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专题2.2.4 解一元二次方程（四）八大题型（一课一讲）
（内容：因式分解法+换元法及其应用）
【浙教版】
题型一：因式分解概念的应用
【经典例题1】关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】整式与整式的积为，则一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练1-2】用因式分解法解方程，将等号左边分解后有一个因式是，另外一个因式是，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【变式训练1-3】已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根和p分别为（ ）
A．3，4 B．3， C．， D．，4
【变式训练1-4】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ．
【变式训练1-5】用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是 ．
题型二：用因式分解解一元二次方程
【经典例题2】用适当的方法解下列方程．
(1)； (2)．
【变式训练2-1】用适当方法解下列方程：
(1)； (2)．
【变式训练2-2】解方程：
(1) (2)
【变式训练2-3】解方程：
【变式训练2-4】解方程：
(1)； (2)．
【变式训练2-5】解方程：．
题型三：因式分解中整体带入法的应用
【经典例题3】若实数满足，则 ．
【变式训练3-1】如果，那么 ．
【变式训练3-2】若，则的值是 ．
【变式训练3-3】若，则 ．
【变式训练3-4】已知，则 ．
【变式训练3-5】若为实数，且，则 ．
题型四：因式分解的应用之三角形内问题
【经典例题4】已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．48或
【变式训练4-1】如果△ABC一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么△ABC是 三角形．
【变式训练4-2】三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
【变式训练4-3】已知三角形中两边边长值分别是的两根，设其剩下的边边长值为，则的取值范围是 ．
【变式训练4-4】已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【变式训练4-5】已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？
题型五：因式分解中定义新运算问题
【经典例题5】定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【变式训练5-1】对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是 ．
【变式训练5-2】定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是．
其中正确的结论是 ．（填序号）
【变式训练5-3】对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为 ．
【变式训练5-4】新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ．
【变式训练5-5】 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．
应用：
(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：
①，
②，
(2)请求出一元二次方程的倒根方程．
题型六：换元法求另一个方程的解
【经典例题6】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【变式训练6-2】若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
【变式训练6-3】已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练6-4】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练6-5】已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
题型七：用换元法化简方程
【经典例题7】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．．
【变式训练7-4】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-5】在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0
C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
题型八：换元法的综合应用
【经典例题8】材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式训练8-1】解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得．
当时，；当时，；
原方程有四个根：．
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(2)已知实数满足，求的值；
(3)解方程：．
【变式训练8-2】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______①
解得______．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想．
请你利用上述材料中的方法解方程：．
【变式训练8-3】阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
(2)已知实数、满足，求的值．
(3)解方程．
【变式训练8-4】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，①
解得：．
当时，，∴，∴，
当时，，∴，∴，
∴原方程的解为
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：．
【变式训练8-5】【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程：
．
第一步：原方程可变形为：；
第二步：令；
第三步：第一步的方程可变形为；
第四步：……；
根据的值可以求出，．
【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解．
(1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________；
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 D．类比思想
(2)完成材料中第三步以后求值的过程；
(3)利用均值换元法解方程：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.2.4 解一元二次方程（四）八大题型（一课一讲）
（内容：因式分解法+换元法及其应用）
【浙教版】
题型一：因式分解概念的应用
【经典例题1】关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴分解因式为，
故选：B．
【变式训练1-1】整式与整式的积为，则一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：∵整式与整式的积为，
∴，
∴，
