【精品解析】概率的应用—浙教版数学九（上）知识点训练

概率的应用—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（　　）
A．7 B．3 C．10 D．65
2．（2024九上·秀洲期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·杭州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
5．（2022·秀洲模拟）如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．某校计划组织研学活动， 现有四个地点可供选择： 南柧岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山． 若从中随机选择一个地点， 则选中“南魔岛”或“百丈漈”的概率为(　　)
A． B． C． D．
7．（2023·永嘉模拟）甲乙丙丁四人互相给其他三人之一写信，选择对象的方式等可能.问存在两个人收到对方的信的概率（　　）
A． B． C． D．
8．为增强班级凝聚力， 吴老师组织开展了一次主题班会． 班会上， 他设计了一个如图 所示的飞镖靶盘， 靶盘由两个同心圆构成， 小圆半径为 ， 大圆半径为 ，每个扇形的圆心角为 ． 如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞飞镖1 次 （击中边界或没有击中靶盘，则重投 1 次）， 投中“免一次作业”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023九上·绍兴月考）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用一次可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（　　）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同
10．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有18人，合格的有17人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　）
A．0.125 B．0.45 C．0.425 D．1.25
二、填空题
11．（2024九上·慈溪期中）"服务社会，提升自我。"宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了"交通秩序维护"小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是　 　
12．（2024·浙江模拟）在如图所示的电路中，同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率是　 　.
13．（2024·南浔模拟）小文购买了4张主题是“立春”，“立夏”，“秋分”，“大寒”的邮票，将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是　 　．
14．（2024·莲都二模）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法。某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是　 　。
15． 如图， 在 的正方形网格飞镖游戏板中， 每块小正方形除颜色外都相同， 小正方形的顶点称为格点． 假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的 (击中扇形的边界或没有击中游戏板， 则重投 1 次)， 任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是　 　.
16．班级联欢会上有一个抽奖活动， 每位同学均参加一次抽奖， 活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上（如图 ）， 每个杯子内放入一个彩蛋， 彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色． 参加活动的同学先从中随机选中一个杯子， 记录杯内彩蛋颜色后放回， 重新打乱杯子的摆放位置， 再从中随机选中一个杯子， 记录杯内彩蛋颜色． 若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖． 则某同学获一等奖的概率是　 　.
三、解答题
17．（2024九上·上城期末）迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动(每人只能抽取一次)，盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
18．（2024九上·临平月考）甲、乙两人各有两张卡片，每张卡片上均标有一个数字，已知甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机抽一张，再比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮抽出的卡片不再使用，从各自剩下的卡片中比较数字的大小，比赛规定每一轮数字大的人得1分，数字小的人得0分.
（1）求“第一轮比赛后甲得1分”的概率.
（2）求“两轮比赛结束后乙得2分”的概率.
19．（2024九下·宁波月考）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生，图中扇形“C”的圆心角度是　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
20．为促进消费， 助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动． 活动规定： 凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下： 从装有大小、质地完全相同的 1 个红球及编号为①②③的 3 个黄球的袋中， 随机摸出 1 个球， 若摸得红球， 则中奖，可获得奖品； 若摸得黄球， 则不中奖． 同时， 还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中， 并再往袋中加入 1 个红球或黄球 （它们的大小、质地与袋中的 4 个球完全相同），然后从中随机摸出 1 个球， 记下颜色后不放回， 再从中随机摸出 1 个球， 若摸得的两球的颜色相同， 则该顾客可获得精美礼品一份． 现已知某顾客获得抽奖机会． 假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品， 他应往袋中加入哪种颜色的球？ 说明你的理由．
21．（2016九上·余杭期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
22．（2024·温州模拟）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息：
信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图
信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表
等级
频数
信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表：
平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生
女姓
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　．
（2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？
23．[新考法——真实问题情境]为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
故可以推算出m约为10．
故答案为：C.
