圆心角与圆周角—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·浙江期末）如图，AB是⊙O的直径，C是O上一点，连结AC，OC.若∠A=26°，那么∠BOC的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=26°，
∴∠BOC=2∠A=2×26°=52°，
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解题即可.
2．（2022九上·柯桥期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )
A．158° B．58° C．64° D．116°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
3．（2024九上·瑞安期末）如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，然后根据圆周角定理解题即可．
4．（2024九上·拱墅期中）下列说法中正确的说法有（ ）个
①不在同一直线上的三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解： ①不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确；
②长度相等的两条弧是等弧，说法错误，能够重合的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等，说法错误，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，说法错误， 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ．
正确的个数为1
故答案为：A.
【分析】根据圆的有关性质，对选项逐个判断即可.
5．（2024九上·长兴月考）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE=6，BF=1，则⊙O的半径长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴，CF=DF，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴CD=BE=6，
∴，
∵BF=1，OD=r，
∴OF=r-1，
∴32+(r-1)2=r2
解得：r=5，
∴⊙O的半径长是5，
故答案为：C.
【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得从，而得出CD=BE=6，再利用勾股定理进行求解即可.
6．（2024·宁海）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°= 100°，由题意得， HG= PQ = MN，
∴OD=OE=OF，
∵OE⊥AB， OD⊥BC， OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
50°
∴∠BOC =180°-50°=130°，
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D， OF⊥AC于F，根据圆心角、弧、弦的关系得到OD=OE=OF，然后得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，再根据三角形的内角和定理得到解答即可.
7．（2024九上·余杭期中）如图，AB是半圆的直径，点在半圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由圆周角定理可得，，
由题意可得：
∴
B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.
8．（2024九上·安吉期中）如图，已知为AC上一点，以OB为半径的圆经过点，且与BC，OC交于点，E.设
A．若，则的度数为
B．若，则的度数为
C．若，则的度数为
D．若，则的度数为
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
设的度数是x，则，
O为上一点，
为的直径，
，
，
∴
∴
∴即的度数是，
A．若，则的度数为，故本选项不符合题意；
B．若，则的度数为，故本选项符合题意；
C．若，即，则的度数为，或故本选项不符合题意；
D．若，则的度数为或故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理表示出∠ABC，再由圆周角定理及推理即可求出交∠DBE的度数，从而求出的度数，再逐个判断即可.
9．（2024九下·温州模拟）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
过点作半径于点，则，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
故选：B．
【分析】根据圆周角定理得到，过点作半径于点，根据垂径定理得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系可得，最后 在中运用勾股定理解题即可.
10．如图， 为直径， 点 都在半圆 上， 设 ， 则 与 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM⊥DE，交ED延长线于M，连接OC，OE，CE，
∴∠M=90°，
∵AE=DE，CB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴所对圆周角为45°或135°，
∴∠CDE=135°，
∴∠CDM=45°，
∵∠M=90°，
∴∠DCM=∠CDM=45°，
∴CM=DM，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴CM=DM=x，
∵DE=x，
∴ME=2x，
∴，
∵OC=OE，∠COE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∵AB=2y，
∴OE=OC=y，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点C作CM⊥DE，交ED延长线于M，连接OC，OE，CE，得∠M=90°，然后由等弦推出等弧，得，从而求出∠COE=90°，进而得所对圆周角为45°或135°，由图可知∠CDE=135°，于是证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CM=DM=x，从而得ME=2x，进而利用勾股定理求出CE的值，接下来易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得CE的值，最后进行等量代换并化简即可得到答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·浙江期中）如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵等边三角形内接于，若的度数是，
∴，，
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴中，
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，得出，，，即可得到，，然后利用勾股定理求出DE解题即可．
12．（2024九上·东阳期中）已知的一条弦把圆的周长分成1：5的两个部分，则弦所对的弧的度数为 .
【答案】60°或300°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆O的一条弦AB把圆的周长分成1∶5的两个部分，
∴弦AB对应的圆心角度数为：，
∴弦AB所对的劣弧的度数为60°，所对优弧的度数为360°-60°=300°，
综上所述，弦AB所对的弧的度数为60°或300°.
故答案为：60°或300°.
【分析】分劣弧和优弧两种情况，结合比例关系进行求解即可.
13．（2024九上·杭州月考）直角三角形两直角边分别为6、8，它的外接圆直径长 .
【答案】10
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为，
∴外接圆的直径为10，
故答案为：10.
