圆中的折叠问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D.若AC=6，∠C=60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
点D是BC的中点，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理可得AB=AD，再通过角直角三角形的性质得到CE、AE的长度，进而由等腰三角形的性质求得BE的长度，即可通过勾股定理计算出AB的长度，然后利用垂径定理求得，再次通过角直角三角形的性质即可求得AO的长度，即圆的半径长度.
2．（2022九上·拱墅期中）如图，将半径为8的沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
由题意可得，，，
，
，
在中，根据勾股定理可得：，
代入可求得，
.
故答案为：B.
【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，由题意可得E为AB的中点，CD=4，OD=4，OB=8，求出DE、OE的值，利用勾股定理可得BE，进而可得AB.
3．（2023九下·深圳模拟）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
4．（2022九上·杭州月考）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，
所对的圆周角为，
所对的圆周角为，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，根据翻折的性质及圆内接四边形的对角互补、邻补角的定义及同角的余角相等可得∠B=∠BDC，从而即可得出答案.
5．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F.
∵四边形ABEC内接于
∴∠A+ ∠E = 180°
∵点D在⊙O上的对应点为点E
由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC
∵∠BDC+∠CDA =180°
∴∠E+∠CDA=180°
又∵∠A+ ∠E =180°
∴∠A= ∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形
∵CFAD，AD = 6
∴AF=FD=AD=3
又∵BD=9
∴BF= BD+DF = 12
∵CFAD
∴△CFB是直角三角形
∵∠ABC=30°
∴在Rt△CFB中，CF= =
在Rt△AFC中，AC =
∵∠ABC=30°
∴∠AOC =60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=
∴的长=
故答案为：.
【分析】首先取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F，其次四边形ABEC内接于得出∠A+ ∠E =180°，由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC，由此可得到∠A=∠ADC，证明出：△ACD是等腰三角形，由此可得出：AF=FD=AD=3，进而得出：BF= BD+DF = 12，然后通过解直角三角形CFB可求出CF的长，最后利用勾股定理求出AC的长，再证明出是直角三角形即可得出：OA=OC=AC=，利用弧长公式即可求出的长.
6．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图①。将它沿DE折叠，使点A落在BC上，如图②。此时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：设阴影部分所在的圆心为，与弧交于点，连接，过点作交于点，如下图：
，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，由折叠和直角三角形的边角关系求出，从而得阴影部分所在的圆心角的度数为，再由锐角三角函数求出的底和高，最后由进行计算即可解答．
7．（2023九上·义乌期中）如图，在圆心为，半径为的圆形纸片上画圆内接，再分别沿直线和折叠，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作，连接，如图所示：
由折叠得OA=DA，
∵，
∴是等边三角形，
∴
同理可得
∴
同理可得
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∵，，，
∴
∴
∴
∴
∴图中阴影部分的面积为=
故答案为：B
【分析】作，连接，根据折叠的性质得到OA=DA，进而根据等边三角形的判定与性质得到，同理可得，再结合题意即可得到∠COA的度数，同理可得，即，再根据弧与圆心角的关系得到，从而即可得到是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质结合圆周角定理得到，根据勾股定理求出EA，从而结合题意即可得到CA，再根据三角形的面积得到，从而根据对称的性质即可得到图中阴影部分的面积。
8．（2023九上·绍兴期中）如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设的弧度为x，则的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴的弧度为180°-x，
由折叠知：==x，
=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴==x-90°，
∴=-=90°，
∴所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=，
∴OE= CE-OC=.
故答案为：A.
【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x，得、、，进而得到所对圆心角为90°，OE= CE-OC即可求得.
9．（2024九上·杭州月考）如图，是的内接三角形，把沿着BC折叠交弦AB于点，且点为AB的中点，若则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点
C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；圆内知识的综合
【解析】【解答】解： 如图所示， 连接OA，OB，OC、CD， 过点C作CE⊥AB垂足为E， 过点O作OG⊥CE， 垂足为G， 则四边形ODEG是矩形，
∵D是AB的中点， OA=OB，
∵OD⊥AB， 故A选项正确，
∵∠ABC=∠DBC，
故C选项正确，
∴CA=CD，
∵CE⊥AB，
，
又∵OD=1， OD⊥AB，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠CEO=∠BEO=45°， OD=DE，
∴矩形OGED是正方形，
∴OG=OD.
又∵OC=OB，
∴Rt△COG≌Rt△BOD.
∴CG=BD=2
∴CE=EB=3.
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故D选项正确，
则无法证明点D为 的中点，故B选项错误，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，OC，CD， 过点C作CE⊥AB垂足为E， 过点O作OG⊥CE， 垂足为G， 则四边形ODEG是矩形， 根据垂径定理可得OD⊥AB，根据等弧所对的圆周角相等可得 进而证明△ODE是等腰直角三角形，矩形OGED是正方形，得出OG=OD， 证明Rt△COG≌Rt△BOD得出△BCE是等腰直角三角形， 即可得出 即可求解.
