【精品解析】圆与反比例函数—浙教版数学九（上）知识点训练

圆与反比例函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．如图，是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，OP长为半径的圆与x轴相交于点，延长OP交于点，连结AB，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2023九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=（k>0，x>0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=4，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．5
3．（2023九上·石家庄期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y＝x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2时，点P的坐标为（　　）
A．（1，6）和（6，1） B．（2，3）和（3，2）
C．（，3）和（3，） D．（，2）和（2，）
4．（2023·长春）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．6
5．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2020·萧山模拟）如图，以点O为圆心，半径为2的圆与 的图象交于点A，B，若∠AOB＝30°，则k的值为　 　.
7．（2020九上·镇海开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 y = -x 与双曲线 交于A、B两点，P是以点 为圆心，半径长为2的圆上一动点，连结 AP， Q为AP的中点.若线段OQ 长度的最大值为 3.5，则k的值为　 　.
8．（2022·德城模拟）⊙P过坐标原点O，与x轴、y轴相交于点A、B，且OA＝OB＝4，反比例函数的图象经过圆点P，作射线OP，则图中阴影部分面积为　 　
9．（2022·吴兴模拟）如图，反比例函数上有一点A，经过点A的直线，交反比例函数于点C，且，以O为圆心，为半径作圆，的角平分线交于点D，若的面积为12，则　 　.
10．（2021九上·灌云期中）如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是　 　.
三、综合题
11．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
12．（2024九上·昌黎期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数为的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
（1）求n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
13．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A（，1）和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连结BF.
（1）求k的值。
（2）请直接写出图中阴影部分的面积之和。
14．（2022·天河模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.
（1）求双曲线的解析式：
（2）将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
（3）求线段OQ长度的最大值.
15．（2020九上·长沙期中）若一个圆的圆心P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上，则称这个圆为“比心圆”．
（1）当比心圆同时与 轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和⊙P半径；
（2）若比心圆以OP为半径，交 轴和y轴分别为点A和点B，判断△OAB的面积是否为定值？如果是定值请求出，如果不是请说明理由；
（3）若比心圆的半径为1，请直接写出当比心圆与 轴或y轴相交时的圆心P的横坐标 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵过点P作OQ⊥x轴于点Q，如图：
是反比例函数的图象上的一个动点，
∴
∴.
因为点P为圆心，OP为半径，
∴OB=2OP，即.
∵OB为直径，
∴∠OAB=90°，
∴PQ//AB，
∴△OPQ∽△OBA，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过点P作OQ⊥x轴于点Q，根据反比例函数的几何意义得，继而可得△POQ的面积；根据圆周角定理的推论得∠OAB=90°，从而可证明△OPQ∽△OBA，利用相似三角形面积的性质即可求出△OAB的面积.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由题意可得：
A点纵坐标为1，b点横坐标为1
则A点横坐标为：x=k，B点纵坐标为：y=k
∴A（k，1），B（1，k）
∴C（1，1）
则AC=k-1，BC=k-1
∴
解得：k=5或-3（舍去）
故答案为：D
【分析】过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由圆的性质可知A点纵坐标为1，b点横坐标为1，代入函数解析式可求出A，B点坐标，则AC=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB
∴
∴PH=2
作PM⊥x轴交直线AB于点C
设OM=a，则CM=a
∵
∴P
∴
解得：
∴P
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P
故答案为：C
【分析】当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，根据垂径定理可得，则PH=2，作PM⊥x轴交直线AB于点C，设OM=a，则CM=a，可得P，再将点P坐标代入反比例函数解析式可求出P点坐标，当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P，即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A、B作y轴、x轴的垂线，如图所示：
由题意得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，
设A（k，1），B（1，k），
∴C（1，1），
∴CA=k-1，BC=k-1，
由勾股定理得，
解得k=4，
故答案为：C
【分析】过点A、B作y轴、x轴的垂线，进而得到点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，再根据反比例函数的性质设A（k，1），B（1，k），进而得到C（1，1），CA=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出k。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
6．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一三象限角平分线对称，即关于直线y＝x对称，可得，
△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON＝ （90°﹣30°）＝30°，
在Rt△BON中，
∵OB＝2，
∴BN＝2×sin30°＝1，ON＝2×cos30°＝ ，
∴B（ ，1）
∴k＝ ，
故答案为： .
