圆的最值问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·金东月考）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．4cm或12cm B．2cm C．6cm D．2cm或6cm
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①点在圆外，PA=4，PB=8，AB=2r，2r+4=8，解得r=2；
②点在圆内PA=4，PB=8，AB=2r，2r=8+4，解得r=6.
故答案为：D.
【分析】题目没有说明点的位置关系，因此要分两种情况：①点在圆外；②点在圆内；最大距离和最小距离，因此都在直径所在的直线上，分别画出图即可列式求解.
2．如图， 已知点 是以 为直径的半圆上一个三等分点， 点 是弧 的中点， 点 是半径 上的点． 若 的半径为 1 ， 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】勾股定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：如图，作点A关于MN的对称点A'，连接BA'交圆于P，则点P即是所求作的点，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON=∠A'ON=360°÷2÷3=60°，
又∵点B是弧AN的中点，
∴，
∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=60°+30°=90°，
在Rt△A'OB中，由勾股定理得：
A'B2=A'O2+BO2=1+1=2
得：，
∴AP+BP的最小值是.
故答案为：C.
【分析】首先找出点A关于MN对称的对称点A'，AP+BP的最小值就是A'B的长度.
3．如图， 点 在以 为直径的半圆上， ， ， 点 在线段 上运动， 点 与点 关于 对称， 于点 并交 的延长线于点 ． 则线段 的最小值为 ( )
A． B． C．12 D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB= 90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴，
∴，
∵点E与点D关于AC对称，
∴AC垂直平分DE，
∴DM=EM，
∵DF⊥DE.
∴DF∥AC，
∴EC=CF，
∵∠EDF=90°，
∴EF=2DC
∴当DC最小时，EF最小，当CD⊥AB时，CD最小，
∵∠CDB=90，∠ABC =30°，
∴，
∴EF的最小值是.
故答案为：A.
【分析】由圆周角定理得到∠ACB=90°，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，由轴对称的性质得到AC垂直平分DE，由平行线等分线段定理推出EC=CF，由直角三角形斜边中线的性质得到EF=2DC，当CD⊥AB时，EF最小，由含30度角的直角三角形的性质求出，于是得到EF的最小值是.
4．（2022九上·海曙期中）如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时 B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时 D．OC⊥AB时
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝
∴BD＝
∴AD＝BD，
∴弧AD=弧BD，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AB，
∴∠CBA＝∠E，
∵∠CBA＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠E，
∴△ACD∽△DCE，
∴AC∶CD＝CD∶CE，
∴AC CE＝CD2，
∴当CD最大时，AC CE有最大值，
故答案为：A.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，可得AD=BD，根据同圆中等弦所对的劣弧相等得弧AD=弧BD，进而根据等弧所对的圆周角相等得∠ACD＝∠DCB，再根据同弧所对的圆周角相等得∠CBA＝∠ADC，根据平行线的性质得∠CBA＝∠E，故∠ADC＝∠E，证明△ACD∽△DCE，从而得到AC CE＝CD2，再由CD的最大决定AC CE的最大即可求解．
5．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后， 截面图如右上， 若水面宽度 ， 则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：
连接OB， 过点O作于点D， 交⊙O于点C，
，
，
，
在 中，
，
即水的最大深度为8cm，
故答案为： B.
【分析】连接OB， 过点O作 于点D， 交⊙O于点C，根据垂径定理得到BD的长，再利用勾股定理求出OD的长，即可解题.
6．（2023九上·临平月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；完全平方式
【解析】【解答】解：
①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴弧AD=弧BD，即D是弧AB的中点，∴D是定点，故①正确；
②∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴
∵，且AC和BC都是正值，∴
∴，即AC×BC的最大值是50。故②正确；
③∵弧AD=弧BD，∴AD=BD，∠ACD=∠DAB
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=∠EAC，
∠DAE=∠DAB+∠EAB=∠ACD+∠EAC=∠DEA
∴AD=ED，
∴AD=BD=ED
∴D是ABE的外心，故③正确；
④∵
∴CA+CB的最大值是，故④正确。
故答案为：D.
【分析】根据CD平分∠ACB可推得D为弧AB的中点，可判断①正确，运用完全平方式的性质推导出，可推导出AC×BC的最大值，判断②正误；证明DA，DB，DE相等，可判断③正确，运用完全平方式，结合②中结论可判断④正误。
7．（2023九下·宁波月考）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．无最大值
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴点O在经过点A，B的圆E上，且，
∴，即圆E的半径为，
过E作于G并延长，与交于点F，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，AE=BE=OE=，过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，有AG=BG=1，EG=AB=1，根据矩形的性质可得∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，则EF=EG+GF=2，利用勾股定理可得DE，据此求解.
8．如图， 是等边 的外接圆， 已知 是 上一动点， 连接 ， 若 的直径为 6 ， 当以 为顶点的四边形的面积最大时， 点 到弦 的距离为( )
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆与三角形的综合；多边形的面积
【解析】【解答】解：当点D在的中点时， 以 为顶点的四边形的面积最大.
此时，连结OD，OA，OD交AC于点E，
则∠AOE=60°，
∵ 的直径为 6 ，
∴OA=3，
∴OE=1.5，
∴DE=OD-OE=1.5.
故答案为：C.
【分析】当点D在的中点时， 以 为顶点的四边形的面积最大.