10．（2024九下·古浪模拟）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2024九上·秀洲期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，
将劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和所对圆周角都为，
，
∵，
，
为直径，半径长为2，
，，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质以及圆周角定理得，从而得，然后由圆周角定理推论得，接下来再利用勾股定理即可求出AB的值.
12．（2024九上·兰溪期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，由折叠的性质和圆内接四边形的性质可得，结合邻补角的定义可得，由等角对等边可得，根据等腰三角凹陷的三线合一求出的值，再求出的长，用勾股定理可求得CG2的值，在Rt ACG中，用勾股定理可求解．
13．如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则折痕CD的长为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OA，OB关于直线CD的对称线段，
则O'E'、O'F'与圆O相切于E'，F'，
∴O'E'⊥OE'，O'F'⊥OF'，OO'平分∠E'OF'.
∵∠AOB=120°，
∴∠E'O'F'=∠AOB=120°，
∴∠E'OF'=60°，
∴∠E'OO'=90°-∠E'OF'=30°，
∵OA=6，
∴OE'=OA=6，
∴OO'=2E'O'=.
由对称性可知HG=HI，GO'=OI，
设HG=x，则GO'=OI=6-2x，
∴OO'=6+6-2x，
∴6+6-2x=，解得.
∴OH=OI+IH=，
∴CD=2HC=2.
故答案为：．
【分析】作OA，OB关于直线CD的对称线段，先求出∠E'OF'，根据角平分线意义求出∠E'OO'，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出OO'，设HG=x，可用x表示出OO'，可得关于x的方程求出x，从而求出OH，再利用勾股定理求出CD的一半HC即可.
14．（2024·佛山模拟）如图，AB是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A．若，则的面积为 .
【答案】
【知识点】圆的综合题；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设弧AED所在的圆心为Q，连接AQ、OQ和QE，如下图：
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵CA和CB分别与圆相切
∴QA⊥CA，QE⊥CB
∴四边形AQEC是矩形
∵QA=QE
∴四边形AQEC是正方形
∵沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A
∴点Q和O关于AD对称
∴AD垂直平分QO
∴AQ=AO
∴AO=AC=×4=2
∴BC==
∴S△ABC=×2×=
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理和圆的切线性质，可判断四边形是矩形；根据邻边相等的矩形是正方形，可得四边形AQEC是正方形；根据翻折的性质，可得AQ=AO；根据勾股定理和三角形面积公式即可直接求解.
15．（2023九下·义乌月考）如图，在中，，，，点D为的中点，点E是线段上一动点，把沿直线翻折，点A的对称点是F，连结，若，则的长是 .
【答案】1
【知识点】勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，
∵，，
∴，则，
取中点H，连接、，设与相交于点P，
则，，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴，
∴即，
∴，
设，
∵，
∴即，
解得，即.
故答案为：1.
【分析】利用勾股定理可得AC的值，由中点的概念可得AD=5，根据折叠的性质可得DF=AD=5，AE=EF，∠A=∠F，则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，取AB的中点H，连接AF、DH，设DF与AB相交于点P，则HD=BC=3，AH=AB=4，HD∥BC，证明△HAD∽△EFP，△HAD∽△HDP，根据相似三角形的性质可得HP，设AE=EF=x，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．（2023九上·滨江期中）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，BC’
根据折叠的性质可知
∵，
∴
∴AD=AC
∵E为DC的中点，
∴AEDC，
∴
故点E在以AB为直径的弧上运动
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∴EF=AB=，OF=，
∴OE的最小值为，
故答案为：．
【分析】连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C'，连结EF、AC'，BC'，根据折叠的性质及圆内接四边形的性质得出，从而判断出等腰三角形ACD，利用等腰三角形的三线合一得出，推出点E的轨迹，再由轨迹判断EO最小值，利用勾股定理即可解答.
三、解答题（共7题，共66分）
17．如图，⊙O为一张直径为6的圆形纸片，现将⊙O上任意一点P与圆心O重合折叠，得折痕AB．求折痕AB的长．
【答案】解：如图，连接OB，OP交AB于点C，
由折叠知：OP与AB互相垂直平分，
∵ ⊙O的直径为6 ，
∴OC=，OB=3，
∴BC==，
∴AB=2BC=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接OB，OP交AB于点C，由折叠可得OP与AB互相垂直平分，从而得出OC=，OB=3，利用勾股定理求出BC的长，继而求出AB即可.
