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专题2.2.3 解一元二次方程（三）八大题型（一课一讲）
（内容：公式法及其应用）
【浙教版】
题型一：用公式法解一元二次方程
【经典例题1】解一元二次方程．
【答案】
【详解】解：原方程化为．
可得．
．
方程有两个不等的实数根．有．
即．
【变式训练1-1】解方程：．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
解得．
【变式训练1-2】解方程：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
∴
∴或
解得：
（2）解：
∵
∴
解得：
【变式训练1-3】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)无解
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则该方程无解．
【变式训练1-4】用适当的方法解下列方程:
(1)； (2)；
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，．
【变式训练1-5】用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：∵，
∴根判别式为：，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴左边化成完全平方，得，
∴．
（3）解：∵，
∴提公因式分解因式，得，
∴，
∴．
（4）解：∵，
∴两边开平方，得，
∴，，
∴．
题型二：利用求根公式还原一元二次方程
【经典例题2】下列一元二次方程中，根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意；
因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意；
因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意；
因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意．
故选：A．
【变式训练2-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到x=，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由x=知：
，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：A．
【变式训练2-2】若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由一元二次方程的求根公式，结合，可知：；
∴这个一元二次方程可以是；
故选D．
【变式训练2-3】若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵的一元二次方程的根为
∴，，，
∴这个方程是，
故选：C．
【变式训练2-4】关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：的根是，
故选：A．
【变式训练2-5】已知（），则式子的值是 ．
【答案】0
【详解】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一个解为，
故答案为：0．
【变式训练2-6】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ．
【答案】
【详解】解：方程化为一般式为，
所以c的值为，
故答案为：．
题型三：利用根的判别式判断根的情况
【经典例题3】方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【详解】解：∵
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【详解】解：直线不经过第四象限，
，
关于的方程
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【变式训练3-2】已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：根据数轴可得，，且，
则，
∵中，，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式训练3-3】方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根
【答案】B
【详解】解：方程，整理为：，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：B．
【变式训练3-4】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A. ，方程有两个不相等的实数根；
B. ，方程有两个不相等的实数根；
C. ，方程有两个不相等的实数根；
D. ，方程没有实数根；
故选：D．
【变式训练3-5】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根
C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根
【答案】B
【详解】解：当时，方程为，
此方程为一元一次方程，且解为．
故选项不符合题意．
当时，方程为一元二次方程，
则．
当时，，
所以方程有两个不相等的实根．
故选项符合题意．
当时，，
所以方程有两个相等的实根．
故选项不符合题意．
当，但时，方程有两个相等的实根，
故选项不符合题意．
故选：B．
题型四：根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围
【经典例题4】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【详解】解：由题意得，
解得且．
故选D．
【变式训练4-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则( )
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
又，
，
且，
故选：D．
【变式训练4-2】若关于x的方程有实数根，则k的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【详解】解：当时，该方程为，是一元一次方程，
∴方程有一个实数根，
当时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴，
解得且，
综上，的取值范围是，
故选：．
【变式训练4-3】已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且，
故选：D．
【变式训练4-4】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
∴，
∵要使该方程有意义，则，
∴，
综上，k的取值范围是．
故答案为：
【变式训练4-5】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ．
【答案】2
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得，且，则的最小整数值是2．
故答案为：
题型五：根据一元二次方程根的情况求代数式
【经典例题5】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：一元二次方程变形为一般式得，，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：B．
【变式训练5-1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
则不经过第二象限．
故选：B．
【变式训练5-2】若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
整理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-3】已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ．
【答案】5
【详解】解：根据题意得，，
即①；
，
即②；
，
即③；
把②分别代入①③得，，
解不等式组得；，而a为整数，
所以，再代入②得，，
解得，
所以．
故答案为：5
【变式训练5-4】已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为 ．
【答案】10.5或10
【详解】等腰三角形的三边为a，b，c，
当以a为底边时，，
∴关于x的方程有两个相等实数根，
∴，
即，
解得或，
当时，，解得，
则三角形的周长为；
当时，，解得，不符合题意，舍去．
当以a为腰时，或，
将代入原方程，得，
解得，
∴方程为，
解得，
所以这个三角形的周长是．
故答案为：10或10.5．
题型六：根的判别式与分式方程或不等式的结合
【经典例题6】若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ．
【答案】20
【详解】解：，
由①得，
由②得．
∴原不等式组的解集为
方程组有且只有3个整数解，
∴可取5、4、3．
，
．
关于y的一元二次方程有两个实数根，
且，
解得且，
且，
整数的取值为5，7，8
所有整数的和为．
故答案为：20．
【变式训练6-1】若整数a使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】1或5
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∵关于的分式方程的解为非负整数，
∴且，
解得：且，
∴且，
∵是整数，
∴或5，
故答案为：1或5．
【变式训练6-2】已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ．
【答案】8
【详解】解：去分母得，，
整理得，，
，
关于y的分式方程有整数解，
，，
或3或或5，
当时，，
解得，
但是分母，即，
，
或3或5，
关于x的一元二次方程有实数根，
，且，
解得，且，
或5，
所有整数a的值之和为．
故答案为：8．
【变式训练6-3】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】0
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
；
不等式组有且仅有四个整数解，
，
解得：；
关于的一元二次方程有实数根，
，，
，；
为整数，且，
可以是，，，
则符合条件的所有整数的和为；
故答案为：0．
【变式训练6-4】若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】
【详解】解：解方程得：，
∵a使得关于x的分式方程有整数解，且，
∴或或或或或或，
∵关于y的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得：且，
∴或或，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故答案为：．
【变式训练6-5】若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为 ．
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且；
去分母得：，
解得，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴是非负整数，且
∴且a是偶数，且，
∴且a是偶数，且，
综上所述，且a是偶数，且，
∴或，
∴满足条件的所有整数a的积为，
故答案为：．
题型七：根的判别式中定义新运算
【经典例题7】定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ．
【答案】2
【详解】解：∵是“奇妙方程”，
∴，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：2．
【变式训练7-1】对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，