【分析】根据“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可．
2．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，
∴从中随机抽取一张，有4种等可能的情况，其中抽到“夏至”的情况有2种，
∴从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是，
故答案为：C
【分析】根据题意得所有的等可能结果数，从而得抽到“夏至”的结果数，进而根据概率公式进行求解.
3．【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2，
画树状图如下：
∴一共有12种等可能情况，其中抽出两张卡片都是冰墩墩的结果有2种，
∴抽出两张卡片都是冰墩墩的概率==.
故答案为：C.
【分析】先将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2，画出树状图，得到所有可能的结果及抽出两张卡片都是冰墩墩的结果数，再由概率公式代入数据即可求得抽出两张卡片都是冰墩墩的概率.
6．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵有四个地点可供选择，
∴随机选择一个地点，则选中“南魔岛”或“百丈漈”的概率为，
故答案为：C.
【分析】根据概率公式：，其中m表示事件A发生的次数，n表示总试验次数，即可求简单事件的概率.
7．【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：分两种情况，
①当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种情况，
以其中甲乙为例，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，
在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为，那么丁不写给丙的概率为；
另一种情形是丙不写给丁的概率为，
那么甲乙的概率为，
所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为；
②当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共三种，
以甲乙和丙丁情况为列，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，丙写给丁的概率为，丁写给丙的概率为，
那么甲乙和丙丁的概率为，
所以存在两组两个人收到对方的信的概率为，
所以存在两个人收到对方的信的概率 .
故答案为：C.
【分析】分当只存在两个人收到对方的信的情况与当存在两组两个人收到对方的信的情况分别计算出概率，然后求和即可.
8．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：观察可知投中“与老师共进晚餐”的概率为：，
故投中“免一次作业”的概率为：.
故答案为：B.
【分析】先计算出“与老师共进晚餐”的概率，即可得其他项目项目的概率和，再根据其他项目等可能发生，用其他项目的概率和×，即可得“ 免一次作业 ”的概率.
9．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若两次求助都用在第1题，则第1题一定对，第2道题对的概率为，
∴两次求助都用在第1题通关概率为；
若两次求助都用在第2题， 则第1题通关概率为，第2道题对的概率为，
∴两次求助都用在第2题，通关概率为×=；
若在第1第2题各用一次求助， 通关概率为，
∵＞，
∴ 两次求助都用在第1题更有利.
故答案为：A.
【分析】分别求出选项A、B、C方案的概率，再比较即可.
10．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：不合格人数为40﹣18﹣17＝5，
∴不合格人数的频率是 ＝0.125，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况，
所以，恰好是一男一女的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率．先画出树状图，据此可找出基本事件的个数，再找出恰好是一男一女的事件的个数，再利用概率公式进行计算可求出答案．
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据电路图，关闭S1和S2小灯泡会发光，关闭S1和S3小灯泡会发光，关闭S2和S3时小灯泡不会发光，
故同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率是.
故答案为：.
【分析】分析出能使小灯泡发光的组合，然后求同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率即可.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有4张邮票，将它们背面朝上放在桌面上，
∴从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是.
故答案为：.
【分析】根据概率公式进行求解，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生任意选修一门，
∴ 小丽同学恰好选修了中医的概率是.
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
∴总面积为5×5=25，阴影部分的面积为，
∴飞镖击中阴影部分的概率为：，
故答案为：.
【分析】设小正方形的边长为1，然后分别求出总面积、阴影部分的面积，最后用概率公式进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中两次选中彩蛋颜色不同的结果数为4，故两次选中彩蛋颜色不同的概率为：.
故获得一等奖的概率为.
故答案为：.
【分析】画树状图表示出所有可能的结果数，以及两次选中的彩蛋颜色不同的情况数，即可利用概率计算出获得“一等奖”的概率.
17．【答案】（1）解：列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中小明同学选择，两项组合的结果有种，
∴小明同学选择，两项组合的概率为；

（2）将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为，，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有种，
∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数，找出符合的结果数，再利用概率公式计算即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，找出符合的结果数，再利用概率公式计算即可.