18． 如图， 是 的直径， 为 上一点 ( 不与点 重合)， 连结 ， 过点 作 ，垂足为点 ． 将 沿 翻折， 点 落在点 处得 交 于点 ．
（1） 求证： 是 的切线．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明： 连结 OC 如图 所示．
，
∴
∴CE是的切线。
（2）解：连结 OF， 过点 O 作 于点 G ，如图 所示 ．
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结 OC，根据折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明∠OCE=90°即可得证；
（2）连结 OF， 过点 O 作 于点 G，根据圆周角定理，30°的直角三角形的性质，扇形的面积公式求解即可。
19．（2022九上·余杭月考）如图1，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直径CF对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），将纸片还原后，连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.
（1）求证：AD∥OC；
（2）如图2，当CD⊥AB时，若OC＝2，求BC的长；
（3）如图3，当AD＝DE时，若BC＝2，求AD的长.
【答案】（1）证明：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠ECO＝∠B，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ECO，
∴AD∥OC；
（2）解：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠ECO＝∠OCB＝∠B，
∵CD⊥AB，
∴∠ECO+∠OCB+∠B＝90°，
∴∠ECO＝∠OCB＝∠B＝30°，
∵OC＝OB＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝ ，
∴BC＝2CE＝2 ；
（3）解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CF对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴ ＝ ，
∴CE2＝EO BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝ a（负值舍去），
∴OE＝ a，
∴AE＝OA-OE＝a- a＝ a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴ ＝ ，
∵BC＝2，
＝ ，
∴AD＝3- .
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠ECO＝∠B，由圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC，则∠ADC＝∠ECO，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由折叠可知∠ECO＝∠BCO，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠ECO＝∠OCB＝∠B＝30°，易得OE＝1，CE＝ ，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC＝2CE，据此计算；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，由圆周角定理可得∠DAE＝∠BCE，根据对顶角的性质可得∠DEA＝∠BEC，则∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质可得∠ECO＝∠BCO，证明△CEO∽△BEC，根据相似三角形的性质可得CE2＝EO BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，则a2＝x(x+a)，表示出x，得到OE、AE，证明△BCE∽△DAE，然后根据相似三角形的性质进行计算就可得到AD的值.
20．（2023九上·温岭期中）如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点P在半径OB上，连接AP．
（1）把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q．
①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；
②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C，过点Q作QH⊥OA，垂足为H，
探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧AE与OA交于点F，若OF＝2，求PO的长．
【答案】（1）解：①如图所示，连接OQ，
由翻折可知，OA＝QA，
∴OQ＝OA，
∴OA＝QA＝OQ，
∴△OQA是等边三角形，
∴∠QOA＝60°
∴＝2π，
②OH＝QC+AH．理由如下，
如图所示，过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则AG＝CG（垂径定理），
在△AQH与△AOG中，
∴△AQH≌△AOG，
∴AH＝AG，且AG＝CG，
∴AH＝CG，OA﹣AH＝AQ﹣AG，即OH＝QG，
∴QG＝QC+CG＝QC+AH，
∴OH＝QC+AH；
（2）解：如图所示，将AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D，
∵四边形OHDP是矩形，
由折叠和（2）可知，AH＝FH，
∴OF＝2，
∴AH＝FH＝2，
∴OH＝PD＝4，
Rt△QHA中，QH＝＝4．
设OP＝x，则DH＝OP＝PQ＝x，DQ＝4﹣x，
由PD2+DQ2＝PQ2得，42+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝．
即OP＝．
【知识点】圆的综合题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①连接OQ，由翻折可知OA＝QA，进而推出△OQA是等边三角形，得到∠QOA＝60°，然后根据弧长公式进行计算；
②过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则AG＝CG，利用AAS证明△AQH≌△AOG，得到AH＝AG且AG=CG，由线段的和差关系可得OH＝QG，据此证明；
（2）将AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D，由折叠和②可知AH＝FH=2，则OH＝PD＝4，利用勾股定理可得QH，设OP＝x，则DH＝OP＝PQ＝x，DQ＝4-x，在Rt△PDQ中，由勾股定理就可求出x的值，即为OP.
21．（2024九上·镇海区期末）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点(不与点A、C重合)，且∠ADB＝∠BAC＝45°.
