弧长与扇形面积—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·瑞安期末）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018九上·拱墅期末）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·慈溪期中）如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，CD=3．则阴影部分的面积等于（ ）．
A．1.5π B．2π C．π D．2.5π
4．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·浙江期中）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·拱墅期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·慈溪期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分.则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·义乌期中）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
9．（2024九上·金华开学考）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·金华期中）一个扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 ．
12．（2024九上·杭州月考）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，AB为半径作，则阴影部分的面积为 （结果保留T）.
13．（2024九上·杭州期中）如图，已知等边以为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到，若，等边三角形边长为1，则点的运动路径长为 .
14．（2024九上·安吉期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=6，扇形BEF的半径为6，圆心角60°，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
15．（2022九上·义乌月考）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 .
16．（2023九上·浙江期中）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为 ；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·长兴期中）如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，A（-1，3），B（-2，2）
（1）将ΔAOB绕点O顺时针旋转90°得到A1OB1，作出旋转后的△A1OB1；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长（结果保留π）.
18．（2024九上·嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
19．（2023九上·杭州月考）如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）若，求弧的长．
20．（2024九上·上城期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
21．（2024九上·东阳期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：
（1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.
22．（2024九上·杭州月考）现有成角且足够长的墙角和可建总长为15m棚栏的建筑材料来修建花坛.（材料要用完）
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个花坛，使.线段BC，CD为新建栅栏，设米，当CD为多少米时，此时花坛的面积最大
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的棚栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧BD，这样修建的花坛面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗 请说明理由.
23．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，边AB在直线l上．将Rt△ABC沿直线l作无滑动翻滚，当Rt△ABC翻滚一周时，求点A经过的路径长要解决这个问题，先要弄清在翻滚时点A经过的路径是什么Rt△ABC翻滚一周即为翻滚三次，第一次翻滚点A经过的路径长是以点B为圆心、AB为半径、圆心角是150°的的长，即为5πcm；第二次翻滚点A经过的路线长是以点C1为圆心、A1C1为半径圆心角是90°的的长，即为πcm；第三次翻滚时点A没动．所以Rt△ABC翻滚一周点A经过的路径是5π+π=π(cm)．
思考：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路径长．
24．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角是，半径为3的扇形弧长为．
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长公式为解答即可．
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意： =6π，
∴r=9，
∴S扇形= =27π，
故选：B．
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
3．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
由题意可知：∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=3，
∵S△ACD=S△COD，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，从而得出△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
5．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结OC，
∵ ∠AOB＝90°，∠B＝30°
∴ ∠ OAB=60°
∵OA=OC
∴△AOC为等边三角形
∴∠AOC=60°，AC=OC
∴∠DOC=30°
∴BC=OC
∴AC=BC
故答案为：A.
【分析】根据 ∠AOB＝90°，∠B＝30° ，和圆的半径相等，得到∠ OAB=60°，∠DOC=30°，点C是AB的中点，再利用分割法求出阴影部分的面积.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为．
故答案为：C．
【分析】连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案．
7．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，，
由圆的定义，
∴是等边三角形，
，
，
同理，弧的圆心角是
∴弧的圆心角是，
∴弧的长 ，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以图中阴影部分的周长为，
故答案为： D．
【分析】本题考查弧长的计算．连接、，根据圆的定义可得：进而可判断出是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质，利用角的运算可求出，同理可得弧DE的圆心角是进而可求出弧的圆心角是，再利用弧长公式可求出弧的长，根据对称性，图中阴影部分的四条弧都相等列式，可求出图中阴影部分的周长．
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设原来扇形的圆心角为α，半径为r，
则原来扇形的面积为：
后来扇形的面积为：
∴这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是
故答案为： A.