此时，连结OD，OA，OD交AC于点E，先利用含有30度角的直角三角形的性质求出OE，再利用DE=OD-OE求解.
9．（2024九上·浙江期中）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，，，
∵点A、A'关于直线对称
，点为弧的中点，
，
过点作于，在中，
即的最小值．
故选：C．
【分析】过作关于直线的对称点，连接，可知即为的最小值，根据垂径定理可知，求出的度数，从而得到，再过点作于，利用勾股定理即可求解．
10．（2023九上·杭州期中）如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（ ）
A．22 B．22 C．42 D．42
【答案】B
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，如图：
，
∵∠MBC＝∠OBP＝60°，
∴∠OBM＝∠PBC，
在△OBM和△PBC中，
，
∴△OBM≌△PBC（SAS），
∴OM＝PC＝2，
∴如上图所示，点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，
连接AP并延长，交⊙P于点C′，则AC的最大值为AC′．
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝PB＝3，BH＝，
∵AH＝AB-BH＝5，
∴AP＝，
∴AC′＝AP-PC′＝2-2，
故AC长度的最大值为2-2，
故选：A．
【分析】作辅助线：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，连接AP并延长，交⊙P于点C′，过P作PH⊥AB于H，如图，根据全等三角形的判定SAS证得△OBM≌△PBC，根据全等三角形的性质得到OM＝PC＝2，从而确定点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，由圆外的点到圆上的点的最小距离得AC的最小值为AC′，根据勾股定理求得AP，又PC’为圆P的半径等于2，根据AC′＝AP-PC′即可求得AC长度的最小值．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作 ⊙O 的直径，交 ⊙O 于点D，连结BD
∵BC，M，N分别是AB，BC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴
∴当AC取最大值时MN为最大值
∵AC是 ⊙O的弦
∴AC的最大值为 ⊙O的直径
∵ ∠ACB＝∠ADB
∵ ∠ACB＝45°
∴ ∠ADB＝45°
∵AC是直径
∴∠ABD=90°
∴AB=BD
∵AB＝8
在Rt△AND中
∴MN最大值=
故答案为：4.
【分析】根据MN是△ABC的中位线，得到，从而将球MN的最大值转化为求弦AC的最大值，根据圆中最大的弦是直径，在利用直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出直径.
12．（2023九上·义乌期中）如图，在中，点在弦上，于点，，，，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，则PC最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；
【分析】连接，延长交于点，则PC最短，先根据垂径定理结合题意得到AD，进而即可求出CD，再根据勾股定理求出OA，从而根据题意进行线段的运算即可求解。
13．（2024九上·长兴期中）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 米．
【答案】2.25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽BE为1.5米，高AE为2米，
∴(米)，
∴圆的半径(米)，
∵OD⊥BE
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD是ABCE的中位线，
∴(米)，
则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25(米)；
故答案为：2.25.
【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂径定理求出点D为BE的中点：利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度.
14．（2024九上·慈溪期中）如图，有两个半径分别为和的同心圆，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，那么矩形ABCD面积的最大值时AB的长为 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过作于于，连接，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
，
∴当时，的面积最大，
此时，
当时，的面积，
，
，
，
∴矩形的面积最大值时，的长为4．
故答案为：4．
【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．过作于于，连接，根据四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，
，利用矩形的判定定理可证明四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，利用垂径定理可推出，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，进而可得，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，利用勾股定理可求出，再利用三角形面积公式求出，根据，可求出答案．
15．（2024·宁海）如图，等腰直角的斜边下方有一动点，，平分交于点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，
，
∴A、C、B、D四点 共 圆，
∵ CA = CB，
∴ ∠CBA =
，
∴DE 平分∠ADB，
∵ BE 平分
∴点 E 是 的角平分线的交点，
∴ AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
，
，即CE长是定值，
∴当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小，最小值
故答案为：.
【分析】取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，可得A、C、B、D四点 共 圆，然后得到点 E 是 的角平分线的交点，即可得到∠BAE = ∠DAE， 然后得到CE=CA，然后根据当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小即可解题.
16．在 中， ． 点 为平面上一个动点， ， 则线段 长度的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，
当O、D、C三点共线时，CD的值最小.
∵∠ADB =45°，
∴∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴，
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，
∴∠OBE=45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴OE=BE=sin45°·OB=1，
∴CE=BC-BE=3-1=2，
在Rt△OEC中，
.
当O、D、C三点共线时，
CD最小为
故答案为：.
【分析】根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，将问题转化为点圆最值，可证得△AOB为等腰直角三角形，，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为.
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，以原点О为圆心，3为半径作圆，直线y=mx-m+2与О相交于A，B两点，求弦AB的最小长度.
【答案】解：如图，
∵直线y=mx-m+2必过点D（1，2），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD=，
∵⊙O的半径为3，
∴OA=3，
∴AD==2，
∴AB=2AD=4，
∴AB的长的最小值为4.
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 根据题意得出直线y=mx-m+2必过点D（1，2），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，求出OD的长，再利用勾股定理求出AD，从而得出AB的长，即可得出答案．
18．（2017九上·鄞州月考）某工厂准备翻建新的大门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线.已知厂门的最大宽度AB=12m，最大高度OC=4m，工厂的运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m.现设计了两种方案.方案一：建成抛物线形状（如图1）；方案二：建成圆弧形状（如图2）.为确保工厂的卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由.