18．【答案】（1）解：树状图如下：
总共有4种情况，其中甲得1分的有1种，
P（第一轮比赛后甲得1分）
（2）解：两轮比赛情况如下：
第一轮 第二轮
(1，2) (2，3)
(1，4) (3，2)
(3，2) (1，4)
(3，4) (1，2)
其中乙得2分的有2种
P（两轮比赛结束后乙得2分）
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
（2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
19．【答案】（1）100；72°
（2）解：C项目的人数为100-42-12-26=20（名），补全条形图为：
（3）解：树状图如下：
所以恰好选到甲和乙的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）该校本次调查的学生数为42÷42%=100（名），360°×（1-42%-12%-26%）=72°.
【分析】（1） 用A项目的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，用360°乘以扇形“C”所占的百分比求出“C”的圆心角度数；
（2）先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
（3）画出树状图即可计算出甲和乙的概率
20．【答案】解：应往袋中加入黄球， 理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
　 红 黄1 黄2 黄3 新
红 　 红，黄1 红，黄2 红，黄3 红，新
黄1 黄1，红 　 黄1，黄2 黄1，黄3 黄1，新
黄2 黄2，红 黄2，黄1 　 黄2，黄3 黄2，新
黄3 黄3，红 黄3，黄1 黄3，黄2 　 黄3，新
新 新，红 新，黄1 新，黄2 新，黄3 　
共有20种等可能结果，
① 若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
② 若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
P1∴他应往袋中加入黄球.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案.
21．【答案】（1）解：列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有四种结果，
∴P（甲、乙在同一层楼梯）= =
（2）解：不公平，理由为：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）= = ，P（小芳胜）=1﹣ = ，
∵ ＞ ，
∴游戏不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否．
22．【答案】（1）20；13
（2）解：九年级分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
男生和女生分钟跳绳个数平均数相同，但男生的中位数和等级所占的百分比都高于女生，
九年级分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）解：将两名男生分别记为，一名女生记为，
列表如下：
　
　
　
共有种可能得结果，其中选到这名女生的结果有：，，，，共种，
选到这名女生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为100%=40%，
∴m%=1-30%-40%-10%=20%，
∴m=20．
a=40-16-8-3=13．
故答案为：20；13；
【分析】（1）根据扇形统计图求出B等级所占的百分比，再用1分别减去A，B，D等级所占的百分比可得m%，即可得m的值；用40分别减去A，C，D等级的频数，可得a的值；
（2）比较男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比，可得结论；
（3）列表得出所有等可能的结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23．【答案】（1）解：该顾客首次摸球的所有等可能结果为红，黄①，黄②，黄③共4种结果，其中摸到红球只有1种结果，
∴（该顾客首次摸球中奖
（2）解：他应往袋中加入黄球.
理由：记往袋中加球为“新”，列表如下：
由树状图知：共有20种等可能结果，
（1）若加入的为红球，两种颜色相同的共有8种，
∴该顾客获得的获得精美礼品的概率P1=，
（2）若加入的为黄球，两种颜色相同的共有12种，
∴该顾客获得的获得精美礼品的概率P2=，
∵，
∴P1＜P2
∴他应往袋中加入黄球.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）记往袋中加球位“新”，利用树状图列举出共有20种等可能结果，分别求出新球为红球和新球为黄球时顾客获得精美礼品的概率，再比较即可.
1 / 1概率的应用—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（　　）
A．7 B．3 C．10 D．65
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意，，解得，
故可以推算出m约为10．
故答案为：C.
【分析】根据“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可．
2．（2024九上·秀洲期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，
∴从中随机抽取一张，有4种等可能的情况，其中抽到“夏至”的情况有2种，
∴从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是，
故答案为：C
【分析】根据题意得所有的等可能结果数，从而得抽到“夏至”的结果数，进而根据概率公式进行求解.
3．（2024·杭州模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
4．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
5．（2022·秀洲模拟）如图，现有四张正面印有冬奥会吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，两张正面印有雪容融图案，将四张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取两张卡片，则抽出的两张卡片图案都是冰墩墩的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2，
画树状图如下：
∴一共有12种等可能情况，其中抽出两张卡片都是冰墩墩的结果有2种，
∴抽出两张卡片都是冰墩墩的概率==.