【分析】根据题意可以分别表示出原来和后来扇形的面积，从而可以计算出这个扇形的面积扩大的倍数.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接AD，OD
由折叠可知：S弓形AD=S弓形OD，DA= DO
∵OA= OD
∴AD=OD=OA=6
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°，∠DOB=60°
∴
∴S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=
∵
∴阴影部分的面积为：
-S弓形OD= 6π -（）=.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，得出：△AOD为等边三角形，∠AOD=60°，∠DOB=60°，S弓形AD=S弓形OD和
，再求出，从而求出S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=，再根据阴影部分的面积=-S弓形OD进行计算即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
11．【答案】90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，
∴，
∴
故答案为：90°.
【分析】根据弧长集计算公式：，然后将题目已知信息代入计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCDE是正五边形，
∴，
∴ 阴影部分的面积为，
故答案为：.
【分析】先求出正五边形的内角度数，然后利用扇形的面积解题即可.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等边 以C为旋转中心，
∴点A的运动路径长
故答案为
【分析】由旋转的性质可得/ ，由等边三角形的性质可得 由弧长公式可求解.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
连接，将扇形补到扇形的位置，
， 四边形是菱形，
，
过D 作于点H，
，
，
∵扇形的圆心角为60°，，
保存进入下一题
．
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到，再由扇形面积公式及等边三角形面积即可得到答案．
15．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OC、OD、OM，如下图：
∵，
∴
∴，
又∵点为的中点，
∴，
弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，
由题意可得：，
∴，，
又∵，
∴，
∴
扫过的部分的面积就是，
故答案为：.
【分析】连接OC、OD、OM，根据勾股定理的逆定理可得△COD是直角三角形，进而得出OM长等于CD的一半，再由旋转得OM旋转的角度为90°，半径OM＝，利用AAS判断出△MEO≌△BEN，根据全等三角形的性质及割补法可得BM扫过的面积就是扇形MON的面积，进而根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
16．【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当点P在弧上BC时，点N在线段OC的右侧，如图，连接AC、OC，
∵C是半圆弧的中点，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，则有圆心T为AC中点，
∵，
∴
∴NC=NP，
∴∠NPC=∠NCP=45°，
∴∠CNP=180°-∠PCN-∠CPN=90°，
∴，
∴点N在上，运动轨迹是弧OC，
过点T作TH⊥AB于H，
∵AB=8 ，
∴，
∵AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
在中，，
∵BN≥BT-TN，
∴，
∴BN的最小值为；
当点P在弧AC上时，如图，
可知点N在线段OC的左侧，此时的BN明显大于，
综上可知：BN的最小值为；
如图，连接，
∵，
∴，
∵点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，
∴终点时，，
∴
∴，
∵，
∴点N在上，运动轨迹长为：.
故答案为：，．
【分析】如图，连接，证明点N在上，且运动轨迹是弧OC，过点T作于．求出BT，TN，可得结论；连接，结合图形可得，点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，运动的终点时，，即，根据弧公式解答即可．
17．【答案】（1）解：如图，△A1OB1即为所求作：
（2）解：∵B（-2，2），
∴OB==，
∴的长为：.
答：的长为π.
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质并结合网格图的特征可求解；
（2）根据点B的坐标并结合网格图的特征用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式L=j计算即可求解.
18．【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
由题意知，四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴半径为，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由，可得，由圆内接四边形，可求得，进而可证；
（2）由题意知，是的中位线，则，，，根据，求得，然后代入弧长公式，计算求解即可．
20．【答案】（1）解：如图，连接，则，
正六边形内接于，
是正三角形，
，
，
，
，
即正六边形的边长为；
（2）解：在中，，，
，
．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质可得∠COD的度数，然后利用等边三角形的判定和性质解题即可；
（2）根据计算解题．
21．【答案】（1）；20
（2）解：圆形团扇的半径为，
圆形团扇的周长为：，
正方形团扇的边长为，
正方形团扇的周长为：，
，
圆形团扇所用的包边长度更短.
【知识点】无理数的大小比较；扇形面积的计算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：，
正方形团扇的边长为：，
故答案为：，20；
【分析】（1）根据圆的面积计算公式及正方形的面积计算公式计算即可；
（2）根据圆的周长公式及正方形的周长公式计算后再比大小即可.