(1)求证：AC是⊙O的直径；
(2)当点D在运动到使AD＋CD＝5时，则线段BD的长为 ；(直接写出结果)
(3)如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠BDC、∠BAC都是 所对的圆周角，∠BAC＝45°∴∠BDC=∠BAC=45°
∵∠ADB＝45°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°
∴AC是⊙O的直径；
（2）作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N
∵∠BDC=∠ADB =45°
∴△ADM，△CDN为等腰直角三角形
∴DM=AM=AD， DN=CN=CD
∵AC是直径，∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC =∠ABM+∠NBC=90°，AB=BC
∵AM⊥BD，CN⊥BD
∴
∴∠ABM=∠BCN
△ABM≌△BCN
∴BN=AM=DM=AD
∵AD＋CD＝5
∴BD=BN+DN=AD+CD=×5=5；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD，连接BF
由（2）得BD=（AD+CD）=DF，
∵∠ADB =45°
∴△BDF为等腰直角三角形
∴BF=BD，
连接CF，
在△AFB和△CDB中
∴
∴∠ABF=∠CBD
又∵把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC
∴∠CBE=∠CBD，BD=BE
∴，即
∵AB=CB
∴
∴AE=CF
∴在中，
即
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后根据三角形的内角和定理得到，然后根据直角所对的弦是直径解题；
（2）作于M，CN⊥BD于N，即可得到AD=DM，CE=DN，然后得到△ABM≌△BCN，即可得到BN=AM=DM，然后根据BD=BN+DN解题即可；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD，连接BF，由（2）得BD=（AD+CD）=DF，可以得到△BDF为等腰直角三角形，即可得到BF=BD，，连接CF，得以证明，得到AE=CF，然后在中，利用勾勾股定理得到即可解题.
22．（2023九上·襄都期中）已知半圆的直径，是半圆上的一个动点（不与点、重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，连接．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，当点与点重合时，求阴影部分的面积
（3）过点作射线的垂线，垂足为，连接交于点，当时，求的值．
【答案】（1）证明：根据折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，设交于点，如下图，
∵点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：当点在线段上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在线段的延长线上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的值为或．
故答案为：或.
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可得，再利用等边对等角的性质及等量代换可得，即可证出；
（2）连接，，设交于点，先求出，再利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，再分别画出图形并求解即可.
（1）证明：根据折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，设交于点，如下图，
∵点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）当点在线段上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在线段的延长线上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的值为或．
23．（2024九下·浙江期中）如图，点在以为直径的上，将沿直径对折，点落在上的点处，分别连接与交于点．另有一动点在上运动，连接交于点，交于点．
（1）当平分时．
①连结，求证：．
②若，求的值．
（2）当时，探究线段与的长度关系．
（3）如图2，若点运动到上，交于点，求证：．
【答案】（1）解：①∵CF为的平分线，∴∠ACF=∠ECF.
∵折叠，∴，∴∠BAD=∠BAC.
∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=∠BAD=∠BAC，
∴∠ACF+∠BAC=∠ECF＋∠BCD，
即∠BFC=∠BCF，∴BG=BC.
②如图所示，∵EG=EB，CE⊥CD，∴CG=BC.
由①得BG=BC，∴BG=BC=CG，∴∠GCB=60°
∴∠ACG=∠GCB=∠ECB=∠BAD=∠CAB=30°
∴，，∴，∴点F与圆心O重合.
∵∠ECG=∠EAD=30°，∠CEG=∠AED=90°，
∴ΔCEF∽ΔAED.
∴.
（2）解：如图，连结并延长DO，交于点M，连结CM.
∵CF⊥AD，∴∠CAH＋∠ACH=90°
∵DM为直径，∴∠MCD=90°
∴∠CMD＋∠MDC=90°
又∵，∴CE=ED
∵∠CMD=∠CAH，∴∠ACH=∠MDC，
∴AF=MC
∵点O，E分别是MD，CD的中点，
∴
（3）解：∵折叠，∴，∴∠ACD=∠AFC
∴ΔACI∽ΔAFC
∴，
即
又∵∠DAF=∠DCF，∠DIA=∠FIC
∴ΔADI∽ΔCIF，∴，即
∴，
即
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据折叠的性质和圆周角定理得出，，，从而证明，即可证明；
②证明，从而证明即可求解；
（2）连结并延长，交于点M，连结．根据圆周角定理得出，证明，再证明，根据点O，E分别是，的中点，即可求解；
（3）根据折叠得出，，从而证明，得出，再证明，得出，即可证明．
1 / 1圆中的折叠问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧AC沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D.若AC=6，∠C=60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·拱墅期中）如图，将半径为8的沿折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（ ）
A． B． C．8 D．10
3．（2023九下·深圳模拟）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为( )
A． B． C．5 D．
4．（2022九上·杭州月考）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD＝9，AD＝6，则的长为（ ）
A． B．3π C． D．
6．有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图①。将它沿DE折叠，使点A落在BC上，如图②。此时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·义乌期中）如图，在圆心为，半径为的圆形纸片上画圆内接，再分别沿直线和折叠，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·绍兴期中）如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州月考）如图，是的内接三角形，把沿着BC折叠交弦AB于点，且点为AB的中点，若则下列结论错误的是（ ）
A． B．点为的中点
C． D．
10．（2024九下·古浪模拟）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2024九上·秀洲期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ．
12．（2024九上·兰溪期中）如图，在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点D，连接．如果，，则的长为 ．
13．如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则折痕CD的长为 .
