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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.4 解一元二次方程（四）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 和2 D．都不对
2．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．或1 B．0 C．0或1 D．0或
3．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
5．若则代数式的值为（ ）
A．或3 B．1或 C． D．3
6．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
7．第十四届国际数学教育大会（ICME-14 )在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制是，表示ICME-14 的举办年份．小婷设计了一个m进制数165，换算成十进制数是96，则m的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．7
8．解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．方程的根是 ．
12．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是： ．
13．关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
14．若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ．
15．已知方程的解是，，则方程的解是 ．
16．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ．
17．若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为 ．
18．解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．用适当的方法解方程：
(1)． (2)
20．已知关于x的一元二次方程．．
(1)当时，请求该一元二次方程的根；
(2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值．
21．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值．
22．已知关于的方程的解都是正整数，求整数的值．
23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
若关于x的一元二次方程为．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求出该方程的衍生点M的坐标；
(3)直线：与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点C，在（2）中求得的点M在△ABC的内部，求m的取值范围．
24．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，则的值为________．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.2.4 解一元二次方程（四）八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1 和2 D．都不对
【答案】A
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得：，
故选：A．
2．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（ ）
A．或1 B．0 C．0或1 D．0或
【答案】A
【详解】解：把代入方程中得：
，
整理得：，
，
解得：或，
故选：A．
3．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：
∴，
则，
∴或，
故选：C
4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：，
，
或，
，，
当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为；
当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为；
该等腰三角形的周长是或，
故选：D．
5．若则代数式的值为（ ）
A．或3 B．1或 C． D．3
【答案】D
【详解】设，
原方程变形为：，
或
解得或，
∵，
∴．
故选：D．
6．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
【答案】D
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，，
∴，
解得（舍去）或．
故选：D．
7．第十四届国际数学教育大会（ICME-14 )在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制是，表示ICME-14 的举办年份．小婷设计了一个m进制数165，换算成十进制数是96，则m的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．7
【答案】D
【详解】解：由题意得，
∴
∴，（舍去）
故选：D．
8．解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∴，
设，则，
整理得：．
故选B．
9．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，即．
设，则．
∵关于x的一元二次方程有一根为，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴一元二次方程必有一根为2026．
故选C．
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
设，则，
整理，得，解得．
当时，，∴（负值舍去）；
当时，，∴（负值舍去）．
故选D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．方程的根是 ．
【答案】，
【详解】解：，
，
或，
解得：，；
故答案为：，．
12．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一个根为3，这个方程的一般式是： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：一元二次方程的一个根为2，另一个根为3，
该方程可以为，即．
故答案为：（答案不唯一）．
13．关于的一元二次方程有一个根为，则 ．
【答案】
【详解】解：一元二次方程有一个根为，
，
由可得：，
或，
解得：或，
由可得：，
．
故答案为： ．
14．若代数式与的值互为相反数，则整数的值为 ．
【答案】
【详解】解：与的值互为相反数，
，
即
解得：，，
整数的值为，
故答案为：．
15．已知方程的解是，，则方程的解是 ．
【答案】，
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得：，，
故答案为：，．
16．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ．
【答案】或，
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
方程的两根分别为或，
故答案为：或．
17．若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为 ．
【答案】，
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵一元二次方程的两根为，，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
18．解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ．
【答案】
【详解】解：设，则原方程可化为，
解得，．
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．用适当的方法解方程：
(1)． (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
则或，
∴
（2）
∴，
则，
∴，
则或，
∴
20．已知关于x的一元二次方程．．
(1)当时，请求该一元二次方程的根；
(2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值．
【答案】(1)(2)9
【详解】（1）当时，
该一元二次方程为，
解得；
（2）该一元二次方程有实数根，
，解得，
的最大值为9．
21．已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根为，求方程的另一个根和的值．
【答案】(1)且(2)，方程的另一根是
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等的实数根，
，
且，
故答案为：的取值范围是且；
（2）解：把代入到关于的一元二次方程中，
得，
，
，
，
故方程的另一根是．
22．已知关于的方程的解都是正整数，求整数的值．
【答案】，，
【详解】解：当时，原方程为，所以，符合题意；
当时，原方程为，所以，不符合题意；
当时，原方程化为，
解得，．
为整数， ，均为正整数根，
，，，，
解得：，，，
，，，，，
解得：，，，，
综上所述，，，时，原方程的根都为正整数．
23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
若关于x的一元二次方程为．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求出该方程的衍生点M的坐标；
(3)直线：与x轴交于点A，直线过点，且与相交于点C，在（2）中求得的点M在的内部，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）解：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
解得：，，
方程的衍生点为．
（3）∵直线与x轴交于点A，
∴，
由（2）得，，
令，，
∴，
∴点M在直线上，刚好和的边交于点，
令，则，
∴，
∵点M在的内部，
∴；
∴；
24．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，则的值为________．
【答案】(1)①，．②，，(2)
【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，
解得，，
当时，即，
∴；
当时，即，
∴方程无解；
∴综上可得原方程有两个根：，．
②将变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
，
，
，
，
将代入上式可得，
故答案为：．
