第2章 《一元二次方程》2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）——浙教版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．关于 的一元二次方程 有两根， 其中一根为 ， 则这两根之积为( )
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 有两根， 其中一根为x=1，
∴代入x=1，得3-2+m=0，解得m=-1
∴两根之积为：.
故答案为：D.
【分析】先代入x=1计算出m，然后根据根与系数的关系计算出两根之积即可.
2．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
3．（2024八下·柯桥期中）若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，
故答案为：C.
【分析】利用韦达定理：两根之积等于，即可求解.
4．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
5．（2024八下·杭州月考） 已知 是方程 的两个实数根， 则
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴m+n=-2，mn=-5，m2+2m=5，
∴m2+2m-mn+m+n =5-（-5）-2=8.
故答案为：C。
【分析】利用根与系数的关系可得：m+n=-2，mn=-5，根据方程的解的意义可得：m2+2m=5，然后整体代入，可求得代数式m2+2m-mn+m+n =5-（-5）-2=8.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·余杭月考）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，再将其代入计算即可.
7．（2024八下·义乌月考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 已知，是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根 ，
∴，，
∴
∴.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义可得，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a≠0）”根与系数的关系可得，然后将待求式子拆项后整体代入计算可得答案.
8．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：
【答案】-2x2+x-4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和为 ， 两根之积为 2 ，
∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时，此方程为x2-x+2=0，
∵且二次项系数为-2，
此方程为-2x2+x-4=0
故答案为：-2x2+x-4=0.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，由此方程的两根之和及两根之积，可得到关于x的一元二次方程，再根据二次项的系数为-2，将方程两边同时乘以-2，即可得到符合题意的方程.
9．已知关于 的方程 的两根为 -3 和 1 ， 则 ， ．
【答案】2；-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设二次方程的两个根为 和 ，根据题目已知：
根据二次方程的根与系数关系：
将已知的根的值代入上述两个等式中：
求解这两个方程，得到：
故答案为：2；-3.
【分析】根据题目，我们已知二次方程 的两个根为 -3 和 1. 我们可以通过根与系数的关系，即根的和等于系数 b 的相反数，根的积等于系数 c，来求解 b 和 c 的值.
10．（2023八下·鄞州期末）已知一元二次方程的两根分别为m、n，则的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2-3x -1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=，mn=，
∴.
故答案为：
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到将所求式子变m+n=，mn=，将所求式子变形代入即可.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·西湖期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
12．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 ， 且 ， 求 的值．
【答案】（1）证明：由题意可知： △=[-（2m-2）]2-4（-2m）=4>0
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：
∴=-=10
或m=3.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)计算判别式，判断根的情况即可；
(2)由根与系数的关系得出，再把 整理变形成，代入求解即可.
13．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2） 若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，两个根都是负根，
∴，，
∴k+3>0，k+1>0，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，判别式≥0，则说明方程有两个实数根；
（2）根据方程的两个根都是负根，得，，得到关于k的不等式组，求解即可.
14． 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证： 无论 为何实数， 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 若方程的两个实数根 满足 ， 求 的值．
【答案】（1）证明：
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系得
化简得出
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝2（k＋1）2＋7，结合偶次方的非负性可得出Δ＞0，从而得出：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出，再根据（x1 x2）2＝9，即可得出关于k的方程，得出答案即可得出结论．
15． 已知关于 的一元二次方程 有实数根．
（1） 求 的取值范围．
（2） 如果方程的两个实数根为 ， 且 ， 求 的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得出：
解得：.
（2）解：根据题意得出：
且
解得：
而
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（-6）2 4（2m＋1）≥0，再解不等式即可得出答案；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，再利用2x1x2＋x1＋x2≥20，得到2（2m＋1）＋6≥20，再解不等式和利用（1）中的结论即可确定满足条件的m的取值范围．
1 / 1第2章 《一元二次方程》2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）——浙教版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．关于 的一元二次方程 有两根， 其中一根为 ， 则这两根之积为( )
A． B． C．1 D．
2．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
3．（2024八下·柯桥期中）若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值等于（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
4．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
5．（2024八下·杭州月考） 已知 是方程 的两个实数根， 则
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·余杭月考）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
7．（2024八下·义乌月考）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 .