14．（2024·佛山模拟）如图，AB是的直径，C，D是上的两个点，将沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A．若，则的面积为 .
15．（2023九下·义乌月考）如图，在中，，，，点D为的中点，点E是线段上一动点，把沿直线翻折，点A的对称点是F，连结，若，则的长是 .
16．（2023九上·滨江期中）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
三、解答题（共7题，共66分）
17．如图，⊙O为一张直径为6的圆形纸片，现将⊙O上任意一点P与圆心O重合折叠，得折痕AB．求折痕AB的长．
18． 如图， 是 的直径， 为 上一点 ( 不与点 重合)， 连结 ， 过点 作 ，垂足为点 ． 将 沿 翻折， 点 落在点 处得 交 于点 ．
（1） 求证： 是 的切线．
（2） 若 ， 求阴影部分的面积．
19．（2022九上·余杭月考）如图1，是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直径CF对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），将纸片还原后，连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.
（1）求证：AD∥OC；
（2）如图2，当CD⊥AB时，若OC＝2，求BC的长；
（3）如图3，当AD＝DE时，若BC＝2，求AD的长.
20．（2023九上·温岭期中）如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点P在半径OB上，连接AP．
（1）把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q．
①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；
②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C，过点Q作QH⊥OA，垂足为H，
探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧AE与OA交于点F，若OF＝2，求PO的长．
21．（2024九上·镇海区期末）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点(不与点A、C重合)，且∠ADB＝∠BAC＝45°.
(1)求证：AC是⊙O的直径；
(2)当点D在运动到使AD＋CD＝5时，则线段BD的长为 ；(直接写出结果)
(3)如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由.
22．（2023九上·襄都期中）已知半圆的直径，是半圆上的一个动点（不与点、重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点的对称点记为，射线交半圆于点，连接．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，当点与点重合时，求阴影部分的面积
（3）过点作射线的垂线，垂足为，连接交于点，当时，求的值．
23．（2024九下·浙江期中）如图，点在以为直径的上，将沿直径对折，点落在上的点处，分别连接与交于点．另有一动点在上运动，连接交于点，交于点．
（1）当平分时．
①连结，求证：．
②若，求的值．
（2）当时，探究线段与的长度关系．
（3）如图2，若点运动到上，交于点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
点D是BC的中点，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理可得AB=AD，再通过角直角三角形的性质得到CE、AE的长度，进而由等腰三角形的性质求得BE的长度，即可通过勾股定理计算出AB的长度，然后利用垂径定理求得，再次通过角直角三角形的性质即可求得AO的长度，即圆的半径长度.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
，
为的中点，
由题意可得，，，
，
，
在中，根据勾股定理可得：，
代入可求得，
.
故答案为：B.
【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，由题意可得E为AB的中点，CD=4，OD=4，OB=8，求出DE、OE的值，利用勾股定理可得BE，进而可得AB.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，
所对的圆周角为，
所对的圆周角为，
∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，根据翻折的性质及圆内接四边形的对角互补、邻补角的定义及同角的余角相等可得∠B=∠BDC，从而即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F.
∵四边形ABEC内接于
∴∠A+ ∠E = 180°
∵点D在⊙O上的对应点为点E
由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC
∵∠BDC+∠CDA =180°
∴∠E+∠CDA=180°
又∵∠A+ ∠E =180°
∴∠A= ∠ADC，
∴△ACD是等腰三角形
∵CFAD，AD = 6
∴AF=FD=AD=3
又∵BD=9
∴BF= BD+DF = 12
∵CFAD
∴△CFB是直角三角形
∵∠ABC=30°
∴在Rt△CFB中，CF= =
在Rt△AFC中，AC =
∵∠ABC=30°
∴∠AOC =60°
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=
∴的长=
故答案为：.