故答案为：C.
【分析】先将每个吉祥物编号为：A：冰墩墩1，B：冰墩墩2，C：雪容融1，D：雪容融2，画出树状图，得到所有可能的结果及抽出两张卡片都是冰墩墩的结果数，再由概率公式代入数据即可求得抽出两张卡片都是冰墩墩的概率.
6．某校计划组织研学活动， 现有四个地点可供选择： 南柧岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山． 若从中随机选择一个地点， 则选中“南魔岛”或“百丈漈”的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵有四个地点可供选择，
∴随机选择一个地点，则选中“南魔岛”或“百丈漈”的概率为，
故答案为：C.
【分析】根据概率公式：，其中m表示事件A发生的次数，n表示总试验次数，即可求简单事件的概率.
7．（2023·永嘉模拟）甲乙丙丁四人互相给其他三人之一写信，选择对象的方式等可能.问存在两个人收到对方的信的概率（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：分两种情况，
①当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6种情况，
以其中甲乙为例，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，
在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为，那么丁不写给丙的概率为；
另一种情形是丙不写给丁的概率为，
那么甲乙的概率为，
所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为；
②当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共三种，
以甲乙和丙丁情况为列，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，丙写给丁的概率为，丁写给丙的概率为，
那么甲乙和丙丁的概率为，
所以存在两组两个人收到对方的信的概率为，
所以存在两个人收到对方的信的概率 .
故答案为：C.
【分析】分当只存在两个人收到对方的信的情况与当存在两组两个人收到对方的信的情况分别计算出概率，然后求和即可.
8．为增强班级凝聚力， 吴老师组织开展了一次主题班会． 班会上， 他设计了一个如图 所示的飞镖靶盘， 靶盘由两个同心圆构成， 小圆半径为 ， 大圆半径为 ，每个扇形的圆心角为 ． 如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞飞镖1 次 （击中边界或没有击中靶盘，则重投 1 次）， 投中“免一次作业”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：观察可知投中“与老师共进晚餐”的概率为：，
故投中“免一次作业”的概率为：.
故答案为：B.
【分析】先计算出“与老师共进晚餐”的概率，即可得其他项目项目的概率和，再根据其他项目等可能发生，用其他项目的概率和×，即可得“ 免一次作业 ”的概率.
9．（2023九上·绍兴月考）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用一次可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（　　）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若两次求助都用在第1题，则第1题一定对，第2道题对的概率为，
∴两次求助都用在第1题通关概率为；
若两次求助都用在第2题， 则第1题通关概率为，第2道题对的概率为，
∴两次求助都用在第2题，通关概率为×=；
若在第1第2题各用一次求助， 通关概率为，
∵＞，
∴ 两次求助都用在第1题更有利.
故答案为：A.
【分析】分别求出选项A、B、C方案的概率，再比较即可.
10．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有18人，合格的有17人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　）
A．0.125 B．0.45 C．0.425 D．1.25
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：不合格人数为40﹣18﹣17＝5，
∴不合格人数的频率是 ＝0.125，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可.
二、填空题
11．（2024九上·慈溪期中）"服务社会，提升自我。"宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了"交通秩序维护"小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是　 　
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意画出树状图如下：
一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况，
所以，恰好是一男一女的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率．先画出树状图，据此可找出基本事件的个数，再找出恰好是一男一女的事件的个数，再利用概率公式进行计算可求出答案．
12．（2024·浙江模拟）在如图所示的电路中，同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据电路图，关闭S1和S2小灯泡会发光，关闭S1和S3小灯泡会发光，关闭S2和S3时小灯泡不会发光，
故同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率是.
故答案为：.
【分析】分析出能使小灯泡发光的组合，然后求同时闭合两个开关能使小灯泡发光的概率即可.
