等边三角形满分训练 2024-2025学年浙教版八年级数学上册（含答案）

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等边三角形
1.△ABC 和△BDE 都是等边三角形,且A、B、D 三点共线,以下结论: ① AE = CD, ② BF = BG, ③ HB 平分∠AHD, ④ ∠AHC = 60°, ⑤ △BFG 是等边三角形,⑥ GF∥AD,其中正确的有( ).
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.如图所示，已知△ABC是等边三角形，E是AC 延长线上的一点，选择一点 D 使得△CDE 是等边三角形, 点M、点 N 分别是线段AD、BE 的中点.求证:△CMN是等边三角形.
3.△ABC、△CDE 都是等边三角形, AD、BE 相交于点O, 点 M、点 N 分别是线段AD、BE 的中点.
(1)证明:AD=BE.(2)求∠DOE 的角度.(3)证明:△MNC 是等边三角形.
4.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，分别以 AB、BC 作等边 和等边△FBC,连接EF、DF 与DE,猜想△DEF 的形状并加以证明.
5. 如图所示, AD 与 BC 交于点O, 且 和 均为等边三角形，以OD 和OB 为边的四边形ODEB 是平行四边形, 连接AC、CE 和AD 相交于点F,求证: 为等边三角形.
6.如图所示， 为等边三角形，O是 两角平分线的交点， FO⊥CO, 求证: 的周长等于边 BC 的长.
7.已知△ABC 为等边三角形，点M 是边 BC 上任意一点，且 直线 BN 与AM 相交于O点.
(1) 求图(1)中∠BQM 的度数.
(2)若M、N两点分别在边BC、CA 的延长线上，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立 如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由.
8.△ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是等腰三角形, 顶角∠BDC=120°, 点M、点 N 分别在边AB,边AC上,且∠MDN=60°.求证:△AMN 的周长为2.
9.点E 是等边△ABC 内一点,且EA=EB,△ABC外一点D 满足BD=AC,且BE平分∠DBC, 求∠BDE 的度数.
10.△ABC 是等边三角形, 延长 BC 到点 D, 延长 BA 到点E, 并且AE=BD.求证:EC=ED.
答案
1. D.提示:由题意得,△BDE≌△CBD(SAS),从而得到AE=CD,则①正确;易得∠AEB=∠BDG,因此△BGD≌△BFE(ASA),易得BG=BF,则②正确;又因为∠CBE=60°,因此△BFG为等边三角形,则⑤正确； 因此FG∥AD，则⑥正确；又因为在△AHD中，由外角定理及等量代换得∠AHC=60°，则④正确;因为∠CBE+∠AHD=180°,得到∠AHB=∠BHD, 因此HB平分∠AHD,则③正确.
2.提示: 由条件易得△ACD≌△BCE(SAS),得到AD=BE,∠AEB=∠ADC,从而得到△CDM≌△CEN(SAS),所以CM=CN,∠NCE=∠MCD,从而∠MCN=60°, 因此△CMN 是等边三角形.
3. 提示: 先证明△ACD≌△BCE(SAS).利用第(1)问证明的结论,用三角形外角和求出∠DOE=60°,易得△ACM≌△BCN(SAS), 从而得到△CMN 为等边三角形.
4.等边三角形.提示:由条件易得AE=DC,AD=CF,因为∠DAB=∠DCF,所以∠EAD=∠DCF,得到△ADE≌△CFD(SAS),从而得到△CFD≌△BFE(SAS),所以DE=DF=EF.因此△DEF 是等边三角形.
5.提示: 由条件易得△ABE≌△EDC,所以CE=AE,∠DCE=∠BEA,从而得到∠DCE=∠EAD,∠CAE=60°, 因此△ACE 是等边三角形.
6.提示: 由条件易得△AEF≌△OEF.因为EO⊥BO, FO⊥CO,得 (直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半)，因此△ABF 的周长等于BC 的长.
7.提示:(1)由条件易得△ABM≌△BCN(SAS), 所以∠BAM=∠CBN.又∠ABC=∠ABQ+∠CBN=60°, 所以∠ABQ+∠NBM=60°, 因此∠BQM=∠ABQ+∠ABM=60°.
(2)题(1)结论仍旧成立.由条件易得CM=AN,∠ACM=∠BAN=120°, 所以△ACM≌△BAN(SAS),所以∠CAM=∠ABN.又∠CAM=∠QAN,得∠ABN=∠QAN,因此∠BQM=∠QAN+∠N=60°.
8.提示:如图所示, 在 AC 的延长线上截取CE=BM, 连接 DE, 证 Rt△BDM≌Rt△CDE, 再证△EDN≌△MDN, 易得△AMN 的周长为2.
9.提示: 如图所示, 连接CE,由条件易得△BDE≌△BCE(SAS),所以∠BDE=∠BCE,易得△ACE≌△BCE(SSS),所以∠BCE=∠ACE,因此∠BDE=30°.
10.(解法一)提示:如图所示, 延长BD 至点F, 使得 DF=BC, 连接EF、AF, 易得AE=BD=CF,则△ACF≌△CAE.也有△BEF 是等边三角形,所以△EBC≌△EFD,因此EC=ED.
(解法二)提示：如图所示，过点 D作DF∥AC交BE于点F.△ABC为等边三角形，△BDF 也是等边三角形,所以BD=BF=DF,∠BFD=∠BAC=60°,得到∠EFD=∠EAC=120°, 所以△DEF≌△EAC(SAS), 得到EC=ED, 即△ECD为等边三角形.