【分析】利用对称性，可得OM＝ON，∠AOM＝∠BON＝30°，再利用解直角三角形，求出ON，BN，确定点B的坐标，求出k的值.
7．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP，
∵ 直线 y = -x 与双曲线 交于A、B两点，
∴点O是AB的中点，
∵点Q为AP的中点
∴OQ是△APB的中位线，
∴OQ=BP
∵线段OQ的最大值为3.5
∴当P，B，C在同一直线上时，BP的值最大即OQ的长最大，
∴PB=7，
∴BC=7-2=5，
设点B（x，-x）
∴
解之：x1=，x2=
∴点B
∴
故答案为：.
【分析】连接BP，利用函数的对称性可证OQ是△APB的中位线，利用三角形中位线定理由已知线段OQ的最大值为3.5，可知当P，B，C在同一直线上时，BP的值最大即OQ的长最大，即可求出PB的长，从而可求出BC的长，设点B（x，-x），利用两点之间的距离公式建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点B的坐标，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值。
8．【答案】2π+4
【知识点】反比例函数的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：连接OA，过点P作垂足为H，
反比例函数，
，
，
由垂径定理可知：，
，
，
，
，
，
，
根据图形的对称性可将阴影部分转换为，
．
故答案为：2π+4．
【分析】根据图形对称性将阴影部分面积进行分割为扇形和三角形，利用反比例函数的几何意义可求圆的半径以及扇形圆心角，算出面积加和即可
9．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作交于点E，过点C作于点F，过点O作于点P，
∵AD为的角平分线，
∴ ，
∵OA=OD，
∴ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
设点A坐标为（a，），
∴OE=a，AE=，
∵，，
∴ ，
∴，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵点C在反比例函数上，
∴ ，
则 ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵，
∴，
∴ .
故答案为：.
【分析】如图，过点A作AE⊥OB交于点E，过点C作CF⊥OB于点F，过点O作OP⊥AB于点P，由角平分线定义和等边对等角可得∠BAD=∠ODA，根据内错角相等两直线平行可得AB∥OD，于是由S△ABD=AB×OP=12可得AB×OP的值，设点A坐标为（a，），由辅助线的做法易得AE∥CF，然后根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，得比例式，可将CF用含a、k的代数式表示出来，根据点C在反比例函数图象上可将OF用含a的代数式表示出来，由线段的构成EF=OF-OE可将EF用含a的代数式表示出来，同理OB=OF+BF可将OB用含a的代数式表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，则得比例式，于是OP×AB=AE×OB可得关于k的方程，解之可求解.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：
∵OA是圆的直径
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y轴于点D
∴BD=OD
设点A的坐标为 ，则 ，
∵CD⊥y轴于点D，且点C在 的图象上，
∴点C的坐标为
∴
化简，得
解得 或 （舍去）
则A的坐标为
∴
故答案为： .
【分析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，由圆周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根据勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根据可得OC=OB，推出BD=OD，设A（m，），则B（0，），D（0，），C（2m，），然后根据OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到点A的坐标，进而可求出OA的长.
11．【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
12．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）x的取值范围为：和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质
【解析】【解答】（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）连接，根据切线性质可得，轴，轴， 可设点C的坐标为，代入反比例函数解析式可得点B的坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标， 当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
13．【答案】（1）解：
将代入中，
得，
解得：
（2）解：解：过点作的垂线，垂足为，
，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数：；
，
，
，
由菱形知，，
，
，
【知识点】反比例函数的实际应用；勾股定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）将代入中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，然后计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及的几何意义求出，从而计算即可．
14．【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；
（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）将点A（1，a）代入直线y=x得到a=1，从而得出k的值；
（2）连接OC，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先求出OC的长，再利用平行线的性质及切线的性质可得OD的长，再利用等腰直角三角形的性质可得DH的长，最后求出OH的长，即可得到m的值，从而得解；
（3）当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，利用两点之间的距离公式可得，求出，即可得到。
15．【答案】（1）解：如图所示，连接OP、PA、PB
∵比心圆同时与 轴和y轴相切
∴PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB，
∴点P处 ，
∴ ，解得 ，
∵P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上
∴圆心P（2，2），半径PA=2
（2）解：如图2，在 的图像上任取一点P，设P点坐标为 ，过P作PE⊥y轴，PF⊥轴，
∴ ，
∴ ，
∵由圆的性质可知OA=OP=OB，
∴ ，
∴ ，
∵P在 的图像上，
∴ ，
∴△OAB的面积是为定值，且 ；
（3）解：如图3，比心圆的半径为1，且与 轴或y轴相交，
情况一：与y轴相交，P距离y轴的距离，即横坐标大于零，小于1，此时x的取值范围：0情况二：与x轴相交，P距离x轴的距离，即纵坐标大于零，小于1，此时 ，解得x>4，即此时x的取值范围：x>4，
综上：x的取值范围：04.
