圆与二次函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．如图 ， 动点 在线段 上（不与点 重合）， 1． 分别以 为直径作半圆， 记图中所示的阴影部分面积为 ， 线段 的长为 ． 当点 从点 移动到点 时， 随 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
4．（2023九上·宿城期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·莲都期中）如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
7．（2020·萧山模拟）如图，抛物线y＝ x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
8．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．（2023九上·新昌期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为y＝x2－2x－6，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
10．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
11．（2023九上·舟山期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
12．（2023九上·杭州期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
13．（2022九上·苍南期中）如图， 在直角坐标系中， 抛物线交轴于点， 点是点 关于对称轴的对称点， 点是抛物线的顶点， 若的外接圆经过原点， 则点的坐标为 .
三、解答题
14．（2023九上·临平月考）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
15．（2020九上·绍兴月考）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长.
16．（2024九上·杭州期中）阅读素材，完成任务
如何确定灌溉方案
素材一 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得.
素材二 现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决（利用素材1完成任务1和任务2，结合素材2完成任务3）
任务1 确定喷枪的高度 求OP的长
任务2 拟定方案1 一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米
17．如图，已知AC=6cm，∠GAC=90°，AD 是∠GAC的平分线。动点N 从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动。连结MN，交AD于点E.经过A，M，N三点作圆，交AD于点F，连结FM，FN.设运动时间为t（s），其中0（1）用含t的代数式表示线段MN的长，并求MN的最小值。
（2）是否存在实数t，使得线段AE的长度有最大值？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
18．（2021九上·杭州期中）如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2020九上·海曙期末）如图1，已知抛物线y= x2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为OQ的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧AB上的一个动点．
（1）直接写出点P，A，B的坐标：P ；A ；B 。
（2）求tan∠ACB的值
（3）将抛物线y= x2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若BC经过点D时，求线段AC，PC的长；
（4）若BC的中点为EAE交翻折后的抛物线于点F，直接写出AE的最大值和此时点F的坐标。
20．（2022九上·绍兴月考）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，与“蛋圆”中的抛物线 交于B，C两点.
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长.
（2）“蛋圆”上是否存在点P使是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，的面积记为，△ABF的面积记为，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；圆的面积
【解析】【解答】解：∵AB=1，AP=x，
∴BP=1-x.
∴
.
∵，
∴有最大值，
故阴影面积的最大值为.
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的最大值.
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意得：
与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，交于G，连接，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，
∵当时，
解得：，，
∴，，
∴，
∴为的中点，而F为的中点，
∴，
∴F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，
当A，F，G三点共线时，最短，
此时，
∴的最小值为：，
故答案为：C.
【分析】连接CD，交⊙C于G，连接GF、CE，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D（1，-4），则CD=4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2，推出GF为△CDE的中位线，则GF=CE=1，故当A，F，G三点共线时，AF最短，据此求解.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是.
故答案为：C.
【分析】连接BP， 利用y＝x2-4求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理可得OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，由勾股定理求出BC的长，利用BP'=BC+CP'即可求解.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
7．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：令y＝ x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝ BD＝ （BC﹣r）＝ （ ﹣1）＝2，
故答案为：D.
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
9．【答案】2＋6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；垂径定理
【解析】【解答】解：因为AB为“果园”中的抛物线与x轴的交点，则令y=0，得：即解得：则圆心M的坐标为圆的半径即由勾股定理可得：
即点D为抛物线与y轴的交点，令x=0得y=-6，即点D所以
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质、抛物线的图像和性质，为AB为“果园”中的抛物线与x轴的交点，则令y=0，解得则圆心M的坐标为圆的半径即由勾股定理可得：即令x=0得y=-6，即点D所以
10．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令y=0，可得x=4或-4，则OA=OB=4，
∵O、Q分别为AB、PA中点，
∴OQ=PB，
当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值，
BP=BC+PC=+PC=7，
∴OQ=3.5
故答案为：3.5.
