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专题2.3 一元二次方程的应用八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：一元二次方程实际问题之传播问题
【经典例题1】电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
根据题意，得，
故选：C．
【变式训练1-1】学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，
个枝干上共长出个小分支．
根据题意得：．
故选：C．
【变式训练1-2】诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
【答案】
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，则第一轮有人感染，第二轮有人感染，
根据题意可得：
解得：或（不符题意，舍去），
故答案为：．
【变式训练1-3】兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ．
【答案】12
【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，
根据题意：，
整理得：，
解得：（舍去）或，
故答案为：12．
【变式训练1-4】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
【答案】(1)12只(2)2197只
【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得：
，
解，得，，(不符合题意舍去)，
答：每只病鸡传染健康鸡12只；
（2）解：，
答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只．
【变式训练1-5】有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人(2)100人
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
由题意得：，即：
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染9个人．
（2）第一轮的患病人数为：人，
第二轮的患病人数为：人，
则，第三轮的患病人数为：人．
题型二：一元二次方程实际问题之增长率问题
【经典例题2】某工厂年二氧化碳排放量为万立方米，为响应绿色环保，节能减排的号召，经过两年努力，到年二氧化碳排放量减少到万立方米．设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，
根据题意可得：，
故选：A．
【变式训练2-1】我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为，根据题意，得，
故选：C．
【变式训练2-2】为了加快数字化城市建设，昭通市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程： ．
【答案】
【详解】解：第一个月新建了个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
于是有，
故答案为：．
【变式训练2-3】某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ．
【答案】
【详解】解：若设降尘量的年平均下降率为，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
即降尘量的年平均下降率为．
故答案为：．
【变式训练2-4】杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)(2)8元
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴降价了元，
答：该款吉祥物降价元8元时，月销售利润达8400元．
【变式训练2-5】眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同．
(1)求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率；
(2)市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？
【答案】(1)(2)当天获利3375元，则售价降低了元
【详解】（1）解：设这两年道县脐橙种植面积的平均增长率为x，
根据题意得，
解得（不合题意，舍去），
答：这两年道县脐橙种植面积的平均增长率是；
（2）解：每千克降价y元，则每天可售出千克，
根据题意，得，
整理得：，
解得：（舍去），
答：当天获利3375元，则售价降低了元．
题型三：一元二次方程实际问题之几何图形问题
【经典例题3】如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意知：．
故选：D．
【变式训练3-1】如图，矩形展牌的长、宽分别为和，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设边框宽为，
所以整个挂画的长为，宽为，
根据题意，得：，
故选：C．
【变式训练3-2】如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：小路的宽度为，
矩形花园的长为，宽为．
根据题意得：，
故答案为：．
【变式训练3-3】如图，要设计一本书的封面，要求封面是长24，宽16 的大矩形，正中间是一个与大矩形的长宽比例相等的小矩形，且两矩形上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，若小矩形的面积是大矩形面积的 ，则上、下边衬的宽度为 ．
【答案】3
【详解】解：由题意得，封面的长宽比为，
设该矩形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
不符合题意，故舍去，
，
上下边衬的宽度为：
故答案为：3．
【变式训练3-4】2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)米(2)矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
【详解】（1）解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米，
∴边长为：米；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意．
答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
【变式训练3-5】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)(2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
题型四：一元二次方程实际问题之数字问题
【经典例题4】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】D
【详解】解：设小康和小明两人所集赞数量为，根据题意：
整理得：
解得：（舍去，不符合题意），
则（个）
小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是，
故选：D．
【变式训练4-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ）
A．26 B．84 C．48 D．62
【答案】B
【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是，
由题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
个数上的数字是4，十位上的数字是，
这个两位数是84，
故选B．
【变式训练4-2】一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ．
【答案】23或32
【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是．
根据题意得：，
解得：或，
则或．
则这个两位数是23或32．
故答案为：23或32．
【变式训练4-3】一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是 ．
【答案】64或75
【详解】解：设个位数字为，则十位上的数字是，
根据题意得，
整理，得，即，
解得，（不合题意，舍去），
当时，，这个两位数是64；
当时，，这个两位数是75．
答：这两位数是64或75．
故答案为：64或75．
【变式训练4-4】小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇 赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年 为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）．
【答案】周瑜去世时年龄为36岁
【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，
由题意得，
解得，
∴十位数字为2或3
∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁，
∴应舍去，
∴周瑜去世时年龄为36岁．
【变式训练4-5】第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
．
故答案为：；
（2）依题意有：，
解得，负值舍去．
故的值是．
题型五：一元二次方程实际问题之动态几何问题
【经典例题5】如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（ ）
A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒
【答案】D
【详解】解：设运动时间为秒，
由题意得：，，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴不符合题意，
∴当的面积等于4时，经过了1秒，
故选：D．
