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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.2 解一元二次方程（二）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程．将方程变形为，则的值为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．14
3．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
4．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小3，则（ ）
A． B．3 C． D．1或3
5．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
6．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
7．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
9．已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
12．将化成的形式为 ．
13．若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为 ．
14．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ．
15．若（，为实数），则 ．
16．多项式的最大值是 ，此时 ．
17．若实数a、b满足，则的值为 ．
18．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
(1)； (2)．
20．小明同学解方程的过程如下所示．
解方程：．
解：…第一步
…第二步
即或…第三步
所以，…第四步
(1)小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误．
(2)请你用适当的方法正确解该方程．
21．已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数．
22．已知，点在数轴上的位置如图所示，点代表的数为，点代表的数为．
(1)若，求的值；
(2)琪琪通过计算得出之间距离不能为1，请你完成琪琪的计算过程．
23．“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________．
(2)比较代数式与的大小．
24．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”．
(1)数52______“完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
(3)如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.2 解一元二次方程（二）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
2．用配方法解方程．将方程变形为，则的值为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【详解】解：，
，
，
，
∴，
∴
3．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【详解】解：
，甲计算错误；
，
，乙计算正确；
，丙计算错误；
，
，丁计算正确；
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，
故选：C．
4．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小3，则（ ）
A． B．3 C． D．1或3
【答案】B
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
∵，∴．
故选：B．
5．若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，可知，
∴，
即的值为．
故选：B．
6．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】B
【详解】∵，
，
∴，则
故选：B．
7．若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：：，
，，，
故选：C
8．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
设，则，
则，
的最大值为，
即的最大值为，
故选：B．
9．已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：设印刷不清的数字是a，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式，
∴，，
∴，，
即印刷不清的数字是2，
故选：A．
10．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
【答案】D
【详解】与是“同族二次方程”，
，
，
，解得：，
，
当时，能取的最小值是2019，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
【答案】1
【详解】解：，
，
，
，
将转化为的形式，
，，
．
故答案为：1．
12．将化成的形式为 ．
【答案】
【详解】解：
常数项移到等式的右边：
等式两边同时加上一次项系数一半的平方：
即：
即将化成的形式为
故答案为：．
13．若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【详解】解：∵方程的一个根是1，
∴，
解得：，
∴原方程为：，
解方程得，，
故方程的另一个根是4，
故答案为4．
14．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ．
【答案】2
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴代数式的最小值等于2；
故答案为：2．
15．若（，为实数），则 ．
【答案】6
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴．
故答案为：6．
16．多项式的最大值是 ，此时 ．
【答案】 2
【详解】解：
；
∴当时，多项式的最大值是．
故答案为：，2
17．若实数a、b满足，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴
故答案为：1.
18．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ．
【答案】2
【详解】解：
∵，∴ ∴，
∴当时，有最大值，最大值为：2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：移项，得．
配方，得，即．
∴．
∴，．
（2）解：，，．
．
∴．
∴，．
20．小明同学解方程的过程如下所示．
解方程：．
解：…第一步
…第二步
即或…第三步
所以，…第四步
(1)小明同学想用______（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解．从第_____步开始出现错误．
(2)请你用适当的方法正确解该方程．
【答案】(1)配方法，一(2)，
【详解】（1）小明同学是用配方法求解方程，
∵变形时等式左右两边的值不变，一次项没有除以3
∴第一步开始出现错误；
故答案为：配方法，一；
（2）
，
∴，．
21．已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数．
【答案】见解析
【详解】解：
∵，
∴
∴，
∴不论x为何值，代数式的值总是负数．
22．已知，点在数轴上的位置如图所示，点代表的数为，点代表的数为．
(1)若，求的值；
(2)琪琪通过计算得出之间距离不能为1，请你完成琪琪的计算过程．
【答案】(1)或(2)计算过程见解析
【详解】（1）解：由数轴上两点之间的距离公式可得，
，
即，
解得或；
（2）解：，
，
，
即之间距离不能为1．
23．“” 这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，，．．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：因为（，所以当___________时，代数式有最__________）（填“大”或“小”）值，这个最值为_________．
(2)比较代数式与的大小．
【答案】(1)，，，小，(2)
【详解】（1）解：
时，代数式有最小值，这个最小值为；
故答案为：，，，小，
（2）解：
，
24．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”．
(1)数52______“完美数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知（x，y是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
(3)如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值．
【答案】(1)是(2)，理由见解析(3)
【详解】（1），
5是“完美数”，
故答案为：是；
（2）当时，s为完美数，理由：
∵s是完美数，
∴是完全平方数，；
（3）解：点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动
，，．
的面积为，运动时间为t秒，
∴．
∴当时，s有最大值．