【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ=PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得OB长；在直角三角形BOC中根据勾股定理可求出BC长为5，进一步求出BP长7，即可得出OQ最大值3.5.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，
抛物线的对称轴为直线，
当x=0时y=2，
∴点A（0，2），
∵点A，B关于对称轴对称，
∴点B（4，2），AB∥x轴，
∴∠OAB=90°，
∵∵的外接圆经过原点，
∴OB圆O′的直径，点O′的坐标为（2，1）；
∴，
O′B=O′C=；
∴点C（2，）.
故答案为：（2，）
【分析】连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由x=0求出对应得y的值，可得到点A的坐标，利用二次函数的对称性可求出点B的坐标，利用圆周角定理可证得OB圆O′的直径，同时可求出点O′的坐标；利用勾股定理求出OB的长，即可得到O′C的长，据此可求出点C的坐标.
14．【答案】（1）解：∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD，
∴∠EAD＝90°，∠AED＝∠ADE＝45°，
∵，
∴∠ADE＝∠AFE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵，
∴∠ADB＝∠AEF，
∵AE＝AD，
∴△ABD≌△AFE（AAS）；
（2）解：①∵△ABD≌△AFE，
∴BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BF＝＝8，
∵BE2＝EF2+BF2，8＜BE≤4，
∴128＜EF2+82≤208，
∴64＜EF2≤144，
∴8＜EF≤12，即8＜BD≤12．
②设BD＝x，则EF＝x，DF＝x﹣8，则
S＝＝＝[x2+（x﹣8）2]＝（x﹣4）+8＝，
∵＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x＝4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
(1)证明∠ABD＝∠AFE，∠ADB＝∠AEF，结合AD=AE，运用AAS可证明△ABD≌△AFE．
(2)①由△ABD≌△AFE可得BD=EF，所以求出EF的范围可得BD的范围。先计算出BF，再根据BE2＝EF2+BF2和，可求出BE的范围。
②设BD＝x，得出S与x的关系式，根据关系式确定S的范围即可。
15．【答案】解：∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，
∴点D的坐标为(0， 3)，
∴OD的长为3，
设y=0，则0=(x-1)2-4，解得：x= 1或3，
∴A( 1，0)，B(3，0)
∴AO=1，BO=3
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO BO=3，∴CO=
∴CD=CO+OD=3+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用函数解析式可得到抛物线的顶点D的坐标，由此可求出OD的长；由y=0建立关于x的方程解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，就可求出AO，BO的长，利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用相似三角形的判定和性质可求出OC的长，然后根据CD=CO+OD，求出CD的长。
16．【答案】解：任务1：
∴B(10，0)，
将B(10，0)代入 得：
解得：
∴OP的长为
任务2：当 时，
解得： (舍去) ，
∴最大半径为：
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG，
∵DG是⊙O的直径，
在 中，
∴，
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12，
把(12，0)代入 得：
解得：
，
∴喷水□P应至少上升 米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：把点B坐标代入 求出c值可得点P坐标，即可得答案；
任务2：把 代入 求出x的值即可得答案；
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG， 根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得，利用三角函数求出DG的长， 确定出⊙O半径为12， 把(12，0)代入求出c值，进而可得答案.
17．【答案】（1）解：∵ 动点N 从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动，设运动时间为t（s），
∴CN=AM=t，AN=6-t，
∵∠GAC=90°，
∴
当t=3时，MN的最小值为.
（2）解：存在，t= 3
理由：过点E作EH⊥AC于点H，
∵AD 是∠GAC的平分线，
∴∠FAC=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH，
∴
∵∠EHN=∠MAC=90°，
∴MA∥EH，
∴△NEH∽△NMA，
∴
设EH=AH=x，NH=6-t-x，
∴
解之：，
∴，
∵a＜0，
∴当t=3时AE的长度的最大值为.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用两个点的运动方向和速度，可表示出AM，AN的长，再利用勾股定理可得到MN关于t的关系式，再利用二次函数的性质可求解.