【变式训练5-1】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经 秒钟，能使的面积等于△ABC面积的．
【答案】2或4
【详解】解：设经过x秒的面积等于△ABC面积的，，，，由题意，得
，
解得：，．
答：设经过2秒或4秒，的面积等于△ABC面积的．
故答案是：2或4．
【变式训练5-2】如图，在中，，动点分别从点同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点C后停止，点P也随之停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是 ， ．
【答案】 3
【详解】，
，
设运动时间为，
，
的面积为，
，
解得：，
当时，，不成立，舍去，
，
，
，
故答案为：3，．
【变式训练5-3】如图，△ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将△ABC分成面积的两部分．
【答案】2或4/4或2
【详解】解：设运动时间为，则，，
∵，，
∴cm，
∵线段将△ABC分成面积的两部分，
∴或，
∴，或，
整理得：或（无实数解），
解得，，
即线段将△ABC分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．
故答案为：2或4．
【变式训练5-4】如图，中，∠B=90°，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，为等腰三角形(2)存在，
【详解】（1）解：∵∠B=90°，，，
∴，
∵两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，
∴，，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∴当时，为等腰三角形；
（2）解：假设存在x的值，使得四边形的面积等于，
则，
解得．
假设成立，所以当时，四边形面积的面积等于．
【变式训练5-5】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意知，，，
矩形中，∠B=90°，
由勾股定理知，
，
解得，（舍），
即时，的长度等于；
（2）解：如图，
由题意知， ，
的面积等于，
，
，
解得（舍），，
即时，的面积等于．
题型六：一元二次方程实际问题之工程问题
【经典例题6】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米
【详解】选（1）或（2）
（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米
（舍）
经检验：是所列方程的解．
答：原计划每天修建下水管道的长度为米．
【变式训练6-1】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元
(2)的值为
【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
【变式训练6-2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米(2)m的值为18
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，，
解得：（舍去），
∴m的值为18．
【变式训练6-3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值为6
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
【变式训练6-4】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
【答案】(1)300(2)5
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．
题型七：一元二次方程实际问题之行程问题
【经典例题7】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；(2)．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
【变式训练7-1】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点．
(1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？
(2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？
【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时(2)60分钟
【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时；
（2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟．
【变式训练7-2】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时(2)的值为
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
【变式训练7-3】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得，
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
【变式训练7-4】为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为，
∴小凤的跑步速度为每分钟，
答：小凤的跑步速度为每分钟；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，
则小凤从地到地所用时间为（分钟）．
设小凤从地到地用时分钟，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则（分钟）．
答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【变式训练7-5】小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】(1)(2)它们运动了秒
【详解】（1）解：当时，，
答：甲运动后的路程是；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去）．
答：它们运动了秒．
题型八：一元二次方程实际问题之销售问题
【经典例题8】牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：若销售单价降低元，依题意得：
，
故选：D．
【变式训练8-1】新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设每台冰箱的降价应为元，依题意得：，
即．
故选：B．
【变式训练8-2】某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元．
【答案】10或20
【详解】解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出条，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
即：每条连衣裙应降价10元或20元．
故答案为：10或20．
【变式训练8-3】某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价 ．
【答案】25元
【详解】解：设每件衬衫应降价元．
根据题意得：，
整理，得，
解得，，
题目要求尽快减少库存，而选择降价越多则销售量越大，
取，
即若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价25元．
故答案为：25元．
【变式训练8-4】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．
(1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？
(2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？
【答案】(1)该款童装每件应降价6元或24元(2)该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售
【详解】（1）解：设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元，
根据题意可得：，
解得：，，
答：该款童装每件应降价6元或24元；
（2）解：由（1）可知，该款童装每件可降价6元或24元，
因为要尽可能减少库存，扩大销售量，所以该款童装每件应降价24元，
此时，售价为：（元），．
答：该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售．
【变式训练8-5】今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元．
(1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？
(2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋 礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？
【答案】(1)该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒
(2)B款礼盒的促销价应定为150元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，
根据题意得：，
解得：．
答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒；
（2）解：设B款礼盒的促销价应定为m元，则8月17日B款礼盒的销售量为盒，
根据题意得：，
化简得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：B款礼盒的促销价应定为150元．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3 一元二次方程的应用八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：一元二次方程实际问题之传播问题