，
又，
，
即，
若该方程有两个相等的实数根，则，
由得：，
由得：或，
；
若该方程有两个不等负根，则，
解得：．
故答案为：，．
【变式训练7-2】对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练7-3】定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是 ．（填序号）
【答案】②
【详解】解：方程有两个相等实数根，且，
，，
将代入得：，
，
故答案为：②．
【变式训练7-4】定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
【答案】0或4
【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：，
代入得：，
整理得：，
由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，．
故答案为：0或4．
【变式训练7-5】定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：∵，
∴，
整理可得，
又关于的方程有两个实数根，
，
解得：且，
故答案为：且．
题型八：根的判别式综合题型
【经典例题8】已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个解为0，求k的值；
(2)求证：方程有两个不相等的实数根；
【答案】(1)0或(2)证明过程见详解
【详解】（1）解∶ 方程有一个根为0，
，即，解得∶，，
k的值为0或．
（2）证明∶，
方程有两个不相等的实数根．
【变式训练8-1】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个实数根是，求的值及另一个实数根．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：，
该方程总有两个实数根；
（2）解：将代入，
可得：，
解得：，
方程化为，
分解因式可得：，
解得，，
方程的另一个实数根为．
【变式训练8-2】已知：关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解．
【答案】(1)见解析(2)，方程的解为或．
【详解】（1）证明：∵
∴方程总有两个实数根；
（2）由（1）得，
∴，
∵此方程的解均为整数，
∴为奇数，
当时，，
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，符合题意；
∴，方程的解为或．
【变式训练8-3】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若的长为6，求m的值；
(2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】(1)12(2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4
【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6，
把代入，
得：，
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
【变式训练8-4】已知：关于的方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析(2)5
【详解】（1）证明：，
，即，
无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当时，，则，
方程化为，解得，
的周长；
当或时，
把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
的周长为5．
【变式训练8-5】已知，，是△ABC三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
【答案】△ABC是等腰三角形，，理由见解析
【详解】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理，得，
∵，
∴，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式训练8-6】已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：根据题意得，，
，
．
（2）解：，
，
是整数，
∴整数的值为，
当时，方程为，
解得：，符合题意．
当时，，此时方程解不为整数．
当时，方程为，此时方程解不为整数．
当时，方程为，
解得：，符合题意．
综上所述，的值为2或5．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2.3 解一元二次方程（三）八大题型（一课一讲）
（内容：公式法及其应用）
【浙教版】
题型一：用公式法解一元二次方程
【经典例题1】解一元二次方程．
【变式训练1-1】解方程：．
【变式训练1-2】解方程：
(1) (2)
【变式训练1-3】解方程：
(1) (2)
【变式训练1-4】用适当的方法解下列方程:
(1)； (2)；
【变式训练1-5】用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
题型二：利用求根公式还原一元二次方程
【经典例题2】下列一元二次方程中，根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到x=，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】若用公式法解关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-4】关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-5】已知（），则式子的值是 ．
【变式训练2-6】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ．
题型三：利用根的判别式判断根的情况
【经典例题3】方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【变式训练3-1】在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【变式训练3-2】已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【变式训练3-3】方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．两个根分别为一个正根，一个负根
【变式训练3-4】下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-5】已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个不相等的实根
C．当时，方程有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根
题型四：根据一元二次方程的根的情况求参数的取值范围
【经典例题4】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式训练4-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则( )
A． B．且
C． D．且
【变式训练4-2】若关于x的方程有实数根，则k的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式训练4-3】已知关于的一元二次方程有实数根，则系数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【变式训练4-4】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【变式训练4-5】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是 ．
题型五：根据一元二次方程根的情况求代数式
【经典例题5】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．1 B． C．4 D．
【变式训练5-1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练5-2】若关于的一元二次方程有实数根，则的值为 ．
【变式训练5-3】已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ．
【变式训练5-4】已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为 ．
题型六：根的判别式与分式方程或不等式的结合
【经典例题6】若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则符合条件的所有整数m的和为 ．
【变式训练6-1】若整数a使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【变式训练6-2】已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ．
【变式训练6-3】若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的所有整数的和为 ．
【变式训练6-4】若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【变式训练6-5】若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为 ．
题型七：根的判别式中定义新运算
【经典例题7】定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ．
【变式训练7-1】对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ．
【变式训练7-2】对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ．
【变式训练7-3】定义，如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“龙泉师一”方程．已知方程是“龙泉师一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①②③④，正确的是 ．（填序号）
【变式训练7-4】定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
【变式训练7-5】定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ．
题型八：根的判别式综合题型
【经典例题8】已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有一个解为0，求k的值；
(2)求证：方程有两个不相等的实数根；
【变式训练8-1】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个实数根是，求的值及另一个实数根．
【变式训练8-2】已知：关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的解均为整数，请你求出所有符合条件的整数的值，并求出此时方程的解．
【变式训练8-3】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若的长为6，求m的值；
(2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【变式训练8-4】已知：关于的方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式训练8-5】已知，，是△ABC三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断△ABC是什么三角形，并说明理由．
【变式训练8-6】已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值．