【分析】首先取点D在⊙O上的对应点E，连接OA、OC、CE、BE、CD、AC，过C点作 CFAD于点F，其次四边形ABEC内接于得出∠A+ ∠E =180°，由折叠的性质得出：∠BEC = ∠BDC，由此可得到∠A=∠ADC，证明出：△ACD是等腰三角形，由此可得出：AF=FD=AD=3，进而得出：BF= BD+DF = 12，然后通过解直角三角形CFB可求出CF的长，最后利用勾股定理求出AC的长，再证明出是直角三角形即可得出：OA=OC=AC=，利用弧长公式即可求出的长.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：设阴影部分所在的圆心为，与弧交于点，连接，过点作交于点，如下图：
，，
，
，，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，由折叠和直角三角形的边角关系求出，从而得阴影部分所在的圆心角的度数为，再由锐角三角函数求出的底和高，最后由进行计算即可解答．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作，连接，如图所示：
由折叠得OA=DA，
∵，
∴是等边三角形，
∴
同理可得
∴
同理可得
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∵，，，
∴
∴
∴
∴
∴图中阴影部分的面积为=
故答案为：B
【分析】作，连接，根据折叠的性质得到OA=DA，进而根据等边三角形的判定与性质得到，同理可得，再结合题意即可得到∠COA的度数，同理可得，即，再根据弧与圆心角的关系得到，从而即可得到是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质结合圆周角定理得到，根据勾股定理求出EA，从而结合题意即可得到CA，再根据三角形的面积得到，从而根据对称的性质即可得到图中阴影部分的面积。
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设的弧度为x，则的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴的弧度为180°-x，
由折叠知：==x，
=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴==x-90°，
∴=-=90°，
∴所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=，
∴OE= CE-OC=.
故答案为：A.
【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x，得、、，进而得到所对圆心角为90°，OE= CE-OC即可求得.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；圆内知识的综合
【解析】【解答】解： 如图所示， 连接OA，OB，OC、CD， 过点C作CE⊥AB垂足为E， 过点O作OG⊥CE， 垂足为G， 则四边形ODEG是矩形，
∵D是AB的中点， OA=OB，
∵OD⊥AB， 故A选项正确，
∵∠ABC=∠DBC，
故C选项正确，
∴CA=CD，
∵CE⊥AB，
，
又∵OD=1， OD⊥AB，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠CEO=∠BEO=45°， OD=DE，
∴矩形OGED是正方形，
∴OG=OD.
又∵OC=OB，
∴Rt△COG≌Rt△BOD.
∴CG=BD=2
∴CE=EB=3.
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
故D选项正确，
则无法证明点D为 的中点，故B选项错误，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，OC，CD， 过点C作CE⊥AB垂足为E， 过点O作OG⊥CE， 垂足为G， 则四边形ODEG是矩形， 根据垂径定理可得OD⊥AB，根据等弧所对的圆周角相等可得 进而证明△ODE是等腰直角三角形，矩形OGED是正方形，得出OG=OD， 证明Rt△COG≌Rt△BOD得出△BCE是等腰直角三角形， 即可得出 即可求解.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理
11．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，连接，
将劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和所对圆周角都为，
，
∵，
，
为直径，半径长为2，
，，
∴在中，，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质以及圆周角定理得，从而得，然后由圆周角定理推论得，接下来再利用勾股定理即可求出AB的值.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】如图，过作于，连接、，设折叠前后点D的对应点为，由折叠的性质和圆内接四边形的性质可得，结合邻补角的定义可得，由等角对等边可得，根据等腰三角凹陷的三线合一求出的值，再求出的长，用勾股定理可求得CG2的值，在Rt ACG中，用勾股定理可求解．
13．【答案】
【知识点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作OA，OB关于直线CD的对称线段，
则O'E'、O'F'与圆O相切于E'，F'，
∴O'E'⊥OE'，O'F'⊥OF'，OO'平分∠E'OF'.
∵∠AOB=120°，
∴∠E'O'F'=∠AOB=120°，
∴∠E'OF'=60°，
∴∠E'OO'=90°-∠E'OF'=30°，
∵OA=6，
∴OE'=OA=6，
∴OO'=2E'O'=.
由对称性可知HG=HI，GO'=OI，
设HG=x，则GO'=OI=6-2x，
∴OO'=6+6-2x，
∴6+6-2x=，解得.
∴OH=OI+IH=，
∴CD=2HC=2.
故答案为：．
【分析】作OA，OB关于直线CD的对称线段，先求出∠E'OF'，根据角平分线意义求出∠E'OO'，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出OO'，设HG=x，可用x表示出OO'，可得关于x的方程求出x，从而求出OH，再利用勾股定理求出CD的一半HC即可.
14．【答案】
【知识点】圆的综合题；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设弧AED所在的圆心为Q，连接AQ、OQ和QE，如下图：
∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°
∵CA和CB分别与圆相切
∴QA⊥CA，QE⊥CB
∴四边形AQEC是矩形
∵QA=QE
∴四边形AQEC是正方形
∵沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A
∴点Q和O关于AD对称
∴AD垂直平分QO
∴AQ=AO
∴AO=AC=×4=2
∴BC==
∴S△ABC=×2×=
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理和圆的切线性质，可判断四边形是矩形；根据邻边相等的矩形是正方形，可得四边形AQEC是正方形；根据翻折的性质，可得AQ=AO；根据勾股定理和三角形面积公式即可直接求解.