【答案】解：第一方案：设抛物线的表达式是y=a(x+6)(x 6)，因C(0，4)在抛物线的图象上，代入表达式，得a= .故抛物线的表达式是y= x2+4.把第一象限的点(t，3)代入函数，得3= t2+4，∴t=3，∴当高度是3m时，最大宽度是6m.第二方案：由垂径定理得：圆心O′在y轴上(原点的下方)设圆的半径是R，在Rt△OAO′中，由勾股定理得：62+(R 4)2=R2，解得R=6.5，当高度是3m时，最大宽度= =4 ≈6.9m根据上面的计算得：为了工厂的特种卡车通过厂门更安全，所以采用第二种方案更合理.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】方案一、根据已知中的AB的长，可得出此抛物线与x轴的两交点A、B的坐标，设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入解析式，即可求出函数解析式，然后将y=3代入求出对应的自变量的值，可得出最大宽度为6m；方案二、根据题意可知圆点在y轴的（原点）下方，连接O′A，根据垂径定理求出OA的长，然后在Rt△OAO′中，根据勾股定理建立关于R的方程，求解得出圆的半径长，再根据工厂的运输卡车的高度是3m，求出最大宽度，则宽度较大的设计方案能保工厂的卡车在通过厂门时更安全。
19．（2022九上·青田期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【答案】（1）解：如图，作于点，交圆于点，
则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为5米；
（2）解：如上图，当米时，，
在中，，
，
米，
米，
答：水面下盛水筒的最大深度为2米.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，交圆于点，由垂径定理可得米 ，设圆的半径为米，则OE=（r-1）米，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之即可；
（2） 当米时， ， 在中 ，利用勾股定理求出OE的长，根据DE=半径-OE即可求解.
20．（2023九上·余姚期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使，．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．
【答案】解：（1）过点作于点．
∵，，，
∴，．
设，则，
∴，
设储料场的面积为，则，
∴．
∴当时，储料场的面积最大，最大面积为．此时．
故当米，米时，所建储料场的面积最大，最大面积为．
（2）小聪建议合理．理由如下：
由题意得，
∴．
∴．
∵，
∴小聪的建议是合理的．
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作于点．设，可得，．则，可得，设储料场的面积为，得到二次函数即可解题；
（2）根据扇形弧长公式得到．然后利用扇形面积公式求得解题即可．
21．（2023九上·永康月考）对于平面直角坐标系xOy中的图形P、Q，给出如下定义：点M为图形P上任意一点，点N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么就称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已知点A（-2，2），B（2，2），连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，则r的取值范围是 ；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．
①当时，d（⊙O，）=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d（⊙O，）=0，则 r的取值范围是 ▲ ．
【答案】（1）2
（2）
（3）解：①如图， 作 于点，
由旋转知，
位于 轴上，，
经过 点，
；
②
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）∵A（-2，2），B（2，2），
∴AB∥x轴，
∴d（点O，AB）=2，
故答案为：2；
（2）如图所示，d（⊙O，AB）=0，表示⊙O与线段BC有交点，
∴r的取值范围是2≤r≤2；
（3）②若存在两个α使d（⊙O，A'）=0，即线段AB在旋转过程中（0°＜α＜180°）与⊙O有两个交点，如图，
∴4-2＜r＜2．
【分析】（1）由题意得出AB∥x轴，则可根据“非常距离”的定义得出答案；
（2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“非常距离”的定义得出答案；
（3）①过点A'作A'H⊥AB于点H，由直角三角形的性质可得出答案；
②由题意可知线段AB在旋转过程中（0°＜α＜180°）与⊙O有两个交点，画出图形即可得出答案.
22．（2021九上·北仑期末）在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 为 外两点， ．给出如下定义：平移线段 ，得到 的弦 （ 分别为点 的对应点），线段 长度的最小值称为线段 到 的“平移距离”．
（1）如图，平移线段 得到 的长度为 的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段 到 的“平移距离”；
（2）若点A在直线 上；
①若点B也在直线 上，记线段 到 的“平移距离”为 ，求 的最小值；
②若点B在抛物线 上且 轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为 的最小值，若不存在，说明理由；
（3）若点A的坐标为 ，记线段 到 的“平移距离”为 ，则 的取值范围为 ，当 取最小值时点B的坐标为 ．
【答案】（1）平行；
（2）解：①如图，线段 在直线 上，
平移之后与圆相交，得到的弦为 ，
过点O作 于点H，交弦 于点
则 ，
设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
令 ，可知直线与x轴交点C的坐标为 ，
∵直线与x轴夹角为 ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
在 中，
∴ ．
②假设存在这样的点 满足要求，如图
∴A点坐标为 ，
∵
∴ ，
∴
∵ ，
所以 无解，
故不存在．
（3）； 或
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）根据平移的特点可知两条弦的位置关系为平行，根据“平移距离”的定义可知 为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（3）根据题意可知点B是以点A为圆心，半径为 的圆上的点，
如图，连接OA，
∴ ，
∵点A在⊙O上，
∴ ，
，
∵
∴ ，即 ；
当 取最小值时，有两种情况如图，
同（2）①方法，即可求出 ， ．
故 取最小值时B点坐标为 或 ．
【分析】（1）利用平移的性质，可得到两条弦的位置关系；再利用根据“平移距离”的定义，可得答案.