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据比心圆同时与 轴和y轴相切，可得 PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB， 再联立解析式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式及圆的性质求解即可；
（3）分类讨论， ①与y轴相交，P距离y轴的距离；② 与x轴相交，P距离x轴的距离，进行作答即可。
1 / 1圆与反比例函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．如图，是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，OP长为半径的圆与x轴相交于点，延长OP交于点，连结AB，则的面积为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵过点P作OQ⊥x轴于点Q，如图：
是反比例函数的图象上的一个动点，
∴
∴.
因为点P为圆心，OP为半径，
∴OB=2OP，即.
∵OB为直径，
∴∠OAB=90°，
∴PQ//AB，
∴△OPQ∽△OBA，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过点P作OQ⊥x轴于点Q，根据反比例函数的几何意义得，继而可得△POQ的面积；根据圆周角定理的推论得∠OAB=90°，从而可证明△OPQ∽△OBA，利用相似三角形面积的性质即可求出△OAB的面积.
2．（2023九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=（k>0，x>0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=4，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由题意可得：
A点纵坐标为1，b点横坐标为1
则A点横坐标为：x=k，B点纵坐标为：y=k
∴A（k，1），B（1，k）
∴C（1，1）
则AC=k-1，BC=k-1
∴
解得：k=5或-3（舍去）
故答案为：D
【分析】过点A，B分别作y，x轴的垂线，垂足分别为E，D，AE，BD交于点C，由圆的性质可知A点纵坐标为1，b点横坐标为1，代入函数解析式可求出A，B点坐标，则AC=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出答案.
3．（2023九上·石家庄期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y＝x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2时，点P的坐标为（　　）
A．（1，6）和（6，1） B．（2，3）和（3，2）
C．（，3）和（3，） D．（，2）和（2，）
【答案】C
【知识点】反比例函数-动态几何问题；圆-动点问题
【解析】【解答】解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB
∴
∴PH=2
作PM⊥x轴交直线AB于点C
设OM=a，则CM=a
∵
∴P
∴
解得：
∴P
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P
故答案为：C
【分析】当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，根据垂径定理可得，则PH=2，作PM⊥x轴交直线AB于点C，设OM=a，则CM=a，可得P，再将点P坐标代入反比例函数解析式可求出P点坐标，当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P，即可求出答案.
4．（2023·长春）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A、B作y轴、x轴的垂线，如图所示：
由题意得点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，
设A（k，1），B（1，k），
∴C（1，1），
∴CA=k-1，BC=k-1，
由勾股定理得，
解得k=4，
故答案为：C
【分析】过点A、B作y轴、x轴的垂线，进而得到点A的纵坐标为1，点B的横坐标为1，再根据反比例函数的性质设A（k，1），B（1，k），进而得到C（1，1），CA=k-1，BC=k-1，再根据勾股定理即可求出k。
5．（2022·大方模拟）如图，的斜边OB落在x轴上，，，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作，交圆弧于点E．若反比例函数的图像经过点E，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，如图所示：
由题意得四边形CMHE是矩形，
∵，，
∴，
∴OE=4，
∵，CM⊥OB，
∴，
∵四边形CMHE是矩形，
∴EH=CM=2，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EH⊥OB，CM⊥OB，连接OE，先根据等腰直角三角形的性质得到，进而结合题意根据矩形的性质得到EH=CM=2，再运用勾股定理求出OH，从而得到点E的坐标，最后代入反比例函数解析式即可求解。
二、填空题
6．（2020·萧山模拟）如图，以点O为圆心，半径为2的圆与 的图象交于点A，B，若∠AOB＝30°，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一三象限角平分线对称，即关于直线y＝x对称，可得，
△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON＝ （90°﹣30°）＝30°，
在Rt△BON中，
∵OB＝2，
∴BN＝2×sin30°＝1，ON＝2×cos30°＝ ，
∴B（ ，1）
∴k＝ ，
故答案为： .