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后根据90°的圆周角所对的弦是直径解题即可.
14．（2024九上·温州期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则 ．
【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵多边形是正五边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【分析】连接，，先求出中心角的度数，然后利用圆周角定理解题即可．
15．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作 ⊙O 的直径，交 ⊙O 于点D，连结BD
∵BC，M，N分别是AB，BC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴
∴当AC取最大值时MN为最大值
∵AC是 ⊙O的弦
∴AC的最大值为 ⊙O的直径
∵ ∠ACB＝∠ADB
∵ ∠ACB＝45°
∴ ∠ADB＝45°
∵AC是直径
∴∠ABD=90°
∴AB=BD
∵AB＝8
在Rt△AND中
∴MN最大值=
故答案为：4.
【分析】根据MN是△ABC的中位线，得到，从而将球MN的最大值转化为求弦AC的最大值，根据圆中最大的弦是直径，在利用直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出直径.
16．（2018九上·桐乡期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确；
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得 ②正确；
③由题设条件求不出直径的大小，故③错误；
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=，从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·温州期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，从而得，进而得，由垂直的定义可得，进行等量代换后进一步可得，然后根据圆周角定理得，结合可知，最后根据等腰三角形的判定即可得证结论；
（2）根据三角形内角和定理得，由（1）得，再根据三角形内角和定理求解即可．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
19．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
【答案】（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出，则，结合圆周角定理，即可求解．
20．（2024九上·余杭期中）如图，锐角内接于是的中点，连结CD，已知.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴＝．
∵ CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴＝，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵∠ACB＝60°，
∴，
∴，
∴∠DAC＝40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据是的中点，得到＝，再根据得到∠ACD＝∠BAC，从而得到＝，即可求证；
（2）由（1）可得，根据， 可得，求解即可.
21．（2023九上·萧山月考）如图，AB为的直径，为圆上的一点(异于点A，BD为的中点，AD，BC相交于点，过点作于点，交BC于点.
（1）证明：.
（2）猜想BC与2DE有怎样的数量关系，并证明你发现的结论.
（3）如图2，连结AC，BD，若，求的值.
【答案】（1）证明：连结BD，
是的直径，
又为的中点，
∴.
，
.
（2）.
证明：延长DE交于点，
，
.
又为的中点，
，
，
，
即.
（3）延长BD，AC交于点.
又为的直径，
设，不妨设，则，
，解得，
又，
，即，
.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得，再通过圆周角定理证得，进而得到.
（2）由垂径定理可得，进而证得，再利用圆心角定理得到，即可证得.
(3)设，利用圆周角定理得到，进而证得，，，通过勾股定理可得x=2，再利用相似三角形的性质求得AP、PD的长度，进而求得的值.
22．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
【答案】（1）证明：，
，
，
，
.
（2）解：如图，连接AF、OD，
设半径为r，
，
，
，
，，
，
，
，解得，
，
，
，，
，
，
.
（3）证明：如图，连接OC、CF、BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证得，进而得到，再通过圆心角定理证得CD=BF.
(2)设半径为r，利用垂径定理得到DE=2，再通过勾股定理列出关于r的方程，解得r值，进而求得AF的长度，然后通过相似三角形的性质计算出GE的长度.
(3)由圆心角定理可得CF=BD，通过AAS判定，进而得到，再通过SSS判定，证得，然后利用垂径定理证得，由圆周角定理得到，即可证得.