∴一元二次方程为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】用因式分解法解方程，将等号左边分解后有一个因式是，另外一个因式是，则p的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
【变式训练1-3】已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根和p分别为（ ）
A．3，4 B．3， C．， D．，4
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，
把代入方程得，，
解得，
∴，
因式分解得，，
∴或，
∴，，
故选：B．
【变式训练1-4】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则a的值为 ．
【答案】2或6
【详解】解：根据题意得：，
解得：或6．
故答案为：2或6．
【变式训练1-5】用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：，若将左边分解后有一个因式是，
设另一个因式为，
的常数项是，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
题型二：用因式分解解一元二次方程
【经典例题2】用适当的方法解下列方程．
(1)； (2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
∴或．
解得，．
（2）解：，
，
，
∴或．
解得，．
【变式训练2-1】用适当方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
【变式训练2-2】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
【变式训练2-3】解方程：
【答案】，
【详解】解：，
，
，
或，
，．
【变式训练2-4】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，．(2)，
【详解】（1）解：
，
或，
∴，；
（2），
右边因式分解得：，
移项得：，
因式分解得：，
或，
，．
【变式训练2-5】解方程：．
【答案】
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：．
题型三：因式分解中整体带入法的应用
【经典例题3】若实数满足，则 ．
【答案】
【详解】解：设，则方程可变为：
，
解得：，，
当，则，
整理得：，
，
此方程无实数根；
当，则
，
，
此方程有不相等的两个实数根．
．
故答案为：．
【变式训练3-1】如果，那么 ．
【答案】/0.5
【详解】解：令，
则原方程可化为，
整理得，，
或
解得或m，
∴或（无意义，舍去），
故答案为：．
【变式训练3-2】若，则的值是 ．
【答案】或1
【详解】解：令，则原方程变为，
，
，
或．
故答案为：或1．
【变式训练3-3】若，则 ．
【答案】4
【详解】解：设，
∴，
因式分解，得，
∴．
∵，
∴．
故答案为：4．
【变式训练3-4】已知，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】若为实数，且，则 ．
【答案】
【详解】解：设，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
故答案为：．
题型四：因式分解的应用之三角形内问题
【经典例题4】已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．48或
【答案】B
【详解】解：，
，
∴或，
当时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴底边上的高，
∴面积；
当时，，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴面积，
∴面积或．
故选：B．
【变式训练4-1】如果△ABC一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么△ABC是 三角形．
【答案】等腰
【详解】解：，
，
，
，
∵三角形△ABC的两边分别是一元二次方程的两个实数根，
三角形的两边分别是：5，2，
又∵△ABC的一边长为5，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【变式训练4-2】三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
【答案】
【详解】解：，
，
∴或，
解得，或，
由构成三角形的三边关系可知，第三边的长为6，
∴，
∴该三角形的周长是，
故答案为：．
【变式训练4-3】已知三角形中两边边长值分别是的两根，设其剩下的边边长值为，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，
，
则或，
解得，，
则该三角形第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
【变式训练4-4】已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【答案】或6/6或
【详解】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形两边的长分别是4和3，
第三边取值范围为：，即，
第三边长度为3或5．
分两种情况：
当这个三角形的三边长分别为3，3，4，即为等腰三角形，
如图，△ABC中，，，作于点D，
，
，
；
当这个三角形的三边长分别为3，4，5，
，
这个三角形是直角三角形，且直角边的边长为3和4，
这个三角形的面积为，
综上可知，这个三角形的面积为或6，
故答案为：或6．
【变式训练4-5】已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？
【答案】(1)且(2)这个三角形的第三边的长不可能是5，理由见解析
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴，
又∵二次项系数不为0，
∴，
综上所述，且；
（2）解：这个三角形的第三边的长不可能是5，理由如下：
当时，原方程为，
∴，
解得或，
∴这个三角形的两边长为1，3，
∴第三边的长，
∴这个三角形的第三边的长不可能是5．
题型五：因式分解中定义新运算问题
【经典例题5】定义运算：对于任意实数、，有，例如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：，
根据新定义，得：，
整理，得：，
关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
即的取值范围为且，
故选：．
【变式训练5-1】对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是 ．
【答案】4
【详解】解：∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∴实数的值是，
故答案为： ．
【变式训练5-2】定义：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．则有下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根一定是．
其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②③
【详解】解：①∵的倒方程是，
又∵是的倒方程的解，
∴，
解得：，故结论①正确；
②一元二次方程是一元二次方程的倒方程，
∵，
∴，
∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故结论②正确；
③∵一元二次方程无解，
∴，
∴，
∵一元二次方程的倒方程是，
又∵，
∴它的倒方程也无解，故结论③正确；
④∵一元二次方程与它的倒方程有相同的根，
∴
解得：，
∴这个根一定是，故结论④错误，
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【变式训练5-3】对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