【分析】利用对称性，可得OM＝ON，∠AOM＝∠BON＝30°，再利用解直角三角形，求出ON，BN，确定点B的坐标，求出k的值.
7．（2020九上·镇海开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 y = -x 与双曲线 交于A、B两点，P是以点 为圆心，半径长为2的圆上一动点，连结 AP， Q为AP的中点.若线段OQ 长度的最大值为 3.5，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BP，
∵ 直线 y = -x 与双曲线 交于A、B两点，
∴点O是AB的中点，
∵点Q为AP的中点
∴OQ是△APB的中位线，
∴OQ=BP
∵线段OQ的最大值为3.5
∴当P，B，C在同一直线上时，BP的值最大即OQ的长最大，
∴PB=7，
∴BC=7-2=5，
设点B（x，-x）
∴
解之：x1=，x2=
∴点B
∴
故答案为：.
【分析】连接BP，利用函数的对称性可证OQ是△APB的中位线，利用三角形中位线定理由已知线段OQ的最大值为3.5，可知当P，B，C在同一直线上时，BP的值最大即OQ的长最大，即可求出PB的长，从而可求出BC的长，设点B（x，-x），利用两点之间的距离公式建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点B的坐标，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值。
8．（2022·德城模拟）⊙P过坐标原点O，与x轴、y轴相交于点A、B，且OA＝OB＝4，反比例函数的图象经过圆点P，作射线OP，则图中阴影部分面积为　 　
【答案】2π+4
【知识点】反比例函数的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：连接OA，过点P作垂足为H，
反比例函数，
，
，
由垂径定理可知：，
，
，
，
，
，
，
根据图形的对称性可将阴影部分转换为，
．
故答案为：2π+4．
【分析】根据图形对称性将阴影部分面积进行分割为扇形和三角形，利用反比例函数的几何意义可求圆的半径以及扇形圆心角，算出面积加和即可
9．（2022·吴兴模拟）如图，反比例函数上有一点A，经过点A的直线，交反比例函数于点C，且，以O为圆心，为半径作圆，的角平分线交于点D，若的面积为12，则　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作交于点E，过点C作于点F，过点O作于点P，
∵AD为的角平分线，
∴ ，
∵OA=OD，
∴ ，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
设点A坐标为（a，），
∴OE=a，AE=，
∵，，
∴ ，
∴，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵点C在反比例函数上，
∴ ，
则 ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵，
∴，
∴ .
故答案为：.
【分析】如图，过点A作AE⊥OB交于点E，过点C作CF⊥OB于点F，过点O作OP⊥AB于点P，由角平分线定义和等边对等角可得∠BAD=∠ODA，根据内错角相等两直线平行可得AB∥OD，于是由S△ABD=AB×OP=12可得AB×OP的值，设点A坐标为（a，），由辅助线的做法易得AE∥CF，然后根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得，得比例式，可将CF用含a、k的代数式表示出来，根据点C在反比例函数图象上可将OF用含a的代数式表示出来，由线段的构成EF=OF-OE可将EF用含a的代数式表示出来，同理OB=OF+BF可将OB用含a的代数式表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，则得比例式，于是OP×AB=AE×OB可得关于k的方程，解之可求解.
10．（2021九上·灌云期中）如图，点 在反比例函数图象 上，以 为直径的圆交该双曲线于点 ，交 轴于点 ，若 ，则该圆的直径长是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示：
∵OA是圆的直径
∴∠ABO=∠ACO=90°
∴
∴
∵
∴OC=OB
∵CD⊥y轴于点D
∴BD=OD
设点A的坐标为 ，则 ，
∵CD⊥y轴于点D，且点C在 的图象上，
∴点C的坐标为
∴
化简，得
解得 或 （舍去）
则A的坐标为
∴
故答案为： .
【分析】连接AB、AC、BC、OC，过点C作CD⊥y轴于点D，由圆周角定理可得∠ABO=∠ACO=90°，根据勾股定理可得OC2+AC2=AB2+OB2，根据可得OC=OB，推出BD=OD，设A（m，），则B（0，），D（0，），C（2m，），然后根据OC2+AC2=AB2+OB2可求出m的值，得到点A的坐标，进而可求出OA的长.