22．【答案】（1）(1) 如图所示：
过点A作 于E，则四边形ADCE为矩形，
∴
则
设
在 中，
又
∴梯形ABCD面积
∴当 时，
∴当CD长为5m时，才能使花坛的面积最大；
（2）解：小聪建议合理.理由如下：
由题意得
∴小聪的建议是合理的.
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)过点A作 于E，则四边形ADCE为矩形，再证明 是等腰直角三角形，得出 则，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解；
(2)根据扇形弧长公式求出AD，再根据扇形的面积求解，然后比较即可.
23．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， AB=4，BC=3 ，
∴AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，
由旋转知：∠ADA'=90°，A'D=AD=3，
∴点A第一次翻滚到点A'的位置时经过的路线长为，
点A'第二次翻滚到点A''的位置时经过的路线长为，
点A''第三次翻滚到点A1的位置时经过的路线长为，
∴ 点A经过的路径长 =6π.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，由旋转的性质可得∠ADA'=90°，A'D=AD=3，矩形ABCD旋转三次到达A1的位置，分别求出点A第一次、第二次、第三次翻滚走的路径，再相加即可.
24．【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
1 / 1弧长与扇形面积—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·瑞安期末）圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：圆心角是，半径为3的扇形弧长为．
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长公式为解答即可．
2．（2018九上·拱墅期末）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意： =6π，
∴r=9，
∴S扇形= =27π，
故选：B．
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
3．（2024九上·慈溪期中）如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，CD=3．则阴影部分的面积等于（ ）．
A．1.5π B．2π C．π D．2.5π
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
由题意可知：∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=3，
∵S△ACD=S△COD，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，从而得出△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可.
4．（2024九上·缙云期末）如图，是的两条弦，点M，N分别是的中点，连结．若的半径是6，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵；
∴所对的圆心角；
∴；
∴；
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理得到，然后代入弧长公式计算即可．
5．（2024九上·浙江期中）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连结OC，
∵ ∠AOB＝90°，∠B＝30°
∴ ∠ OAB=60°
∵OA=OC
∴△AOC为等边三角形
∴∠AOC=60°，AC=OC
∴∠DOC=30°
∴BC=OC
∴AC=BC
故答案为：A.
【分析】根据 ∠AOB＝90°，∠B＝30° ，和圆的半径相等，得到∠ OAB=60°，∠DOC=30°，点C是AB的中点，再利用分割法求出阴影部分的面积.
6．（2024九上·拱墅期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为．
故答案为：C．
【分析】连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案．
7．（2024九上·慈溪期中）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分.则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，，
由圆的定义，
∴是等边三角形，
，
，
同理，弧的圆心角是
∴弧的圆心角是，
∴弧的长 ，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以图中阴影部分的周长为，
故答案为： D．
【分析】本题考查弧长的计算．连接、，根据圆的定义可得：进而可判断出是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质，利用角的运算可求出，同理可得弧DE的圆心角是进而可求出弧的圆心角是，再利用弧长公式可求出弧的长，根据对称性，图中阴影部分的四条弧都相等列式，可求出图中阴影部分的周长．
8．（2024九上·义乌期中）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．3
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设原来扇形的圆心角为α，半径为r，
则原来扇形的面积为：
后来扇形的面积为：
∴这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是
故答案为： A.
【分析】根据题意可以分别表示出原来和后来扇形的面积，从而可以计算出这个扇形的面积扩大的倍数.
9．（2024九上·金华开学考）如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接AD，OD
由折叠可知：S弓形AD=S弓形OD，DA= DO
∵OA= OD
∴AD=OD=OA=6
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°，∠DOB=60°
∴
∴S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=
∵
∴阴影部分的面积为：
-S弓形OD= 6π -（）=.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，得出：△AOD为等边三角形，∠AOD=60°，∠DOB=60°，S弓形AD=S弓形OD和
，再求出，从而求出S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=，再根据阴影部分的面积=-S弓形OD进行计算即可.
10．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·金华期中）一个扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 ．
【答案】90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，
∴，
∴
故答案为：90°.
【分析】根据弧长集计算公式：，然后将题目已知信息代入计算即可求解.