（2）过点E作EH⊥AC于点H，利用角平分线的定义去证明△AEH是等腰直角三角形，可证得EH=AH，；再证明MA∥EH，可推出△NEH∽△NMA，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，设EH=AH=x，NH=6-t-x，可得到关于x，t的方程，解方程求出x的值，将其代入，可得到AE关于t的函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
18．【答案】（1）解：∵抛物线y＝-x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴， 解得
抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）解：如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）解：由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与相似，则或，此时，
，
①当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出，抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，再令、即可求得点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点，设M（1，m），根据两点间的距离公式，即可求得的半径和圆心的坐标；
（3）先算出，再求出直线的函数解析式，设，表示出，分两种情况讨论：①和②，然后根据相似三角形的性质求解即可．
19．【答案】（1）(0，2)；(-4，0)；(4，0)
（2）解：连结MA，MB
设⊙M半径为r，则MP=MA=MB=r
∵在R△OMB中，MB=r，OB=4，OM=r-2，
由勾股定理可得，r2=42+(r-2)2，解得r=5
∵MA=MB，MO⊥AB
∴∠AMO=∠BMO= ∠AMB
∵在⊙M中，∠ACB= ∠AMB
∴∠ACB=∠OMB
tan∠ OMB=
tan∠ACB=
（3）解：连结AD
AD=BD=42
CD=AD．tan∠ACB=3
AC=5
过点C作y轴垂线CH
可证△BOD∽△CHD，可求
∴CH=3，DH=3
PH=9
∴PC=
（4）解：如图，
由题意可知点M（0，-3），
当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，
∴BE的长始终为BC的一半，
∴点E的运动路径也是圆弧OMB，这条弧的半径为，
∴NE=2.5
当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，
弧OMB的圆心N（2，），
过点N作NH⊥AB于点N，AE交y轴于点G，
∴AG=，
∵NH∥OG，
∴△AOG∽△AHN，
∴即
解之：
∴AE的最大值为AN+NE=；
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
解之：x1=3，x2=-4（舍去）
当x=3时y=
∴点F.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当y=0时， x2+4=0
∴x2=16
解之：x=±4
∴点A（-4，0），点B（4，0）
当x=0时，y=4，
∴OQ=4，
∵点P为OQ的中点，
∴OP=OQ=2.
∴点P（0，2）
故答案为：（0，2）；（-4，0）；（4，0）.
【分析】（1）由x=0可求出y的值，即可得到OQ的长，再根据点P为OQ的中点求出PO的长，即可得到点P的坐标；由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标。
（2）连结MA，MB，设圆的半径为r，可得到MP=MA=MB=r，用含r的代数式表示出OM的长，再在Rt△OMB中，利用勾股定理求出r的长， 利用垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，可证得 ∠BMO= ∠AMB，再利用圆周角定理证明∠ACB= ∠AMB，从而可以推出∠ACB=∠OMB，然后利用锐角三角函数的定义即可求解。
（3）连接AD，易证CD=BD=AD，利用解直角三角形求出AC的长，再证明△BOD∽△CHD，利用相似三角形的对应边成比例，求出CH，PH的长，然后利用勾股定理求出PC的长。
（4）由题意可知点M（0，-3），当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，BE的长始终为BC的一半，点E的运动路径也是圆弧OMB，利用勾股定理求出这条弧的半径，由此可得到当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，可得到圆心N的坐标，利用勾股定理求出AG的长，再利用相似三角形的判定和性质求出AN的长，即可求出AE的最大值；利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，再将AC和抛物线的解析式联立方程组求出符合题意的x的值。将x的值代入直线AC的函数解析式求出对应的y的值，即可得到点F的坐标。
20．【答案】（1）解：∵直线交坐标轴 B，C两点，
∴，，
∵抛物线过B，C两点，
∴，
解得：，
即；
BD=5
（2）解：存在，点P坐标为，，，
（3）解：如图3，
∵，，
∴，
过点E作交x轴于G，
∵的边上的高和的边的高相等，设高为h，
∴，，
∴，
∵的最小值，即最小，
∵，
∴，
∴当最大时，即最小，的最小值，
∴和“蛋圆”的抛物线部分只有一个交点时，最大，
∵直线的解析式为，
设直线EG的解析式为①，
∵抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
∴，抛物线和直线只有一个交点.
解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴交点坐标，
∴，
∴，
∴的最小值为.