15．【答案】1
【知识点】勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
由折叠性质得，，，
∴则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，
∵，，
∴，则，
取中点H，连接、，设与相交于点P，
则，，，
∴，又，
∴，
∴，又，
∴，
∴即，
∴，
设，
∵，
∴即，
解得，即.
故答案为：1.
【分析】利用勾股定理可得AC的值，由中点的概念可得AD=5，根据折叠的性质可得DF=AD=5，AE=EF，∠A=∠F，则点F在以点D为圆心，5为半径的圆上运动，取AB的中点H，连接AF、DH，设DF与AB相交于点P，则HD=BC=3，AH=AB=4，HD∥BC，证明△HAD∽△EFP，△HAD∽△HDP，根据相似三角形的性质可得HP，设AE=EF=x，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，BC’
根据折叠的性质可知
∵，
∴
∴AD=AC
∵E为DC的中点，
∴AEDC，
∴
故点E在以AB为直径的弧上运动
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∴EF=AB=，OF=，
∴OE的最小值为，
故答案为：．
【分析】连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C'，连结EF、AC'，BC'，根据折叠的性质及圆内接四边形的性质得出，从而判断出等腰三角形ACD，利用等腰三角形的三线合一得出，推出点E的轨迹，再由轨迹判断EO最小值，利用勾股定理即可解答.
17．【答案】解：如图，连接OB，OP交AB于点C，
由折叠知：OP与AB互相垂直平分，
∵ ⊙O的直径为6 ，
∴OC=，OB=3，
∴BC==，
∴AB=2BC=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接OB，OP交AB于点C，由折叠可得OP与AB互相垂直平分，从而得出OC=，OB=3，利用勾股定理求出BC的长，继而求出AB即可.
18．【答案】（1）证明： 连结 OC 如图 所示．
，
∴
∴CE是的切线。
（2）解：连结 OF， 过点 O 作 于点 G ，如图 所示 ．
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结 OC，根据折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证明∠OCE=90°即可得证；
（2）连结 OF， 过点 O 作 于点 G，根据圆周角定理，30°的直角三角形的性质，扇形的面积公式求解即可。
19．【答案】（1）证明：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠ECO＝∠B，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ECO，
∴AD∥OC；
（2）解：由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠ECO＝∠OCB＝∠B，
∵CD⊥AB，
∴∠ECO+∠OCB+∠B＝90°，
∴∠ECO＝∠OCB＝∠B＝30°，
∵OC＝OB＝2，
∴OE＝1，
∴CE＝ ，
∴BC＝2CE＝2 ；
（3）解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CF对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，
∴△CEO∽△BEC，
∴ ＝ ，
∴CE2＝EO BE，
设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，
∴a2＝x（x+a），
解得，x＝ a（负值舍去），
∴OE＝ a，
∴AE＝OA-OE＝a- a＝ a，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴△BCE∽△DAE，
∴ ＝ ，
∵BC＝2，
＝ ，
∴AD＝3- .
【知识点】平行线的判定；含30°角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由折叠可知：∠ECO＝∠BCO，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠ECO＝∠B，由圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC，则∠ADC＝∠ECO，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）由折叠可知∠ECO＝∠BCO，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠ECO＝∠OCB＝∠B＝30°，易得OE＝1，CE＝ ，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC＝2CE，据此计算；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA，由圆周角定理可得∠DAE＝∠BCE，根据对顶角的性质可得∠DEA＝∠BEC，则∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质可得∠ECO＝∠BCO，证明△CEO∽△BEC，根据相似三角形的性质可得CE2＝EO BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，则a2＝x(x+a)，表示出x，得到OE、AE，证明△BCE∽△DAE，然后根据相似三角形的性质进行计算就可得到AD的值.
20．【答案】（1）解：①如图所示，连接OQ，
由翻折可知，OA＝QA，
∴OQ＝OA，
∴OA＝QA＝OQ，
∴△OQA是等边三角形，
∴∠QOA＝60°
∴＝2π，
②OH＝QC+AH．理由如下，
如图所示，过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则AG＝CG（垂径定理），
在△AQH与△AOG中，
∴△AQH≌△AOG，
∴AH＝AG，且AG＝CG，
∴AH＝CG，OA﹣AH＝AQ﹣AG，即OH＝QG，
∴QG＝QC+CG＝QC+AH，
∴OH＝QC+AH；
（2）解：如图所示，将AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D，
∵四边形OHDP是矩形，
由折叠和（2）可知，AH＝FH，
∴OF＝2，
∴AH＝FH＝2，
∴OH＝PD＝4，
Rt△QHA中，QH＝＝4．
设OP＝x，则DH＝OP＝PQ＝x，DQ＝4﹣x，
由PD2+DQ2＝PQ2得，42+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝．
即OP＝．
【知识点】圆的综合题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①连接OQ，由翻折可知OA＝QA，进而推出△OQA是等边三角形，得到∠QOA＝60°，然后根据弧长公式进行计算；
②过点O作OG⊥AQ，垂足为点G，则AG＝CG，利用AAS证明△AQH≌△AOG，得到AH＝AG且AG=CG，由线段的和差关系可得OH＝QG，据此证明；
（2）将AOP沿着AP翻折得△AQP，过点Q作QH⊥AF，垂足为点H，过点P作PD⊥OH，垂足为点D，由折叠和②可知AH＝FH=2，则OH＝PD＝4，利用勾股定理可得QH，设OP＝x，则DH＝OP＝PQ＝x，DQ＝4-x，在Rt△PDQ中，由勾股定理就可求出x的值，即为OP.