12．（2024九上·杭州月考）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，AB为半径作，则阴影部分的面积为 （结果保留T）.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCDE是正五边形，
∴，
∴ 阴影部分的面积为，
故答案为：.
【分析】先求出正五边形的内角度数，然后利用扇形的面积解题即可.
13．（2024九上·杭州期中）如图，已知等边以为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到，若，等边三角形边长为1，则点的运动路径长为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等边 以C为旋转中心，
∴点A的运动路径长
故答案为
【分析】由旋转的性质可得/ ，由等边三角形的性质可得 由弧长公式可求解.
14．（2024九上·安吉期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=6，扇形BEF的半径为6，圆心角60°，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
连接，将扇形补到扇形的位置，
， 四边形是菱形，
，
过D 作于点H，
，
，
∵扇形的圆心角为60°，，
保存进入下一题
．
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到，再由扇形面积公式及等边三角形面积即可得到答案．
15．（2022九上·义乌月考）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为 .
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接OC、OD、OM，如下图：
∵，
∴
∴，
又∵点为的中点，
∴，
弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，
由题意可得：，
∴，，
又∵，
∴，
∴
扫过的部分的面积就是，
故答案为：.
【分析】连接OC、OD、OM，根据勾股定理的逆定理可得△COD是直角三角形，进而得出OM长等于CD的一半，再由旋转得OM旋转的角度为90°，半径OM＝，利用AAS判断出△MEO≌△BEN，根据全等三角形的性质及割补法可得BM扫过的面积就是扇形MON的面积，进而根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
16．（2023九上·浙江期中）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着两块工具拼成了如图1的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动，紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图(如图2)。已知点C是量角器半圆弧的中点，点P为三角板的直角顶点，两直角边PE、PF分别过点A、B．连结CP，过点O作OM⊥CP交CP于点M，交AP于点N若AB=8，则NB的最小值为 ；若点Q为的中点，则点P从点Q运动到点B时，N点的运动路径长为 .
【答案】；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：当点P在弧上BC时，点N在线段OC的右侧，如图，连接AC、OC，
∵C是半圆弧的中点，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
作的外接圆，连接，则有圆心T为AC中点，
∵，
∴
∴NC=NP，
∴∠NPC=∠NCP=45°，
∴∠CNP=180°-∠PCN-∠CPN=90°，
∴，
∴点N在上，运动轨迹是弧OC，
过点T作TH⊥AB于H，
∵AB=8 ，
∴，
∵AO=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
在中，，
∵BN≥BT-TN，
∴，
∴BN的最小值为；
当点P在弧AC上时，如图，
可知点N在线段OC的左侧，此时的BN明显大于，
综上可知：BN的最小值为；
如图，连接，
∵，
∴，
∵点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，
∴终点时，，
∴
∴，
∵，
∴点N在上，运动轨迹长为：.
故答案为：，．
【分析】如图，连接，证明点N在上，且运动轨迹是弧OC，过点T作于．求出BT，TN，可得结论；连接，结合图形可得，点P从点Q运动到点B，点Q为弧BC的中点，运动的终点时，，即，根据弧公式解答即可．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·长兴期中）如图，△AOB的顶点都在边长为1的正方形组成的网格格点上，A（-1，3），B（-2，2）
（1）将ΔAOB绕点O顺时针旋转90°得到A1OB1，作出旋转后的△A1OB1；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）解：如图，△A1OB1即为所求作：
（2）解：∵B（-2，2），
∴OB==，
∴的长为：.
答：的长为π.
【知识点】弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质并结合网格图的特征可求解；
（2）根据点B的坐标并结合网格图的特征用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式L=j计算即可求解.
18．（2024九上·嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
19．（2023九上·杭州月考）如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结．
（1）求证：．
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
由题意知，四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴半径为，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由，可得，由圆内接四边形，可求得，进而可证；
（2）由题意知，是的中位线，则，，，根据，求得，然后代入弧长公式，计算求解即可．
20．（2024九上·上城期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连接，则，
正六边形内接于，
是正三角形，
，
，
，
，
即正六边形的边长为；
（2）解：在中，，，
，
．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据圆内接正六边形的性质可得∠COD的度数，然后利用等边三角形的判定和性质解题即可；
（2）根据计算解题．
21．（2024九上·东阳期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示：
（1）圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.