（2）①根据题意画出图象，利用线段在直线y=x+2上，利用平移的性质，可知平移之后的弦A'B'与圆相交，可得到A'B'∥AB，过点O作OH⊥AB于点H，交A'B'于点P，可推出OP⊥A'B'，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，由y=0求出对应的x的值，可得点C的坐标，从而可求出OH的长；再利用垂径定理求出A'P的长；然后利用勾股定理求出OP的长，继而可求出d1的值；②假设存在这样的点 （a，a2+4）满足要求，可得到点A的坐标，从而可求出AB的长，根据AB的长建立关于a的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式，可得到方程根的情况，由此可作出判断.
（3）根据题意可知点B是以点A为圆心，半径为 的圆上的点，连接OA，可证得，利用勾股定理求出OA的值，可得到d3的取值范围；当 取最小值时，有两种情况如图，求出d3取最小值时B点坐标点B1，B2的坐标.
23．（2024九下·浙江期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点的最小覆盖圆就是的外接圆．
（1）【操作探究】现有三个边长为的正方形．
①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ ；
②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ ；
③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
（2）【延伸运用】某地有四个村庄(其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．
【答案】（1）解：①
②
③将2个小正方形一边重合，另1个小正方形的两个顶点分别位于前2个小正方形上边的中点处，连接，延长交上方小正方形上边于点A，
设，则，在和中，由勾股定理得： ，解得
∴，
∴最小覆盖圆的直径为．
（2）解：此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线的交点），
∵，，
∴为钝角三角形，此时不是最小覆盖圆，
对于而言，，
故为锐角三角形，
∴其最小覆盖圆为的外接圆，设圆心为点O，直线与交于点M，连接，
∵，
∴，
同理，为锐角三角形，但是此时点F在外接圆外部，不符合题意，
∴点G在内，从而是四边形的最小覆盖圆，因此中转站建在的外接圆圆心处．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）①以矩形对角线的中点为圆心，对角线长的一半为半径的圆为最小覆盖圆，
则，
故答案为：．
②以三个小正方形的共顶点为圆心，小正方形的对角线为半径的圆为最小覆盖圆，
则，∴，
故答案为：．
【分析】（1）分别利用勾股定理计算即可；
（2）中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．根据是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为的外接圆，所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
24．（浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度 ；
B（﹣ ， ）的距离跨度 ；
C（﹣3，﹣2）的距离跨度 ；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y＝ x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围 ．
【答案】（1）2；2；4；圆
（2）解：设直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m﹣1）），
∴DP＝ ，
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R＝2OP＝2 ，
∵直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2 ＝2，
∴（k2+1）m2+2（1﹣k2）m+k2＝0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△＝4（1﹣k2）2﹣4×（k2+1）k2＝﹣12k2+4≥0，
∴﹣ ≤k≤
（3）﹣1≤xE≤2
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA＝1，
∴点A到⊙O的最小距离d＝1，
点A到⊙O的最大距离D＝3，
∴点A到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵B（﹣ ， ），
∴OB＝ ＝1，
∴点B到⊙O的最小距离d＝BG＝OG﹣OB＝1，
点B到⊙O的最大距离D＝BF＝FO+OB＝2+1＝3，
∴点B到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵C（﹣3，﹣2），
∴OC＝ ＝ ，
∴点C到⊙O的最小距离d＝CD＝OC﹣OD＝ ﹣2，
点C到⊙O的最大距离D＝CE＝OC+OE＝2+ ，
∴点C到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+ ﹣（ ﹣2）＝4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP＝ ，
∴点P到⊙O的最小距离d＝2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D＝2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+OP﹣（2﹣OP）＝2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP＝2，
∴OP＝1，
∴ ＝1，
∴x2+y2＝1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ＝ ，
∴点Q到⊙O的最小距离d＝OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D＝OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝OQ+2﹣（OQ﹣2）＝4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；
（ 3 ）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．
由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD＝2，CH＝4，CE＝1，
∵射线OP的解析式为y＝ ，
∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，
当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：﹣1≤xE≤2．
故答案为：﹣1≤xE≤2
【分析】（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度； ②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2） 设直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m﹣1））， 先判断出 点P在图形G2⊙C内部 ，由点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围。
（3）作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H，由题意可知⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，求出OE，就可得到点O到⊙E的距离跨度为2，观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围。
1 / 1圆的最值问题—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·金东月考）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（ ）
A．4cm或12cm B．2cm C．6cm D．2cm或6cm
2．如图， 已知点 是以 为直径的半圆上一个三等分点， 点 是弧 的中点， 点 是半径 上的点． 若 的半径为 1 ， 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
3．如图， 点 在以 为直径的半圆上， ， ， 点 在线段 上运动， 点 与点 关于 对称， 于点 并交 的延长线于点 ． 则线段 的最小值为 ( )
A． B． C．12 D．
4．（2022九上·海曙期中）如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时 B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时 D．OC⊥AB时
5．往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后， 截面图如右上， 若水面宽度 ， 则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·临平月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九下·宁波月考）如图，，点A、B分别在射线、射线上运动，四边形是矩形，且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．无最大值
8．如图， 是等边 的外接圆， 已知 是 上一动点， 连接 ， 若 的直径为 6 ， 当以 为顶点的四边形的面积最大时， 点 到弦 的距离为( )
A． B．1 C． D．3
9．（2024九上·浙江期中）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．8
10．（2023九上·杭州期中）如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（ ）
A．22 B．22 C．42 D．42
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九上·浙江期中）如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接AC，BC，M，N分别是AB，BC的中点，连接MN．若AB＝8，∠ACB＝45°，则MN的最大值为 ．
12．（2023九上·义乌期中）如图，在中，点在弦上，于点，，，，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值 ．
13．（2024九上·长兴期中）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是 米．
14．（2024九上·慈溪期中）如图，有两个半径分别为和的同心圆，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，那么矩形ABCD面积的最大值时AB的长为 .
