九上·浙江期末）小明为帮助自己记忆古诗，将5句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）.甲口袋中装有A，B，C三张卡片，乙口袋中装有D，E两张卡片.
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到思乡的古诗的概率是 .
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率
22．（2024九上·杭州期中）某初中九年级开展数学课题学习，设置了"视力的变化"，"哪种方式更合算"，"设计遮阳棚"三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习根据九（1）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
课题 选择次数 频率
A“视力的变化” 4 a
B“哪种方式更合算” b 0.4
C“设计遮阳棚” 20 0.5
请综合上述信息回答下列问题：
（1） ； ；
（2）某班有3男1女四名学生选择了"视力的变化"课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少 请你用列表或画树状图的方法说明理由.
七、树状图法求概率
23．（2024九上·余杭期中）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然.将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B或），再经过第二道门（或）才能出去。已知松鼠可以任意选择一条路线出去，则松鼠通过BD路线出去的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024九上·余杭月考）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·义乌模拟）甲、乙、丙三人练习传球，开始球在甲手上，每人都可以把球传给另外两人中的一人.经过5次传球后，球回到甲手上的概率是 .
26．（2024九上·乐清期中） “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结品，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀.
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机
抽取一张邮票.请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A：旭日东升是必然事件；
B：水中捞月是不可能事件；
C：老马识途是随机事件；
D：十拿九稳是随机事件；
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类“在一定条件下一定发生的事件是必然事件；不会发生的事件时不可能事件；有可能发生也可能不发生的事件是随机事件”逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、 两数相加，和大于其中一个加数，可能发生也可能不发生，为随机事件；
B、 若是实数，则 ，当时，，当时，，此事件可能发生也可能不发生，为随机事件；
C、 射击运动员射击一次，命中8环 ，可能发生也可能不发生，为随机事件；
D、 两数相乘，同号得正，一定发生，为必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的概念，对选项逐个判断即可，一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件；不可能发生的事件为不可能事件；一定发生的事件为必然事件.
3．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：
根据组合数公式可得种，
把这9个数按除以3的余数分类后，要使得四个数的和是3的倍数，有以下三种情况：
四个数除以3的余数都相同，有 种 (因为每类只有3个数，选不出4个) 。
四个数除以3的余数分别为0、1、2、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为1、1、1、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为2、2、2、0，有 种。
四个数除以3的余数分别为1、1、2、2，有 种，
所以和恰为3的倍数的组合数共有2 种，
，
故答案为：C.
【分析】根据组合公式得到所有的等可能结果数，然后分情况得到和能被3整除的结果数，然后解题即可.
4．【答案】C
【知识点】可能性的大小；利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，
∴乘坐C路线上的公交车， 从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.
故答案为：C.
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为，
∴中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，且不意味着一定中奖，
故答案为：C．
【分析】根据概率的意义：表示事件发生的可能性大小，去分析判断即可．
6．【答案】D
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是 ，D不符合题意，
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解： 设持有50元面值的人民币的人为A，持有100元面值的人民币的人为B，
利用列举法，不同结果有：
ABABABAB，ABABAABB，ABAABBAB，ABAABABB，ABAAABBB，
AABBABAB，AABBAABB，AABABBAB，AABABABB，AABAABBB，
AAABBBAB，AAABBABB，AAABABBB，AAAABBBB，
共14种．
故答案为：B.
【分析】设持有50元面值的人民币的人为A，持有100元面值的人民币的人为B，列举出所有可能结果.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，
∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况，
∵是直角三角形的有，只有1种情况，
∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是．
故答案为：A．
【分析】先根据题意得到符合的三角形的个数，再找出是直角三角形的个数，再利用概率公式解题即可．
9．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；用列举法求概率
【解析】【解答】解：
由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数共有369，396，639，693，936，963六种，而密码只是其中的一种，故一次打开的概率为
故答案为：.
【分析】根据题意，用直接列举法，列出三位数密码的所有结果，而密码只有其中一种，根据概率公式代入即可.
10．【答案】0.3
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：从长度为1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4，；2，3，5；2，4，5；3，4，5；
其中能构成三角形的有：3，4，5；2，4，5；2，3，4这三种结果，所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是.
故答案为：0.3.
【分析】本题考查概率计算，先列出所有可能的结果，再通过三角形三边间的关系找到能组成三角形的结果数，利用概率计算公式计算即可.
11．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：假设不规则图案的面积为xm2，
由题意，得长方形的面积为10×8=80m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案内的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，
故由折线统计图可知，小球落在不规则图案内的概率大约为 0.35，所以=0.35，
解得 x=28.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合概率以及用频率估计概率，当试验次数足够多时，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故频率即为小球落在不规则图案内的概率，由此即可计算出概率.
12．【答案】0.6
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得正方形的面积为1×1=1，
∵ 小石块落在阴影部分的频率稳定在附近，
∴阴影部分的面积为1×0.6=0.6，
故答案为：0.6．
【分析】先求出正方形的面积，然后由大量重复实验时，可用频率估算概率，据此即可求解.