13．（2024·南浔模拟）小文购买了4张主题是“立春”，“立夏”，“秋分”，“大寒”的邮票，将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有4张邮票，将它们背面朝上放在桌面上，
∴从中抽到一张邮票恰好是“立夏”的概率是.
故答案为：.
【分析】根据概率公式进行求解，即可得到答案.
14．（2024·莲都二模）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法。某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生任意选修一门，
∴ 小丽同学恰好选修了中医的概率是.
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
15． 如图， 在 的正方形网格飞镖游戏板中， 每块小正方形除颜色外都相同， 小正方形的顶点称为格点． 假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的 (击中扇形的边界或没有击中游戏板， 则重投 1 次)， 任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
∴总面积为5×5=25，阴影部分的面积为，
∴飞镖击中阴影部分的概率为：，
故答案为：.
【分析】设小正方形的边长为1，然后分别求出总面积、阴影部分的面积，最后用概率公式进行计算即可.
16．班级联欢会上有一个抽奖活动， 每位同学均参加一次抽奖， 活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上（如图 ）， 每个杯子内放入一个彩蛋， 彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色． 参加活动的同学先从中随机选中一个杯子， 记录杯内彩蛋颜色后放回， 重新打乱杯子的摆放位置， 再从中随机选中一个杯子， 记录杯内彩蛋颜色． 若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖． 则某同学获一等奖的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中两次选中彩蛋颜色不同的结果数为4，故两次选中彩蛋颜色不同的概率为：.
故获得一等奖的概率为.
故答案为：.
【分析】画树状图表示出所有可能的结果数，以及两次选中的彩蛋颜色不同的情况数，即可利用概率计算出获得“一等奖”的概率.
三、解答题
17．（2024九上·上城期末）迎亚运体育比赛中，某班设计了A，B，C，D四种不同的比赛项目．
（1）要求每人只能参与其中两项比赛，请列举出所有不同项目组合，直接写出小明同学选择A，B两项组合的概率．
（2）比赛冠军、亚军有机会参与开盲盒活动(每人只能抽取一次)，盲盒中都随机放入一个杭州亚运会吉祥物，分别是“琮琮”“宸宸”“莲莲”，请画树状图分析，冠军与亚军获得相同吉祥物的概率．
【答案】（1）解：列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中小明同学选择，两项组合的结果有种，
∴小明同学选择，两项组合的概率为；

（2）将“琮琮”“宸宸”“莲莲”分别记为，，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中冠军与亚军获得相同吉祥物的结果有种，
∴冠军与亚军获得相同吉祥物的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）列表可得出所有等可能的结果数，找出符合的结果数，再利用概率公式计算即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，找出符合的结果数，再利用概率公式计算即可.
18．（2024九上·临平月考）甲、乙两人各有两张卡片，每张卡片上均标有一个数字，已知甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡片分别标有数字2，4.两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机抽一张，再比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮抽出的卡片不再使用，从各自剩下的卡片中比较数字的大小，比赛规定每一轮数字大的人得1分，数字小的人得0分.
（1）求“第一轮比赛后甲得1分”的概率.
（2）求“两轮比赛结束后乙得2分”的概率.
【答案】（1）解：树状图如下：
总共有4种情况，其中甲得1分的有1种，
P（第一轮比赛后甲得1分）
（2）解：两轮比赛情况如下：
第一轮 第二轮
(1，2) (2，3)
(1，4) (3，2)
(3，2) (1，4)
(3，4) (1，2)
其中乙得2分的有2种
P（两轮比赛结束后乙得2分）
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，得到总的情况有种，其中甲得1分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
（2）根据题意列举出两轮比赛情况（甲，乙），得到总的情况有种，其中乙得2分的情况有种，再结合概率公式求解，即可解题；
19．（2024九下·宁波月考）为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生，图中扇形“C”的圆心角度是　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．
【答案】（1）100；72°
（2）解：C项目的人数为100-42-12-26=20（名），补全条形图为：
（3）解：树状图如下：
所以恰好选到甲和乙的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）该校本次调查的学生数为42÷42%=100（名），360°×（1-42%-12%-26%）=72°.