23．（2024九上·瑞安期末）尺规作图题：
如图1，在上依次取点A，B，C，使，点D在上，连接，，用尺规作弦，连接，，的延长线交于点F，使．
小明：如图2，连接，作的外角平分线交于另一点E，连接，作，的延长线交于点F，则．
小通：作弦AB的垂直平分线，交于点E，连接，，作，的延长线交于点F，则．
小明：小通，你的作法有问题．
小通：哦------我明白了．
（1）求证：．
（2）指出小通作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：如图2，连接，
四边形内接于，
，
，
，
得，
又，，
．
（2）小通的作法由于不能确保条件，导致无法证明，
理由如下（如图3）：
连接，
四边形内接于，
，
，所对弧分别是，，
而已知条件只提供，
因此无法确保条件成立，
进而无法确保条件成立，
因此导致无法证明．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角定理的推论得出，根据ASA证明．
（2）利用圆内接四边形的性质得到，然后根据，无法确保条件成立，因此无法得证．
（1）证明：如图2，连接，
四边形内接于，
，
，
，
得，
又，，
．
（2）小通的作法由于不能确保条件，导致无法证明，
理由如下（如图3）：
连接，
四边形内接于，
，
，所对弧分别是，，
而已知条件只提供，
因此无法确保条件成立，
进而无法确保条件成立，
因此导致无法证明．
24．（浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题）阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：
下面是该定理的证明过程．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：AB DC+AD BC＝AC BD
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
∵ ＝ ，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∴AB DC＝AC BE，
∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADE．（ ）※
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∵AD BC＝AC ED，
∴AB DC+AD BC＝AC BE+AC ED＝AC（BE+ED）＝AC BD．
（1）托勒密定理的逆命题是 ．
（2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上 ．
（3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
【答案】（1）如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形
（2）同弧所对的圆周角相等
（3）解：在图3中，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌AED，
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
即1×1+x 1＝x2，
解得：x1＝ ，x2＝ （舍去）．
∴对角线BD的长为 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：（2）托勒密定理的逆命题是：如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
故答案为：如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
（ 3 ）∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADE．（同弧所对的圆周角相等）
故答案为：同弧所对的圆周角相等．
【分析】（1）先找出原命题的题设和结论，再将原命题的题设和结论互换，就可得出此命题的逆命题。
（2）观察图形，可知证明过程中标“※“这一步的理由是同弧所对的圆周角相等。
（3）连接AD、AC，根据正五边形的性质，易证△ABC≌△DCB≌AED，利用全等三角形的性质，可证得BD=AC=AD，设BD=AC=AD=x，观察四边形ABCD，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，再代入建立方程，求出方程的解，即可得出对角线BD的长。
1 / 1圆心角与圆周角—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·浙江期末）如图，AB是⊙O的直径，C是O上一点，连结AC，OC.若∠A=26°，那么∠BOC的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
2．（2022九上·柯桥期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )
A．158° B．58° C．64° D．116°
3．（2024九上·瑞安期末）如图，为直径，弦与相交，连接，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·拱墅期中）下列说法中正确的说法有（ ）个
①不在同一直线上的三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024九上·长兴月考）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C作CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，若BE=6，BF=1，则⊙O的半径长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．（2024·宁海）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2024九上·余杭期中）如图，AB是半圆的直径，点在半圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·安吉期中）如图，已知为AC上一点，以OB为半径的圆经过点，且与BC，OC交于点，E.设
A．若，则的度数为
B．若，则的度数为
C．若，则的度数为
D．若，则的度数为
9．（2024九下·温州模拟）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图， 为直径， 点 都在半圆 上， 设 ， 则 与 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·浙江期中）如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为 ．
12．（2024九上·东阳期中）已知的一条弦把圆的周长分成1：5的两个部分，则弦所对的弧的度数为 .
13．（2024九上·杭州月考）直角三角形两直角边分别为6、8，它的外接圆直径长 .
14．（2024九上·温州期末）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则 ．
15．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 ．
16．（2018九上·桐乡期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·温州期中）如图，是的内接三角形，是的直径，过点作交的延长线于点，点在上，连接，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
18．（2024九下·龙湾开学考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在DB延长线上，连结CF交⊙O于点G，连结DG，BG．
（1）若弧AC度数是36°，求∠BGD的度数．
（2）求证：∠BGD＝∠BGF．
19．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
20．（2024九上·余杭期中）如图，锐角内接于是的中点，连结CD，已知.
（1）求证：
（2）若，求的度数.
21．（2023九上·萧山月考）如图，AB为的直径，为圆上的一点(异于点A，BD为的中点，AD，BC相交于点，过点作于点，交BC于点.
（1）证明：.
（2）猜想BC与2DE有怎样的数量关系，并证明你发现的结论.
（3）如图2，连结AC，BD，若，求的值.
22．如图①，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点BF与CD相交于点G.
（1）求证：CD=BF.
（2）若BE=1，BF=4，求GE 的长.