8．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：
9．已知关于 的方程 的两根为 -3 和 1 ， 则 ， ．
10．（2023八下·鄞州期末）已知一元二次方程的两根分别为m、n，则的值为 .
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·西湖期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
12．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 ， 且 ， 求 的值．
13．（2024八下·萧山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2） 若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
14． 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证： 无论 为何实数， 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 若方程的两个实数根 满足 ， 求 的值．
15． 已知关于 的一元二次方程 有实数根．
（1） 求 的取值范围．
（2） 如果方程的两个实数根为 ， 且 ， 求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 有两根， 其中一根为x=1，
∴代入x=1，得3-2+m=0，解得m=-1
∴两根之积为：.
故答案为：D.
【分析】先代入x=1计算出m，然后根据根与系数的关系计算出两根之积即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，
故答案为：C.
【分析】利用韦达定理：两根之积等于，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴m+n=-2，mn=-5，m2+2m=5，
∴m2+2m-mn+m+n =5-（-5）-2=8.
故答案为：C。
【分析】利用根与系数的关系可得：m+n=-2，mn=-5，根据方程的解的意义可得：m2+2m=5，然后整体代入，可求得代数式m2+2m-mn+m+n =5-（-5）-2=8.
6．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，再将其代入计算即可.
7．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 已知，是一元二次方程x2-2023x-2024=0的两个根 ，
∴，，
∴
∴.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的定义可得，根据一元二次方程“ax2+bx+c=0（a≠0）”根与系数的关系可得，然后将待求式子拆项后整体代入计算可得答案.
8．【答案】-2x2+x-4=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根之和为 ， 两根之积为 2 ，
∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时，此方程为x2-x+2=0，
∵且二次项系数为-2，
此方程为-2x2+x-4=0
故答案为：-2x2+x-4=0.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，由此方程的两根之和及两根之积，可得到关于x的一元二次方程，再根据二次项的系数为-2，将方程两边同时乘以-2，即可得到符合题意的方程.
9．【答案】2；-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设二次方程的两个根为 和 ，根据题目已知：
根据二次方程的根与系数关系：
将已知的根的值代入上述两个等式中：
求解这两个方程，得到：
故答案为：2；-3.
【分析】根据题目，我们已知二次方程 的两个根为 -3 和 1. 我们可以通过根与系数的关系，即根的和等于系数 b 的相反数，根的积等于系数 c，来求解 b 和 c 的值.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2-3x -1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=，mn=，
∴.
故答案为：
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到将所求式子变m+n=，mn=，将所求式子变形代入即可.
11．【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“方程有两个相等的实数根”结合根的判别式可得，解方程即可求出b的值；
（2）根据根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后整体代入计算即可求解.
（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
12．【答案】（1）证明：由题意可知： △=[-（2m-2）]2-4（-2m）=4>0
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：
∴=-=10
或m=3.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)计算判别式，判断根的情况即可；
(2)由根与系数的关系得出，再把 整理变形成，代入求解即可.
13．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，两个根都是负根，
∴，，
∴k+3>0，k+1>0，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，判别式≥0，则说明方程有两个实数根；
（2）根据方程的两个根都是负根，得，，得到关于k的不等式组，求解即可.
14．【答案】（1）证明：
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系得
化简得出
解得：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ＝2（k＋1）2＋7，结合偶次方的非负性可得出Δ＞0，从而得出：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出，再根据（x1 x2）2＝9，即可得出关于k的方程，得出答案即可得出结论．
15．【答案】（1）解：根据题意得出：
解得：.
（2）解：根据题意得出：
且
解得：
而
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（-6）2 4（2m＋1）≥0，再解不等式即可得出答案；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，再利用2x1x2＋x1＋x2≥20，得到2（2m＋1）＋6≥20，再解不等式和利用（1）中的结论即可确定满足条件的m的取值范围．
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