15．（2024·宁海）如图，等腰直角的斜边下方有一动点，，平分交于点，则的最小值是 ．
16．在 中， ． 点 为平面上一个动点， ， 则线段 长度的最小值为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，以原点О为圆心，3为半径作圆，直线y=mx-m+2与О相交于A，B两点，求弦AB的最小长度.
18．（2017九上·鄞州月考）某工厂准备翻建新的大门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线.已知厂门的最大宽度AB=12m，最大高度OC=4m，工厂的运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m.现设计了两种方案.方案一：建成抛物线形状（如图1）；方案二：建成圆弧形状（如图2）.为确保工厂的卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由.
19．（2022九上·青田期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
20．（2023九上·余姚期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场．
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使，．新建围墙为BCD．怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大．聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由．
21．（2023九上·永康月考）对于平面直角坐标系xOy中的图形P、Q，给出如下定义：点M为图形P上任意一点，点N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么就称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已知点A（-2，2），B（2，2），连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）=0，则r的取值范围是 ；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．
①当时，d（⊙O，）=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d（⊙O，）=0，则 r的取值范围是 ▲ ．
22．（2021九上·北仑期末）在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 为 外两点， ．给出如下定义：平移线段 ，得到 的弦 （ 分别为点 的对应点），线段 长度的最小值称为线段 到 的“平移距离”．
（1）如图，平移线段 得到 的长度为 的弦 和 ，则这两条弦的位置关系是 ；在点 中，连接点A与点 的线段的长度等于线段 到 的“平移距离”；
（2）若点A在直线 上；
①若点B也在直线 上，记线段 到 的“平移距离”为 ，求 的最小值；
②若点B在抛物线 上且 轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为 的最小值，若不存在，说明理由；
（3）若点A的坐标为 ，记线段 到 的“平移距离”为 ，则 的取值范围为 ，当 取最小值时点B的坐标为 ．
23．（2024九下·浙江期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点的最小覆盖圆就是的外接圆．
（1）【操作探究】现有三个边长为的正方形．
①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ ；
②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ ；
③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
（2）【延伸运用】某地有四个村庄(其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．
24．（浙教版2019中考数学复习专题之圆综合题）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（1，0）的距离跨度 ；
B（﹣ ， ）的距离跨度 ；
C（﹣3，﹣2）的距离跨度 ；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 ．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y＝ x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①点在圆外，PA=4，PB=8，AB=2r，2r+4=8，解得r=2；
②点在圆内PA=4，PB=8，AB=2r，2r=8+4，解得r=6.
故答案为：D.
【分析】题目没有说明点的位置关系，因此要分两种情况：①点在圆外；②点在圆内；最大距离和最小距离，因此都在直径所在的直线上，分别画出图即可列式求解.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：如图，作点A关于MN的对称点A'，连接BA'交圆于P，则点P即是所求作的点，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON=∠A'ON=360°÷2÷3=60°，
又∵点B是弧AN的中点，
∴，
∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=60°+30°=90°，
在Rt△A'OB中，由勾股定理得：
A'B2=A'O2+BO2=1+1=2
得：，
∴AP+BP的最小值是.
故答案为：C.
【分析】首先找出点A关于MN对称的对称点A'，AP+BP的最小值就是A'B的长度.
3．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB= 90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴，
∴，
∵点E与点D关于AC对称，
∴AC垂直平分DE，
∴DM=EM，
∵DF⊥DE.
∴DF∥AC，
∴EC=CF，
∵∠EDF=90°，
∴EF=2DC
∴当DC最小时，EF最小，当CD⊥AB时，CD最小，
∵∠CDB=90，∠ABC =30°，
∴，
∴EF的最小值是.
故答案为：A.
【分析】由圆周角定理得到∠ACB=90°，由含30度角的直角三角形的性质得到，求出，由轴对称的性质得到AC垂直平分DE，由平行线等分线段定理推出EC=CF，由直角三角形斜边中线的性质得到EF=2DC，当CD⊥AB时，EF最小，由含30度角的直角三角形的性质求出，于是得到EF的最小值是.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝
∴BD＝
∴AD＝BD，
∴弧AD=弧BD，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AB，
∴∠CBA＝∠E，
∵∠CBA＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠E，
∴△ACD∽△DCE，
∴AC∶CD＝CD∶CE，
∴AC CE＝CD2，
∴当CD最大时，AC CE有最大值，
故答案为：A.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，可得AD=BD，根据同圆中等弦所对的劣弧相等得弧AD=弧BD，进而根据等弧所对的圆周角相等得∠ACD＝∠DCB，再根据同弧所对的圆周角相等得∠CBA＝∠ADC，根据平行线的性质得∠CBA＝∠E，故∠ADC＝∠E，证明△ACD∽△DCE，从而得到AC CE＝CD2，再由CD的最大决定AC CE的最大即可求解．
5．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：
连接OB， 过点O作于点D， 交⊙O于点C，
，
，
，
在 中，
，
即水的最大深度为8cm，
故答案为： B.
