第五章特殊平行四边形【培优】（含答案）

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第五章特殊平行四边形【培优】
一、填空题
1．（2024八下·晋安期中）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　．
2．（2024八下·巴南月考）如图，矩形纸片的对角线，相交于点，，将矩形纸片翻折，使点恰好落在点处，折痕为，点在边上，则的长为　 　．
3．（2023八下·栾城期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，的度数为 　 　．
4．（2023八下·冷水滩月考）如图，在正方形中，P，Q分别为的中点，若，则大小为　 　．
5．（2024八下·西安期末）如图，矩形中，，，点P从B点沿向D点移动，若过点P作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为　 　．
6．（2024八下·昌平期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在两个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是　 　．
二、单选题
7．（2024九下·广阳模拟）如图，在四边形中，，，，，E、F是上的两动点，且，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（　　）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形
D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
8．（2024八下·诸暨期末）以下说法正确的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相平分且互相垂直
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
9．（2024八上·东城期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点的坐标是，点的纵坐标是则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·禹州期末）如图，在菱形中，垂直平分，若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
11．大、中、小三个正方形的摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD 的边长可能是 (　　)
A．1 B． C． D．3
三、解答题
12．（2024·南充模拟）如图，在矩形ABCD中，点在BC边上，且，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，求DF的长.
四、计算题
13．（2024八下·沭阳期中）如图①，在四边形中，如果对角线和相交且互相垂直，那么我们把这样的四边形称为垂角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是垂角线四边形（填写图形名称）
②若M、N、P、Q分别是垂角线四边形的边、、、的中点，当对角线、还需要满足______时，四边形是正方形；
（2）已知在垂角线四边形中，，，，则
①如图②，当时，四边形的面积是______；
②如图③，当时，求四边形的面积；
14．（2024九下·高安模拟）（1）计算：；
（2）如图，矩形中，，，以点D为圆心，为半径画弧，交边于点E，连接，求的长．
15．（2024九上·昆明期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，点是的中点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，若点是直线上的一动点，当时，求点的坐标；
（3）将直线向右平移3个单位长度得到直线，若点为平移后直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点，为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
五、作图题
16．（2023八下·苏州工业园期末）如图，已知矩形．
（1）用直尺和圆规分别在、边上找点E、F，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法，并给出证明．）
（2）若，，求菱形的周长．
六、综合题
17．（2024九下·合肥期中）如图是某物理兴趣小组利用矩形模块设计的一个感光元件，平行光线从区域射入，线段为感光区域，已知，，，，则感光区域的长度之和为多少？（结果精确到，参考数据：，，，）
18．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长；
（2）求四边形OBEC的面积．
19．（2024八下·宜城期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
七、实践探究题
20．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
2．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
3．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
4．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质
6．【答案】①②③④
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
9．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
11．【答案】B
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
12．【答案】（1）证明：，
在和中，
（2）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
13．【答案】（1）①菱形；②
（2）①12；②
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
14．【答案】（1）；（2）
【知识点】负整数指数幂；勾股定理；矩形的性质；求特殊角的三角函数值
15．【答案】（1）
（2）或
（3）点F的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；一次函数图象的平移变换
16．【答案】（1）解：连接，利用直尺和圆规作线段的垂直平分线交，于点E，F，则点E，F为所求．如图，
证明如下：设与交于点O，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴点E，F为所求作的点．
（2）解：设菱形的边长为x，则菱形的的周长为，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴菱形的的周长为．
答：菱形的周长为20．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
18．【答案】（1）解：∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴直角△OCD中，OC= （cm）
（2）解：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，
∴平行四边形OBEC为矩形，
∵OB=0D，
∴S矩形OBEC=OB OC=4×3=12（cm2）
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
19．【答案】（1）解：BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD
（2）解：当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，
∴ AFBD是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定
20．【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
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