13．【答案】（1）0.6
（2）40×0.6=24（个）.
答： 盒子里有白球24个 .
（3）解：由题意得：=0.5，
解得x=10，
答： 可以推测出x最有可能是10.
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由表格知的数据知： 估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6.
故答案为：0.6.
【分析】（1）同样条件下，大量反复实验 时，随机事件发生的频率稳定在概率附近，从而估计出概率.
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得解；
（3）利用概率公式和摸到白球的个数列出方程并解之即可.
14．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为总共有6个数，其中无理数有和共两个，
所以 指针停留在无理数区域的概率是
故答案为：B.
【分析】分析得出总共有6个数，其中无理数有2个，再根据概率公式即可求解.
15．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；几何概率
【解析】【解答】解：如图2，设AE=EC=CD=DF=BF=2x，
过O点作OH⊥CD于H，连接OC、OE、OA，则CH=DH=x，
解得.
在Rt△OAH中，OH2=OA2-AH2=5OC2-25x2，
在Rt△OCH中，OH2=OC2-CH2=OC2-x2，
∴5OC2-25x2=OC2-x2，
解得，
∴OH2=5x2，，
在Rt△OEH中，OE2=OH2+EH2=5x2+9x2=14x2，
∴
故答案为：A.
【分析】过O点作OH⊥CD于H，连接OC、OE、OA，设AE=EC=CD=DF=BF=2x，则CH=DH=x，利用几何概率的求法得到 P（S），求得OA与OC的关系，再利用勾股定理求得OC，进而可得OA，接着利用勾股定理求得OE2，最后利用几何概率的求法得到P（M）.
16．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：
正方形被分成25个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是9个小正方形，
所以任意投掷飞镖1次，击中 飞镖游戏板空白部分的概率是
故答案为：
【分析】根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可.
17．【答案】解：（1）转盘被等分为16份，黄色占1份，白色占11份，所以获得50元、5元购物券的概率分别是，．
（2）根据概率的意义可知指针落在某一区域的事件发生概率为，那么应有16×=6块，根据等级越高，中奖概率越小的原则，此处应涂绿色，事件为获得10元购物券．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
（2）指针落在某一区域的事件发生概率为，则应该有6块，据此解答即可．
18．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
∴所有等可能的情况有9种，其中两辆汽车经过十字路口全部继续直行的情况有1种，
∴P（甲乙两辆汽车经过该十字路口全部继续直行）＝．
故答案为：B.
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
20．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
由表知，共有16种等可能的结果数，其中两个数的和是4的为，，，有3种，
∴两个数的和是4的概率为，
故答案为：．
【分析】先列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
21．【答案】（1）
（2）解：
列表：
A B C
D (A，D) (B，D) (C，D)
E (A，E) (B，E) (C，E)
由表格可知共有6种等可能结果，抽到的至少有一首是励志诗的有4种，
∴抽到的至少有一首是励志诗的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解： 从乙口袋中随机抽取有两种等可能结果， 抽到思乡的古诗D的可能性有1种，
∴ 抽到思乡的古诗的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；
（2）列表格得到所有等可能结果数，然后找出符合条件的结果数，运用概率公式计算即可.
22．【答案】（1）0.1；16
（2）解：列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2， 男1 男3， 男1 女， 男1
男2 男1， 男2 男3， 男2 女， 男2
男3 男1， 男3 男2， 男3 女， 男3
女 男1， 女 男2， 女 男3， 女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等.其中一男一女的情况有6种，∴这两人正好是1男1女的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】(1)∵被调查的总人数为： (人)，
，
故答案为： 0.1、 16；
【分析】(1)先根据C课题的次数及频率求出总人数，再根据次数=频数×总数求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
23．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知：松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠通过BD路线出去的结果数为1，则松鼠通过BD路线出去的概率为．
故答案为：B.
【分析】根据题意画出树状图确定松鼠走出笼子的所有可能路线结果数和松鼠通过BD路线出去的结果数，然后运用概率公式计算即可．
24．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把3节车厢分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为，
故答案为：A．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，然后由概率公式即可求解．
25．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，经过五次传播后球的情况如下：
一共有32种可能的情况，其中传回甲手里的情况有10种，故概率为
故答案为：.
【分析】根据题意，列出树状图，数出所有可能的情况数，以及最后又传回甲手里的情况数，再利用概率公式计算即可.
26．【答案】（1）
（2）解：法一：树状图
P（至少有一张是 D（立秋））=
法二：列表法
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
C （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
P（至少有一张是 D（立秋））=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)共有A、B、C、D四张邮票，即n=4，故抽中B的概率为P=；
故答案为：.
【分析】(1)直接由概率的计算公式直接计算即可得结果；
(2)树状图或列表法列出所有可能的情况，再根据概率公式进行计算即可.
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