【分析】连接OB， 过点O作 于点D， 交⊙O于点C，根据垂径定理得到BD的长，再利用勾股定理求出OD的长，即可解题.
6．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；完全平方式
【解析】【解答】解：
①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴弧AD=弧BD，即D是弧AB的中点，∴D是定点，故①正确；
②∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴
∵，且AC和BC都是正值，∴
∴，即AC×BC的最大值是50。故②正确；
③∵弧AD=弧BD，∴AD=BD，∠ACD=∠DAB
∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=∠EAC，
∠DAE=∠DAB+∠EAB=∠ACD+∠EAC=∠DEA
∴AD=ED，
∴AD=BD=ED
∴D是ABE的外心，故③正确；
④∵
∴CA+CB的最大值是，故④正确。
故答案为：D.
【分析】根据CD平分∠ACB可推得D为弧AB的中点，可判断①正确，运用完全平方式的性质推导出，可推导出AC×BC的最大值，判断②正误；证明DA，DB，DE相等，可判断③正确，运用完全平方式，结合②中结论可判断④正误。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；点与圆的位置关系；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴点O在经过点A，B的圆E上，且，
∴，即圆E的半径为，
过E作于G并延长，与交于点F，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
当O，E，D三点共线时，最大，且最大值为，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：点O在经过点A，B的圆E上，且∠AEB=90°，AE=BE=OE=，过E作EG⊥AB于G并延长，与CD交于点F，有AG=BG=1，EG=AB=1，根据矩形的性质可得∠DAG=∠ADC=∠AGF=90°，AG=DF=1，AD=FG=1，∠EFD=90°，则EF=EG+GF=2，利用勾股定理可得DE，据此求解.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；圆与三角形的综合；多边形的面积
【解析】【解答】解：当点D在的中点时， 以 为顶点的四边形的面积最大.
此时，连结OD，OA，OD交AC于点E，
则∠AOE=60°，
∵ 的直径为 6 ，
∴OA=3，
∴OE=1.5，
∴DE=OD-OE=1.5.
故答案为：C.
【分析】当点D在的中点时， 以 为顶点的四边形的面积最大.
此时，连结OD，OA，OD交AC于点E，先利用含有30度角的直角三角形的性质求出OE，再利用DE=OD-OE求解.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，连接，，，
∵点A、A'关于直线对称
，点为弧的中点，
，
过点作于，在中，
即的最小值．
故选：C．
【分析】过作关于直线的对称点，连接，可知即为的最小值，根据垂径定理可知，求出的度数，从而得到，再过点作于，利用勾股定理即可求解．
10．【答案】B
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，如图：
，
∵∠MBC＝∠OBP＝60°，
∴∠OBM＝∠PBC，
在△OBM和△PBC中，
，
∴△OBM≌△PBC（SAS），
∴OM＝PC＝2，
∴如上图所示，点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，
连接AP并延长，交⊙P于点C′，则AC的最大值为AC′．
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝PB＝3，BH＝，
∵AH＝AB-BH＝5，
∴AP＝，
∴AC′＝AP-PC′＝2-2，
故AC长度的最大值为2-2，
故选：A．
【分析】作辅助线：以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，连接AP并延长，交⊙P于点C′，过P作PH⊥AB于H，如图，根据全等三角形的判定SAS证得△OBM≌△PBC，根据全等三角形的性质得到OM＝PC＝2，从而确定点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，由圆外的点到圆上的点的最小距离得AC的最小值为AC′，根据勾股定理求得AP，又PC’为圆P的半径等于2，根据AC′＝AP-PC′即可求得AC长度的最小值．
11．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点A作 ⊙O 的直径，交 ⊙O 于点D，连结BD
∵BC，M，N分别是AB，BC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴
∴当AC取最大值时MN为最大值
∵AC是 ⊙O的弦
∴AC的最大值为 ⊙O的直径
∵ ∠ACB＝∠ADB
∵ ∠ACB＝45°
∴ ∠ADB＝45°
∵AC是直径
∴∠ABD=90°
∴AB=BD
∵AB＝8
在Rt△AND中
∴MN最大值=
故答案为：4.
【分析】根据MN是△ABC的中位线，得到，从而将球MN的最大值转化为求弦AC的最大值，根据圆中最大的弦是直径，在利用直径所对的圆周角是直角，用勾股定理即可求出直径.
12．【答案】；
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，延长交于点，则PC最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；
【分析】连接，延长交于点，则PC最短，先根据垂径定理结合题意得到AD，进而即可求出CD，再根据勾股定理求出OA，从而根据题意进行线段的运算即可求解。
13．【答案】2.25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作OD⊥BE于点D，
∴点O为线段AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB为圆O的直径，
∵宽BE为1.5米，高AE为2米，
∴(米)，
∴圆的半径(米)，
∵OD⊥BE
∴点D为BE的中点，
又∵点O为线段AB的中点，
∴OD是ABCE的中位线，
∴(米)，
则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25(米)；
故答案为：2.25.
