第1章《 二次根式》1.3 二次根式的运算（2）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·泰州）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式才能合并，可对A作出判断；两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简，可对B作出判断；利用二次根式除法法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断；
2．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
3．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2023·西宁）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，此项正确；
D、 ， 故此项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
5．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和 不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；利用二次根式的除法和乘法运算，可对C，D作出判断.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．观察下列等式：…请用含自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来： .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：
【分析】根据“…”结合平方差公式分母有理化，进而即可求解。
7．（2024八上·深圳期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查同类二次根式的定义，化简二次根式先间隙化简可得：，再根据：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式是同类二次根式，据此可列出方程，解方程可求出a的值，进而可求出答案．
8．（2023九上·榆树开学考）已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
【分析】两个二次根式可以合并，那么它们一定是同类二次根式，根据同类根式的特点列式进行求出a、b再计算它们的和。
9．（2024八上·上海市月考）若，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：
【分析】利用分母有理化求出x值，再利用配方发将原式化为，然后把值代入计算即可．
10． 若 ， 则 的值为
【答案】-5
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八上·深圳期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=7 4+2
=5
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
12．（2024八上·宝安期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。
13．（2024八上·深圳期中）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）先利用立方根的性质及绝对值的性质化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
14．（2024八上·南山期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以所以
所以 所以 所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）比较大小： （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）<
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的有理化因式为.
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵和都是正数，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）参照题干中有理化因式的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理数的计算方法化简，再比较大小即可；
（3）先利用分母有理化化简，再将a的值代入计算即可.
（1）因为，
所以的有理化因式为.
故答案为：；
（2）因为，
显然，
又因为和都是正数，
所以．
故答案为：．
（3）因为，
所以，
所以，
则，
即.
所以，原式．
15．（2024八上·四川期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题：
（1）化简：，；
（2）化简：；
（3）比较与大小，并说明理由．
【答案】（1）解：①原式
②原式
（2）解：原式
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解；
（2）分母有理化，再就加减即可；
（3）分母有理化后比较大小，即可求解．
（1）解：①原式
②原式
（2）解：原式
（3）解：
1 / 1第1章《 二次根式》1.3 二次根式的运算（2）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·泰州）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·西宁）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·重庆）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．观察下列等式：…请用含自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来： .
7．（2024八上·深圳期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
8．（2023九上·榆树开学考）已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
9．（2024八上·上海市月考）若，则的值为 ．
10． 若 ， 则 的值为
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2025八上·深圳期末）计算：
（1）；
（2）．
12．（2024八上·宝安期中）计算：
（1）
（2）
13．（2024八上·深圳期中）计算：
（1）；
（2）.
14．（2024八上·南山期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以所以
所以 所以 所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）比较大小： （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）；
（3）若，求的值．
15．（2024八上·四川期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题：
（1）化简：，；
（2）化简：；
（3）比较与大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式才能合并，可对A作出判断；两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简，可对B作出判断；利用二次根式除法法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断；
2．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
3．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，此项正确；
D、 ， 故此项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和 不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A，B作出判断；利用二次根式的除法和乘法运算，可对C，D作出判断.
6．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：
【分析】根据“…”结合平方差公式分母有理化，进而即可求解。
7．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】本题考查同类二次根式的定义，化简二次根式先间隙化简可得：，再根据：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式是同类二次根式，据此可列出方程，解方程可求出a的值，进而可求出答案．
8．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
【分析】两个二次根式可以合并，那么它们一定是同类二次根式，根据同类根式的特点列式进行求出a、b再计算它们的和。
9．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
．
故答案为：
【分析】利用分母有理化求出x值，再利用配方发将原式化为，然后把值代入计算即可．
10．【答案】-5
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
11．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=7 4+2
=5
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
12．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。
13．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）分析求解即可；
（2）先利用立方根的性质及绝对值的性质化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
14．【答案】（1）
（2）<
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的有理化因式为.
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵和都是正数，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）参照题干中有理化因式的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理数的计算方法化简，再比较大小即可；
（3）先利用分母有理化化简，再将a的值代入计算即可.
（1）因为，
所以的有理化因式为.
故答案为：；
（2）因为，
显然，
又因为和都是正数，
所以．
故答案为：．
（3）因为，
所以，
所以，
则，
即.
所以，原式．
15．【答案】（1）解：①原式
②原式
（2）解：原式
（3）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解；
（2）分母有理化，再就加减即可；
（3）分母有理化后比较大小，即可求解．
（1）解：①原式
②原式
（2）解：原式
（3）解：
1 / 1