（3）如图②，连结GO，OF，求证：2∠EOG+
23．（2024九上·瑞安期末）尺规作图题：
如图1，在上依次取点A，B，C，使，点D在上，连接，，用尺规作弦，连接，，的延长线交于点F，使．
小明：如图2，连接，作的外角平分线交于另一点E，连接，作，的延长线交于点F，则．
小通：作弦AB的垂直平分线，交于点E，连接，，作，的延长线交于点F，则．
小明：小通，你的作法有问题．
小通：哦------我明白了．
（1）求证：．
（2）指出小通作法中存在的问题．
24．（浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题）阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：
下面是该定理的证明过程．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：AB DC+AD BC＝AC BD
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
∵ ＝ ，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∴AB DC＝AC BE，
∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADE．（ ）※
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∵AD BC＝AC ED，
∴AB DC+AD BC＝AC BE+AC ED＝AC（BE+ED）＝AC BD．
（1）托勒密定理的逆命题是 ．
（2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上 ．
（3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=26°，
∴∠BOC=2∠A=2×26°=52°，
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解题即可.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，然后根据圆周角定理解题即可．
4．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解： ①不在同一直线上的三点确定一个圆，说法正确；
②长度相等的两条弧是等弧，说法错误，能够重合的两条弧是等弧；
③相等的圆心角所对的弧相等，说法错误，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，说法错误， 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 ．
正确的个数为1
故答案为：A.
【分析】根据圆的有关性质，对选项逐个判断即可.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴，CF=DF，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴CD=BE=6，
∴，
∵BF=1，OD=r，
∴OF=r-1，
∴32+(r-1)2=r2
解得：r=5，
∴⊙O的半径长是5，
故答案为：C.
【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得从，而得出CD=BE=6，再利用勾股定理进行求解即可.
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°= 100°，由题意得， HG= PQ = MN，
∴OD=OE=OF，
∵OE⊥AB， OD⊥BC， OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
50°
∴∠BOC =180°-50°=130°，
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D， OF⊥AC于F，根据圆心角、弧、弦的关系得到OD=OE=OF，然后得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，再根据三角形的内角和定理得到解答即可.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由圆周角定理可得，，
由题意可得：
∴
B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
设的度数是x，则，
O为上一点，
为的直径，
，
，
∴
∴
∴即的度数是，
A．若，则的度数为，故本选项不符合题意；
B．若，则的度数为，故本选项符合题意；
C．若，即，则的度数为，或故本选项不符合题意；
D．若，则的度数为或故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理表示出∠ABC，再由圆周角定理及推理即可求出交∠DBE的度数，从而求出的度数，再逐个判断即可.
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
过点作半径于点，则，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
故选：B．
【分析】根据圆周角定理得到，过点作半径于点，根据垂径定理得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系可得，最后 在中运用勾股定理解题即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CM⊥DE，交ED延长线于M，连接OC，OE，CE，
∴∠M=90°，
∵AE=DE，CB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴所对圆周角为45°或135°，
∴∠CDE=135°，
∴∠CDM=45°，
∵∠M=90°，
∴∠DCM=∠CDM=45°，
∴CM=DM，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴CM=DM=x，
∵DE=x，
∴ME=2x，
∴，
∵OC=OE，∠COE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∵AB=2y，
∴OE=OC=y，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】过点C作CM⊥DE，交ED延长线于M，连接OC，OE，CE，得∠M=90°，然后由等弦推出等弧，得，从而求出∠COE=90°，进而得所对圆周角为45°或135°，由图可知∠CDE=135°，于是证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CM=DM=x，从而得ME=2x，进而利用勾股定理求出CE的值，接下来易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得CE的值，最后进行等量代换并化简即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵等边三角形内接于，若的度数是，
∴，，
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴中，
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，得出，，，即可得到，，然后利用勾股定理求出DE解题即可．
12．【答案】60°或300°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆O的一条弦AB把圆的周长分成1∶5的两个部分，
∴弦AB对应的圆心角度数为：，
∴弦AB所对的劣弧的度数为60°，所对优弧的度数为360°-60°=300°，
综上所述，弦AB所对的弧的度数为60°或300°.
故答案为：60°或300°.
【分析】分劣弧和优弧两种情况，结合比例关系进行求解即可.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为，
∴外接圆的直径为10，
故答案为：10.
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后根据90°的圆周角所对的弦是直径解题即可.
14．【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵多边形是正五边形，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【分析】连接，，先求出中心角的度数，然后利用圆周角定理解题即可．
15．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作 ⊙O 的直径，交 ⊙O 于点D，连结BD
∵BC，M，N分别是AB，BC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴
∴当AC取最大值时MN为最大值
∵AC是 ⊙O的弦
∴AC的最大值为 ⊙O的直径
∵ ∠ACB＝∠ADB
∵ ∠ACB＝45°
∴ ∠ADB＝45°
∵AC是直径
∴∠ABD=90°
∴AB=BD
∵AB＝8
在Rt△AND中
∴MN最大值=
故答案为：4.