【分析】根据矩形的性质可推出线段AB为圆的直径，然后根据勾股定理可求出AB的长，再根据垂径定理求出点D为BE的中点：利用中位线即可求出OD的长，即可求出最大高度.
14．【答案】4
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过作于于，连接，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
，
∴当时，的面积最大，
此时，
当时，的面积，
，
，
，
∴矩形的面积最大值时，的长为4．
故答案为：4．
【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．过作于于，连接，根据四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，
，利用矩形的判定定理可证明四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，利用垂径定理可推出，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，进而可得，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，利用勾股定理可求出，再利用三角形面积公式求出，根据，可求出答案．
15．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，
，
∴A、C、B、D四点 共 圆，
∵ CA = CB，
∴ ∠CBA =
，
∴DE 平分∠ADB，
∵ BE 平分
∴点 E 是 的角平分线的交点，
∴ AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
，
，即CE长是定值，
∴当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小，最小值
故答案为：.
【分析】取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，可得A、C、B、D四点 共 圆，然后得到点 E 是 的角平分线的交点，即可得到∠BAE = ∠DAE， 然后得到CE=CA，然后根据当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小即可解题.
16．【答案】
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，
当O、D、C三点共线时，CD的值最小.
∵∠ADB =45°，
∴∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴，
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，
∴∠OBE=45°，作OE⊥BC于点E，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴OE=BE=sin45°·OB=1，
∴CE=BC-BE=3-1=2，
在Rt△OEC中，
.
当O、D、C三点共线时，
CD最小为
故答案为：.
【分析】根据∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小，将问题转化为点圆最值，可证得△AOB为等腰直角三角形，，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE=BE=1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为.
17．【答案】解：如图，
∵直线y=mx-m+2必过点D（1，2），
∴最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD=，
∵⊙O的半径为3，
∴OA=3，
∴AD==2，
∴AB=2AD=4，
∴AB的长的最小值为4.
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】 根据题意得出直线y=mx-m+2必过点D（1，2），求出最短的弦AB是过点D且与该圆直径垂直的弦，求出OD的长，再利用勾股定理求出AD，从而得出AB的长，即可得出答案．
18．【答案】解：第一方案：设抛物线的表达式是y=a(x+6)(x 6)，因C(0，4)在抛物线的图象上，代入表达式，得a= .故抛物线的表达式是y= x2+4.把第一象限的点(t，3)代入函数，得3= t2+4，∴t=3，∴当高度是3m时，最大宽度是6m.第二方案：由垂径定理得：圆心O′在y轴上(原点的下方)设圆的半径是R，在Rt△OAO′中，由勾股定理得：62+(R 4)2=R2，解得R=6.5，当高度是3m时，最大宽度= =4 ≈6.9m根据上面的计算得：为了工厂的特种卡车通过厂门更安全，所以采用第二种方案更合理.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】方案一、根据已知中的AB的长，可得出此抛物线与x轴的两交点A、B的坐标，设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入解析式，即可求出函数解析式，然后将y=3代入求出对应的自变量的值，可得出最大宽度为6m；方案二、根据题意可知圆点在y轴的（原点）下方，连接O′A，根据垂径定理求出OA的长，然后在Rt△OAO′中，根据勾股定理建立关于R的方程，求解得出圆的半径长，再根据工厂的运输卡车的高度是3m，求出最大宽度，则宽度较大的设计方案能保工厂的卡车在通过厂门时更安全。
19．【答案】（1）解：如图，作于点，交圆于点，
则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为5米；
（2）解：如上图，当米时，，
在中，，
，
米，
米，
答：水面下盛水筒的最大深度为2米.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）作于点，交圆于点，由垂径定理可得米 ，设圆的半径为米，则OE=（r-1）米，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之即可；
（2） 当米时， ， 在中 ，利用勾股定理求出OE的长，根据DE=半径-OE即可求解.
20．【答案】解：（1）过点作于点．
∵，，，
∴，．
设，则，
∴，
设储料场的面积为，则，
∴．
∴当时，储料场的面积最大，最大面积为．此时．
故当米，米时，所建储料场的面积最大，最大面积为．
（2）小聪建议合理．理由如下：
由题意得，
∴．
∴．
∵，
∴小聪的建议是合理的．
【知识点】扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作于点．设，可得，．则，可得，设储料场的面积为，得到二次函数即可解题；
（2）根据扇形弧长公式得到．然后利用扇形面积公式求得解题即可．
21．【答案】（1）2
（2）
（3）解：①如图， 作 于点，
由旋转知，
位于 轴上，，
经过 点，
；
②
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）∵A（-2，2），B（2，2），
∴AB∥x轴，
∴d（点O，AB）=2，
故答案为：2；
（2）如图所示，d（⊙O，AB）=0，表示⊙O与线段BC有交点，
∴r的取值范围是2≤r≤2；
（3）②若存在两个α使d（⊙O，A'）=0，即线段AB在旋转过程中（0°＜α＜180°）与⊙O有两个交点，如图，
∴4-2＜r＜2．
【分析】（1）由题意得出AB∥x轴，则可根据“非常距离”的定义得出答案；
（2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“非常距离”的定义得出答案；
（3）①过点A'作A'H⊥AB于点H，由直角三角形的性质可得出答案；
②由题意可知线段AB在旋转过程中（0°＜α＜180°）与⊙O有两个交点，画出图形即可得出答案.