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1） ∵直线交坐标轴 B，C两点，
∴，，
∵抛物线过B，C两点，
∴，
解得：，
即；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴抛物线与x轴交点，
∴，
如图1，记半圆的圆心为，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）存在，点P坐标为，，，，
理由如下：
如图2，
，，，
若为等腰三角形，
①当时，设点，
则有，
解得：（不合条件的值已舍去），
∴，
∴，
②当时，设点，
则有，
解得：（不合条件的值已舍去），
∴，
∴
③当时，点P在的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为，
∵半圆的半径为，，
∴，，
综上所述，点P坐标为，，，；
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；
（2）若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：①AP＝AP，②CP＝AC，③AP＝CP，结合背景图形求解即可；
（3）先判断出要求 的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．
1 / 1圆与二次函数—浙教版数学九（上）知识点训练
一、选择题
1．如图 ， 动点 在线段 上（不与点 重合）， 1． 分别以 为直径作半圆， 记图中所示的阴影部分面积为 ， 线段 的长为 ． 当点 从点 移动到点 时， 随 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；圆的面积
【解析】【解答】解：∵AB=1，AP=x，
∴BP=1-x.
∴
.
∵，
∴有最大值，
故阴影面积的最大值为.
故答案为：D.
【分析】根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的最大值.
2．（2021九上·温州期中）如图，函数 的图象与x轴交于A，B两点，点C是以 为圆心，2为半径的圆上的动点，P是 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接MC，BC，BM，
当y=0时-x2+12=0
解之：
∴
∴OA=OB=；
∵点P为AC的中点，
∴OP为△ABC的中位线，
∴，
要使OP最小，则BC最小时，OP取最小值，
∴BC+MC≥BM，即BM-CM≤BC，
∴当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小，
在Rt△BOM中，
MB=，
∵MC=2，
∴BC的最小值为BM-CM=4-2=2，
∴OP的最小值为1.
故答案为：A.
【分析】连接MC，BC，BM，由y=0可求出对应的x的值，可得到OA=OB=；利用三角形的中位线定理可证得，当BC最小时，OP取最小值，利用三角形的三边关系定理可知BM-CM≤BC，当点C，B，M在同一条直线上时，BC的值最小；利用勾股定理求出BM的长，根据BC的最小值为BM-CM，代入计算可求解.
3．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】由题意得：
与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解.
4．（2023九上·宿城期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接，交于G，连接，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，
∵当时，
解得：，，
∴，，
∴，
∴为的中点，而F为的中点，
∴，
∴F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动，
当A，F，G三点共线时，最短，
此时，
∴的最小值为：，
故答案为：C.
【分析】连接CD，交⊙C于G，连接GF、CE，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D（1，-4），则CD=4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2，推出GF为△CDE的中位线，则GF=CE=1，故当A，F，G三点共线时，AF最短，据此求解.
5．（2022九上·莲都期中）如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是.
故答案为：C.
【分析】连接BP， 利用y＝x2-4求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理可得OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，由勾股定理求出BC的长，利用BP'=BC+CP'即可求解.
6．（2021九上·乐清期末）图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
7．（2020·萧山模拟）如图，抛物线y＝ x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：令y＝ x2﹣1＝0，则x＝±3，
故点B（3，0），
设圆的半径为r，则r＝1，
当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，
而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，
则OE＝ BD＝ （BC﹣r）＝ （ ﹣1）＝2，
故答案为：D.
【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解.