三、综合题
11．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
12．（2024九上·昌黎期末）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数为的图像上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B．
（1）求n的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）x的取值范围为：和．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质
【解析】【解答】（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）连接，根据切线性质可得，轴，轴， 可设点C的坐标为，代入反比例函数解析式可得点B的坐标为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标， 当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：在中，当时，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵以点为圆心的圆与轴，轴分别相切于点，
∴，轴，轴，
∴可设点C的坐标为，
∴，
∴或（负值舍去），
∴点B的坐标为，
将点、代入中，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
（3）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为和，
∴当时，x的取值范围为：和．
13．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A（，1）和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连结BF.
（1）求k的值。
（2）请直接写出图中阴影部分的面积之和。
【答案】（1）解：
将代入中，
得，
解得：
（2）解：解：过点作的垂线，垂足为，
，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数：；
，
，
，
由菱形知，，
，
，
【知识点】反比例函数的实际应用；勾股定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）将代入中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，然后计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及的几何意义求出，从而计算即可．
14．（2022·天河模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.
（1）求双曲线的解析式：
（2）将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值
（3）求线段OQ长度的最大值.
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上，
∴a=1，
∴点A的坐标为（1，1），
∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由题意得平移后的直线解析式为，
如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，
∴点H的坐标为（0，m）
∴OH=m，
∵点C（-2，2），
∴CE=OE=2，
∴∠COE=45°，
∴∠DOH=45°，
同理可证∠BOE=45°，
∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB，
∵直线与直线AB平行，
∴OC与直线垂直，
又∵直线与圆C相切于点C，
∴CD与直线垂直，
∴C、O、D三点共线，
∵圆C的半径为1，
∴，
∵∠ODH=90°，∠DOH=45°，
∴∠DHO=45°，
∴，
∴，
∴
同理当切点D在圆O上方时可以求得，
综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或；
（3）解：如图所示，连接PB，PC，BC，
由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，
∴点B的坐标为（-1，-1），
∵Q是AP的中点，
∴OQ是△APB的中位线，
∴，
∴要想OQ最大，则PB最大，
∵，
∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，
∵点C（-2，2），点B（-1，-1），
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）将点A（1，a）代入直线y=x得到a=1，从而得出k的值；
（2）连接OC，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先求出OC的长，再利用平行线的性质及切线的性质可得OD的长，再利用等腰直角三角形的性质可得DH的长，最后求出OH的长，即可得到m的值，从而得解；
（3）当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC，利用两点之间的距离公式可得，求出，即可得到。
15．（2020九上·长沙期中）若一个圆的圆心P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上，则称这个圆为“比心圆”．
（1）当比心圆同时与 轴和y轴相切时，求圆心P的坐标和⊙P半径；
（2）若比心圆以OP为半径，交 轴和y轴分别为点A和点B，判断△OAB的面积是否为定值？如果是定值请求出，如果不是请说明理由；
（3）若比心圆的半径为1，请直接写出当比心圆与 轴或y轴相交时的圆心P的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示，连接OP、PA、PB
∵比心圆同时与 轴和y轴相切
∴PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB，
∴点P处 ，
∴ ，解得 ，
∵P（ ，y）落在反比例函数 在第一象限的图象上
∴圆心P（2，2），半径PA=2
（2）解：如图2，在 的图像上任取一点P，设P点坐标为 ，过P作PE⊥y轴，PF⊥轴，
∴ ，
∴ ，
∵由圆的性质可知OA=OP=OB，
∴ ，
∴ ，
∵P在 的图像上，
∴ ，
∴△OAB的面积是为定值，且 ；
（3）解：如图3，比心圆的半径为1，且与 轴或y轴相交，
情况一：与y轴相交，P距离y轴的距离，即横坐标大于零，小于1，此时x的取值范围：0情况二：与x轴相交，P距离x轴的距离，即纵坐标大于零，小于1，此时 ，解得x>4，即此时x的取值范围：x>4，
综上：x的取值范围：04.
【知识点】三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据比心圆同时与 轴和y轴相切，可得 PA⊥y轴，PB⊥x轴，且PA=PB， 再联立解析式求解即可；
（2）根据三角形的面积公式及圆的性质求解即可；
（3）分类讨论， ①与y轴相交，P距离y轴的距离；② 与x轴相交，P距离x轴的距离，进行作答即可。
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