故答案为：或．
【变式训练5-4】新定义：关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．则代数式的值为 ．
【答案】或
【详解】解：，
解得：，
∵方程为“倍根方程”．
∴或者，
当时，，则，
当时，，则，
故答案为： 或．
【变式训练5-5】 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程．
应用：
(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程：
①，
②，
(2)请求出一元二次方程的倒根方程．
【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程(2)
【详解】（1）解：①，
，
，
，
②，
，
，
．
∴方程②是方程①的倒根方程；
（2）解：，
，
，
，
∴，，
∴方程的倒根方程为，
整理得：．
题型六：换元法求另一个方程的解
【经典例题6】若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则
即有一根为．
故选D．
【变式训练6-1】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【详解】解：，整理，得：，
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴方程必有一根为，即：，
故选B．
【变式训练6-2】若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2024，
∴必有一根为，
解得：；
故选：A．
【变式训练6-3】已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】解：令，
即，
∵方程的解是，，
∴，，
∴或，
解得，，
故选：A．
【变式训练6-4】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
令，
∴对于关于的一元二次方程的解为，，
即或，
即，，
∴关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
【变式训练6-5】已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
【答案】B
【详解】解：∵，是方程的解，
∴令，，满足方程，即．
∴，，
∴方程的解是，，
故选：B
题型七：用换元法化简方程
【经典例题7】用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，
设，则原方程化为：，
，
，
故选：．
【变式训练7-1】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
原分式方程可化为：，
方程两边同时乘以得：，
即：
故选：C
【变式训练7-2】用换元法解方程时，设，则原方程化为的整式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
去分母，得，
移项，得，
故选：B．
【变式训练7-3】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】A
【详解】解：设，原方程转化为，
方程两边乘以y得，．
故选：A．
【变式训练7-4】在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【变式训练7-5】在分式方程=5中，设=y，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0
C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
【答案】D
【详解】设=y，则，分式方程=5可变为y+=5，
去分母，得y2+1=5y，
整理，得y2-5y+1=0.
题型八：换元法的综合应用
【经典例题8】材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程的根为；(2)故原方程的根为．
【详解】（1）解：设，原方程可化为，
解得,
当时，,即,
∵，
∴方程无解，
当时，,即,
解得，,
故原方程的根为；
（2）解：设,原方程可化为，即,
解得,
当时，,
解得,经检验是原方程的解，
当,时，,
解得,经检验是原方程的解，
故原方程的根为．
【变式训练8-1】解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得．
当时，；当时，；
原方程有四个根：．
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(2)已知实数满足，求的值；
(3)解方程：．
【答案】(1)(2)5(3)
【详解】（1）解：设，
那么，
于是方程可变为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
设，
则，
解得，
∴或，
∴或（实数范围内无意义，舍去），
故的值为5．
（3）解：设，则可化为，
解得，
∴，
∴（无实数根），
或，
∴，
解得．
【变式训练8-2】阅读并填空：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，原方程化为______①
解得______．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学思想．
请你利用上述材料中的方法解方程：．
【答案】；或；
【详解】解：设，原方程化为①，
∴，
解得或．
当时，，
∴，
；
当时，，
∴，
；
原方程的解为．
设，则原方程可化为，
∴，
∴或，
当时，，此时方程无解；
当时，，
∴，
．
【变式训练8-3】阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
(2)已知实数、满足，求的值．
(3)解方程．
【答案】(1)，，，(2)(3)
【详解】（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
【变式训练8-4】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，①
解得：．
当时，，∴，∴，
当时，，∴，∴，
∴原方程的解为
解答问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：．
【答案】(1)换元，降次，转化；(2)
【详解】（1）解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案是：换元，降次，转化；
（2）解：令，则，
，
或．
解得：，
当时，，即，解得：，
当时，，即，
，
∴此方程实数根；
综上：方程的解是．
【变式训练8-5】【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程：
．
第一步：原方程可变形为：；
第二步：令；
第三步：第一步的方程可变形为；
第四步：……；
根据的值可以求出，．
【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解．
(1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________；
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想 D．类比思想
(2)完成材料中第三步以后求值的过程；
(3)利用均值换元法解方程：．
【答案】(1)C(2)见解析(3)，
【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想；
故选：C；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
原方程的解为，；
（3）解：原方程变形为，
令，
原方程可化为，
，
解得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
原方程的解为，．