21．【答案】（1）证明：∵∠BDC、∠BAC都是 所对的圆周角，∠BAC＝45°∴∠BDC=∠BAC=45°
∵∠ADB＝45°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°
∴AC是⊙O的直径；
（2）作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N
∵∠BDC=∠ADB =45°
∴△ADM，△CDN为等腰直角三角形
∴DM=AM=AD， DN=CN=CD
∵AC是直径，∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC =∠ABM+∠NBC=90°，AB=BC
∵AM⊥BD，CN⊥BD
∴
∴∠ABM=∠BCN
△ABM≌△BCN
∴BN=AM=DM=AD
∵AD＋CD＝5
∴BD=BN+DN=AD+CD=×5=5；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD，连接BF
由（2）得BD=（AD+CD）=DF，
∵∠ADB =45°
∴△BDF为等腰直角三角形
∴BF=BD，
连接CF，
在△AFB和△CDB中
∴
∴∠ABF=∠CBD
又∵把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC
∴∠CBE=∠CBD，BD=BE
∴，即
∵AB=CB
∴
∴AE=CF
∴在中，
即
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后根据三角形的内角和定理得到，然后根据直角所对的弦是直径解题；
（2）作于M，CN⊥BD于N，即可得到AD=DM，CE=DN，然后得到△ABM≌△BCN，即可得到BN=AM=DM，然后根据BD=BN+DN解题即可；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD，连接BF，由（2）得BD=（AD+CD）=DF，可以得到△BDF为等腰直角三角形，即可得到BF=BD，，连接CF，得以证明，得到AE=CF，然后在中，利用勾勾股定理得到即可解题.
22．【答案】（1）证明：根据折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，设交于点，如下图，
∵点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：当点在线段上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在线段的延长线上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的值为或．
故答案为：或.
【知识点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可得，再利用等边对等角的性质及等量代换可得，即可证出；
（2）连接，，设交于点，先求出，再利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，再分别画出图形并求解即可.
（1）证明：根据折叠的性质，可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，，设交于点，如下图，
∵点关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）当点在线段上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在线段的延长线上时，如下图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的值为或．
23．【答案】（1）解：①∵CF为的平分线，∴∠ACF=∠ECF.
∵折叠，∴，∴∠BAD=∠BAC.
∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=∠BAD=∠BAC，
∴∠ACF+∠BAC=∠ECF＋∠BCD，
即∠BFC=∠BCF，∴BG=BC.
②如图所示，∵EG=EB，CE⊥CD，∴CG=BC.
由①得BG=BC，∴BG=BC=CG，∴∠GCB=60°
∴∠ACG=∠GCB=∠ECB=∠BAD=∠CAB=30°
∴，，∴，∴点F与圆心O重合.
∵∠ECG=∠EAD=30°，∠CEG=∠AED=90°，
∴ΔCEF∽ΔAED.
∴.
（2）解：如图，连结并延长DO，交于点M，连结CM.
∵CF⊥AD，∴∠CAH＋∠ACH=90°
∵DM为直径，∴∠MCD=90°
∴∠CMD＋∠MDC=90°
又∵，∴CE=ED
∵∠CMD=∠CAH，∴∠ACH=∠MDC，
∴AF=MC
∵点O，E分别是MD，CD的中点，
∴
（3）解：∵折叠，∴，∴∠ACD=∠AFC
∴ΔACI∽ΔAFC
∴，
即
又∵∠DAF=∠DCF，∠DIA=∠FIC
∴ΔADI∽ΔCIF，∴，即
∴，
即
【知识点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据折叠的性质和圆周角定理得出，，，从而证明，即可证明；
②证明，从而证明即可求解；
（2）连结并延长，交于点M，连结．根据圆周角定理得出，证明，再证明，根据点O，E分别是，的中点，即可求解；
（3）根据折叠得出，，从而证明，得出，再证明，得出，即可证明．
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