22．【答案】（1）平行；
（2）解：①如图，线段 在直线 上，
平移之后与圆相交，得到的弦为 ，
过点O作 于点H，交弦 于点
则 ，
设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
令 ，可知直线与x轴交点C的坐标为 ，
∵直线与x轴夹角为 ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
在 中，
∴ ．
②假设存在这样的点 满足要求，如图
∴A点坐标为 ，
∵
∴ ，
∴
∵ ，
所以 无解，
故不存在．
（3）； 或
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）根据平移的特点可知两条弦的位置关系为平行，根据“平移距离”的定义可知 为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（3）根据题意可知点B是以点A为圆心，半径为 的圆上的点，
如图，连接OA，
∴ ，
∵点A在⊙O上，
∴ ，
，
∵
∴ ，即 ；
当 取最小值时，有两种情况如图，
同（2）①方法，即可求出 ， ．
故 取最小值时B点坐标为 或 ．
【分析】（1）利用平移的性质，可得到两条弦的位置关系；再利用根据“平移距离”的定义，可得答案.
（2）①根据题意画出图象，利用线段在直线y=x+2上，利用平移的性质，可知平移之后的弦A'B'与圆相交，可得到A'B'∥AB，过点O作OH⊥AB于点H，交A'B'于点P，可推出OP⊥A'B'，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，由y=0求出对应的x的值，可得点C的坐标，从而可求出OH的长；再利用垂径定理求出A'P的长；然后利用勾股定理求出OP的长，继而可求出d1的值；②假设存在这样的点 （a，a2+4）满足要求，可得到点A的坐标，从而可求出AB的长，根据AB的长建立关于a的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式，可得到方程根的情况，由此可作出判断.
（3）根据题意可知点B是以点A为圆心，半径为 的圆上的点，连接OA，可证得，利用勾股定理求出OA的值，可得到d3的取值范围；当 取最小值时，有两种情况如图，求出d3取最小值时B点坐标点B1，B2的坐标.
23．【答案】（1）解：①
②
③将2个小正方形一边重合，另1个小正方形的两个顶点分别位于前2个小正方形上边的中点处，连接，延长交上方小正方形上边于点A，
设，则，在和中，由勾股定理得： ，解得
∴，
∴最小覆盖圆的直径为．
（2）解：此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线的交点），
∵，，
∴为钝角三角形，此时不是最小覆盖圆，
对于而言，，
故为锐角三角形，
∴其最小覆盖圆为的外接圆，设圆心为点O，直线与交于点M，连接，
∵，
∴，
同理，为锐角三角形，但是此时点F在外接圆外部，不符合题意，
∴点G在内，从而是四边形的最小覆盖圆，因此中转站建在的外接圆圆心处．
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）①以矩形对角线的中点为圆心，对角线长的一半为半径的圆为最小覆盖圆，
则，
故答案为：．
②以三个小正方形的共顶点为圆心，小正方形的对角线为半径的圆为最小覆盖圆，
则，∴，
故答案为：．
【分析】（1）分别利用勾股定理计算即可；
（2）中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．根据是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为的外接圆，所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
24．【答案】（1）2；2；4；圆
（2）解：设直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m﹣1）），
∴DP＝ ，
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R＝2OP＝2 ，
∵直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2 ＝2，
∴（k2+1）m2+2（1﹣k2）m+k2＝0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△＝4（1﹣k2）2﹣4×（k2+1）k2＝﹣12k2+4≥0，
∴﹣ ≤k≤
（3）﹣1≤xE≤2
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，
∴直径为4，
∵A（1，0），OA＝1，
∴点A到⊙O的最小距离d＝1，
点A到⊙O的最大距离D＝3，
∴点A到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵B（﹣ ， ），
∴OB＝ ＝1，
∴点B到⊙O的最小距离d＝BG＝OG﹣OB＝1，
点B到⊙O的最大距离D＝BF＝FO+OB＝2+1＝3，
∴点B到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵C（﹣3，﹣2），
∴OC＝ ＝ ，
∴点C到⊙O的最小距离d＝CD＝OC﹣OD＝ ﹣2，
点C到⊙O的最大距离D＝CE＝OC+OE＝2+ ，
∴点C到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+ ﹣（ ﹣2）＝4；
故答案为2，2，4．
②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP＝ ，
∴点P到⊙O的最小距离d＝2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D＝2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+OP﹣（2﹣OP）＝2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP＝2，
∴OP＝1，
∴ ＝1，
∴x2+y2＝1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ＝ ，
∴点Q到⊙O的最小距离d＝OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D＝OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝OQ+2﹣（OQ﹣2）＝4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；
（ 3 ）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．
由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD＝2，CH＝4，CE＝1，
∵射线OP的解析式为y＝ ，
∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，
当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，
观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：﹣1≤xE≤2．
故答案为：﹣1≤xE≤2
【分析】（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度； ②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2） 设直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m﹣1））， 先判断出 点P在图形G2⊙C内部 ，由点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围。
（3）作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H，由题意可知⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，求出OE，就可得到点O到⊙E的距离跨度为2，观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围。
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