8．（2024·攀枝花模拟）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法：
点在上；
；
当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为；
线段的长可以是．
其中正确说法的个数为( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数的其他应用；圆-动点问题
【解析】【解答】解：抛物线与坐标轴交于点，，，
，，，
点，的半径为，
，
顶点的坐标为：，
，
点在上．
，故点不在上，故不正确；
圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点．
，故正确；
图中实点、、、是点运动中所处的位置，
则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形，
当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接，
则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，
则运动的路径长，故正确；
由得，当点运动到点的位置时，的长最大，
最大值为，
线段的长不可以是，故不正确．
故正确说法有：．
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合而成函数的图象与性质得到，，顶点，①根据勾股定理求出，进而即可求解；②根据垂径定理结合题意即可求解；③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，进而即可求解；④结合题意运用勾股定理即可求解。
二、填空题
9．（2023九上·新昌期中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为y＝x2－2x－6，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 ．
【答案】2＋6
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；垂径定理
【解析】【解答】解：因为AB为“果园”中的抛物线与x轴的交点，则令y=0，得：即解得：则圆心M的坐标为圆的半径即由勾股定理可得：
即点D为抛物线与y轴的交点，令x=0得y=-6，即点D所以
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象和性质、抛物线的图像和性质，为AB为“果园”中的抛物线与x轴的交点，则令y=0，解得则圆心M的坐标为圆的半径即由勾股定理可得：即令x=0得y=-6，即点D所以
10．（2023九上·乐清期中）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
11．（2023九上·舟山期末）已知：如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为，
故答案为：．
【分析】求出、两点的坐标，连接，取的中点，连接，，利用勾股定理得到，可得长， 利用中位线定理得出的值，然后根据三角形三遍关系的应用得到的最小值即可．
12．（2023九上·杭州期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令y=0，可得x=4或-4，则OA=OB=4，
∵O、Q分别为AB、PA中点，
∴OQ=PB，
当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值，
BP=BC+PC=+PC=7，
∴OQ=3.5
故答案为：3.5.
【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ=PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得OB长；在直角三角形BOC中根据勾股定理可求出BC长为5，进一步求出BP长7，即可得出OQ最大值3.5.
13．（2022九上·苍南期中）如图， 在直角坐标系中， 抛物线交轴于点， 点是点 关于对称轴的对称点， 点是抛物线的顶点， 若的外接圆经过原点， 则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，
抛物线的对称轴为直线，
当x=0时y=2，
∴点A（0，2），
∵点A，B关于对称轴对称，
∴点B（4，2），AB∥x轴，
∴∠OAB=90°，
∵∵的外接圆经过原点，
∴OB圆O′的直径，点O′的坐标为（2，1）；
∴，
O′B=O′C=；
∴点C（2，）.
故答案为：（2，）
【分析】连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由x=0求出对应得y的值，可得到点A的坐标，利用二次函数的对称性可求出点B的坐标，利用圆周角定理可证得OB圆O′的直径，同时可求出点O′的坐标；利用勾股定理求出OB的长，即可得到O′C的长，据此可求出点C的坐标.
三、解答题
14．（2023九上·临平月考）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
【答案】（1）解：∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD，
∴∠EAD＝90°，∠AED＝∠ADE＝45°，
∵，
∴∠ADE＝∠AFE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵，
∴∠ADB＝∠AEF，
∵AE＝AD，
∴△ABD≌△AFE（AAS）；
（2）解：①∵△ABD≌△AFE，
∴BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BF＝＝8，
∵BE2＝EF2+BF2，8＜BE≤4，
∴128＜EF2+82≤208，
∴64＜EF2≤144，
∴8＜EF≤12，即8＜BD≤12．
②设BD＝x，则EF＝x，DF＝x﹣8，则
S＝＝＝[x2+（x﹣8）2]＝（x﹣4）+8＝，
∵＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x＝4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
【知识点】勾股定理的应用；圆周角定理；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
(1)证明∠ABD＝∠AFE，∠ADB＝∠AEF，结合AD=AE，运用AAS可证明△ABD≌△AFE．
(2)①由△ABD≌△AFE可得BD=EF，所以求出EF的范围可得BD的范围。先计算出BF，再根据BE2＝EF2+BF2和，可求出BE的范围。
②设BD＝x，得出S与x的关系式，根据关系式确定S的范围即可。
15．（2020九上·绍兴月考）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长.
【答案】解：∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，
∴点D的坐标为(0， 3)，
∴OD的长为3，
设y=0，则0=(x-1)2-4，解得：x= 1或3，
∴A( 1，0)，B(3，0)
∴AO=1，BO=3
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO BO=3，∴CO=
∴CD=CO+OD=3+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用函数解析式可得到抛物线的顶点D的坐标，由此可求出OD的长；由y=0建立关于x的方程解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标，就可求出AO，BO的长，利用圆周角定理可证得∠ACB=90°，利用相似三角形的判定和性质可求出OC的长，然后根据CD=CO+OD，求出CD的长。
16．（2024九上·杭州期中）阅读素材，完成任务
如何确定灌溉方案
素材一 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得.