【分析】（1） 用A项目的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，用360°乘以扇形“C”所占的百分比求出“C”的圆心角度数；
（2）先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
（3）画出树状图即可计算出甲和乙的概率
20．为促进消费， 助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动． 活动规定： 凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下： 从装有大小、质地完全相同的 1 个红球及编号为①②③的 3 个黄球的袋中， 随机摸出 1 个球， 若摸得红球， 则中奖，可获得奖品； 若摸得黄球， 则不中奖． 同时， 还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中， 并再往袋中加入 1 个红球或黄球 （它们的大小、质地与袋中的 4 个球完全相同），然后从中随机摸出 1 个球， 记下颜色后不放回， 再从中随机摸出 1 个球， 若摸得的两球的颜色相同， 则该顾客可获得精美礼品一份． 现已知某顾客获得抽奖机会． 假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品， 他应往袋中加入哪种颜色的球？ 说明你的理由．
【答案】解：应往袋中加入黄球， 理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
　 红 黄1 黄2 黄3 新
红 　 红，黄1 红，黄2 红，黄3 红，新
黄1 黄1，红 　 黄1，黄2 黄1，黄3 黄1，新
黄2 黄2，红 黄2，黄1 　 黄2，黄3 黄2，新
黄3 黄3，红 黄3，黄1 黄3，黄2 　 黄3，新
新 新，红 新，黄1 新，黄2 新，黄3 　
共有20种等可能结果，
① 若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
② 若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
P1∴他应往袋中加入黄球.
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案.
21．（2016九上·余杭期中）甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，两人到1至4层的任意一层出电梯，
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有四种结果，
∴P（甲、乙在同一层楼梯）= =
（2）解：不公平，理由为：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）= = ，P（小芳胜）=1﹣ = ，
∵ ＞ ，
∴游戏不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率；（2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否．
22．（2024·温州模拟）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各名进行分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，分钟跳绳的个数用表示，分成了四个等级，其中：，：，：，：，下面给出了部分统计信息：
信息一：女生分钟跳绳个数等级扇形统计图
信息二：男生分钟跳绳个数等级频数统计表
等级
频数
信息三：男生和女生分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，等级所占百分比如下表：
平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生
女姓
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　 　，　 　．
（2）根据以上数据分析，你认为九年级分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在跳绳个数达到等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？
【答案】（1）20；13
（2）解：九年级分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
男生和女生分钟跳绳个数平均数相同，但男生的中位数和等级所占的百分比都高于女生，
九年级分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）．
（3）解：将两名男生分别记为，一名女生记为，
列表如下：
　
　
　
共有种可能得结果，其中选到这名女生的结果有：，，，，共种，
选到这名女生的概率为．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为100%=40%，
∴m%=1-30%-40%-10%=20%，
∴m=20．
a=40-16-8-3=13．
故答案为：20；13；
【分析】（1）根据扇形统计图求出B等级所占的百分比，再用1分别减去A，B，D等级所占的百分比可得m%，即可得m的值；用40分别减去A，C，D等级的频数，可得a的值；
（2）比较男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比，可得结论；
（3）列表得出所有等可能的结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
23．[新考法——真实问题情境]为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
【答案】（1）解：该顾客首次摸球的所有等可能结果为红，黄①，黄②，黄③共4种结果，其中摸到红球只有1种结果，
∴（该顾客首次摸球中奖
（2）解：他应往袋中加入黄球.
理由：记往袋中加球为“新”，列表如下：
由树状图知：共有20种等可能结果，
（1）若加入的为红球，两种颜色相同的共有8种，
∴该顾客获得的获得精美礼品的概率P1=，
（2）若加入的为黄球，两种颜色相同的共有12种，
∴该顾客获得的获得精美礼品的概率P2=，
∵，
∴P1＜P2
∴他应往袋中加入黄球.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）记往袋中加球位“新”，利用树状图列举出共有20种等可能结果，分别求出新球为红球和新球为黄球时顾客获得精美礼品的概率，再比较即可.
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