【分析】根据MN是△ABC的中位线，得到，从而将球MN的最大值转化为求弦AC的最大值，根据圆中最大的弦是直径，在利用直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出直径.
16．【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确；
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得 ②正确；
③由题设条件求不出直径的大小，故③错误；
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=，从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
17．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，从而得，进而得，由垂直的定义可得，进行等量代换后进一步可得，然后根据圆周角定理得，结合可知，最后根据等腰三角形的判定即可得证结论；
（2）根据三角形内角和定理得，由（1）得，再根据三角形内角和定理求解即可．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝36°．
∴＝180°－36°＝144°．
∴∠BGD＝72°；
（2）证明：∵四边形CDBG是⊙O的内接四边形，
∴∠BGF＝∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴
∴∠CDB＝∠BGD．
∴∠BGD＝∠BGF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理解答即可；
（2）根据圆内接四边形对角互补性质可得∠BGF＝∠CDB，同弧对等角即可得结论.
19．【答案】（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出，则，结合圆周角定理，即可求解．
20．【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴＝．
∵ CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴＝，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵∠ACB＝60°，
∴，
∴，
∴∠DAC＝40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据是的中点，得到＝，再根据得到∠ACD＝∠BAC，从而得到＝，即可求证；
（2）由（1）可得，根据， 可得，求解即可.
21．【答案】（1）证明：连结BD，
是的直径，
又为的中点，
∴.
，
.
（2）.
证明：延长DE交于点，
，
.
又为的中点，
，
，
，
即.
（3）延长BD，AC交于点.
又为的直径，
设，不妨设，则，
，解得，
又，
，即，
.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得，再通过圆周角定理证得，进而得到.
（2）由垂径定理可得，进而证得，再利用圆心角定理得到，即可证得.
(3)设，利用圆周角定理得到，进而证得，，，通过勾股定理可得x=2，再利用相似三角形的性质求得AP、PD的长度，进而求得的值.
22．【答案】（1）证明：，
，
，
，
.
（2）解：如图，连接AF、OD，
设半径为r，
，
，
，
，，
，
，
，解得，
，
，
，，
，
，
.
（3）证明：如图，连接OC、CF、BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证得，进而得到，再通过圆心角定理证得CD=BF.
(2)设半径为r，利用垂径定理得到DE=2，再通过勾股定理列出关于r的方程，解得r值，进而求得AF的长度，然后通过相似三角形的性质计算出GE的长度.
(3)由圆心角定理可得CF=BD，通过AAS判定，进而得到，再通过SSS判定，证得，然后利用垂径定理证得，由圆周角定理得到，即可证得.
23．【答案】（1）证明：如图2，连接，
四边形内接于，
，
，
，
得，
又，，
．
（2）小通的作法由于不能确保条件，导致无法证明，
理由如下（如图3）：
连接，
四边形内接于，
，
，所对弧分别是，，
而已知条件只提供，
因此无法确保条件成立，
进而无法确保条件成立，
因此导致无法证明．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角定理的推论得出，根据ASA证明．
（2）利用圆内接四边形的性质得到，然后根据，无法确保条件成立，因此无法得证．
（1）证明：如图2，连接，
四边形内接于，
，
，
，
得，
又，，
．
（2）小通的作法由于不能确保条件，导致无法证明，
理由如下（如图3）：
连接，
四边形内接于，
，
，所对弧分别是，，
而已知条件只提供，
因此无法确保条件成立，
进而无法确保条件成立，
因此导致无法证明．
24．【答案】（1）如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形
（2）同弧所对的圆周角相等
（3）解：在图3中，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌AED，
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
即1×1+x 1＝x2，
解得：x1＝ ，x2＝ （舍去）．
∴对角线BD的长为 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；逆命题
【解析】【解答】解：（2）托勒密定理的逆命题是：如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
故答案为：如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
（ 3 ）∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADE．（同弧所对的圆周角相等）
故答案为：同弧所对的圆周角相等．
【分析】（1）先找出原命题的题设和结论，再将原命题的题设和结论互换，就可得出此命题的逆命题。
（2）观察图形，可知证明过程中标“※“这一步的理由是同弧所对的圆周角相等。
（3）连接AD、AC，根据正五边形的性质，易证△ABC≌△DCB≌AED，利用全等三角形的性质，可证得BD=AC=AD，设BD=AC=AD=x，观察四边形ABCD，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，再代入建立方程，求出方程的解，即可得出对角线BD的长。
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