素材二 现有一块四边形CDEF农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田.
问题解决（利用素材1完成任务1和任务2，结合素材2完成任务3）
任务1 确定喷枪的高度 求OP的长
任务2 拟定方案1 一种高为1.5m的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径.
任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米
【答案】解：任务1：
∴B(10，0)，
将B(10，0)代入 得：
解得：
∴OP的长为
任务2：当 时，
解得： (舍去) ，
∴最大半径为：
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG，
∵DG是⊙O的直径，
在 中，
∴，
∴覆盖四边形CDEF农田的圆半径为12，
把(12，0)代入 得：
解得：
，
∴喷水□P应至少上升 米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：把点B坐标代入 求出c值可得点P坐标，即可得答案；
任务2：把 代入 求出x的值即可得答案；
任务3： 连接DO延长交⊙O于点G， 连接FG， 根据直径所对的圆周角是直角及圆周角定理可得，利用三角函数求出DG的长， 确定出⊙O半径为12， 把(12，0)代入求出c值，进而可得答案.
17．如图，已知AC=6cm，∠GAC=90°，AD 是∠GAC的平分线。动点N 从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动。连结MN，交AD于点E.经过A，M，N三点作圆，交AD于点F，连结FM，FN.设运动时间为t（s），其中0（1）用含t的代数式表示线段MN的长，并求MN的最小值。
（2）是否存在实数t，使得线段AE的长度有最大值？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵ 动点N 从点C出发，以1cm/s的速度沿CA水平向左做匀速运动，与此同时，动点M从点A出发，也以1cm/s的速度沿AG竖直向上做匀速运动，设运动时间为t（s），
∴CN=AM=t，AN=6-t，
∵∠GAC=90°，
∴
当t=3时，MN的最小值为.
（2）解：存在，t= 3
理由：过点E作EH⊥AC于点H，
∵AD 是∠GAC的平分线，
∴∠FAC=45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH，
∴
∵∠EHN=∠MAC=90°，
∴MA∥EH，
∴△NEH∽△NMA，
∴
设EH=AH=x，NH=6-t-x，
∴
解之：，
∴，
∵a＜0，
∴当t=3时AE的长度的最大值为.
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【分析】（1）利用两个点的运动方向和速度，可表示出AM，AN的长，再利用勾股定理可得到MN关于t的关系式，再利用二次函数的性质可求解.
（2）过点E作EH⊥AC于点H，利用角平分线的定义去证明△AEH是等腰直角三角形，可证得EH=AH，；再证明MA∥EH，可推出△NEH∽△NMA，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，设EH=AH=x，NH=6-t-x，可得到关于x，t的方程，解方程求出x的值，将其代入，可得到AE关于t的函数解析式，利用二次函数的性质可求解.
18．（2021九上·杭州期中）如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝-x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴， 解得
抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）解：如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）解：由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与相似，则或，此时，
，
①当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出，抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，再令、即可求得点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点，设M（1，m），根据两点间的距离公式，即可求得的半径和圆心的坐标；
（3）先算出，再求出直线的函数解析式，设，表示出，分两种情况讨论：①和②，然后根据相似三角形的性质求解即可．
19．（2020九上·海曙期末）如图1，已知抛物线y= x2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为OQ的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧AB上的一个动点．
（1）直接写出点P，A，B的坐标：P ；A ；B 。
（2）求tan∠ACB的值
（3）将抛物线y= x2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若BC经过点D时，求线段AC，PC的长；
（4）若BC的中点为EAE交翻折后的抛物线于点F，直接写出AE的最大值和此时点F的坐标。
【答案】（1）(0，2)；(-4，0)；(4，0)
（2）解：连结MA，MB
设⊙M半径为r，则MP=MA=MB=r
∵在R△OMB中，MB=r，OB=4，OM=r-2，
由勾股定理可得，r2=42+(r-2)2，解得r=5
∵MA=MB，MO⊥AB
∴∠AMO=∠BMO= ∠AMB
∵在⊙M中，∠ACB= ∠AMB
∴∠ACB=∠OMB
tan∠ OMB=
tan∠ACB=
（3）解：连结AD
AD=BD=42
CD=AD．tan∠ACB=3
AC=5
过点C作y轴垂线CH
可证△BOD∽△CHD，可求
∴CH=3，DH=3
PH=9
∴PC=
（4）解：如图，
由题意可知点M（0，-3），
当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，
∴BE的长始终为BC的一半，
∴点E的运动路径也是圆弧OMB，这条弧的半径为，
∴NE=2.5
当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，
弧OMB的圆心N（2，），
过点N作NH⊥AB于点N，AE交y轴于点G，
∴AG=，
∵NH∥OG，
∴△AOG∽△AHN，
∴即
解之：
∴AE的最大值为AN+NE=；
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
解之：x1=3，x2=-4（舍去）
当x=3时y=
∴点F.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当y=0时， x2+4=0
∴x2=16
解之：x=±4
∴点A（-4，0），点B（4，0）
当x=0时，y=4，
∴OQ=4，
∵点P为OQ的中点，
∴OP=OQ=2.