【答案】（1）；20
（2）解：圆形团扇的半径为，
圆形团扇的周长为：，
正方形团扇的边长为，
正方形团扇的周长为：，
，
圆形团扇所用的包边长度更短.
【知识点】无理数的大小比较；扇形面积的计算；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：，
正方形团扇的边长为：，
故答案为：，20；
【分析】（1）根据圆的面积计算公式及正方形的面积计算公式计算即可；
（2）根据圆的周长公式及正方形的周长公式计算后再比大小即可.
22．（2024九上·杭州月考）现有成角且足够长的墙角和可建总长为15m棚栏的建筑材料来修建花坛.（材料要用完）
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个花坛，使.线段BC，CD为新建栅栏，设米，当CD为多少米时，此时花坛的面积最大
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的棚栏建成如图2所示的以为圆心的圆弧BD，这样修建的花坛面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗 请说明理由.
【答案】（1）(1) 如图所示：
过点A作 于E，则四边形ADCE为矩形，
∴
则
设
在 中，
又
∴梯形ABCD面积
∴当 时，
∴当CD长为5m时，才能使花坛的面积最大；
（2）解：小聪建议合理.理由如下：
由题意得
∴小聪的建议是合理的.
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)过点A作 于E，则四边形ADCE为矩形，再证明 是等腰直角三角形，得出 则，然后根据梯形的面积公式即可求出S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解；
(2)根据扇形弧长公式求出AD，再根据扇形的面积求解，然后比较即可.
23．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，边AB在直线l上．将Rt△ABC沿直线l作无滑动翻滚，当Rt△ABC翻滚一周时，求点A经过的路径长要解决这个问题，先要弄清在翻滚时点A经过的路径是什么Rt△ABC翻滚一周即为翻滚三次，第一次翻滚点A经过的路径长是以点B为圆心、AB为半径、圆心角是150°的的长，即为5πcm；第二次翻滚点A经过的路线长是以点C1为圆心、A1C1为半径圆心角是90°的的长，即为πcm；第三次翻滚时点A没动．所以Rt△ABC翻滚一周点A经过的路径是5π+π=π(cm)．
思考：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路径长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， AB=4，BC=3 ，
∴AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，
由旋转知：∠ADA'=90°，A'D=AD=3，
∴点A第一次翻滚到点A'的位置时经过的路线长为，
点A'第二次翻滚到点A''的位置时经过的路线长为，
点A''第三次翻滚到点A1的位置时经过的路线长为，
∴ 点A经过的路径长 =6π.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，由旋转的性质可得∠ADA'=90°，A'D=AD=3，矩形ABCD旋转三次到达A1的位置，分别求出点A第一次、第二次、第三次翻滚走的路径，再相加即可.
24．（2023九上·海曙月考）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
（1）如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若⊙O在上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到 个．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=140°时，求∠ADC的度数；
②如图3，当∠A=120°，AB=6时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）4
（2）解：①∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
①当时，
∵
∴
∴
②当时，
∴
∴
③当时，
∴
综上所述，∠ADC的度数可能为：90°，120°，60°，
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，如下图：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴
∵△BCD均为“圆等三角形”，
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中，
∴
扇形BOC的面积：
∴阴影部分的面积为：.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）图下图：
∴这样的点C能找到4个，
故答案为：4.
【分析】（1）根据圆等三角形的定义，即可求解；
（2）①根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别根据三角形内角和定理即可求解；
②连接OA、OB、OC，过点E作OE⊥BC，根据圆内接四边形和已知条件求出的度数，根据圆等三角形的定义得到为等边三角形，根据圆周角定理得到的度数，即可证明为等边三角形，根据含30°角的直角三角形求出OE和BE的长，进而求出的面积和扇形BOC的面积，即可求出阴影部分面积.
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