【经典例题1】电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】诺如病毒是一种传染性比较强的病毒，会引起病毒性胃肠疾病，具有发病急、传播速度快、涉及范围广等特点，在学校、游戏厅等聚集性场所易引起暴发．假设有一个人感染了该病毒，经过两轮传染后共有人感染该病毒，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
【变式训练1-3】兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ．
【变式训练1-4】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
【变式训练1-5】有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
题型二：一元二次方程实际问题之增长率问题
【经典例题2】某工厂年二氧化碳排放量为万立方米，为响应绿色环保，节能减排的号召，经过两年努力，到年二氧化碳排放量减少到万立方米．设平均每年减少二氧化碳排放的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】为了加快数字化城市建设，昭通市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程： ．
【变式训练2-3】某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ．
【变式训练2-4】杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【变式训练2-5】眼下正是道州脐橙成熟上市的季节，今年道县21.6万亩脐橙迎来了大丰收．两年前道州脐橙的种植面积是15万亩，假设这两年种植面积的平均增长率相同．
(1)求这两年道县脐橙种植面积的平均增长率；
(2)市场调查发现，道县某脐橙基地每天能售出2000千克脐橙，每千克降价1元，每天可多售出500千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，若每千克降价元，则每千克利润为元，该基地某天获利了3375元，则当天每千克降价了多少元？
题型三：一元二次方程实际问题之几何图形问题
【经典例题3】如图所示为长米、宽米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】如图，矩形展牌的长、宽分别为和，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为矩形空地面积的一半，设小路的宽为，根据题意可列方程为 ．
【变式训练3-3】如图，要设计一本书的封面，要求封面是长24，宽16 的大矩形，正中间是一个与大矩形的长宽比例相等的小矩形，且两矩形上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，若小矩形的面积是大矩形面积的 ，则上、下边衬的宽度为 ．
【变式训练3-4】2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
【变式训练3-5】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
题型四：一元二次方程实际问题之数字问题
【经典例题4】为免费领取第十四届全国冬季运动会吉祥物“安达”和“赛努”，小康和小明参与了转发集赞活动．已知两人集赞的数量为相邻的偶数，且两数之积为960，则小康和小明两人所集赞数量中的较小偶数是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
【变式训练4-1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（ ）
A．26 B．84 C．48 D．62
【变式训练4-2】一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ．
【变式训练4-3】一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是 ．
【变式训练4-4】小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇 赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年 为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）．
【变式训练4-5】第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
题型五：一元二次方程实际问题之动态几何问题
【经典例题5】如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（ ）
A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒
【变式训练5-1】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经 秒钟，能使的面积等于△ABC面积的．
【变式训练5-2】如图，在中，，动点分别从点同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点C后停止，点P也随之停止运动．若使的面积为，则点运动的时间是 ， ．
【变式训练5-3】如图，△ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，那么 秒后，线段将△ABC分成面积的两部分．
【变式训练5-4】如图，中，∠B=90°，，，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以的速度，沿向终点B移动；点Q以的速度沿向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接．设动点运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)是否存在x的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-5】如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
题型六：一元二次方程实际问题之工程问题
【经典例题6】问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【变式训练6-1】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【变式训练6-2】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【变式训练6-3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【变式训练6-4】为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
题型七：一元二次方程实际问题之行程问题
【经典例题7】月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【变式训练7-1】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点．
(1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？
(2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？
【变式训练7-2】今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【变式训练7-3】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【变式训练7-4】为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【变式训练7-5】小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
(1)甲运动后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
题型八：一元二次方程实际问题之销售问题
【经典例题8】牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-1】新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价元，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】某商店销售一款连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．现商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．如果商店想要每天盈利1200元，那么每条连衣裙应降价 元．
【变式训练8-3】某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价 ．
【变式训练8-4】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．
(1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？
(2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？
【变式训练8-5】今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元．
(1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？
(2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋 礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？
