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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.3 解一元二次方程（三）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解下列方程：（1）；（2）；（3），较适当的方法为（ ）
A．（1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法
B．（1）因式分解法（2）公式法（3）公式法
C．（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法
D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
4．方程的一个根是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．或4 B．或4
C．或4 D．或
6．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
8．关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，．
A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁
9．若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
10．老师让学生写一个一元二次方程，使其没有实数根，以下是某学习小组的四位同学给出的答案：小明的答案为；淇淇的答案为；佳佳的答案为；轩轩的答案为．老师看后，说只有一个同学的答案是对的，则这位同学是（ ）
A．小明 B．淇淇 C．佳佳 D．轩轩
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一元二次方程的根为 ．
12．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ．
13．用公式法解方程时， ， ， ．
14．已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ．
15．若实数x，y满足，则的值是 ．
16．已知实数x满足，则的值为 ．
17．已知、、是△ABC的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ．
18．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解下列方程：
(1)； (2)．
(3)（公式法）． (4)（配方法）．
20．设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
21．已知关于的方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根；
(2)不论取何值，方程有一根为定值，请你求出这个定值．
22．已知关于x的方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根．
23．对实数，定义运算如下：
当时，；当时，．
若，求的值（表示不超过的最大整数）．
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
(1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
(2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.3 解一元二次方程（三）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【详解】解：将一元二次方程化为一般式为，
，，，
故选：A．
2．下列一元二次方程的根是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴该一元二次方程可以为，
故选：B．
3．解下列方程：（1）；（2）；（3），较适当的方法为（ ）
A．（1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法
B．（1）因式分解法（2）公式法（3）公式法
C．（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法
D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
【答案】D
【详解】解：（1），
开平方得：，用直接开平方法比较简便；
（2），用公式法比较简便；
（3），
，用因式分解法比较简便；
故选：D．
4．方程的一个根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴，
则，
所以，，
故选：D．
5．已知代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．或4 B．或4
C．或4 D．或
【答案】D
【详解】解∶ 代数式与的值互为相反数，
则
整理得：，
解得：或，
故选：D．
6．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵，
∴方程有两个不等的实数根．
故选：B．
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．
【答案】B
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且
故选：B．
8．关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，．
A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁
【答案】C
【详解】解：甲需要考虑的情况，故甲错误；
乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确；
丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误；
丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确．
故选：C．
9．若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
整理得：，
∵存在实数b，
∴方程有实数根，
∴，即，
整理得，
解得，
所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为，
故选：C．
10．老师让学生写一个一元二次方程，使其没有实数根，以下是某学习小组的四位同学给出的答案：小明的答案为；淇淇的答案为；佳佳的答案为；轩轩的答案为．老师看后，说只有一个同学的答案是对的，则这位同学是（ ）
A．小明 B．淇淇 C．佳佳 D．轩轩
【答案】D
【详解】解：A．，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴小明的答案错误，故A不符合题意；
B．，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴淇淇的答案错误，故B不符合题意；
C．，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴佳佳的答案错误，故C不符合题意；
D．，
∵，
∴方程没有实数根，
∴轩轩的答案正确，故D符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．一元二次方程的根为 ．
【答案】，
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，；
故答案为：，．
12．关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ．
【答案】，
【详解】解：的根的判别式的值是，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，．
故答案为：， ．
13．用公式法解方程时， ， ， ．
【答案】 1 3
【详解】∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
14．已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ．
【答案】有两个不相等的实数根
【详解】解：直线经过第一、三、四象限，
，，
，
关于的方程为，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
15．若实数x，y满足，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵实数x满足，
∴
，
∵，
∴，
解得，
把代入原方程，得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．已知实数x满足，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：由完全平方公式可得：完全平方公式可得，
∴原方程可化为．
设，则方程变形为，解得．
当，则，即，
因为，
∴该方程无实数根，
当，则，
即，解得．
经检验，是原方程的根，
∴原方程的根是．
．
17．已知、、是△ABC的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ．
【答案】没有实数根
【详解】解：∵、、是△ABC的三边长，
∴，,
∴，,
关于的方程，
，
∴关于的方程无实数根，
故答案为：没有实数根．
18．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】
【详解】解：解方程得：，
∵a使得关于x的分式方程有整数解，且，
∴或或或或或或，
∵关于y的一元二次方程有实数根，
∴，，
解得：且，
∴或或，
∴所有满足条件的整数a的和为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解下列方程：
(1)； (2)．
(3)（公式法）． (4)（配方法）．
【答案】(1)，(2)，(3)(4)，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
（3）解：，，，
∵，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
20．设关于x的一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中的一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，说明理由，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
【答案】见解析
【详解】解：若要使这个方程有两个不相等的实数根，则，即：，
在①中，，方程有两个相等的实数根，不合题意；
在②中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意，
此时方程为：，
，
∴，；
在③中，，方程有两个不相等的实数根，符合题意，
此时方程为：，
，
∴，；
在④中，，方程没有实数根，不合题意．
21．已知关于的方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根；
(2)不论取何值，方程有一根为定值，请你求出这个定值．
【答案】(1)见解析(2)定值为3
【详解】（1）证明：，
，，，
，
不论取何值，方程总有两个实数根．
（2）解：由（1）中的结论得，，
由一元二次方程的求根公式得，，
，，
不论取何值，方程有一根为定值，定值为3．
22．已知关于x的方程．
(1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个实数根是，求的值及此时方程的另一个根．
【答案】(1)见解析(2)，此时方程的另一个根为
【详解】（1）解：关于x的方程为，
，
不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）关于x的方程有一个实数根是，
，
解得：，
原方程为，
，
解得：，，
此时方程的另一个根为．
23．对实数，定义运算如下：
当时，；当时，．
若，求的值（表示不超过的最大整数）．
【答案】17或1
【详解】解：当时，
，
∴，
∴
∴
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴
∵，
∴
∴
∴
综上：的值为17或1．
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
(1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
(2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．
【答案】(1)②(2)0(3)
【详解】（1）解：①，
，
，，
∴方程不是倍根方程；
②，
，，
∴方程是倍根方程；
（2）解：由得：
，，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
∴或，
∴；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”，
∴根据题意得：，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此倍根方程为．