∴点P（0，2）
故答案为：（0，2）；（-4，0）；（4，0）.
【分析】（1）由x=0可求出y的值，即可得到OQ的长，再根据点P为OQ的中点求出PO的长，即可得到点P的坐标；由y=0，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点A，B的坐标。
（2）连结MA，MB，设圆的半径为r，可得到MP=MA=MB=r，用含r的代数式表示出OM的长，再在Rt△OMB中，利用勾股定理求出r的长， 利用垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，可证得 ∠BMO= ∠AMB，再利用圆周角定理证明∠ACB= ∠AMB，从而可以推出∠ACB=∠OMB，然后利用锐角三角函数的定义即可求解。
（3）连接AD，易证CD=BD=AD，利用解直角三角形求出AC的长，再证明△BOD∽△CHD，利用相似三角形的对应边成比例，求出CH，PH的长，然后利用勾股定理求出PC的长。
（4）由题意可知点M（0，-3），当点E在优弧AB上运动时，E为BC的中点，BE的长始终为BC的一半，点E的运动路径也是圆弧OMB，利用勾股定理求出这条弧的半径，由此可得到当线段AE经过弧OMB的圆心时，AE有最大值，可得到圆心N的坐标，利用勾股定理求出AG的长，再利用相似三角形的判定和性质求出AN的长，即可求出AE的最大值；利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，再将AC和抛物线的解析式联立方程组求出符合题意的x的值。将x的值代入直线AC的函数解析式求出对应的y的值，即可得到点F的坐标。
20．（2022九上·绍兴月考）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，与“蛋圆”中的抛物线 交于B，C两点.
（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长.
（2）“蛋圆”上是否存在点P使是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，的面积记为，△ABF的面积记为，求的最小值.
【答案】（1）解：∵直线交坐标轴 B，C两点，
∴，，
∵抛物线过B，C两点，
∴，
解得：，
即；
BD=5
（2）解：存在，点P坐标为，，，
（3）解：如图3，
∵，，
∴，
过点E作交x轴于G，
∵的边上的高和的边的高相等，设高为h，
∴，，
∴，
∵的最小值，即最小，
∵，
∴，
∴当最大时，即最小，的最小值，
∴和“蛋圆”的抛物线部分只有一个交点时，最大，
∵直线的解析式为，
设直线EG的解析式为①，
∵抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
∴，抛物线和直线只有一个交点.
解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴交点坐标，
∴，
∴，
∴的最小值为.
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1） ∵直线交坐标轴 B，C两点，
∴，，
∵抛物线过B，C两点，
∴，
解得：，
即；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴抛物线与x轴交点，
∴，
如图1，记半圆的圆心为，连接，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）存在，点P坐标为，，，，
理由如下：
如图2，
，，，
若为等腰三角形，
①当时，设点，
则有，
解得：（不合条件的值已舍去），
∴，
∴，
②当时，设点，
则有，
解得：（不合条件的值已舍去），
∴，
∴
③当时，点P在的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为，
∵半圆的半径为，，
∴，，
综上所述，点P坐标为，，，；
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；
（2）若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：①AP＝AP，②CP＝AC，③AP＝CP，结合背景图形求解即可；
（3）先判断出要求 的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．
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