2024-2025学年浙江八年级数学下学期第一章《二次根式》常考题
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）要使式子有意义，则下列数值中x能取的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得：，
符合的数值为3，
故选A．
2．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，即可求解．
【详解】解： ．
故选：B．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键．
根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可．
【详解】，，
，，
．
故选：A．
4．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：由题意可知：，
，
故选：A．
5．（本题3分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的加法，乘法与除法运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，乘法与除法运算的运算法则，化简二次根式的方法逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：，根据是整数，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案．
【详解】解：∵
∴
又∵是整数，n为自然数
∴为完全平方数且 的最大值为
∴或1或4或9
∴或或或0．
∴满足条件的自然数共4个
故答案为：C．
7．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算的值是（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为即可求解．
【详解】解：原式
故选：C
8．（本题3分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选：A．
9．（本题3分）（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
10．（本题3分）（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可；
【详解】解：
，
，
，，
，，
原式；
故选：A
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是
【答案】且
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式且分母不为可得：且，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得且，
解得：且．
故答案为：且．
12．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ．
【答案】3
【详解】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
按照定义的新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：3．
13．（本题3分）（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）分母有理化： ；
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．（本题3分）（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ．
【答案】5
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可．
【详解】解：，
∴的算术平方根为；
故答案为：5．
15．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，解得，
故答案为：3．
16．（本题3分）（24-25八年级上·四川·期中）已知为实数，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解．
根据二次根式和分式有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可．
【详解】解：由题意得：且，
即且，
所以，
又∵，即
∴，
故，
故答案为：3．
17．（本题3分）（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为，根据m，n均为正整数，可得的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案．
【详解】解：原式，
均为正整数，
的最小值为1，此时m最小值为5，
的最小值为．
故答案为：5．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
（1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（本题7分）（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键．
根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
∴
．
20．（本题8分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：
(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
【详解】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
，
∴
∴，
∴．
21．（本题8分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，求代数式的值．
【答案】9
【分析】本题考查二次根式化简求值．先把所求式子变形，再将，的值代入计算即可．
【详解】解：，，
．
22．（本题10分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长计算即可；
（2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可．
【详解】（1）解：．
长方形的周长是．
（2）解：
元．
答：购买地砖需要花费元．
23．（本题10分）（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例2：
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，
（1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式；
（2）先求出，再代入进行分母有理化即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是，
∴，
∴，
（3）
．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙江八年级数学下学期第一章《二次根式》常考题
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）要使式子有意义，则下列数值中x能取的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．0 C．4 D．1
4．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）将中根号外的移到根号里后得到的式子为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若是整数，则满足条件的自然数共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（本题3分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算的值是（ ）
A．1 B． C． D．5
8．（本题3分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
9．（本题3分）（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是
12．（本题3分）（2024八年级下·浙江·专题练习）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ．
13．（本题3分）（24-25八年级上·四川甘孜·阶段练习）分母有理化： ；
14．（本题3分）（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ．
15．（本题3分）（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
16．（本题3分）（24-25八年级上·四川·期中）已知为实数，，则 ．
17．（本题3分）（2023·四川绵阳·模拟预测）已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算：
(1)． (2)．
（本题7分）（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若为实数，求的值．
20．（本题8分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：
(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．
（本题8分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，，求代数式的值．
22．（本题10分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
(1)求长方形的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．（本题10分）（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例2：
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
